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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture et modifications : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Sujet 0 Voie technologique Sujet 1~\decofourright\\[6pt]Évaluation en fin de première}}
\end{center}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0\\[5pt]
Voie Technologique\\[5pt]
Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts)}
\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2cm}X}
\textbf{Question 1}&
Jean consacre 25\,\% de sa journée de dimanche à faire ses devoirs.

80\,\% du temps consacré aux devoirs est consacré à faire un exposé.

Le pourcentage du temps consacré à l'exposé par rapport à la journée de dimanche est égal à :\\
\end{tabularx}

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{A.~} $80\,\% - 25\,\%$ &\textbf{B.~} $\dfrac 14 \times 80$\,\% \rule{0pt}{20pt}&\textbf{C.~} $0,08 \times 25$\,\%&\textbf{D.~} {\footnotesize Cela dépend de la durée de la journée de dimanche.}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2cm}X}
\textbf{Question 2}&
Un prix diminue de 50\,\%. Pour retrouver le prix initial, il faut une augmentation de : 
\end{tabularx}

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{A.~} 50\,\% &\textbf{B.~} 100\,\% &\textbf{C.~} 150\,\% &\textbf{D.~} 200\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2cm}X}
\textbf{Question 3}&
Le prix d'une tablette a baissé: il est passé de 250 euros à 200 euros. Cela signifie que ce prix a été multiplié par:
\end{tabularx}

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{A.~} 1,25 &\textbf{B.~} 0,75 &\textbf{C.~} 0,8&\textbf{D.~} $-0,8$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2cm}X}
\textbf{Question 4}&
La seule égalité vraie est:
\end{tabularx}

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{A.~} $40 \times \dfrac{1}{40^2} = 40^2$&\textbf{B.~} $\left(2^{-4}\right)^3 = 2^{-1}$&\textbf{C.~} $\dfrac{10^{-5}}{10^8} = 10^{-13}$&\small{\textbf{D.~} $5^{-6} \times 11^{-6} = 55^{-12}$}\rule[-10pt]{0pt}{30pt}
\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2cm}X}
\textbf{Question 5}&
L'épaisseur d'une feuille de papier est égale à $70 \times 10^{-3}$~mm.

L'épaisseur d'une pile de \np{2000} feuilles est égale à :
\end{tabularx}

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{A.~} 140~cm &\textbf{B.~} 14~mm&\textbf{C.~} 14~cm&\textbf{D.~} 72~cm\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2cm}X}
\textbf{Question 6}&
Voici quatre planètes et leur masse.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabular}{|l|l|}\hline
Terre&$\np{5973} \times 10^{21}$~kg\\ \hline
Mercure&$33,02 \times 10^{22}$~kg\\ \hline
Vénus&$\np{48685} \times 10^{20}$~kg\\ \hline
Mars&$\np{6,4185} \times 10^{23}$~kg\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

La planète dont la masse est la plus importante est: 
\end{tabularx}

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{A.~} Terre &\textbf{B.~} Mercure&\textbf{C.~} Vénus& \textbf{D.~} Mars\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2cm}X}
\textbf{Question 7}&On additionne un nombre réel $x$, avec son triple et son carré. Le résultat est égal à :
\end{tabularx}

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{A.~}$(x + 3x)^2$&\textbf{B.~} $x + (3x)^2$&\textbf{C.~} $1 + 3x^2$ &\textbf{D.~} $4x + x^2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{minipage}[t][3cm][t]{9.5cm}
\begin{tabular}{p{2cm}p{7.5cm}}
\textbf{Question 8}
&
Dans la figure ci-contre, les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ représentent respectivement les fonctions $f$ et $g$.

