\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox,graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{pifont}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{scratch}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : François Kriegk
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {},
pdftitle = { 2014},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\thispagestyle{empty}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  2014}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2014~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE COMMUNE OBLIGATOIRE}

\bigskip

\textbf{\large QUESTIONS LIÉES}

1 à 7

8 à 11

12 à 14

15 à 25

\bigskip

\textbf{\large Notations}\end{center}

Les lettres $\R$ et $\N$ désignent respectivement les ensembles des réels et des entiers naturels.

\bigskip

\begin{center}\textbf{\large Partie I}\end{center}

En 2013, une forêt possède \np{10000} arbres. Dans le but d'entretenir cette forêt vieillissante,
l'office chargé de l'entretien décide de supprimer chaque année 5\,\% des arbres existants en les
abattant, et de replanter chaque année $600$ arbres. 

Soit $u_n$ le nombre d'arbres l'année $2013+n$.

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

On a :

\medskip

\textbf{A.~~} $u_0 = \np{10000}$

\textbf{B.~~} $u_0 = \np{10100}$

\textbf{C.~~} $u_1 =  \np{10195}$

\textbf{D.~~} $u_1 = \np{1100}$

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

La suite $u_n$ est définie par la relation de récurrence :

\medskip

\textbf{A.~~} $un+1 = 0,95 \cdot u_n - 600$

\textbf{B.~~} $un+1 = 0,05 \cdot u_n - 600$

\textbf{C.~~} $un+1 = 0,95 \cdot u_n + 600$

\textbf{D.~~} $un+1 = 0,05 \cdot u_n + 600$

\textbf{Question 3}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = u_n - \np{12000}$. La suite $v_n$

\medskip

\textbf{A.~~} est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et de premier terme $v_0 = - \np{2000}$

\textbf{B.~~} est une suite géométrique de raison $q = 0,05$ et de premier terme $v_0 = \np{2000}$

\textbf{C.~~} est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et de premier terme $v_0 = \np{2000}$

\textbf{D.~~} est une suite géométrique de raison $q = 0, 05$ et de premier terme $v_0 = - \np{2000}$

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

On en déduit:

\medskip

\textbf{A.~~} $u_n = \np{2000}\times 0,95^n + \np{12000}$

\textbf{B.~~} $u_n =-\np{2000}\times 0,05^n + \np{12000}$

\textbf{C.~~} $u_n = -\np{2000} \times 0,95^n + \np{12000}$

\textbf{D.~~} $u_n = \np{2000} \times 0,05^n + \np{12000}$

\bigskip

\textbf{Question 5}

\medskip

La suite $u_n$ est :

\medskip

\textbf{A.~~} croissante, majorée par \np{12000}

\textbf{B.~~} décroissante, majorée par \np{12000}

\textbf{C.~~} décroissante, minorée par \np{10000}

\textbf{D.~~} croissante, minorée par \np{10000}

\bigskip

\textbf{Question 6}

\medskip

On en déduit:

\medskip

\textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = \np{10000}$

\textbf{B.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = \np{9000}$

\textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = \np{12000}$

\textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = \np{11000}$

\bigskip

\textbf{Question 7}

\medskip

En 2020, la forêt comptera $M$ arbres, avec:

\medskip

\textbf{A.~~} $M = \np{2000} \times 0,95^7 + \np{12000}$

\textbf{B.~~} $M = \np{2000} \times 0,95^8 + \np{12000}$

\textbf{C.~~} $M= - \np{2000} \times 0,05^7 + \np{12000}$

\textbf{D.~~} $M= - \np{2000} \times 0,05^8+ \np{12000}$

\begin{center}\textbf{\large Partie II}\end{center}

\medskip

À la caisse d'un magasin, le temps d'attente exprimé en secondes d'un client pris au hasard
est modélisé par une variable aléatoire $T$, laquelle suit une loi exponentielle de paramètre
$\mu = 0,008$.

