\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Kriegk \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2016} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2017~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OBLIGATOIRE} \bigskip \textbf{\large PARTIE 1}\end{center} \medskip Dans cette partie, i désigne le nombre complexe tel que i$^2 = - 1$ et $\C$ représente l'ensemble des nombres complexes. \bigskip \textbf{\large Question 1} \medskip \textbf{A.~~} une écriture exponentielle du nombre complexe 2i est : $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{2}}$ \textbf{B.~~} une écriture exponentielle du nombre complexe $-5$ est: $-5\text{e}^{-\text{i}\pi}$. \textbf{C.~~} une écriture exponentielle du nombre complexe 2i est: $- 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$ \textbf{D.~~} une écriture exponentielle du nombre complexe -5 est: $- 5\text{e}^{\text{i}\pi}$ \bigskip \textbf{\large Question 2 :} \medskip \textbf{A.~~} une écriture exponentielle du nombre complexe $0$ est : $0\text{e}^{\text{i}\theta}$,\:$\theta$ étant un nombre réel. \textbf{B.~~} 0 n'admet pas d'écriture exponentielle. \textbf{C.~~} une écriture exponentielle du nombre complexe $\cos \frac{\pi}{5} - \text{i}\sin \frac{\pi}{5}$ est: $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}$ \textbf{D.~~} une écriture exponentielle du nombre complexe $\cos \frac{\pi}{5} - \text{i}\sin \frac{\pi}{5}$ est : $\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{5}}$ \bigskip \textbf{\large Question 3 :} une écriture exponentielle du nombre complexe $2 \sin \frac{\pi}{7} + 2\text{i}\cos \frac{\pi}{7}$ est: \medskip \textbf{A.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{9\pi}{14}}$ \textbf{B.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{14}}$ \textbf{C.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{6\pi}{7}}$ \textbf{D.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{8\pi}{7}}$ \bigskip \textbf{\large Question 4 :} une écriture exponentielle du nombre complexe $\dfrac{- 2\sqrt{3} + 2\text{i}}{(1 + \text{i})^4}$ est : \medskip \textbf{A.~~} $\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$ \textbf{B.~~} $\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$ \textbf{C.~~} $\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$ \textbf{D.~~} $\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$ \bigskip \textbf{\large Question 5 :} une écriture exponentielle du nombre complexe $\dfrac{\text{i}(1 + \text{i})^3}{\left(\sqrt{3} - \text{i} \right)^5}$ est: \medskip \textbf{A.~~} $\dfrac{\sqrt{2}}{32}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$ \textbf{B.~~} $\dfrac{\sqrt{2}}{32}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$ \textbf{C.~~} $\dfrac{\sqrt{2}}{16}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$ \textbf{D.~~} $\dfrac{\sqrt{2}}{16}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$ \bigskip \textbf{\large Question 6 :} on note $z_1 = 1 + \text{i}$ et $z_2 = 1 - \text{i}\sqrt{3}$. La forme algébrique de $z_1 \times z_2$ est : \medskip \textbf{A.~~} $1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(1 - \sqrt{3}\right)$ \textbf{B.~~} $1 + \sqrt{3} + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$ \textbf{C.~~} $1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$ \textbf{D.~~} $1 + \sqrt{3} - \text{i}\left(1 - \sqrt{3}\right)$ \bigskip \textbf{\large Question 7 :} une écriture exponentielle $z_1 \times z_2$ est: \textbf{A.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$ \textbf{B.~~} $2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{12}}$ \textbf{C.~~} $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$ \textbf{D.~~} $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{12}}$ \bigskip \textbf{\large Question 8 :} on déduit que: \medskip \textbf{A.~~} $\cos \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ \textbf{B.~~} $\cos \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$ \textbf{C.