\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Kriegk \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2016} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2016~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OBLIGATOIRE OPTIONNELLE} \bigskip \textbf{Notations} \end{center} Les lettres $\R$ et $\N$ désignent respectivement les ensembles des réels et des entiers naturels. La lettre e désigne la constante de Neper et l'application qui à $x$ associe $\text{e}^x$ désigne l'exponentielle de base e. Le nombre i désigne le nombre complexe défini par $\text{2}^2 = - 1$. \vspace{0,5cm} \bigskip \textbf{\large Question 1} \medskip Soient deux suites $u$ et $v$ vérifiant pour tout $n \in \N$ : \[0 \leqslant u_n \leqslant v_n \leqslant 2u_n.\] \medskip \textbf{A.} Si pour tout $n \in \N$,\: $0 < u_n < 1$, alors la suite $v$ converge. \textbf{B.} Si la suite $u$ converge, alors la suite $v$ converge. \textbf{C.} Si pour tout $n \in \N$,\: $0 < u_n < 1$, alors la suite $u$ converge. \textbf{D.} Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = + \infty$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = + \infty$. \bigskip \textbf{\large Question 2} \medskip L'équation réduite de la tangente en $-1$ à la courbe représentative de la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{x^3 + x^2}$ est: \medskip \textbf{A.} $3x-3y+6 = 0$ \textbf{A.} $y = x + 2$ \textbf{A.} $y = x - 2$ \textbf{A.} $- 2x + 2y + 4 = 0$ \bigskip \textbf{\large Question 3} \medskip La valeur moyenne $M$ de la fonction $f :\: x \longmapsto x^3 + x^2 - x + 1$ sur $[-1~;~2]$ est: \medskip \textbf{A.} $M=3$ \textbf{B.} $M=5$ \textbf{C.} $M = \dfrac{33}{4}$ \textbf{D.} $M = \dfrac{11}{4}$ \bigskip \textbf{\large Question 4} \medskip Une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x) = x\text{e}^{- x}$ est : \medskip \textbf{A.} $F(x) = x\text{e}^{- x}$ \textbf{B.} $F(x) = - x\text{e}^{- x}$ \textbf{C.} $F(x) = (- x - 1 + 2\text{e}^{x})\text{e}^{- x}$ \textbf{D.} $F(x) = (- x + 1)\text{e}^{- x}$ \bigskip \textbf{\large Question 5} \medskip Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $I = [a~;~b]$. \medskip \textbf{A.} Si pour tout réel $x$ de $I$ , on a $f(x) = g(x)$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$ \textbf{B.} Si $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$, alors pour tout réel $x$ de $I$ , on a $f(x) = g(x)$ \textbf{C.} Si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) < g(x)$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$ \textbf{D.} Si $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x \geqslant \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$ alors pour tout réel x de 1 , on a $f(x) \geqslant g(x)$ \bigskip \textbf{\large Question 6} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$. par $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a < 0$ et $b^2 - 4ac > 0$. Soit $S$ l'aire de la surface sous l'arche parabolique, comprise entre la droite d'équation $y = 0$ et la courbe représentative de $f$. \medskip \textbf{A.} $S$ vaut le tiers de sa base multipliée par la hauteur de l'arche. \textbf{B.} $S$ vaut la moitié de sa base multipliée par la hauteur de l'arche. \textbf{C.} $S$ vaut les deux tiers de sa base multipliée par la hauteur de l'arche. \textbf{D.} $S$ vaut les trois quarts de sa base multipliée par la hauteur de l'arche. \bigskip \textbf{\large Question 7} \medskip Soit $z = - \sqrt{3} + \text{i}$. \medskip \textbf{A.} $z^{\np{2013}}$ est un imaginaire pur \textbf{B.} $z^{\np{2014}}$ est un imaginaire pur \textbf{C.} $z^{\np{2015}}$ est un réel \textbf{D.} $z^{\np{2016}}$ est un réel \bigskip \textbf{\large Question 8} \medskip L'ensemble S des solutions dans $\C$ de l'équation $\dfrac{z - 8}{z - 3} = z$ est \medskip \textbf{A.} $S = \{2 + 2\text{i}\}$ \textbf{B.} $S ={2 - 2\text{i}}$ \textbf{C.} $S={2 + 2\text{i}~;~- 2 + 2\text{i}}$ \textbf{D.} $S = \emptyset $ \bigskip \textbf{\large Question 9} \medskip Soient A, B et O les points d'affixes respectives 1, i et 0. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z-1| = \left|\overline{z} + \text{i}\right|$ est \medskip \textbf{A.} la droite (AB) \textbf{B.} la médiatrice du segment [AB] \textbf{C.} le cercle de centre O et de rayon 1 \textbf{D.