\bigskip

\textbf{Question 8}

\medskip

La probabilité $p_1$ que l'attente en caisse d'un client dure moins d'une minute est :

\medskip

\textbf{A.~~} $p_1 = 1 - \text{e}^{-0,008}$

\textbf{B.~~} $p_1 = 0,008 \cdot \text{e}^{-0,008}$

\textbf{C.~~} $p_1 = 1 - \text{e}^{-0,48}$

\textbf{D.~~} $p_1 = 0,48 \cdot  \text{e}^{-0,48}$

\bigskip

\textbf{Question 9}

\medskip

La probabilité $p_2$ que l'attente en caisse d'un client dure plus de $3$ minutes est:

\medskip

\textbf{A.~~} $p_2 = 1 - \text{e}^{- 0,024}$

\textbf{B.~~} $p_2 = 0,024 \cdot  \text{e}^{- 0,024}$

\textbf{C.~~} $p_2 =  1 - \text{e}^{1,44}$

\textbf{D.~~} $p_2 = \text{e}^{1,44}$

\bigskip

\textbf{Dans toute la suite, on utilisera 86,64 comme valeur approchée de $125 \ln (2)$.}

\bigskip

\textbf{Question 10}

\medskip

Le temps d'attente moyen $T_0$ en caisse est:

\medskip

\textbf{A.~~} $T_0 = 125$~min

\textbf{B.~~} $T_0 =  86$~min~39~s

\textbf{C.~~} $T_0 =  2$~min~05~s

\textbf{D.~~} $T_0 =  1$~min~26,64~s

\bigskip

\textbf{Question 11}

\medskip

Sachant que le temps médian $T_1$ correspond à $P\left(t > T_1\right) = 0,5$, on en déduit:

\medskip

\textbf{A.~~} $T_1 = 125$~min

\textbf{B.~~} $T_1 = 86$~min 39~s

\textbf{C.~~} $T_1 = 2$~min 05~s

\textbf{D.~~} $T_1 = 1$~min~26,64~s

\bigskip

\begin{center}\textbf{\large Partie III}\end{center}

\medskip

On se propose de déterminer une solution particulière de l'équation différentielle
(E) : $y'+ 2 y = x$ , où $y$ désigne une fonction de la variable $x$

\bigskip

\textbf{Question 12}

\medskip

L'équation différentielle homogène $\left(E_0\right) : \:y'+ 2y = 0$ admet pour solution générale :

\medskip

\textbf{A.~~} $y(x) = C\text{e}^{2x},\: C \in \R$

\textbf{B.~~} $y(x) = (2C - 1)\text{e}^{- 2x},\: C \in \R$

\textbf{C.~~} $y(x) = (5C + 3)\text{e}^{- 2x},\: C\in \R$

\textbf{D.~~} $y(x)= - 2x + C,\: C \in \R$

\bigskip

\textbf{Question 13}

\medskip

Une solution particulière de l'équation $(E)$ est $u(x)$, avec

\medskip

\textbf{A.~~} $u(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}$

\textbf{B.~~} $u(x)= - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}$

\textbf{C.~~} $u(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}$

\textbf{D.~~} $u(x) = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}$

\bigskip

\textbf{Question 14}

\medskip

En admettant que toute solution de $(E)$ est de la forme $\varphi(x) = u(x) + y(x)$, avec $y(x)$
solution de $\left(E_0\right)$, la solution $\varphi_0$ de $(E)$ vérifiant $\varphi_0(0) = \dfrac{3}{4}$ est :

\medskip

\textbf{A.~~} $\varphi_0(x) = \dfrac{1}{2}x+ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2x}$

\textbf{B.~~} $\varphi_0(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \text{e}^{- 2x}$

\textbf{C.~~} $\varphi_0(x) = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$

\textbf{D.~~} $\varphi_0(x) = -\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}+ \text{e}^{2x}$

\medskip

\begin{center}\textbf{\large Partie IV}\end{center}

\bigskip

\textbf{Question 15}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \text{e}^{- 2x}$, de courbe représentative $(\Gamma)$.

\medskip

\textbf{A.~~} La fonction $f$ est définie, continue et dérivable sur $\R_+$

\textbf{B.~~} La fonction $f$ est définie, continue et dérivable sur $\R_-$

\textbf{C.~~} La fonction $f$ est définie, continue et dérivable uniquement sur $R_-^{*}$

\textbf{D.~~} La fonction $f$ est définie, continue et dérivable uniquement sur $R_+^{*}$

\bigskip

\textbf{Question 16}

\medskip

On a :

\medskip

\textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$

\textbf{B.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$

\textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0^{-}$

\textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0^{+}$

\bigskip

\textbf{Question 17}

\medskip

En admettant que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{2x} = 0$, on obtient

\medskip

\textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0^{+}$

\textbf{B.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0^{-}$

\textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$

\textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$

\bigskip

\textbf{Question 18}

\medskip

Le calcul de la dérivée de $f$ nous donne

\medskip

\textbf{A.~~} $f(x) = - \left(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-2x}$