~~} $\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ \textbf{D.~~} $\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$ \begin{center} \textbf{\large PARTIE II}\end{center} \bigskip \textbf{\large Question 9 :} l'équation différentielle $y' - 2y = 0$, notée $(E)$, admet pour ensemble de solutions : \medskip \textbf{A.~~} $S_{(E)} = \left\{f : x \longmapsto k \times \text{e}^{2x},\: k \in \R \right\}$ \textbf{B.~~} $S_{(E)} = \left\{f : x \longmapsto \text{e}^{2x}\right\}$ \textbf{C.~~} $S_{(E)} = \left\{f : x \longmapsto k \times \text{e}^{- 2x},\: k \in \R\right\}$ \textbf{D.~~} $S_{(E)} = \left\{f : x \longmapsto k \times \text{e}^{\frac{1}{2}x},\: k \in \R\right\}$ \bigskip \textbf{\large Question 10 :} la solution $f$ de $(E)$ dont la courbe représentative $C$ dans un repère donné passe par le point A$(1~;~-2)$ est : \medskip \textbf{A.~~} $f(x) = 2\text{e}^{2x-2}$ \textbf{B.~~} $f(x) = - 2\text{e}^{2x+2}$ \textbf{C.~~} $f(x) = 2\text{e}^{2x+2}$ \textbf{D.~~} $f(x) = - \text{e}^{2-2x}$ \bigskip \textbf{\large Question 11 :} la solution $f$ de $(E)$ dont la courbe représentative $C$ dans un repère donné passe par le point A$(1~;~-2)$ : \medskip \textbf{A.~~} est strictement croissante sur $\R$. \textbf{B.~~} est strictement décroissante sur $\R$. \textbf{C.~~} sa courbe représentative $C$ admet l'axe des abscisses comme asymptote en $- \infty$. \textbf{D.~~} sa courbe représentative $C$ admet l'axe des abscisses comme asymptote en $+ \infty$. \bigskip \textbf{\large Question 12 :} la solution $g$ de l'équation différentielle : $y'= 2y + 4$, notée $(E')$, dont la courbe représentative $\Gamma$ possède une tangente parallèle à la droite d'équation $y = x$ en son point d'abscisse 1 est: \medskip \textbf{A.~~} $S_{(E')} = \left\{g : x \longmapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x-2} - 4\right\}$ \textbf{B.~~} $S_{(E')} = \left\{g : x \longmapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+2} - 2\right\}$ \textbf{C.~~} $S_{(E')} = \left\{g : x \longmapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+2} - 4\right\}$ \textbf{D.~~} $S_{(E')} = \left\{g : x \longmapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x-2} - 2\right\}$ \bigskip \textbf{\large Question 13 :} les deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $\varphi : x \longmapsto ax + b + \ln x$ soit une solution particulière de l'équation différentielle : $y' = 2y + 4x + 6 + \dfrac{1}{x} - 2\ln x$, notée $(E '')$, sont : \medskip \textbf{A.~~} $a = 2$ et $b = - 4$ \textbf{B.~~} $a = 2$ et $b =- 1$ \textbf{C.~~} $a= - 2$ et $b = 4$ \textbf{D.~~} $a = - 2$ et $b = - 4$ \bigskip \textbf{\large Question 14} \medskip on admet qu'une fonction $h$ est solution de $(E'')$ si et seulement si la fonction $h - \varphi$ est solution de $(E)$. On en déduit que l'ensemble des solutions de $(E'')$ est : \medskip \textbf{A.~~} $S_{(E'')} = \left\{h : x \longmapsto - 2x + 4 + \ln x + k\text{e}^{2x},\: k \in \R\right\}$ \textbf{B.~~} $S_{(E'')} = \left\{h : x \longmapsto - 2x - 4 + \ln x + k\text{e}^{-2x},\: k \in \R\right\}$ \textbf{C.~~} $S_{(E'')} = \left\{h : x \longmapsto -2x - 4 + \ln x + k\text{e}^{2x},\: k \in \R\right\}$ \textbf{D.~~} $S_{(E'')} = \left\{h : x \longmapsto - 2x + 4 + \ln x + k\text{e}^{- 2x},\: k \in \R\right\}$ \bigskip \textbf{\large Question 15 :} la solution $\psi$ de l'équation différentielle $(E'')$ dont la courbe représentative dans un repère donné passe par le point A$(1~;~-2)$ est : \medskip \textbf{A.~~} $\psi : x \longmapsto - 2x - 4 + \ln x + 4\text{e}^{2x-2}$ \textbf{B.~~} $\psi : x \longmapsto - 2x + 4 + \ln x + 4\text{e}^{2x-2}$ \textbf{C.~~} $\psi : x \longmapsto - 2x - 4 + \ln x + 4\text{e}^{2x+2}$ \textbf{D.~~} $\psi : x \longmapsto - 2x + 4 + \ln x + 4\text{e}^{2x+2}$ \begin{center}\textbf{\large PARTIE III}\end{center} \bigskip \textbf{\large Question 16 :} pour $n$ nombre entier naturel, la suite définie par le terme général \[u_n = 2n^2 - 13n + 1\] \medskip \textbf{A.~~} est strictement croissante. \textbf{B.