\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Kriegk \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = { 2014}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2014} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2014~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE COMMUNE OBLIGATOIRE} \bigskip \textbf{\large QUESTIONS LIÉES} 1 à 7 8 à 11 12 à 14 15 à 25 \bigskip \textbf{\large Notations}\end{center} Les lettres $\R$ et $\N$ désignent respectivement les ensembles des réels et des entiers naturels. \bigskip \begin{center}\textbf{\large Partie I}\end{center} En 2013, une forêt possède \np{10000} arbres. Dans le but d'entretenir cette forêt vieillissante, l'office chargé de l'entretien décide de supprimer chaque année 5\,\% des arbres existants en les abattant, et de replanter chaque année $600$ arbres. Soit $u_n$ le nombre d'arbres l'année $2013+n$. \bigskip \textbf{Question 1} \medskip On a : \medskip \textbf{A.~~} $u_0 = \np{10000}$ \textbf{B.~~} $u_0 = \np{10100}$ \textbf{C.~~} $u_1 = \np{10195}$ \textbf{D.~~} $u_1 = \np{1100}$ \bigskip \textbf{Question 2} \medskip La suite $u_n$ est définie par la relation de récurrence : \medskip \textbf{A.~~} $un+1 = 0,95 \cdot u_n - 600$ \textbf{B.~~} $un+1 = 0,05 \cdot u_n - 600$ \textbf{C.~~} $un+1 = 0,95 \cdot u_n + 600$ \textbf{D.~~} $un+1 = 0,05 \cdot u_n + 600$ \textbf{Question 3} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = u_n - \np{12000}$. La suite $v_n$ \medskip \textbf{A.~~} est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et de premier terme $v_0 = - \np{2000}$ \textbf{B.~~} est une suite géométrique de raison $q = 0,05$ et de premier terme $v_0 = \np{2000}$ \textbf{C.~~} est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et de premier terme $v_0 = \np{2000}$ \textbf{D.~~} est une suite géométrique de raison $q = 0, 05$ et de premier terme $v_0 = - \np{2000}$ \bigskip \textbf{Question 4} \medskip On en déduit: \medskip \textbf{A.~~} $u_n = \np{2000}\times 0,95^n + \np{12000}$ \textbf{B.~~} $u_n =-\np{2000}\times 0,05^n + \np{12000}$ \textbf{C.~~} $u_n = -\np{2000} \times 0,95^n + \np{12000}$ \textbf{D.~~} $u_n = \np{2000} \times 0,05^n + \np{12000}$ \bigskip \textbf{Question 5} \medskip La suite $u_n$ est : \medskip \textbf{A.~~} croissante, majorée par \np{12000} \textbf{B.~~} décroissante, majorée par \np{12000} \textbf{C.~~} décroissante, minorée par \np{10000} \textbf{D.~~} croissante, minorée par \np{10000} \bigskip \textbf{Question 6} \medskip On en déduit: \medskip \textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = \np{10000}$ \textbf{B.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = \np{9000}$ \textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = \np{12000}$ \textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = \np{11000}$ \bigskip \textbf{Question 7} \medskip En 2020, la forêt comptera $M$ arbres, avec: \medskip \textbf{A.~~} $M = \np{2000} \times 0,95^7 + \np{12000}$ \textbf{B.~~} $M = \np{2000} \times 0,95^8 + \np{12000}$ \textbf{C.~~} $M= - \np{2000} \times 0,05^7 + \np{12000}$ \textbf{D.~~} $M= - \np{2000} \times 0,05^8+ \np{12000}$ \begin{center}\textbf{\large Partie II}\end{center} \medskip À la caisse d'un magasin, le temps d'attente exprimé en secondes d'un client pris au hasard est modélisé par une variable aléatoire $T$, laquelle suit une loi exponentielle de paramètre $\mu = 0,008$. \bigskip \textbf{Question 8} \medskip La probabilité $p_1$ que l'attente en caisse d'un client dure moins d'une minute est : \medskip \textbf{A.~~} $p_1 = 1 - \text{e}^{-0,008}$ \textbf{B.~~} $p_1 = 0,008 \cdot \text{e}^{-0,008}$ \textbf{C.~~} $p_1 = 1 - \text{e}^{-0,48}$ \textbf{D.