\textbf{B.~~} $f'(x) = - \dfrac{1}{2} - \text{e}^{-2x}$

\textbf{C.~~} $f'(x) = \dfrac{1}{2} - 2\text{e}^{-2x}$

\textbf{D.~~} $f'(x) = \left(- x + \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{-2x}$

\bigskip

\textbf{Question 19}

\medskip

L'équation $f'(x) = 0$ admet pour solution $\overline{x}$, avec

\medskip

\textbf{A.~~} $\overline{x}= \dfrac{1}{2}$

\textbf{B.~~} $\overline{x} = \dfrac{\ln (2)}{2}$

\textbf{C.~~} $\overline{x} = \ln (2)$

\textbf{D.~~} $\overline{x} = - \dfrac{1}{2}$

\bigskip

\textbf{Question 20}

\medskip

\textbf{A.~~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]- \infty~;~0[$

\textbf{B.~~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]- \infty~;~\ln (2)[$

\textbf{C.~~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]- \infty~;~1[$

\textbf{D.~~} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$

\bigskip

\textbf{Question 21}

\medskip

La tangente à $(\Gamma)$ en O est la droite $(T)$ d'équation

\medskip

\textbf{A.~~} $y = - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{3}{4}$

\textbf{B.~~} $y = - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{4}$

\textbf{C.~~} $y = - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{3}{4}$

\textbf{D.~~} $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}$

\bigskip

\textbf{Question 22}

\medskip

On considère la droite $(D)$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x \dfrac{1}{4}$

\medskip

\textbf{A.~~} La courbe $(\Gamma)$ est au dessous de $(D)$

\textbf{B.~~} La courbe $(\Gamma)$ est au dessus de $(D)$

\textbf{C.~~} Il existe $x_0 \in \R$ tel que si $x \in \left]- \infty~;~x_0\right[$, $(\Gamma)$ est au dessous de $(D)$ et au dessus sinon

\textbf{D.~~} Il existe $x_0 \in \R$ tel que si $x \in \left]- \infty~;~x_0\right[$, $(\Gamma)$ est au dessus de $(D)$ et au dessous sinon

\bigskip

\textbf{Question 23}

\medskip

Pour $m$ un nombre réel strictement supérieur à $\ln (2)$, on note $A(m)$ l'aire de la partie de plan
délimitée par la courbe $(\Gamma)$, la droite$ (D)$ et les droites d'équation $x = \ln (2)$ et $x = m$. On a :

\medskip

\textbf{A.~~} $A(m) = \displaystyle\int_m^{\ln (2)}\left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \text{e}^{-2x}\right)\:\text{d}x$

\textbf{B.~~} $A(m) = \displaystyle\int_{\ln (2)}^{m}\left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \text{e}^{-2x}\right)\:\text{d}x$

\textbf{C.~~} $A(m) = \displaystyle\int_m^{\ln (2)} \text{e}^{-2x}\:\text{d}x$

\textbf{D.~~} $A(m) = \displaystyle\int_m^{\ln (2)}\left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} \right)\:\text{d}x$

\bigskip

\textbf{Question 24}

\medskip

On en déduit que :

\textbf{A.~~} $A(m) = \dfrac{1}{4}\left[(\ln(2) + m - 1)(\ln (2) - m) + 2\text{e}^{- 2m} - \dfrac{1}{2}\right]$

\textbf{B.~~} $A(m) = \dfrac{1}{4}\left[(m -1 + \ln(2) )(m - \ln (2)) + \dfrac{1}{2} - \text{e}^{- 2m}\right]$

\textbf{C.~~} $A(m) = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{2} - 2\text{e}^{- 2m}\right]$

\textbf{D.~~} $A(m)= \dfrac{1}{4}[(\ln(2) + m - 1)(\ln (2) - m)]$

\bigskip

\textbf{Question 25}

\medskip

En faisant tendre $m$ vers l'infini, on obtient :

\medskip

\textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{m \to + \infty}  A(m) = + \infty$

\textbf{B.~~} $\displaystyle\lim_{m \to + \infty}  A(m) = - \infty$

\textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{m \to + \infty}  A(m) = 0$

\textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{m \to + \infty}  A(m) = \dfrac{1}{8}$

\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{center} \textbf{\Large ÉPREUVE OBLIGATOIRE OPTIONNELLE}

\bigskip

\textbf{\large Notations} \end{center}
.
Les lettres $\R$. et $\N$ désignent respectivement les ensembles des réels et des entiers naturels.