~~} est strictement décroissante. \textbf{C.~~} pour $n \geqslant 2$, est strictement croissante. \textbf{D.~~} pour $n \geqslant 2$, est strictement décroissante. \bigskip \textbf{\large Question 17 :} pour $n$ nombre entier naturel, la suite définie par le terme général : \[v_n = (2n+1)\text{e}^n\] \medskip \textbf{A.~~} est strictement croissante. \textbf{B.~~} est strictement décroissante. \textbf{C.~~} pour $n \geqslant 2$, est strictement croissante. \textbf{D.~~} pour $n \geqslant 2$, est strictement décroissante. \bigskip \textbf{\large Question 18 :} pour $n$ nombre entier naturel, la suite définie par le terme général \[w_n = n - \ln \left(1 + n^2\right)\] \medskip \textbf{A.~~} n'est pas strictement monotone. \textbf{B.~~} n'est pas monotone. \textbf{C.~~} est strictement croissante. \textbf{D.~~} est strictement décroissante. \bigskip \textbf{\large Question 19 :} pour $n$ nombre entier naturel non nul, la suite définie par le terme général \[x_n = (- 1)^n \ln n\] \medskip \textbf{A.~~} n'est pas strictement monotone. \textbf{B.~~} n'est pas monotone. \textbf{C.~~} est strictement croissante. \textbf{D.~~} est strictement décroissante. \bigskip \textbf{\large Question 20 :} pour $n$ nombre entier naturel, la suite définie par le terme général \[\left\{\begin{array}{l c l} y_0&=&2\\ y_{n+1}&=&\text{e}^{y_n - 2} \end{array}\right. :\] \medskip \textbf{A.~~} n'est pas strictement monotone. \textbf{B.~~} n'est pas monotone. \textbf{C.~~} est strictement croissante. \textbf{D.~~} est strictement décroissante. \bigskip \textbf{\large Question 21 :} soit la fonction $f :\: x \longmapsto x + \sin (2\pi x)$ et $n$ nombre entier naturel, \medskip \textbf{A.~~} la suite définie par le terme général : $u_n = f(n)$ est décroissante. \textbf{B.~~} la suite définie par le terme général: $u_n = f(n)$ est croissante. \textbf{C.~~} la fonction $f$ est décroissante. \textbf{D.~~} la fonction $f$ est croissante. \begin{center}\textbf{\large PARTIE IV}\end{center} \bigskip \textbf{\large Question 22 :} soit $f$ une fonction réelle à variable réelle définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l} f(x)&=&ax+\dfrac{1}{5} \:\text{si}\:x \in [0~;~4]\\ f(x)&=&0 \:\text{si}\:x \notin [0~;~4] \end{array}\right.\] Pour que $f$ définisse une loi à densité sur l'intervalle [0~;~4], il faut et il suffit que le nombre réel $a$ soit égal : \medskip \textbf{A.~~} 1/10 \textbf{B.~~} 1/40 \textbf{C.~~} 4/5 \textbf{D.~~} 1 \bigskip \textbf{\large Question 23 :} nous notons $X$ la variable aléatoire définie sur l'intervalle [0~;~4] dont la loi de probabilité a pour densité la fonction $f$ précédente, \medskip \textbf{A.~~} $P(X \leqslant 1) = \dfrac{19}{80}$ \textbf{B.~~} $P(X \leqslant 1) = \dfrac{1}{4}$ \textbf{C.~~} $P(X \leqslant 1) = \dfrac{3}{5}$ \textbf{D.~~} $P(X \leqslant 1) = \dfrac{7}{10}$ \bigskip \textbf{\large Question 24} \medskip \textbf{A.~~} $P(X \geqslant 2) = \dfrac{5}{32}$ \textbf{B.~~} $P(X \geqslant 2) = \dfrac{1}{5}$ \textbf{C.~~} $P(X \geqslant 2) = \dfrac{11}{20}$ \textbf{D.~~} $P(X \geqslant 2) = \dfrac{5}{26}$ \bigskip \textbf{\large Question 25} \medskip \textbf{A.~~} $P\left(\dfrac{1}{2}\leqslant X \leqslant 3\right) = \dfrac{41}{80}$ \textbf{B.~~} $P\left(\dfrac{1}{2}\leqslant X \leqslant 3\right) = \dfrac{43}{80}$ \textbf{C.~~} $P\left(\dfrac{1}{2}\leqslant X \leqslant 3\right) = \dfrac{38}{64}$ \textbf{D.~~} $P\left(\dfrac{1}{2}\leqslant X \leqslant 3\right) = \dfrac{39}{64}$ \newpage \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large ÉPREUVE OBLIGATOIRE OPTIONNELLE} \bigskip Notations \end{center} Les lettres $\R$ et $\N$ désignent respectivement les ensembles des réels et des entiers naturels. La lettre e désigne la constante de Néper et l'application qui à $x$ associe $\text{e}^x$ désigne l'exponentielle de base e. Le nombre i désigne le nombre complexe défini par $\text{i}^2 = - 1$. \bigskip \textbf{Toutes les questions sont indépendantes} \bigskip \textbf{Question 1} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul. On définit la fonction $f_n$ par: $f_n(x) = \dfrac{2\text{e}^{nx}}{\text{e}^{nx} + 5}$ ln5 n et la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ par l'expression : $u_n = \dfrac{n}{\ln 5} \displaystyle\int_0^{\frac{\ln 5}{n}} f_n(x -)\:\text{d}x$. On peut montrer que : \medskip \textbf{A.