~~} $p_1 = 0,48 \cdot \text{e}^{-0,48}$ \bigskip \textbf{Question 9} \medskip La probabilité $p_2$ que l'attente en caisse d'un client dure plus de $3$ minutes est: \medskip \textbf{A.~~} $p_2 = 1 - \text{e}^{- 0,024}$ \textbf{B.~~} $p_2 = 0,024 \cdot \text{e}^{- 0,024}$ \textbf{C.~~} $p_2 = 1 - \text{e}^{1,44}$ \textbf{D.~~} $p_2 = \text{e}^{1,44}$ \bigskip \textbf{Dans toute la suite, on utilisera 86,64 comme valeur approchée de $125 \ln (2)$.} \bigskip \textbf{Question 10} \medskip Le temps d'attente moyen $T_0$ en caisse est: \medskip \textbf{A.~~} $T_0 = 125$~min \textbf{B.~~} $T_0 = 86$~min~39~s \textbf{C.~~} $T_0 = 2$~min~05~s \textbf{D.~~} $T_0 = 1$~min~26,64~s \bigskip \textbf{Question 11} \medskip Sachant que le temps médian $T_1$ correspond à $P\left(t > T_1\right) = 0,5$, on en déduit: \medskip \textbf{A.~~} $T_1 = 125$~min \textbf{B.~~} $T_1 = 86$~min 39~s \textbf{C.~~} $T_1 = 2$~min 05~s \textbf{D.~~} $T_1 = 1$~min~26,64~s \bigskip \begin{center}\textbf{\large Partie III}\end{center} \medskip On se propose de déterminer une solution particulière de l'équation différentielle (E) : $y'+ 2 y = x$ , où $y$ désigne une fonction de la variable $x$ \bigskip \textbf{Question 12} \medskip L'équation différentielle homogène $\left(E_0\right) : \:y'+ 2y = 0$ admet pour solution générale : \medskip \textbf{A.~~} $y(x) = C\text{e}^{2x},\: C \in \R$ \textbf{B.~~} $y(x) = (2C - 1)\text{e}^{- 2x},\: C \in \R$ \textbf{C.~~} $y(x) = (5C + 3)\text{e}^{- 2x},\: C\in \R$ \textbf{D.~~} $y(x)= - 2x + C,\: C \in \R$ \bigskip \textbf{Question 13} \medskip Une solution particulière de l'équation $(E)$ est $u(x)$, avec \medskip \textbf{A.~~} $u(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}$ \textbf{B.~~} $u(x)= - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}$ \textbf{C.~~} $u(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}$ \textbf{D.~~} $u(x) = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}$ \bigskip \textbf{Question 14} \medskip En admettant que toute solution de $(E)$ est de la forme $\varphi(x) = u(x) + y(x)$, avec $y(x)$ solution de $\left(E_0\right)$, la solution $\varphi_0$ de $(E)$ vérifiant $\varphi_0(0) = \dfrac{3}{4}$ est : \medskip \textbf{A.~~} $\varphi_0(x) = \dfrac{1}{2}x+ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2x}$ \textbf{B.~~} $\varphi_0(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \text{e}^{- 2x}$ \textbf{C.~~} $\varphi_0(x) = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$ \textbf{D.~~} $\varphi_0(x) = -\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}+ \text{e}^{2x}$ \medskip \begin{center}\textbf{\large Partie IV}\end{center} \bigskip \textbf{Question 15} \medskip Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \text{e}^{- 2x}$, de courbe représentative $(\Gamma)$. \medskip \textbf{A.~~} La fonction $f$ est définie, continue et dérivable sur $\R_+$ \textbf{B.~~} La fonction $f$ est définie, continue et dérivable sur $\R_-$ \textbf{C.~~} La fonction $f$ est définie, continue et dérivable uniquement sur $R_-^{*}$ \textbf{D.~~} La fonction $f$ est définie, continue et dérivable uniquement sur $R_+^{*}$ \bigskip \textbf{Question 16} \medskip On a : \medskip \textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$ \textbf{B.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$ \textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0^{-}$ \textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0^{+}$ \bigskip \textbf{Question 17} \medskip En admettant que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{2x} = 0$, on obtient \medskip \textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0^{+}$ \textbf{B.