La lettre e désigne la constante de Neper et l'application qui à $x$ associe $\text{e}^x$ désigne
l'exponentielle de base e.

\bigskip

\begin{center}\textbf{\large Partie I1}\end{center}

\medskip

On dispose d'une grille à 3 lignes et 3 colonnes. Une machine $M_1$ place au hasard un jeton
dans une case de la grille, puis une machine $M_2$ place de même un jeton sur la grille dans une
case libre $e_i$, enfin une troisième machine $M_3$ place un jeton dans une case libre.

Soient les évènements suivants :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $H$ : \og Les 3 jetons sont alignés horizontalement \fg,
\item[$\bullet~~$] $V$ : \og Les 3 jetons sont alignés verticalement \fg,
\item[$\bullet~~$] $D$ : \og Les 3 jetons sont alignés en diagonale \fg,
\item[$\bullet~~$] $N$ : \og Les 3 jetons ne sont pas alignés \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

La probabilité de l'évènement $H$ vaut:

\textbf{A.~~} $p(H) = \dfrac{1}{27}$

\textbf{B.~~} $p(H)= \dfrac{1}{28}$

\medskip

La probabilité de l'évènement $V$ vaut :

\textbf{C.~~} $p(V) = \dfrac{1}{27}$

\textbf{D.~~} $p(V) = \dfrac{1}{18}$

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

La probabilité de l'évènement $D$ vaut :

\textbf{A.~~} $p(D)= \dfrac{1}{42}$

\textbf{B.~~} $p(D) = \dfrac{1}{63}$

\medskip

Ainsi, la probabilité de l'évènement $N$ vaut:

\textbf{C.~~} $P(N) = \dfrac{56}{63}$

\textbf{D.~~} $p(N) = \dfrac{19}{21}$
\bigskip

On considère la variable aléatoire $X$ définie par :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $X = 20$ lorsque $H$ ou $V$ est réalisé
\item[$\bullet~~$] $X = \alpha$ lorsque $D$ est réalisé
\item[$\bullet~~$] $X = - 2$ lorsque $N$ est réalisé
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

La valeur de $\alpha$ pour laquelle l'espérance de $X$ est nulle est:

\textbf{A.~~} $\alpha = 14$

\textbf{B.~~} $\alpha = 15$

\textbf{C.~~} $\alpha = 16$

\textbf{D.~~} $\alpha = 17$

\bigskip

On se place dans le cas où la machine $M_1$ est déréglée : elle place alors le premier jeton dans
un des coins de la grille.

Soit $\Delta$ l'évènement \og la machine $M_1$ est déréglée \fg.

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

La probabilité d'avoir IDl alignement horizontal est:

\textbf{A.~~} $p_{\Delta}(H) = \dfrac{1}{28}$

\textbf{B.~~} $p_{\Delta}(H) = \dfrac{1}{63}$

\textbf{C.~~} $p_{\Delta}(H) = \dfrac{9}{112}$

\textbf{D.~~} $p_{\Delta}(H) = \dfrac{3}{84}$

\bigskip

\textbf{Question 5}

\medskip

On a : 

\medskip

\textbf{A.~~} $p_{\Delta}(A) = \dfrac{1}{21}$

\textbf{B.~~} $p_{\Delta}(A) = \dfrac{3}{28}$

\textbf{C.~~} $p_{\Delta}(A) = \dfrac{3}{112}$

\textbf{D.~~} $p_{\Delta}(A) = \dfrac{3}{84}$

\bigskip

Dans toute la suite, on suppose que $p(\Delta) = \dfrac{1}{5}$.

\bigskip

\textbf{Question 6}

\medskip

On a : 

\textbf{A.~~} $p_{\left(\overline{A}\right)}(A) = \dfrac{20}{21}$

\textbf{B.~~} $p_{\left(\overline{A}\right)}(A) = \dfrac{19}{105}$

\textbf{C.~~} $p_{\left(\overline{A}\right)}(A) = \dfrac{19}{21}$

\textbf{D.~~} $p_{\left(\overline{A}\right)}(A) = \dfrac{76}{105}$

\bigskip

On ne sait pas lorsqu'on joue si la machine $M_1$ est en état de marche. On joue une partie et on
constate que les 3 jetons sont alignés.

