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%Tapuscrit : François Kriegk
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  2016}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2016~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OBLIGATOIRE OPTIONNELLE}

\bigskip

\textbf{Notations}

\end{center}

Les lettres $\R$ et $\N$ désignent respectivement les ensembles des réels et des entiers naturels.

La lettre e désigne la constante de Neper et l'application qui à $x$ associe $\text{e}^x$ désigne
l'exponentielle de base e.

Le nombre i désigne le nombre complexe défini par $\text{2}^2 = - 1$.

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\textbf{\large Question 1}

\medskip

Soient deux suites $u$ et $v$ vérifiant pour tout $n \in \N$ :

\[0 \leqslant u_n \leqslant v_n \leqslant 2u_n.\]

\medskip

\textbf{A.}  Si pour tout $n \in \N$,\: $0 < u_n < 1$, alors la suite $v$ converge.

\textbf{B.}  Si la suite $u$ converge, alors la suite $v$ converge.

\textbf{C.}  Si pour tout $n \in \N$,\: $0 < u_n < 1$, alors la suite $u$ converge.

\textbf{D.}  Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = + \infty$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = + \infty$.

\bigskip

\textbf{\large Question 2}

\medskip

L'équation réduite de la tangente en $-1$ à la courbe représentative de la fonction définie sur $\R$
par $f(x) = \text{e}^{x^3 + x^2}$ est:

\medskip

\textbf{A.}  $3x-3y+6 = 0$

\textbf{A.}  $y = x + 2$

\textbf{A.}  $y = x - 2$

\textbf{A.}  $- 2x + 2y + 4 = 0$

\bigskip

\textbf{\large Question 3}

\medskip
La valeur moyenne $M$ de la fonction $f :\: x \longmapsto  x^3 + x^2 - x + 1$ sur $[-1~;~2]$ est:

\medskip

\textbf{A.}  $M=3$

\textbf{B.}  $M=5$

\textbf{C.}  $M = \dfrac{33}{4}$

\textbf{D.}  $M = \dfrac{11}{4}$

\bigskip

\textbf{\large Question 4}

\medskip

Une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x) = x\text{e}^{- x}$ est :

\medskip

\textbf{A.}  $F(x) = x\text{e}^{- x}$

\textbf{B.}  $F(x) = - x\text{e}^{- x}$

\textbf{C.}  $F(x) = (- x - 1 + 2\text{e}^{x})\text{e}^{- x}$

\textbf{D.}  $F(x) = (- x + 1)\text{e}^{- x}$

\bigskip

\textbf{\large Question 5}

\medskip


Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $I = [a~;~b]$.

\medskip

\textbf{A.}  Si pour tout réel $x$ de $I$ , on a $f(x) = g(x)$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$

\textbf{B.}  Si $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$, alors pour tout réel $x$ de $I$ , on a $f(x) = g(x)$

\textbf{C.}  Si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) < g(x)$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$

\textbf{D.}  Si $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x \geqslant  \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$ alors pour tout réel x de 1 , on a $f(x) \geqslant g(x)$

\bigskip

\textbf{\large Question 6}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$. par $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a < 0$ et
$b^2 - 4ac > 0$. Soit $S$ l'aire de la surface sous l'arche parabolique, comprise entre la droite
d'équation $y = 0$ et la courbe représentative de $f$.

\medskip

\textbf{A.} $S$ vaut le tiers de sa base multipliée par la hauteur de l'arche.

\textbf{B.} $S$ vaut la moitié de sa base multipliée par la hauteur de l'arche.

\textbf{C.} $S$ vaut les deux tiers de sa base multipliée par la hauteur de l'arche.

\textbf{D.} $S$ vaut les trois quarts de sa base multipliée par la hauteur de l'arche.


\bigskip

\textbf{\large Question 7}

\medskip

Soit $z = - \sqrt{3} + \text{i}$.