} le cercle de diamètre [AB] \bigskip \textbf{\large Question 10} \medskip Soient les points A(2~;~0~;~3) et B$(- 1~;~2~;~0)$, et la droite $(D)$ de représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&4 + 2u\\ y&=&1 - u\\ z&=&-2 + u \end{array}\right. ,u \in \R\] \medskip \textbf{A.} Les droites (AB) et $(D)$ ne sont pas coplanaires \textbf{B.} Les droites (AB) et $(D)$ sont coplanaires \textbf{C.} Les droites (AB) et $(D)$ sont sécantes \textbf{D.} Les droites (AB) et $(D)$ sont parallèles \bigskip \textbf{\large Question 11} \medskip SABDC est une pyramide de base carrée ABDC. Les points I , J et K sont les milieux respectifs des segments [SA], [SB] et BD] , et O désigne le centre du carré ABDC. \medskip \textbf{A.} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{A}M} = t\vect{\text{IJ}}$,\: $t \in \R$ est la droite (AD) \textbf{B.} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{J}M} = u\vect{\text{SD}}$,\: $u \in \R$. est la droite (JK) \textbf{C.} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{B}M} = k\vect{\text{SA}}$,\: $k \in \R$ est la droite (BJ) \textbf{D.} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{O}M} = x\vect{\text{SB}} + y\vect{\text{SC}}$,\: $x \in \R$ et $y \in \R$ est le plan (ABC) \bigskip \textbf{\large Question 12} \medskip \textbf{A.} Si deux droites de l'espace sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles entre elles. \textbf{B.} Si deux droites de l'espace sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles. \textbf{C.} Si deux droites de l'espace sont parallèles, elles admettent une droite perpendiculaire à elles deux. \textbf{D.} Si deux. droites de l'espace sont parallèles à une même troisième, les trois droites sont coplanaires. \bigskip \textbf{\large Question 13} \medskip Soit $X$ une variable aléatoire qui prend des valeurs positives. On suppose que : \[P(1 \leqslant X \leqslant 3) = \dfrac{3}{8}.\] Si $X$ suit une loi uniforme sur $[0~;~N]$, alors on a : \medskip \textbf{A.} $N = 5,3$ \textbf{B.} $N = 8$ \textbf{C.} $N = \dfrac{6}{8}$ \textbf{D.} $N = \dfrac{16}{3}$ \bigskip \textbf{\large Question 14} \medskip Soit $X$ une variable aléatoire qui prend des valeurs positives. On suppose que : \[P(1 < X < 3) = \dfrac{3}{8}.\] Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$, alors : \medskip \textbf{A.} $\lambda = - \ln 2$ \textbf{B.} $\lambda$ prend deux valeurs dont la valeur $\ln 2$ \textbf{C.} $\lambda = \ln \left(\dfrac{\sqrt{13} + 1}{4}\right)$ \textbf{D.} Il n'existe pas de tel $\lambda$. \bigskip \textbf{\large Question 15} \medskip Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance 10 et de variance 8. Si $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n$ et $p$ , alors : \medskip \textbf{A.} $n = 20$ et $p = 0,5$ \textbf{B.} $n = 25$ et $p=0,4$ \textbf{C.} $n = 40$ et $p = 0,25$ \textbf{D.} $n = 50$ et $p= 0,2$ \vspace{1cm} \begin{center} \textbf{\Large ÉPREUVE OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES} \medskip \textbf{Questions liées :} 1 à 7 8 à 10 12 à 14 17 à 19 20 à 25 \bigskip \textbf{PARTIE 1} \end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Nous rappelons que $\text{e}^{\text{i}x} = \cos x + \text{i}\sin x$ où i désigne le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$ et $x$ est un nombre réel.\\ Si $a$ est un nombre complexe, $|a|$ désigne le module de $a$ et arg$(a) = \theta\,[2\pi]$ son argument à $2k\pi$ près, $k$ étant un nombre entier relatif.\\ Autrement dit, arg $(a) = 0 + 2k\pi$.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip On en déduit que : \medskip \textbf{Question 1 :} \medskip \begin{enumerate} \item $\cos x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} + \text{e}^{-\text{i}x}}{2}$ \item $\cos x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} - \text{e}^{-\text{i}x}}{2}$ \item $\cos x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} + \text{e}^{-\text{i}x}}{2\text{i}}$ \item $\cos x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} - \text{e}^{-\text{i}x}}{2\text{i}}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 2 :} \medskip \begin{enumerate} \item $\sin x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} + \text{e}^{-\text{i}x}}{2}$ \item $\sin