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%Tapuscrit : François Kriegk
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  2016}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2017~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OBLIGATOIRE}

\bigskip

\textbf{\large PARTIE 1}\end{center}

\medskip

Dans cette partie, i désigne le nombre complexe tel que i$^2 = - 1$
et $\C$ représente l'ensemble des nombres complexes.

\bigskip

\textbf{\large Question 1}

\medskip

\textbf{A.~~} une écriture exponentielle du nombre complexe 2i est : $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{2}}$

\textbf{B.~~} une écriture exponentielle du nombre complexe $-5$ est: $-5\text{e}^{-\text{i}\pi}$.

\textbf{C.~~} une écriture exponentielle du nombre complexe 2i est: $- 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$

\textbf{D.~~} une écriture exponentielle du nombre complexe -5 est: $- 5\text{e}^{\text{i}\pi}$

\bigskip

\textbf{\large Question 2 :}

\medskip

\textbf{A.~~} une écriture exponentielle du nombre complexe $0$ est : $0\text{e}^{\text{i}\theta}$,\:$\theta$ étant un nombre réel.

\textbf{B.~~} 0 n'admet pas d'écriture exponentielle.

\textbf{C.~~} une écriture exponentielle du nombre complexe $\cos \frac{\pi}{5} - \text{i}\sin \frac{\pi}{5}$ est: $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}$

\textbf{D.~~} une écriture exponentielle du nombre complexe $\cos \frac{\pi}{5} - \text{i}\sin \frac{\pi}{5}$ est : $\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{5}}$

\bigskip

\textbf{\large Question 3 :}
 une écriture exponentielle du nombre complexe $2 \sin \frac{\pi}{7} + 2\text{i}\cos \frac{\pi}{7}$ est:
 \medskip
 
\textbf{A.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{9\pi}{14}}$
 
\textbf{B.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{14}}$

\textbf{C.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{6\pi}{7}}$

\textbf{D.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{8\pi}{7}}$
 
\bigskip

\textbf{\large Question 4 :}
une écriture exponentielle du nombre complexe $\dfrac{- 2\sqrt{3} + 2\text{i}}{(1 + \text{i})^4}$ est :

\medskip

\textbf{A.~~} $\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$

\textbf{B.~~} $\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$

\textbf{C.~~} $\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$

\textbf{D.~~} $\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$

\bigskip

\textbf{\large Question 5 :}
une écriture exponentielle du nombre complexe $\dfrac{\text{i}(1 + \text{i})^3}{\left(\sqrt{3} - \text{i} \right)^5}$ est:

\medskip

\textbf{A.~~} $\dfrac{\sqrt{2}}{32}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$

\textbf{B.~~} $\dfrac{\sqrt{2}}{32}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$

\textbf{C.~~} $\dfrac{\sqrt{2}}{16}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$

\textbf{D.~~} $\dfrac{\sqrt{2}}{16}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$
\bigskip

\textbf{\large Question 6 :}
on note $z_1 = 1 + \text{i}$ et $z_2 = 1 - \text{i}\sqrt{3}$. La forme algébrique de $z_1 \times z_2$ est :

\medskip

\textbf{A.~~} $1 - \sqrt{3}  + \text{i}\left(1 - \sqrt{3}\right)$

\textbf{B.~~} $1 + \sqrt{3}  + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$

\textbf{C.~~} $1 - \sqrt{3}  + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$

\textbf{D.~~} $1 + \sqrt{3}  - \text{i}\left(1 - \sqrt{3}\right)$

\bigskip

\textbf{\large Question 7 :} une écriture exponentielle $z_1 \times z_2$ est:

\textbf{A.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$

\textbf{B.~~} $2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{12}}$

\textbf{C.~~} $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$

\textbf{D.~~} $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{12}}$

\bigskip

\textbf{\large Question 8 :} on déduit que:

\medskip

\textbf{A.~~} $\cos \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$

\textbf{B.~~} $\cos \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$

\textbf{C.~~} $\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$

\textbf{D.~~} $\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$

\begin{center}
\textbf{\large PARTIE II}\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Question 9 :} l'équation différentielle $y' - 2y = 0$, notée $(E)$, admet pour ensemble de solutions :

\medskip

\textbf{A.~~} $S_{(E)} = \left\{f : x \longmapsto k \times \text{e}^{2x},\: k \in \R \right\}$

\textbf{B.~~} $S_{(E)} = \left\{f : x \longmapsto  \text{e}^{2x}\right\}$

\textbf{C.~~} $S_{(E)} = \left\{f : x \longmapsto k \times \text{e}^{- 2x},\: k \in \R\right\}$

\textbf{D.~~} $S_{(E)} = \left\{f : x \longmapsto k \times \text{e}^{\frac{1}{2}x},\: k \in \R\right\}$

\bigskip

\textbf{\large Question 10 :} la solution $f$ de $(E)$ dont la courbe représentative $C$ dans un repère donné passe par le point A$(1~;~-2)$ est :

\medskip

\textbf{A.~~} $f(x) = 2\text{e}^{2x-2}$

\textbf{B.~~} $f(x) = - 2\text{e}^{2x+2}$

\textbf{C.~~} $f(x) = 2\text{e}^{2x+2}$

\textbf{D.~~} $f(x) = - \text{e}^{2-2x}$

\bigskip

\textbf{\large Question 11 :} la solution $f$ de $(E)$ dont la courbe représentative $C$ dans un repère donné passe par le point A$(1~;~-2)$ :

\medskip

\textbf{A.~~} est strictement croissante sur $\R$.

\textbf{B.~~} est strictement décroissante sur $\R$.

\textbf{C.~~} sa courbe représentative $C$ admet l'axe des abscisses comme asymptote en $- \infty$.

\textbf{D.~~} sa courbe représentative $C$ admet l'axe des abscisses comme asymptote en $+ \infty$.

\bigskip

\textbf{\large Question 12 :} la solution $g$ de l'équation différentielle : $y'= 2y + 4$, notée $(E')$, dont la courbe représentative $\Gamma$ possède une tangente parallèle à la droite d'équation $y = x$ en son point d'abscisse 1 est:

\medskip

\textbf{A.~~} $S_{(E')} = \left\{g : x \longmapsto  \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x-2} - 4\right\}$

\textbf{B.~~} $S_{(E')} = \left\{g : x \longmapsto  \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+2} - 2\right\}$

\textbf{C.~~} $S_{(E')} = \left\{g : x \longmapsto  \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+2} - 4\right\}$

\textbf{D.~~} $S_{(E')} = \left\{g : x \longmapsto  \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x-2} - 2\right\}$

\bigskip

\textbf{\large Question 13 :}
les deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $\varphi : x \longmapsto  ax + b + \ln x$ soit une
solution particulière de l'équation différentielle : $y' = 2y + 4x + 6 + \dfrac{1}{x} - 2\ln x$, notée $(E '')$, sont  :

\medskip

\textbf{A.~~} $a = 2$ et $b = - 4$

\textbf{B.~~} $a = 2$ et $b =- 1$

\textbf{C.~~} $a= - 2$ et $b = 4$

\textbf{D.~~} $a = - 2$ et $b = - 4$

\bigskip

\textbf{\large Question 14}

\medskip on admet qu'une fonction $h$ est solution de $(E'')$ si et seulement si la fonction $h - \varphi$
est solution de $(E)$. On en déduit que l'ensemble des solutions de $(E'')$ est :

\medskip

\textbf{A.~~} $S_{(E'')} = \left\{h : x \longmapsto  - 2x + 4 + \ln x + k\text{e}^{2x},\: k \in \R\right\}$