~~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est strictement croissante \textbf{B.~~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est strictement décroissante \textbf{C.~~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est convergente \textbf{D.~~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est constante \bigskip \textbf{Question 2} \medskip On définit sur $\R$ la fonction $f$ par: $f(x) = \displaystyle\int_1^x \text{e}^{1 - t^2}\:\text{d}t$. \medskip \textbf{A.~~} $f$ est strictement décroissante \textbf{B.~~} $f$ est strictement croissante \textbf{C.~~} $f$ n'admet pas de maximum \textbf{D.~~} On ne peut rien dire au sujet de la monotonie de $f$ \bigskip \textbf{Question 3} \medskip La lettre $n$ désignant un entier naturel non nul, on considère une urne qui contient $n$ boules blanches et $3$ boules noires, ces boules étant indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. \textbf{A.~~} Il existe deux entiers naturels $n$ pour lesquelles la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$ \textbf{B.~~} Il existe un entier naturel $n$ pour laquelle la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$ \textbf{C.~~} Il n'existe pas d'entiers naturels n pour lesquelles la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$ \textbf{D.~~} La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est: $\dfrac{6n}{(n + 3)(n + 1)}$ \bigskip \textbf{Question 4} \medskip \parbox{0.65\linewidth}{On considère l'arbre de probabilité ci-contre. La probabilité que l'évènement $A$ soit réalisé sachant que l'évènement $B$ est réalisé est : \textbf{A.~~} 7/31 \textbf{B.~~} 6/31 \textbf{C.~~} 7/30 \textbf{D.~~} 6/30}\hfill \parbox{0.28\linewidth}{ \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,2}} {\TR{$B$} \taput{0,7} \TR{$\overline{B}$} } \pstree{\TR{$\overline{A}$~}} {\TR{$B$} \TR{$\overline{B}$}\tbput{0,4} } }} \bigskip \textbf{Question 5} \medskip \parbox{0.3\linewidth}{On considère l'algorithme ci -contre. Lorsqu'on saisit la valeur $n = 6$, la valeur $u$ affichée est : \textbf{A.~~} 2,44 \textbf{B.~~} 2,27 \textbf{C.~~} 2,4 \textbf{D.~~} 2,23}\hfill \parbox{0.68\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline Variables :& $i$ et $n$ sont des entiers naturels et $u$ est un réel\\ \hline Entrée :& Demander à l'utilisateur la valeur de $n$\\ \hline Initialisation :& Affecter à $u$ la valeur $0$.\\ \hline Traitement :& Pour $i$ variant de $1$ à $n$\\ &Affecter à $u$ la valeur $u + \frac{1}{i}$\\ \hline Sortie :& Afficher $u$\\ \hline \end{tabularx}} \bigskip \textbf{Question 6} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les points $M_n$ d'affixe $z_n = \text{e}^{\frac{2n\pi \text{i}}{3}}$. D'une manière générale, on considèrera qu'un triangle est défini par trois points distincts du plan. \medskip \textbf{A.~~} Les points O, $M_1$ et $M_{20}$ sont alignés \textbf{B.~~} Les points O, $M_6$ et $M_9$ sont alignés \textbf{C.~~} Le triangle O$M_1M_{20}$, s'il existe, est équilatéral \textbf{D.~~} Le triangle O$M_6M_9$, s'il existe, est équilatéral \bigskip \textbf{Question 7} \medskip Soit $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ une suite non constante de nombres réels. Pour tout entier naturel $n$ , on pose : $v_n = sin \left(u_n\right)$. \medskip \textbf{A.~~} On peut choisir une suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ afin que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ converge vers $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ \textbf{B.~~} On peut choisir une suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ afin que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ converge vers 1 \textbf{C.