L'ensemble des solutions de l'inéquation\newline $f(x) \leqslant g(x)$ est :\newline\\
\multicolumn{2}{c}{
\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
\textbf{A.~}$[-2~;~-1]$&\textbf{B.~} $[1~;~2]$\\\hline
\textbf{C.~} $[-2~;~- 1] \cup [1~;~2]$&\textbf{D.~} $[-2~;~- 1] \cap [1~;~2]$\\ \hline
\end{tabularx}}
\end{tabular}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{3.5cm}
\scalebox{0.7}{
\psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(4,4)
\psline[linecolor=red](-2,-2)(3,3)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5,linecolor=red](-2,-2)(3,3)
\uput[ul](2.5,2.5){\red $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{3}{x 4 x sub mul 2 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{0}{1.5 x mul x 1 add mul 1 sub}
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,-1)(0.5,-0.25)(0.5,0)(1,1) 
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5,linecolor=blue](-2,2)(-1,-1)(1,1)(2,2)(3,1)
\uput[ur](-1.76,1){\blue $\mathcal{C}'$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[l](0,1){1} 
\uput[d](-2,0){$-2$} \uput[d](1,0){1}   \uput[d](3,0){3} 
\end{pspicture}
}%% fin scalebox
\end{minipage}

\bigskip

\begin{minipage}[t][5.5cm][t]{9.5cm}
\begin{tabular}{p{2cm}p{7.5cm}}
\textbf{Question 9}
&
On donne ci-contre la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur
l'intervalle $[-3~;~2]$. On s'intéresse à l'équation $f(x) = 0$.

Une seule de ces propositions est exacte:\newline\\
\multicolumn{2}{c}{
\renewcommand\arraystretch{1.3}
\begin{tabular}{|l p{8cm}|}\hline
\textbf{A.~} & L'équation $f(x) = 0$ n'admet aucune solution.\\ \hline
\textbf{B.~} & L'équation $f(x) = 0$ admet exactement une solution.\\ \hline
\textbf{C.~} & L'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions, et ces solutions sont négatives.\\ \hline
\textbf{D.~} & L'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions, et ces solutions sont de signes contraires.\\ \hline
\end{tabular}}
\end{tabular}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{3.5cm}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3.8,-11.99)(2.5,11)
\psgrid[xunit=0.6cm,yunit=0.4cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-4,-6)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.8,-11.99)(2.5,11)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-3}{2}{x x x 0.9 mul 0.27 add mul 7.776 sub mul 3 sub}
%\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-3}{2}{x 3 exp 3 div x dup mul 5 div add x 3 mul sub 4 mul 3 div 3 sub}
\uput[u](2.2,0){$x$}\uput[r](0,9.5){$y$}\uput[u](-2,2.6){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2cm} X}
\textbf{Question 10}&On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ dont le tableau de signes est donné ci-dessous.
\end{tabularx}

\[ \begin{tablvar}{2}
 \hline
 x & -\infty & & 2 & & +\infty\\
 \hline
f(x) & & + & \barre[0] & - & \\
 \hline
 \end{tablvar}\]
 
Parmi les quatre expressions proposées pour la fonction $f$, une seule est possible.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{A.~} $f(x) = -3 x+6$&\textbf{B.~}$f(x) = x+2$&\textbf{C.~}$f(x) = x-2$&\textbf{D.~} $f(x) = -4 x+2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2cm} X}
\textbf{Question 11}&On considère la relation $C= (1 + t)^{2}$. On cherche à isoler la variable $t$. On a :
\end{tabularx}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{A.~} $t=\sqrt{C-1}$&\textbf{B.~}$t=\sqrt{C}-1$&\textbf{C.~}$t=\sqrt{1-C}$&\textbf{D.~}$t=1-\sqrt{C}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\mbox{\textbf{~Question~12}} Le diagramme en barres ci-contre donne la production d'électricité, en Twh (térawatt-heure) selon son origine (source : INSEE).

L'année où la production d'électricité d'origine hydraulique était la plus importante est :\\