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0^{-}$ \textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$ \textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$ \bigskip \textbf{Question 18} \medskip Le calcul de la dérivée de $f$ nous donne \medskip \textbf{A.~~} $f(x) = - \left(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-2x}$ \textbf{B.~~} $f'(x) = - \dfrac{1}{2} - \text{e}^{-2x}$ \textbf{C.~~} $f'(x) = \dfrac{1}{2} - 2\text{e}^{-2x}$ \textbf{D.~~} $f'(x) = \left(- x + \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{-2x}$ \bigskip \textbf{Question 19} \medskip L'équation $f'(x) = 0$ admet pour solution $\overline{x}$, avec \medskip \textbf{A.~~} $\overline{x}= \dfrac{1}{2}$ \textbf{B.~~} $\overline{x} = \dfrac{\ln (2)}{2}$ \textbf{C.~~} $\overline{x} = \ln (2)$ \textbf{D.~~} $\overline{x} = - \dfrac{1}{2}$ \bigskip \textbf{Question 20} \medskip \textbf{A.~~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]- \infty~;~0[$ \textbf{B.~~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]- \infty~;~\ln (2)[$ \textbf{C.~~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]- \infty~;~1[$ \textbf{D.~~} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ \bigskip \textbf{Question 21} \medskip La tangente à $(\Gamma)$ en O est la droite $(T)$ d'équation \medskip \textbf{A.~~} $y = - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{3}{4}$ \textbf{B.~~} $y = - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{4}$ \textbf{C.~~} $y = - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{3}{4}$ \textbf{D.~~} $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}$ \bigskip \textbf{Question 22} \medskip On considère la droite $(D)$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x \dfrac{1}{4}$ \medskip \textbf{A.~~} La courbe $(\Gamma)$ est au dessous de $(D)$ \textbf{B.~~} La courbe $(\Gamma)$ est au dessus de $(D)$ \textbf{C.~~} Il existe $x_0 \in \R$ tel que si $x \in \left]- \infty~;~x_0\right[$, $(\Gamma)$ est au dessous de $(D)$ et au dessus sinon \textbf{D.~~} Il existe $x_0 \in \R$ tel que si $x \in \left]- \infty~;~x_0\right[$, $(\Gamma)$ est au dessus de $(D)$ et au dessous sinon \bigskip \textbf{Question 23} \medskip Pour $m$ un nombre réel strictement supérieur à $\ln (2)$, on note $A(m)$ l'aire de la partie de plan délimitée par la courbe $(\Gamma)$, la droite$ (D)$ et les droites d'équation $x = \ln (2)$ et $x = m$. On a : \medskip \textbf{A.~~} $A(m) = \displaystyle\int_m^{\ln (2)}\left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \text{e}^{-2x}\right)\:\text{d}x$ \textbf{B.~~} $A(m) = \displaystyle\int_{\ln (2)}^{m}\left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \text{e}^{-2x}\right)\:\text{d}x$ \textbf{C.~~} $A(m) = \displaystyle\int_m^{\ln (2)} \text{e}^{-2x}\:\text{d}x$ \textbf{D.~~} $A(m) = \displaystyle\int_m^{\ln (2)}\left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} \right)\:\text{d}x$ \bigskip \textbf{Question 24} \medskip On en déduit que : \textbf{A.~~} $A(m) = \dfrac{1}{4}\left[(\ln(2) + m - 1)(\ln (2) - m) + 2\text{e}^{- 2m} - \dfrac{1}{2}\right]$ \textbf{B.~~} $A(m) = \dfrac{1}{4}\left[(m -1 + \ln(2) )(m - \ln (2)) + \dfrac{1}{2} - \text{e}^{- 2m}\right]$ \textbf{C.~~} $A(m) = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{2} - 2\text{e}^{- 2m}\right]$ \textbf{D.~~} $A(m)= \dfrac{1}{4}[(\ln(2) + m - 1)(\ln (2) - m)]$ \bigskip \textbf{Question 25} \medskip En faisant tendre $m$ vers l'infini, on obtient : \medskip \textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{m \to + \infty} A(m) = + \infty$ \textbf{B.