\medskip

\textbf{A.} $z^{\np{2013}}$ est un imaginaire pur

\textbf{B.} $z^{\np{2014}}$ est un imaginaire pur

\textbf{C.} $z^{\np{2015}}$ est un réel

\textbf{D.} $z^{\np{2016}}$ est un réel

\bigskip

\textbf{\large Question 8}

\medskip

L'ensemble S des solutions dans $\C$ de l'équation $\dfrac{z - 8}{z - 3} = z$ est

\medskip

\textbf{A.} $S = \{2 + 2\text{i}\}$

\textbf{B.} $S ={2 - 2\text{i}}$

\textbf{C.} $S={2 + 2\text{i}~;~- 2 + 2\text{i}}$

\textbf{D.} $S = \emptyset $

\bigskip

\textbf{\large Question 9}

\medskip

Soient A, B et O les points d'affixes respectives 1, i et 0. L'ensemble des points $M$
d'affixe $z$ vérifiant $|z-1| = \left|\overline{z} + \text{i}\right|$ est

\medskip

\textbf{A.} la droite (AB)

\textbf{B.} la médiatrice du segment [AB]

\textbf{C.} le cercle de centre O et de rayon 1

\textbf{D.} le cercle de diamètre [AB]


\bigskip

\textbf{\large Question 10}

\medskip

Soient les points A(2~;~0~;~3) et B$(- 1~;~2~;~0)$, et la droite $(D)$ de représentation paramétrique :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&4 + 2u\\
y&=&1 - u\\
z&=&-2 + u
\end{array}\right. ,u \in \R\]

\medskip

\textbf{A.} Les droites (AB) et $(D)$ ne sont pas coplanaires

\textbf{B.} Les droites (AB) et $(D)$ sont coplanaires

\textbf{C.} Les droites (AB) et $(D)$ sont sécantes

\textbf{D.} Les droites (AB) et $(D)$ sont parallèles

\bigskip

\textbf{\large Question 11}

\medskip


SABDC est une pyramide de base carrée ABDC. Les points I , J et K sont les milieux
respectifs des segments [SA], [SB] et  BD] , et O désigne le centre du carré ABDC.

\medskip

\textbf{A.} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{A}M} = t\vect{\text{IJ}}$,\: $t \in \R$ est la droite (AD)

\textbf{B.} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{J}M} = u\vect{\text{SD}}$,\: $u \in \R$. est la droite (JK)

\textbf{C.} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{B}M} = k\vect{\text{SA}}$,\: $k \in \R$ est la droite (BJ)

\textbf{D.} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{O}M} = x\vect{\text{SB}} + y\vect{\text{SC}}$,\: $x \in \R$ et $y \in \R$ est le plan (ABC)

\bigskip

\textbf{\large Question 12}

\medskip

\textbf{A.} Si deux droites de l'espace sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont  parallèles entre elles.

\textbf{B.} Si deux droites de l'espace sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles
entre elles.

\textbf{C.} Si deux droites de l'espace sont parallèles, elles admettent une droite perpendiculaire
à elles deux.

\textbf{D.} Si deux. droites de l'espace sont parallèles à une même troisième, les trois droites sont
coplanaires.

\bigskip

\textbf{\large Question 13}

\medskip

Soit $X$ une variable aléatoire qui prend des valeurs positives. On suppose que :
\[P(1 \leqslant  X \leqslant 3) = \dfrac{3}{8}.\]

Si $X$ suit une loi uniforme sur $[0~;~N]$, alors on a :

\medskip

\textbf{A.} $N = 5,3$

\textbf{B.} $N = 8$

\textbf{C.} $N = \dfrac{6}{8}$

\textbf{D.} $N = \dfrac{16}{3}$

\bigskip

\textbf{\large Question 14}

\medskip

Soit $X$ une variable aléatoire qui prend des valeurs positives. On suppose que :
\[P(1 < X < 3) = \dfrac{3}{8}.\]

Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$, alors :

\medskip

\textbf{A.}  $\lambda = - \ln 2$

\textbf{B.} $\lambda$ prend deux valeurs dont la valeur $\ln 2$

\textbf{C.} $\lambda = \ln \left(\dfrac{\sqrt{13} + 1}{4}\right)$

\textbf{D.} Il n'existe pas de tel $\lambda$.