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|p{2.8cm}|p{2.8cm}|}\hline
\textbf{A.~} 1995&\textbf{B.~} 2001\\ \hline
\textbf{C.~} 2011&\textbf{D.~} 2016\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.0038cm}
\begin{pspicture}(-1,-140)(5.5,1000)
\multido{\n=0+25}{29}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(5.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=100,labelFontSize=\scriptscriptstyle](0,0)(0,0)(5.5,700)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.75,0)(1.25,375)
\psframe[fillstyle=hlines](0.75,375)(1.25,425)
\psframe[fillstyle=vlines](0.75,425)(1.25,500)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.75,0)(2.25,425)
\psframe[fillstyle=hlines](1.75,425)(2.25,500)
\psframe[fillstyle=vlines](1.75,500)(2.25,575)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.75,0)(3.25,450)
\psframe[fillstyle=hlines](2.75,450)(3.25,525)
\psframe[fillstyle=vlines](2.75,525)(3.25,575)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.75,0)(4.25,440)
\psframe[fillstyle=hlines](3.75,440)(4.25,500)
\psframe[fillstyle=vlines](3.75,500)(4.25,560)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.75,0)(5.25,400)
\psframe[fillstyle=hlines](4.75,400)(5.25,460)
\psframe[fillstyle=vlines](4.75,460)(5.25,560)
\uput[r](-0.8,850){\scriptsize Hydraulique\: \psframe[fillstyle=vlines](0.5,90)}
\uput[r](1.3,850){\scriptsize Thermique\: \psframe[fillstyle=hlines](0.5,90)}
\uput[r](3.4,850){\scriptsize Nucléaire\: \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,90)}
\uput[d](1,0){\small 1995}\uput[d](2,0){\small 2001}\uput[d](3,0){\small 2006}
\uput[d](4,0){\small 2011}\uput[d](5,0){\small 2016}
\rput(4.5,-140){\small Année}
\rput{90}(-0.9,500){\tiny Production d'électricité en France (en Twh)}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\newpage

\begin{center}
\textbf{DEUXIÈME PARTIE : (14 points)}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 (X points)}

\medskip

Une biologiste désire étudier l'évolution de la population de singes sur une île.

En 2025, elle estime qu'il y a \np{1000} singes sur l'île.

\medskip

\textbf{A. Premier modèle}

\medskip

Chaque année, la population de singes baisse de $10\,\%$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'en 2026, il y aura $900$ singes sur l'île.
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de singes sur l'île pour l'année $2025 + n$.

On a donc $u_0 = \np{1000}$.

	\begin{enumerate}
		\item Indiquer ce que représente $u_2$ et calculer sa valeur.
		\item Déterminer la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison.
		\item Donner les variations de cette suite.
	\end{enumerate}
\item Selon ce modèle, la population de singes est-elle menacée d'extinction ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Second modèle}

\medskip

\begin{minipage}{0.67\linewidth}
On admet que l'évolution du nombre de singes est modélisée par la suite $(v_n)$ ainsi définie :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
v_{n+1}& =& 0,9v_n + 150\quad ;\quad n \in \N\\
v_0 &=&\np{1000}
\end{array}\right.,\]
où $v_n$ désigne le nombre de singes sur l'île pour l'année $2025 + n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec ce modèle, quelle sera la population de singes en 2026 ?

Détailler le calcul.
\item La feuille de calcul ci-contre donne les valeurs arrondies à l'unité des premiers termes de la suite $(v_n)$.

Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, faut-il saisir dans la cellule B3 pour obtenir les termes de la suite $(v_n)$ ?
\item Indiquer en quelle année, la population de singes dépassera pour la première fois \np{1400} individus.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.26\linewidth}
\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\cellcolor{lightgray}}c |*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor{lightgray}	&A	&B\\ \hline
1	&$n$&$v_n$\\ \hline
2	&0&\np{1000}\\ \hline
3 	&1&\np{1050}\\ \hline
4 	&2&\np{1095}\\ \hline
5	 &3&\np{1136}\\ \hline
6	&4&\np{1172}\\ \hline
7 	&5&\np{1205}\\ \hline
8	&6&\np{1234}\\ \hline
9 	&7&\np{1261}\\ \hline
10 	&8&\np{1285}\\ \hline
11 	&9&\np{1306}\\ \hline
12 	&10&\np{1326}\\ \hline
13 	&11&\np{1343}\\ \hline
14 	&12&\np{1359}\\ \hline
15 	&13&\np{1373}\\ \hline
16 	&14&\np{1386}\\ \hline
17 	&15&\np{1397}\\ \hline
18 	&16&\np{1407}\\ \hline
19 	&17&\np{1417}\\ \hline
20 	&18&\np{1425}\\ \hline
21	&19&\np{1432}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}

\newpage

\textbf{Exercice 2 (X points)}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~6]$.