x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} - \text{e}^{-\text{i}x}}{2}$ \item $\sin x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} + \text{e}^{-\text{i}x}}{2\text{i}}$ \item $\sin x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} - \text{e}^{-\text{i}x}}{2\text{i}}$. \end{enumerate} \medskip On démontre alors que: \medskip \textbf{Question 3 :} \medskip \begin{enumerate} \item $1 + \text{e}^{\text{i}x} = \left(\cos \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$ \item $1 + \text{e}^{\text{i}x} = - 2\text{i}\left(\sin \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$ \item $1 + \text{e}^{\text{i}x} = 2\left(\cos \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$ \item $1 + \text{e}^{\text{i}x} = 2\text{i}\left(\sin \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 4 :} \medskip \begin{enumerate} \item $1 - \text{e}^{\text{i}x} = \left(\cos \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$ \item $1 - \text{e}^{\text{i}x} = - 2\text{i}\left(\sin \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$ \item $1 - \text{e}^{\text{i}x} = 2\left(\cos \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$ \item $1 - \text{e}^{\text{i}x} = 2\text{i}\left(\sin \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$. \end{enumerate} \medskip On en déduit que: \medskip \textbf{Question 5 :} \medskip \begin{enumerate} \item $\left|1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \right| = 1$ et et arg $\left(1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{6}\quad [2\pi]$ \item $\left|1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \right| = \sqrt{3}$ et et arg $\left(1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)\equiv \dfrac{\pi}{6}\quad [2\pi]$ \item $\left|1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \right| = \sqrt{3}$ et et arg $\left(1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{3}\quad [2\pi]$ \item $\left|1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \right| = 1$ et et arg $\left(1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{3}\quad [2\pi]$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 6 :} \medskip \begin{enumerate} \item $\left|1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right| = 2\cos \frac{\pi}{8}$ et et arg $\left(1 -\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$ \item $\left|1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right| = 2\sin \frac{\pi}{8}$ et et arg $\left(1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$ \item $\left|1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right| = 2\sin \frac{\pi}{8}$ et et arg $\left(1 -\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right) \equiv - \dfrac{3\pi}{8}\quad [2\pi]$ \item $\left|1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right| = 2\cos \frac{\pi}{8}$ et et arg $\left(1 -\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right) \equiv -\dfrac{3\pi}{8}\quad [2\pi]$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 7 :} \medskip \begin{enumerate} \item $\left|2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right| = 4\cos \dfrac{\pi}{8}$ et arg$\left(2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right) = - \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$ \item $\left|2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right| = 2\sin \dfrac{\pi}{8}$ et arg$\left(2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right) = - \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$ \item $\left|2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right| = 4\cos \dfrac{\pi}{8}$ et arg$\left(2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right) = - \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$ \item $\left|2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right| = 4\cos \dfrac{\pi}{8}$ et arg$\left(2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right) = - \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$. \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{PARTIE II} \end{center} \textbf{Question 8 :} l'équation $6x^2 - x -1 = 0$ admet pour solutions les nombres : \medskip \begin{enumerate} \item $\dfrac{1}{3}$ et $- \dfrac{1}{2}$ \item $\dfrac{1}{4}$ et $- \dfrac{1}{2}$ \item $- \dfrac{1}{4}$ et $- \dfrac{1}{2}$ \item $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{2}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 9 :} $x$ est solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$ si est seulement si : \medskip \begin{enumerate} \item $x \in \left]- \infty~;~- \dfrac{1}{2}\right[ \cup \left[\dfrac{1}{3}~;~+ \infty \right[$. \item $x \in \left]- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{3}\right[$. \item $x \in \left[- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{3}\right]$. \item $x \in \left]- \infty~;~- \dfrac{1}{3}\right[ \cup \left[\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 10 :} on choisit au hasard un nombre réel $x$ dans l'intervalle $[-1~;~0]$. \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité que ce nombre $x$ soit solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$ est $\dfrac{1}{3}$. \item La probabilité que ce nombre $x$ soit solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$ est $\dfrac{2}{3}$. \item La probabilité que ce nombre $x$ soit solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$ est $\dfrac{1}{2}$. \item Avec les données que nous avons, nous ne pouvons pas calculer la probabilité que ce nombre $x$ soit solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PARTIE III} \end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{A}}\\ On considère la suite entière $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4}$\\ et la suite entière $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ telle que : $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 3}$.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 11 :} on démontre que : \medskip \begin{enumerate} \item $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ n'est pas définie pour certaines valeurs de $n$ \item $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est une suite de termes positifs, \item $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ est définie pour tous les nombres entiers $n$. \item $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ n'est pas définie pour certaines valeurs de $n$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 12 :} $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ est une suite : \medskip \begin{enumerate} \item arithmétique de raison : $\dfrac{1}{5}$ \item arithmétique de raison : $\dfrac{4}{5}$ \item géométrique de raison : $\dfrac{4}{5}$ \item géométrique de raison : $\dfrac{1}{5}$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 13 :} nous avons donc : \medskip \begin{enumerate} \item $v_n = \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n$ \item $v_n = \left(- \dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{3}{5}\right)^n$ \item $v_n = \left(- \dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{2}{5}\right)^n$ \item $v_n = \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{4}{5}\right)^n$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 14 :} on en déduit que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$ car : \medskip \begin{enumerate} \item $u_n = \dfrac{\left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 1}{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$ \item $u_n = \dfrac{- \left(\dfrac{3}{5}\right)^n + 1}{1 + \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$ \item $u_n = \dfrac{\left(\dfrac{2}{5}\right)^n + 1}{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$ \item $u_n = \dfrac{-\left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 1}{1 + \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$ \end{enumerate} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{B}}\\ On considère la suite entière $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie par $u_n = \dfrac{- 2n}{n + 5}$.\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 15 :} \medskip \begin{enumerate} \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$ \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n 2$ \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = - 3$ \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = - 1$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 16 :}on cherche les nombres entiers $n$ qui vérifient: $\left|u_n + 2\right| \leqslant 10^{-4}$. On trouve : \medskip \begin{enumerate} \item $n \leqslant \np{99995}$ \item $n \geqslant \np{29995}$ \item $n \leqslant \np{9995}$ \item $n \geqslant \np{99995}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE IV} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline La température de refroidissement d'un objet initialement à la température de 220~\degres c est une fonction du temps que l'on note $f(t)$, l'unité de temps étant l'heure.