\textbf{B.~~} $S_{(E'')} = \left\{h : x \longmapsto  - 2x - 4 + \ln x + k\text{e}^{-2x},\: k \in \R\right\}$

\textbf{C.~~} $S_{(E'')} = \left\{h : x \longmapsto  -2x - 4 + \ln x + k\text{e}^{2x},\: k \in \R\right\}$

\textbf{D.~~} $S_{(E'')} = \left\{h : x \longmapsto  - 2x + 4 + \ln x + k\text{e}^{- 2x},\: k \in \R\right\}$

\bigskip

\textbf{\large Question 15 :}
la solution $\psi$ de l'équation différentielle $(E'')$ dont la courbe représentative dans un
repère donné passe par le point A$(1~;~-2)$ est :

\medskip

\textbf{A.~~} $\psi : x \longmapsto  - 2x - 4 + \ln x + 4\text{e}^{2x-2}$

\textbf{B.~~} $\psi : x \longmapsto  - 2x + 4 + \ln x + 4\text{e}^{2x-2}$

\textbf{C.~~} $\psi : x \longmapsto  - 2x - 4 + \ln x + 4\text{e}^{2x+2}$

\textbf{D.~~} $\psi : x \longmapsto  - 2x + 4 + \ln x + 4\text{e}^{2x+2}$


\begin{center}\textbf{\large PARTIE III}\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Question 16 :}
pour $n$ nombre entier naturel, la suite définie par le terme général

\[u_n = 2n^2 - 13n + 1\]

\medskip

\textbf{A.~~} est strictement croissante.

\textbf{B.~~} est strictement décroissante.

\textbf{C.~~} pour $n \geqslant 2$, est strictement croissante.

\textbf{D.~~} pour $n \geqslant 2$, est strictement décroissante.

\bigskip

\textbf{\large Question 17 :} pour $n$ nombre entier naturel, la suite définie par le terme général : 

\[v_n = (2n+1)\text{e}^n\]

\medskip

\textbf{A.~~} est strictement croissante.

\textbf{B.~~} est strictement décroissante.

\textbf{C.~~} pour $n \geqslant 2$, est strictement croissante.

\textbf{D.~~} pour $n \geqslant 2$, est strictement décroissante.

\bigskip

\textbf{\large Question 18 :}
pour $n$ nombre entier naturel, la suite définie par le terme général

\[w_n = n - \ln \left(1 + n^2\right)\]

\medskip

\textbf{A.~~} n'est pas strictement monotone.

\textbf{B.~~} n'est pas monotone.

\textbf{C.~~} est strictement croissante.

\textbf{D.~~} est strictement décroissante.

\bigskip

\textbf{\large Question 19 :}
pour $n$ nombre entier naturel non nul, la suite définie par le terme général

\[x_n = (- 1)^n \ln n\]

\medskip

\textbf{A.~~} n'est pas strictement monotone.

\textbf{B.~~} n'est pas monotone.

\textbf{C.~~} est strictement croissante.

\textbf{D.~~} est strictement décroissante.

\bigskip

\textbf{\large Question 20 :}
pour $n$ nombre entier naturel, la suite définie par le terme général

\[\left\{\begin{array}{l c l}
y_0&=&2\\
y_{n+1}&=&\text{e}^{y_n - 2}
\end{array}\right. :\]

\medskip

\textbf{A.~~} n'est pas strictement monotone.

\textbf{B.~~} n'est pas monotone.

\textbf{C.~~} est strictement croissante.

\textbf{D.~~} est strictement décroissante.

\bigskip

\textbf{\large Question 21 :}
soit la fonction $f :\: x \longmapsto x + \sin (2\pi x)$ et $n$ nombre entier naturel,

\medskip

\textbf{A.~~} la suite définie par le terme général : $u_n = f(n)$ est décroissante.

\textbf{B.~~} la suite définie par le terme général: $u_n = f(n)$ est croissante.

\textbf{C.~~} la fonction $f$ est décroissante.