\bigskip

\textbf{\large Question 15}

\medskip

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance 10 et de variance 8. Si $X$ suit une loi binomiale
de paramètre $n$ et $p$ , alors :

\medskip

\textbf{A.}  $n = 20$ et $p = 0,5$

\textbf{B.}  $n = 25$ et $p=0,4$

\textbf{C.}  $n = 40$ et $p = 0,25$

\textbf{D.}  $n = 50$ et $p= 0,2$

\vspace{1cm}

\begin{center}

\textbf{\Large ÉPREUVE OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES}

\medskip

\textbf{Questions liées :}

1 à 7

8 à 10

12 à 14

17 à 19

20 à 25

\bigskip

\textbf{PARTIE 1}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Nous rappelons que  $\text{e}^{\text{i}x} = \cos x + \text{i}\sin x$ où i désigne le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$ et $x$ est un nombre réel.\\
Si $a$ est un nombre complexe, $|a|$ désigne le module de $a$ et arg$(a) = \theta\,[2\pi]$ son argument à $2k\pi$ près, $k$ étant un nombre entier relatif.\\
Autrement dit, arg $(a) = 0 + 2k\pi$.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

On en déduit que :

\medskip

\textbf{Question 1 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\cos x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} + \text{e}^{-\text{i}x}}{2}$
\item $\cos x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} - \text{e}^{-\text{i}x}}{2}$
\item $\cos x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} + \text{e}^{-\text{i}x}}{2\text{i}}$
\item $\cos x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} - \text{e}^{-\text{i}x}}{2\text{i}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 2 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\sin x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} + \text{e}^{-\text{i}x}}{2}$
\item $\sin x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} - \text{e}^{-\text{i}x}}{2}$
\item $\sin x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} + \text{e}^{-\text{i}x}}{2\text{i}}$
\item $\sin x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} - \text{e}^{-\text{i}x}}{2\text{i}}$.
\end{enumerate}

\medskip

On démontre alors que:

\medskip

\textbf{Question 3 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $1 + \text{e}^{\text{i}x} = \left(\cos \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$
\item $1 + \text{e}^{\text{i}x} = - 2\text{i}\left(\sin \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$
\item $1 + \text{e}^{\text{i}x} = 2\left(\cos \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$
\item $1 + \text{e}^{\text{i}x} = 2\text{i}\left(\sin \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 4 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $1 - \text{e}^{\text{i}x} = \left(\cos \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$
\item $1 - \text{e}^{\text{i}x} = - 2\text{i}\left(\sin \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$
\item $1 - \text{e}^{\text{i}x} = 2\left(\cos \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$
\item $1 - \text{e}^{\text{i}x} = 2\text{i}\left(\sin \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$.
\end{enumerate}

\medskip

On en déduit que:

\medskip

\textbf{Question 5 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\left|1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}  \right| = 1$ et  et arg $\left(1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{6}\quad [2\pi]$
\item $\left|1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}  \right| = \sqrt{3}$ et  et arg $\left(1  + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)\equiv \dfrac{\pi}{6}\quad [2\pi]$
\item $\left|1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}  \right| = \sqrt{3}$ et  et arg $\left(1  + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{3}\quad [2\pi]$
\item $\left|1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}  \right| = 1$ et  et arg $\left(1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{3}\quad [2\pi]$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 6 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\left|1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right| = 2\cos \frac{\pi}{8}$ et  et arg $\left(1 -\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$
\item $\left|1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right| = 2\sin \frac{\pi}{8}$ et  et arg $\left(1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$
\item $\left|1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right| = 2\sin \frac{\pi}{8}$ et  et arg $\left(1 -\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right) \equiv - \dfrac{3\pi}{8}\quad [2\pi]$
\item $\left|1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right| = 2\cos \frac{\pi}{8}$ et  et arg $\left(1 -\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right) \equiv -\dfrac{3\pi}{8}\quad [2\pi]$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 7 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\left|2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right| = 4\cos \dfrac{\pi}{8}$  et arg$\left(2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right) = - \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$
\item $\left|2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right| = 2\sin \dfrac{\pi}{8}$  et arg$\left(2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right) = - \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$
\item $\left|2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right| = 4\cos \dfrac{\pi}{8}$  et arg$\left(2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right) = - \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$
\item $\left|2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right| = 4\cos \dfrac{\pi}{8}$  et arg$\left(2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right) = - \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}