~~} $\displaystyle\lim_{m \to + \infty} A(m) = - \infty$ \textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{m \to + \infty} A(m) = 0$ \textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{m \to + \infty} A(m) = \dfrac{1}{8}$ \newpage \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large ÉPREUVE OBLIGATOIRE OPTIONNELLE} \bigskip \textbf{\large Notations} \end{center} . Les lettres $\R$. et $\N$ désignent respectivement les ensembles des réels et des entiers naturels. La lettre e désigne la constante de Neper et l'application qui à $x$ associe $\text{e}^x$ désigne l'exponentielle de base e. \bigskip \begin{center}\textbf{\large Partie I1}\end{center} \medskip On dispose d'une grille à 3 lignes et 3 colonnes. Une machine $M_1$ place au hasard un jeton dans une case de la grille, puis une machine $M_2$ place de même un jeton sur la grille dans une case libre $e_i$, enfin une troisième machine $M_3$ place un jeton dans une case libre. Soient les évènements suivants : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $H$ : \og Les 3 jetons sont alignés horizontalement \fg, \item[$\bullet~~$] $V$ : \og Les 3 jetons sont alignés verticalement \fg, \item[$\bullet~~$] $D$ : \og Les 3 jetons sont alignés en diagonale \fg, \item[$\bullet~~$] $N$ : \og Les 3 jetons ne sont pas alignés \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \bigskip \textbf{Question 1} \medskip La probabilité de l'évènement $H$ vaut: \textbf{A.~~} $p(H) = \dfrac{1}{27}$ \textbf{B.~~} $p(H)= \dfrac{1}{28}$ \medskip La probabilité de l'évènement $V$ vaut : \textbf{C.~~} $p(V) = \dfrac{1}{27}$ \textbf{D.~~} $p(V) = \dfrac{1}{18}$ \bigskip \textbf{Question 2} \medskip La probabilité de l'évènement $D$ vaut : \textbf{A.~~} $p(D)= \dfrac{1}{42}$ \textbf{B.~~} $p(D) = \dfrac{1}{63}$ \medskip Ainsi, la probabilité de l'évènement $N$ vaut: \textbf{C.~~} $P(N) = \dfrac{56}{63}$ \textbf{D.~~} $p(N) = \dfrac{19}{21}$ \bigskip On considère la variable aléatoire $X$ définie par : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $X = 20$ lorsque $H$ ou $V$ est réalisé \item[$\bullet~~$] $X = \alpha$ lorsque $D$ est réalisé \item[$\bullet~~$] $X = - 2$ lorsque $N$ est réalisé \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \bigskip \textbf{Question 3} \medskip La valeur de $\alpha$ pour laquelle l'espérance de $X$ est nulle est: \textbf{A.~~} $\alpha = 14$ \textbf{B.~~} $\alpha = 15$ \textbf{C.~~} $\alpha = 16$ \textbf{D.~~} $\alpha = 17$ \bigskip On se place dans le cas où la machine $M_1$ est déréglée : elle place alors le premier jeton dans un des coins de la grille. Soit $\Delta$ l'évènement \og la machine $M_1$ est déréglée \fg. \bigskip \textbf{Question 4} \medskip La probabilité d'avoir IDl alignement horizontal est: \textbf{A.~~} $p_{\Delta}(H) = \dfrac{1}{28}$ \textbf{B.~~} $p_{\Delta}(H) = \dfrac{1}{63}$ \textbf{C.~~} $p_{\Delta}(H) = \dfrac{9}{112}$ \textbf{D.~~} $p_{\Delta}(H) = \dfrac{3}{84}$ \bigskip \textbf{Question 5} \medskip On a : \medskip \textbf{A.~~} $p_{\Delta}(A) = \dfrac{1}{21}$ \textbf{B.~~} $p_{\Delta}(A) = \dfrac{3}{28}$ \textbf{C.~~} $p_{\Delta}(A) = \dfrac{3}{112}$ \textbf{D.~~} $p_{\Delta}(A) = \dfrac{3}{84}$ \bigskip Dans toute la suite, on suppose que $p(\Delta) = \dfrac{1}{5}$. \bigskip \textbf{Question 6} \medskip On a : \textbf{A.~~} $p_{\left(\overline{A}\right)}(A) = \dfrac{20}{21}$ \textbf{B.~~} $p_{\left(\overline{A}\right)}(A) = \dfrac{19}{105}$ \textbf{C.~~} $p_{\left(\overline{A}\right)}(A) = \dfrac{19}{21}$ \textbf{D.~~} $p_{\left(\overline{A}\right)}(A) = \dfrac{76}{105}$ \bigskip On ne sait pas lorsqu'on joue si la machine $M_1$ est en état de marche. On joue une partie et on constate que les 3 jetons sont alignés. \bigskip \textbf{Question 7} \medskip La probabilité $p$ pour que la machine $M_1$ soit déréglée est alors de : \textbf{A.~~} $p = \dfrac{41}{420}$ \textbf{B.~~} $p = \dfrac{3}{140}$ \textbf{C.~~} $p = \dfrac{1}{10}$ \textbf{D.