\textbf{D.~~} la fonction $f$ est croissante.

\begin{center}\textbf{\large PARTIE IV}\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Question 22 :}
soit $f$ une fonction réelle à variable réelle définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(x)&=&ax+\dfrac{1}{5} \:\text{si}\:x \in [0~;~4]\\
f(x)&=&0  \:\text{si}\:x \notin [0~;~4]
\end{array}\right.\]

Pour que $f$ définisse une loi à densité sur l'intervalle [0~;~4],
il faut et il suffit que le nombre réel $a$ soit égal :

\medskip

\textbf{A.~~} 1/10

\textbf{B.~~} 1/40

\textbf{C.~~} 4/5

\textbf{D.~~} 1

\bigskip

\textbf{\large Question 23 :}
nous notons $X$ la variable aléatoire définie sur l'intervalle [0~;~4] dont la loi de
probabilité a pour densité la fonction $f$ précédente,

\medskip

\textbf{A.~~} $P(X \leqslant 1) = \dfrac{19}{80}$

\textbf{B.~~} $P(X \leqslant 1) = \dfrac{1}{4}$

\textbf{C.~~} $P(X \leqslant 1) = \dfrac{3}{5}$

\textbf{D.~~} $P(X \leqslant 1) = \dfrac{7}{10}$


\bigskip

\textbf{\large Question 24}

\medskip

\textbf{A.~~} $P(X \geqslant 2) = \dfrac{5}{32}$

\textbf{B.~~} $P(X \geqslant 2) = \dfrac{1}{5}$

\textbf{C.~~} $P(X \geqslant 2) = \dfrac{11}{20}$

\textbf{D.~~} $P(X \geqslant 2) = \dfrac{5}{26}$

\bigskip

\textbf{\large Question 25}

\medskip

\textbf{A.~~} $P\left(\dfrac{1}{2}\leqslant  X \leqslant 3\right) = \dfrac{41}{80}$

\textbf{B.~~} $P\left(\dfrac{1}{2}\leqslant  X \leqslant 3\right) = \dfrac{43}{80}$

\textbf{C.~~} $P\left(\dfrac{1}{2}\leqslant  X \leqslant 3\right) = \dfrac{38}{64}$

\textbf{D.~~} $P\left(\dfrac{1}{2}\leqslant  X \leqslant 3\right) = \dfrac{39}{64}$

\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{\Large ÉPREUVE OBLIGATOIRE OPTIONNELLE}

\bigskip

Notations
\end{center}

Les lettres $\R$ et $\N$ désignent respectivement les ensembles des réels et des entiers naturels.

La lettre e désigne la constante de Néper et l'application qui à $x$ associe $\text{e}^x$ désigne
l'exponentielle de base e. 

Le nombre i désigne le nombre complexe défini par $\text{i}^2 = - 1$.

\bigskip

\textbf{Toutes les questions sont indépendantes}

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul. On définit la fonction $f_n$ par: $f_n(x) = \dfrac{2\text{e}^{nx}}{\text{e}^{nx} + 5}$
ln5
n
et la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ par l'expression : $u_n = \dfrac{n}{\ln 5} \displaystyle\int_0^{\frac{\ln 5}{n}} f_n(x -)\:\text{d}x$. 

On peut montrer que :

\medskip

\textbf{A.~~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est strictement croissante 

\textbf{B.~~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est strictement décroissante 

\textbf{C.~~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est convergente 

\textbf{D.~~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est constante

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On définit sur $\R$ la fonction $f$ par: $f(x) = \displaystyle\int_1^x  \text{e}^{1 - t^2}\:\text{d}t$.

\medskip

\textbf{A.~~} $f$ est strictement décroissante

\textbf{B.~~} $f$ est strictement croissante

\textbf{C.~~} $f$ n'admet pas de maximum

\textbf{D.~~} On ne peut rien dire au sujet de la monotonie de $f$

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

La lettre $n$ désignant un entier naturel non nul, on considère une urne qui contient $n$ boules
blanches et $3$ boules noires, ces boules étant indiscernables au toucher.