\textbf{PARTIE II}

\end{center}

\textbf{Question 8 :} l'équation $6x^2 - x -1 = 0$ admet pour solutions les nombres :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\dfrac{1}{3}$ et $- \dfrac{1}{2}$
\item $\dfrac{1}{4}$ et $- \dfrac{1}{2}$
\item $- \dfrac{1}{4}$ et $- \dfrac{1}{2}$
\item $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 9 :} $x$ est solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$ si est seulement si :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $x \in  \left]- \infty~;~- \dfrac{1}{2}\right[ \cup \left[\dfrac{1}{3}~;~+ \infty \right[$.
\item $x \in \left]- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{3}\right[$.
\item $x \in \left[- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{3}\right]$.
\item $x \in \left]- \infty~;~- \dfrac{1}{3}\right[ \cup \left[\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 10 :} on choisit au hasard un nombre réel $x$ dans l'intervalle $[-1~;~0]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La probabilité que ce nombre $x$ soit solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$ est 
$\dfrac{1}{3}$.
\item La probabilité que ce nombre $x$ soit solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$ est $\dfrac{2}{3}$.
\item La probabilité que ce nombre $x$ soit solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$ est $\dfrac{1}{2}$.
\item Avec les données que nous avons, nous ne pouvons pas calculer la probabilité que ce
nombre $x$ soit solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PARTIE III}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{A}}\\

On considère la suite entière $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4}$\\
et la suite entière $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ telle que : $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 3}$.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 11 :} on démontre que :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ n'est pas définie pour certaines valeurs de $n$
\item $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est une suite de termes positifs,
\item $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ est définie pour tous les nombres entiers $n$.
\item $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ n'est pas définie pour certaines valeurs de $n$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 12 :} $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ est une suite :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  arithmétique de raison : $\dfrac{1}{5}$
\item arithmétique de raison : $\dfrac{4}{5}$
\item géométrique de raison : $\dfrac{4}{5}$
\item géométrique de raison : $\dfrac{1}{5}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 13 :} nous avons donc :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $v_n = \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n$
\item $v_n = \left(- \dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{3}{5}\right)^n$
\item $v_n = \left(- \dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{2}{5}\right)^n$
\item $v_n = \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{4}{5}\right)^n$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 14 :} on en déduit que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$ car :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $u_n = \dfrac{\left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 1}{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$
\item $u_n = \dfrac{- \left(\dfrac{3}{5}\right)^n + 1}{1 + \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$
\item $u_n = \dfrac{\left(\dfrac{2}{5}\right)^n + 1}{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$
\item $u_n = \dfrac{-\left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 1}{1 + \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{B}}\\
On considère la suite entière $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie par $u_n = \dfrac{- 2n}{n + 5}$.\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 15 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n 2$
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = - 3$
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = - 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 16 :}on cherche les nombres entiers $n$ qui vérifient: $\left|u_n + 2\right| \leqslant 10^{-4}$. On trouve :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $n \leqslant \np{99995}$
\item $n \geqslant \np{29995}$
\item $n \leqslant \np{9995}$
\item $n \geqslant \np{99995}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE IV}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
La température de refroidissement d'un objet initialement à la température de 220~\degres c est une fonction du temps que l'on note $f(t)$, l'unité de temps étant l'heure.\\
Cette fonction vérifie l'équation différentielle : $f'(t) + \dfrac{1}{2}f(t) = 10$.\\
On donne de plus : $\ln (0,15) \approx - 1,89$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 17 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $f$ définie par $f(t) = 400\text{e}^{ - \frac{t}{2}}  + 20$ répond au modèle.
\item La fonction $f$ définie par $f(t) = 200\text{e}^{ - \frac{t}{2}} + 20$ répond au modèle.
\item La fonction $f$ définie par $f(t) = 100\text{e}^{ - \frac{t}{2}} + 20$ répond au modèle.
\item La fonction $f$ définie par $f(t) = 300\text{e}^{ - \frac{t}{2}} + 20$ répond au modèle.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 18 :} sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $f$ qui répond au modèle décroît de 220 vers 20.
\item La fonction $f$ qui répond au modèle croît de 0 vers 220 .
\item La fonction $f$ qui répond au modèle est strictement monotone.
\item La fonction $f$ qui répond au modèle et n'est pas strictement monotone.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 19 :} la température de l'objet est de 50~\degres C au bout de :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  3 heures et 78 minutes, arrondi à la minute par excès
\item 3,78 heures
\item 3 heures et 47 minutes, arrondi à la minute par excès
\item 3,47 heures.
\end{enumerate}