~~} $p = \dfrac{9}{41}$ \bigskip \begin{center}\textbf{\Large Partie II}\end{center} \medskip Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \left(1 + \frac{1}{x} \right)\text{e}^{\frac{1}{x}}$. \bigskip \textbf{Question 8} \medskip \textbf{A.~~} La fonction $f$ est définie pour $x \in \R_+^{*}$ \textbf{B.~~} La fonction $f$ est définie pour $x \in \R_-^{*}$ \textbf{C.~~} La fonction $f$ est définie uniquement pour $x \in \R_+^{*}$ \textbf{D.~~} La fonction $f$ est définie uniquement pour $x \in \R_-^{*}$ \bigskip \textbf{Question 9} \medskip Le calcul de la dérivée de $f$ donne : \medskip \textbf{A.~~} $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}$ \textbf{B.~~} $f'(x) = - \left(1 + \dfrac{1}{x} \right)\dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}$ \textbf{C.~~} $f'(x) = - \left(2 + \dfrac{1}{x} \right)\dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}$ \textbf{D.~~} $f'(x) = - \left(\dfrac{2x + 1}{x^3}\right)\text{e}^{\frac{1}{x}}$ \bigskip \textbf{Question 10} \medskip \textbf{A.~~} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]- \infty~;~ 0[$ et décroissante sur $]0~;~ + \infty[$ \textbf{B.~~} La fonction $f$ est croissante sur I'intervalle $\left]1 - \text{e}^{-2}~;~1\right[$ \textbf{C.~~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ \textbf{D.~~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]- \infty~;~- 1[$ \bigskip \textbf{Question 11} \medskip \textbf{A.~~} La fonction $f$ est positive pour tout $x \in \R^{*}$ \textbf{B.~~} La fonction $f$ est positive pour $x \in \left]- \dfrac{1}{2}~;~0\right[$, et négative sinon \textbf{C.~~} La fonction $f$ est positive pour $x \in \R_-^{*}$, et négative pour $x \in \R_+^{*}$ \textbf{D.~~} La fonction $f$ est négative pour $x \in \R_-^{*}$, et positive pour $x \in \R_+^{*}$ \bigskip \begin{center}\textbf{\Large Partie III}\end{center} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f$, définie sur $\R$ par: \[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{nx}\left( 1 + \text{e}^x\right)}.\] On souhaite étudier la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}.\] \bigskip \textbf{Question 12} \medskip On a : \medskip \textbf{A.~~} $u_0 = \text{e}$ \textbf{B.~~} $u_0 = \dfrac{\ln (1 + \text{e})}{2}$ \textbf{C.~~} $u_0 = 1 - \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2} \right)$ \textbf{D.~~} $u_0 = \ln (1 + \text{e}) - \ln (2)$ \bigskip \textbf{Question 13} \medskip On montre \medskip \textbf{A.~~} $u_0 + u_1 = 1$ \textbf{B.~~} $u_0 + u_1 = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ \textbf{C.~~} $u_0 + u_1 = 1 + \text{e}$ \textbf{D.~~} $u_0 + u_1 = 1 + \dfrac{1}{\text{e}}$ \bigskip \textbf{Question 14} \medskip On en déduit: \textbf{A.~~} $u_1 = 1 + \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2}\right)$ \textbf{B.~~} $u_1 = 1 - \dfrac{1}{\text{e}} - \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2}\right)$ \textbf{C.~~} $u_1 = 1 + \text{e} - \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2}\right)$ \textbf{D.~~} $u_1 = 1 + \dfrac{1}{\text{e}} - \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2}\right)$ \bigskip \textbf{Question 15} \medskip On pose $k(x) = f_{n+1}(x) - f_n(x)$. \medskip \textbf{A.~~} La fonction $k$ est positive sur [0~;~1] , et de ce fait la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est croissante \textbf{B.~~} La fonction $k$ est positive sur [0~;~1] et de ce fait la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est décroissante \textbf{C.~~} La fonction $k$ est négative sur [0~;~1], et de ce fait la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est décroissante \textbf{D.~~} La fonction $k$ est négative sur [0~;~1], et de ce fait la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est croissante \end{document}