On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne.

\textbf{A.~~} Il existe deux entiers naturels $n$ pour lesquelles la probabilité d'obtenir deux boules
de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$

\textbf{B.~~} Il existe un entier naturel $n$ pour laquelle la probabilité d'obtenir deux boules de
couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$

\textbf{C.~~} Il n'existe pas d'entiers naturels n pour lesquelles la probabilité d'obtenir deux boules
de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$

\textbf{D.~~} La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est: $\dfrac{6n}{(n + 3)(n + 1)}$

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

\parbox{0.65\linewidth}{On considère l'arbre de probabilité ci-contre.

La probabilité que l'évènement $A$ soit
réalisé sachant que l'évènement $B$ est réalisé
est :

\textbf{A.~~} 7/31

\textbf{B.~~} 6/31

\textbf{C.~~} 7/30

\textbf{D.~~} 6/30}\hfill
\parbox{0.28\linewidth}{
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,2}}
	{\TR{$B$} \taput{0,7}
	\TR{$\overline{B}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~}}
	{\TR{$B$} 
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,4}
	}
}}

\bigskip

\textbf{Question 5}

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{On considère l'algorithme ci -contre.

Lorsqu'on saisit la valeur $n = 6$, la valeur $u$ affichée est :

\textbf{A.~~} 2,44

\textbf{B.~~} 2,27

\textbf{C.~~} 2,4

\textbf{D.~~} 2,23}\hfill
\parbox{0.68\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
Variables :& $i$ et $n$ sont des entiers naturels et $u$ est
un réel\\ \hline
Entrée :& Demander à l'utilisateur la valeur de $n$\\ \hline
Initialisation :& Affecter à $u$ la valeur $0$.\\ \hline
Traitement :& Pour $i$ variant de $1$ à $n$\\
&Affecter à $u$ la valeur $u + \frac{1}{i}$\\ \hline
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}}

\bigskip

\textbf{Question 6}

\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, pour tout entier naturel $n$ non nul, on
considère les points $M_n$ d'affixe $z_n = \text{e}^{\frac{2n\pi \text{i}}{3}}$. 

D'une manière générale, on considèrera qu'un
triangle est défini par trois points distincts du plan.

\medskip

\textbf{A.~~} Les points O, $M_1$ et $M_{20}$ sont alignés

\textbf{B.~~} Les points O, $M_6$ et $M_9$ sont alignés

\textbf{C.~~} Le triangle O$M_1M_{20}$, s'il existe, est équilatéral

\textbf{D.~~} Le triangle O$M_6M_9$, s'il existe, est équilatéral

\bigskip

\textbf{Question 7}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ une suite non constante de nombres réels.

Pour tout entier naturel $n$ , on pose : $v_n = sin \left(u_n\right)$.

\medskip

\textbf{A.~~} On peut choisir une suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ afin  que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ converge vers $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

\textbf{B.~~} On peut choisir une suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ afin que la suite 
$\left(v_n\right)_{n \in \N}$ converge vers 1

\textbf{C.~~} La suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ converge toujours

\textbf{D.~~} La suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ diverge toujours

\bigskip

\textbf{Question 8}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}\right)$.

On appelle $(d)$ la droite de représentation paramétrique : 

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&t+3\\
y &=&-t + 5\\
z&=&2
\end{array}\right.\]

et $(S)$ la sphère de centre A$(1~;~-1~;~0)$ et de rayon $6$.