\\ Cette fonction vérifie l'équation différentielle : $f'(t) + \dfrac{1}{2}f(t) = 10$.\\ On donne de plus : $\ln (0,15) \approx - 1,89$.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Question 17 :} \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $f$ définie par $f(t) = 400\text{e}^{ - \frac{t}{2}} + 20$ répond au modèle. \item La fonction $f$ définie par $f(t) = 200\text{e}^{ - \frac{t}{2}} + 20$ répond au modèle. \item La fonction $f$ définie par $f(t) = 100\text{e}^{ - \frac{t}{2}} + 20$ répond au modèle. \item La fonction $f$ définie par $f(t) = 300\text{e}^{ - \frac{t}{2}} + 20$ répond au modèle. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 18 :} sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ : \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $f$ qui répond au modèle décroît de 220 vers 20. \item La fonction $f$ qui répond au modèle croît de 0 vers 220 . \item La fonction $f$ qui répond au modèle est strictement monotone. \item La fonction $f$ qui répond au modèle et n'est pas strictement monotone. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 19 :} la température de l'objet est de 50~\degres C au bout de : \medskip \begin{enumerate} \item 3 heures et 78 minutes, arrondi à la minute par excès \item 3,78 heures \item 3 heures et 47 minutes, arrondi à la minute par excès \item 3,47 heures. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PARTIE V} \end{center} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On considère l'intégrale $I$ définie par $I = \displaystyle\int_0^1 \text{e}^{-t^2}\:\text{d}t$ ainsi que les fonctions $h$ et $g$ définies sur l'intervalle $[-1~;~0]$ par $h(x) = \text{e}^x - 1 -x$ et $g(x) = h(x) - \dfrac{1}{2} x^2$.\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 20 :} sur l'intervalle $[-1~;~0]$ : \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $h$ est croissante \item La fonction $h$ est décroissante \item $h(x) \leqslant 0$ \item $ h(x)\geqslant 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 21 :} on en déduit que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~0]$ : \begin{enumerate} \item La fonction $g$ est croissante. \item La fonction $g$ est décroissante. \item $g(x) \leqslant 0$. \item $g(x) \geqslant 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 22 :} on déduit que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~0]$ : \medskip \begin{enumerate} \item $1 + x \leqslant \text{e}^x$. \item $1 + x + x^2 \leqslant \text{e}^x$ \item $\text{e}^x \leqslant 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$. \item $\text{e}^x \leqslant 1 + x$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 23 :} on déduit alors que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$ : \medskip \begin{enumerate} \item $1 + x^2 \leqslant \text{e}^x \leqslant 1 + x^2 + \dfrac{x^4}{2}$ \item $1 + x^2 + \dfrac{x^4}{2} \leqslant \text{e}^x \leqslant 1 + x^2$ \item $1 - x^2 \leqslant \text{e}^{-x^2} \leqslant 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{2}$ \item $1 - x^2 + \dfrac{x^4}{2} \leqslant \text{e}^{-x^2} \leqslant 1 - x^2$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 24 :} on déduit aussi que : \medskip \begin{enumerate} \item $\dfrac{2}{3} \leqslant \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{5}$ \item $\dfrac{2}{3} \leqslant \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{10}$ \item $\dfrac{4}{3} \leqslant \dfrac{23}{15}$ \item $\dfrac{23}{15} \leqslant I \leqslant \dfrac{5}{3}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 25 :} on en déduit une valeur approchée de $I$ : \medskip \begin{enumerate} \item $I \approx \dfrac{23}{30}$ à + ou $- 0,1$ près \item $I \approx \dfrac{43}{60}$ à + ou $- 0,05$ près \item $I \approx \dfrac{43}{30}$ à + ou $- 0,1$ près \item $I \approx \dfrac{24}{15}$ à + ou $- 0,05$ près. \end{enumerate} \end{document}