\medskip

\begin{minipage}{8cm}
Sa courbe représentative, notée $\mathcal{C}$ est donnée ci-contre.

\begin{itemize}
\item On sait que la courbe $\mathcal{C}$ passe par les points de coordonnées $(0~;~8)$, $(2~;~0)$ et $(4~;~-8)$.
\item On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = 2$.
\item On sait que la tangente $T$ coupe l'axe des ordonnées en $y = 12$.
\end{itemize}

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
\end{minipage}
\hfill 
\begin{minipage}{5.5cm}
\scalebox{0.9}{
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.14cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2,-12)(6,15)
\psgrid[unit=0.7cm,subgriddiv=1,gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-2,-3)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=5,labels=none]{->}(0,0)(-2,-12)(6,15)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{6}{x 3 exp 0.5 mul x dup mul 3 mul sub 8 add}
\psplotTangent[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{4}{x 3 exp 0.5 mul x dup mul 3 mul sub 8 add}
\uput[d](5.8,0){\small $x$}\uput[r](0,13.8){\small $y$}\uput[dl](0,0){0}
\uput[d](1,0){\small 1}\uput[l](0,5){\small 5}
\uput[dr](5,-5){\red $\mathcal{C}$} \uput[dl](0,12){\blue $T$} 
\end{pspicture*}
}%
\end{minipage}

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs de $f(2)$ et $f'(2)$.
\item Donner une équation de la tangente $T$.
\item Recopier et compléter le tableau de variation ci-dessous en utilisant le graphique.

\[\begin{tablvar}[stretch=1.2]{3}
\hline
x & -2 && 0 && 4 && 6\\
\hline
\variations[2]{\mil{\makecell{\mbox{variations}\\\mbox{de } f}} & && && && }
\hline
\end{tablvar}
\]

	\end{enumerate}

\item On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-2~;~6]$ par 
\[f(x) = 0,5 x^{3}- 3 x^{2} + 8.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2\;;\; 6]$, on a $f'(x)=1,5 x(x - 4)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et retrouver le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~6]$.
\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~2]$ on a $f(x) \leqslant -6 x + 12$.

Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $T$ sur l'intervalle $[0~;~2]$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 (X points)}

\medskip

Indiquer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.}

\begin{enumerate}
  \item Afin de lutter contre le dopage dans le sport, un test a été mis en place.

En principe, ce test est POSITIF lorsque le sportif est dopé, et NÉGATIF lorsqu'il n'est pas dopé. Toutefois, ce test peut commettre des erreurs : il peut être positif lorsque le sportif n'est pas dopé, et négatif lorsque le sportif est dopé.

Le tableau ci-dessous donne les résultats recueillis auprès de 200 coureurs ayant participé à un marathon.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~~} & Coureur non dopé & Coureur dopé & Total\\
\hline
Test positif & 15 & 5 & 20\\
\hline
Test négatif & 178 & 2 & 180 \\
\hline
Total & 193 & 7 & 200 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On choisit un coureur au hasard parmi les 200 coureurs testés.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{} l @{~} X}
\textbf{Affirmation 1:} & La probabilité que le coureur ne soit pas dopé ou soit testé positif est égale à $\dfrac{213}{200}$.
\end{tabularx}

\item On choisit un coureur au hasard parmi ceux ayant eu un test positif.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{} l @{~} X}
\textbf{Affirmation 2:} & Il y a $7\,5\%$ de chances que le coureur ne soit pas dopé.\end{tabularx}

\item On choisit un coureur au hasard parmi les $200$~coureurs testés.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{} l @{~} X}
\textbf{Affirmation 3:}&La probabilité que le coureur soit concerné par une erreur de test est égale à $8,5\,\%$.
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item  Au tennis, un SERVICE peut être réussi ou manqué. Une joueuse de tennis s'entraîne à faire des services. On admet que :

\begin{itemize}
\item la probabilité que son service soit réussi est égale à 0,9.
\item les services sont indépendants les uns des autres.
\end{itemize}

La joueuse fait deux services.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{} l @{~} X}
\textbf{Affirmation 4 :} La probabilité qu'exactement un service soit réussi sur les deux est égale à 0,09 .
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{document}