\medskip

\textbf{A.~~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ sont sécantes

\textbf{B.~~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ sont sécantes en deux points

\textbf{C.~~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ ne sont pas sécantes

\textbf{D.~~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ sont tangentes

\bigskip

\textbf{Question 9}

\medskip

On considère l'espace muni d'un repère $\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}\right)$ et les deux droites $(d)$ et $(d')$ admettant pour représentations paramétriques :

\[(d) :\:\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 2t+3\\
y &=& -2t -1\\
z &=& 6t+2
\end{array}\right. \quad \text{et} \:(d') : 
\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& - t- 1\\
y &=&t - 1\\
z &=&- 3t \phantom{- 1}.
\end{array}\right.\]

\medskip

\textbf{A.~~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont confondues

\textbf{B.~~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont sécantes en un point

\textbf{C.~~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont non sécantes et coplanaires

\textbf{D.~~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont non sécantes et non coplanaires

\bigskip

\textbf{Question 10}

\medskip

Soit $X$ une variable aléatoire dont la densité de probabilité est une fonction $f$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
f(x) &=& m \sin (x) \: \text{pour }\: x \in  [0~;~\pi]\\
f(x) &=& 0 \: \text{pour }\: x \in  ]- \infty ~;~0[ \cup  ]\pi~;~+ \infty[
\end{array}\right.\]

$m$ étant un nombre réel qui sera choisi en conséquence. On peut vérifier que:
\medskip

\textbf{A.~~} Pour $x \in  ]\pi~;~+\infty[$, \:  $p(X \leqslant x) = \dfrac{1}{2}$

\textbf{B.~~} $P(X \geqslant 0) = 0$

\textbf{C.~~} Pour $x \in [0~;~\pi],\: P(X \leqslant x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \cos (x) \: \text{et pour }\: x \in  ]- \infty~;~0[,\: P (X \leqslant x) = 0$

\textbf{D.~~} $P\left(\dfrac{\pi}{4} \leqslant X \leqslant \dfrac{3\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. 

\bigskip

\textbf{Question 11}

\medskip

Soit les nombres complexes définis par : $z_1 =\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ ; $z_2 = 2 + 2\text{i}$.

Le nombre complexe défini par $Z  = \dfrac{z_1}{z_2}$ vérifie :

\medskip

\textbf{A.~~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

\textbf{B.~~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

\textbf{C.~~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

\textbf{D.~~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

\bigskip

\textbf{Question 12}

\medskip

Les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ vérifient :

\medskip

\textbf{A.~~} Le complexe $z_1 =\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument 
$\dfrac{\pi}{3}$.

\textbf{B.~~} Le complexe $z_1 =\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ a pour module $2\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{2\pi}{3}$.

\textbf{C.~~} Le complexe $z_2 = 2 + 2\text{i}$ a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{\pi}{4}$.

\textbf{D.~~} Le complexe $z_2 = 2 + 2\text{i}$ a pour module $2\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{3\pi}{4}$.

\bigskip

\textbf{Question 13}

\medskip

On en déduit:

\medskip

\textbf{A.~~} Le complexe $Z  = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module $2$ et pour argument $\dfrac{5\pi}{12}$.

\textbf{B.~~} Le complexe $Z  = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module $\dfrac{1}{2}$ et pour argument $- \dfrac{5\pi}{12}$.

\textbf{C.~~} Le complexe $Z  = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module 1 et pour argument $\dfrac{\pi}{12}$.

\textbf{D.~~} Le complexe $Z  = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module 1 et pour argument $- \dfrac{\pi}{12}$.

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\textbf{Question 14}

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On obtient alors :

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\textbf{A.~~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$  et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

\textbf{B.~~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$  et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

\textbf{C.~~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$  et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

\textbf{D.~~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$  et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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\textbf{Question 15}

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Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) =\left(\dfrac{1}{2}x + 1\right)^4$.

L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $2$
est :

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\textbf{A.~~} $y = 16(x - 2)$

\textbf{B.~~} $y = 8(x - 1)$

\textbf{C.~~} $y = 8(x - 2)$

\textbf{D.~~} $y = x - 1$
\end{document}