\bigskip

\textbf{Question 7}

\medskip

La probabilité $p$ pour que la machine $M_1$ soit déréglée est alors de :

\textbf{A.~~} $p = \dfrac{41}{420}$

\textbf{B.~~} $p = \dfrac{3}{140}$

\textbf{C.~~} $p = \dfrac{1}{10}$

\textbf{D.~~} $p = \dfrac{9}{41}$

\bigskip

\begin{center}\textbf{\Large Partie II}\end{center}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \left(1 + \frac{1}{x} \right)\text{e}^{\frac{1}{x}}$.

\bigskip

\textbf{Question 8}

\medskip

\textbf{A.~~} La fonction $f$ est définie pour $x \in \R_+^{*}$

\textbf{B.~~} La fonction $f$ est définie pour $x \in \R_-^{*}$

\textbf{C.~~} La fonction $f$ est définie uniquement pour $x \in \R_+^{*}$

\textbf{D.~~} La fonction $f$ est définie uniquement pour $x \in \R_-^{*}$

\bigskip

\textbf{Question 9}

\medskip

Le calcul de la dérivée de $f$ donne :

\medskip

\textbf{A.~~} $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}$

\textbf{B.~~} $f'(x) = - \left(1 + \dfrac{1}{x} \right)\dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}$

\textbf{C.~~} $f'(x) = - \left(2 + \dfrac{1}{x} \right)\dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}$

\textbf{D.~~} $f'(x) = - \left(\dfrac{2x + 1}{x^3}\right)\text{e}^{\frac{1}{x}}$

\bigskip

\textbf{Question 10}

\medskip

\textbf{A.~~} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]- \infty~;~ 0[$ et décroissante sur $]0~;~ + \infty[$

\textbf{B.~~} La fonction $f$ est croissante sur I'intervalle $\left]1 - \text{e}^{-2}~;~1\right[$

\textbf{C.~~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$

\textbf{D.~~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]- \infty~;~- 1[$

\bigskip

\textbf{Question 11}

\medskip

\textbf{A.~~} La fonction $f$ est positive pour tout $x \in \R^{*}$

\textbf{B.~~} La fonction $f$ est positive pour $x \in \left]- \dfrac{1}{2}~;~0\right[$, et négative sinon

\textbf{C.~~} La fonction $f$ est positive pour $x \in \R_-^{*}$, et négative pour $x \in \R_+^{*}$

\textbf{D.~~} La fonction $f$ est négative pour $x \in \R_-^{*}$, et positive pour $x \in \R_+^{*}$

\bigskip

\begin{center}\textbf{\Large Partie III}\end{center}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f$, définie sur $\R$ par:

\[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{nx}\left( 1 + \text{e}^x\right)}.\]

On souhaite étudier la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie pour tout entier naturel $n$ par

\[u_n = \displaystyle\int_0^1  f_n(x)\:\text{d}.\]

\bigskip

\textbf{Question 12}

\medskip

On a :

\medskip

\textbf{A.~~} $u_0 = \text{e}$

\textbf{B.~~} $u_0 = \dfrac{\ln (1 + \text{e})}{2}$

\textbf{C.~~} $u_0 = 1 - \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2} \right)$

\textbf{D.~~} $u_0 = \ln (1 + \text{e}) - \ln (2)$

\bigskip

\textbf{Question 13}

\medskip

On montre

\medskip


\textbf{A.~~} $u_0 + u_1 = 1$

\textbf{B.~~} $u_0 + u_1 = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$

\textbf{C.~~} $u_0 + u_1 = 1 + \text{e}$

\textbf{D.~~} $u_0 + u_1 = 1 + \dfrac{1}{\text{e}}$

\bigskip

\textbf{Question 14}

\medskip

On  en déduit:

\textbf{A.~~} $u_1 = 1 + \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2}\right)$

\textbf{B.~~} $u_1 = 1 - \dfrac{1}{\text{e}} -  \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2}\right)$

\textbf{C.~~} $u_1 =  1 + \text{e} - \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2}\right)$

\textbf{D.~~} $u_1 =  1 + \dfrac{1}{\text{e}} - \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2}\right)$

\bigskip

\textbf{Question 15}

\medskip

On pose $k(x) = f_{n+1}(x) - f_n(x)$.

\medskip

\textbf{A.~~} La fonction $k$ est positive sur [0~;~1] , et de ce fait la suite 
$\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est croissante

\textbf{B.~~} La fonction $k$ est positive sur [0~;~1] et de ce fait la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est décroissante

\textbf{C.~~} La fonction $k$ est négative sur [0~;~1], et de ce fait la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est décroissante

\textbf{D.~~} La fonction $k$ est négative sur [0~;~1], et de ce fait la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est croissante
\end{document}