\begin{center}

\textbf{PARTIE V}

\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On considère l'intégrale $I$ définie par $I = \displaystyle\int_0^1  \text{e}^{-t^2}\:\text{d}t$  ainsi que les fonctions $h$ et $g$ définies sur l'intervalle $[-1~;~0]$ par $h(x) = \text{e}^x - 1 -x$ et $g(x) = h(x) - \dfrac{1}{2} x^2$.\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 20 :} sur l'intervalle $[-1~;~0]$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $h$ est croissante
\item La fonction $h$ est décroissante
\item $h(x) \leqslant 0$
\item $ h(x)\geqslant 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 21 :} on en déduit que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~0]$ :

\begin{enumerate}
\item La fonction $g$ est croissante.
\item La fonction $g$ est décroissante.
\item $g(x) \leqslant 0$.
\item $g(x) \geqslant 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 22 :} on déduit que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~0]$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $1 + x  \leqslant \text{e}^x$.
\item $1 + x + x^2  \leqslant \text{e}^x$
\item $\text{e}^x \leqslant 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$.
\item $\text{e}^x \leqslant 1 + x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 23 :} on déduit alors que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$  :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $1 + x^2 \leqslant \text{e}^x \leqslant 1 + x^2 + \dfrac{x^4}{2}$
\item $1 + x^2 + \dfrac{x^4}{2} \leqslant \text{e}^x \leqslant 1 + x^2$
\item $1 - x^2 \leqslant \text{e}^{-x^2} \leqslant 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{2}$
\item $1 - x^2 + \dfrac{x^4}{2} \leqslant \text{e}^{-x^2} \leqslant 1 - x^2$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 24 :} on déduit aussi que :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\dfrac{2}{3} \leqslant  \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{5}$
\item $\dfrac{2}{3} \leqslant  \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{10}$
\item $\dfrac{4}{3} \leqslant  \dfrac{23}{15}$
\item $\dfrac{23}{15} \leqslant I \leqslant \dfrac{5}{3}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 25 :} on en déduit une valeur approchée de $I$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $I \approx \dfrac{23}{30}$ à + ou $- 0,1$ près
\item $I \approx \dfrac{43}{60}$ à + ou $- 0,05$ près
\item $I \approx \dfrac{43}{30}$ à + ou $- 0,1$ près
\item $I \approx \dfrac{24}{15}$ à + ou $- 0,05$ près.
\end{enumerate}
\end{document}