~~} La suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ converge toujours \textbf{D.~~} La suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ diverge toujours \bigskip \textbf{Question 8} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}\right)$. On appelle $(d)$ la droite de représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&t+3\\ y &=&-t + 5\\ z&=&2 \end{array}\right.\] et $(S)$ la sphère de centre A$(1~;~-1~;~0)$ et de rayon $6$. \medskip \textbf{A.~~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ sont sécantes \textbf{B.~~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ sont sécantes en deux points \textbf{C.~~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ ne sont pas sécantes \textbf{D.~~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ sont tangentes \bigskip \textbf{Question 9} \medskip On considère l'espace muni d'un repère $\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}\right)$ et les deux droites $(d)$ et $(d')$ admettant pour représentations paramétriques : \[(d) :\:\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 2t+3\\ y &=& -2t -1\\ z &=& 6t+2 \end{array}\right. \quad \text{et} \:(d') : \left\{\begin{array}{l c r} x &=& - t- 1\\ y &=&t - 1\\ z &=&- 3t \phantom{- 1}. \end{array}\right.\] \medskip \textbf{A.~~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont confondues \textbf{B.~~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont sécantes en un point \textbf{C.~~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont non sécantes et coplanaires \textbf{D.~~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont non sécantes et non coplanaires \bigskip \textbf{Question 10} \medskip Soit $X$ une variable aléatoire dont la densité de probabilité est une fonction $f$ définie par : \[\left\{\begin{array}{l c r} f(x) &=& m \sin (x) \: \text{pour }\: x \in [0~;~\pi]\\ f(x) &=& 0 \: \text{pour }\: x \in ]- \infty ~;~0[ \cup ]\pi~;~+ \infty[ \end{array}\right.\] $m$ étant un nombre réel qui sera choisi en conséquence. On peut vérifier que: \medskip \textbf{A.~~} Pour $x \in ]\pi~;~+\infty[$, \: $p(X \leqslant x) = \dfrac{1}{2}$ \textbf{B.~~} $P(X \geqslant 0) = 0$ \textbf{C.~~} Pour $x \in [0~;~\pi],\: P(X \leqslant x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \cos (x) \: \text{et pour }\: x \in ]- \infty~;~0[,\: P (X \leqslant x) = 0$ \textbf{D.~~} $P\left(\dfrac{\pi}{4} \leqslant X \leqslant \dfrac{3\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \bigskip \textbf{Question 11} \medskip Soit les nombres complexes définis par : $z_1 =\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ ; $z_2 = 2 + 2\text{i}$. Le nombre complexe défini par $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ vérifie : \medskip \textbf{A.~~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ \textbf{B.~~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ \textbf{C.~~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ \textbf{D.~~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ \bigskip \textbf{Question 12} \medskip Les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ vérifient : \medskip \textbf{A.~~} Le complexe $z_1 =\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{\pi}{3}$. \textbf{B.~~} Le complexe $z_1 =\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ a pour module $2\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{2\pi}{3}$. \textbf{C.~~} Le complexe $z_2 = 2 + 2\text{i}$ a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{\pi}{4}$. \textbf{D.~~} Le complexe $z_2 = 2 + 2\text{i}$ a pour module $2\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{3\pi}{4}$. \bigskip \textbf{Question 13} \medskip On en déduit: \medskip \textbf{A.~~} Le complexe $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module $2$ et pour argument $\dfrac{5\pi}{12}$. \textbf{B.~~} Le complexe $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module $\dfrac{1}{2}$ et pour argument $- \dfrac{5\pi}{12}$. \textbf{C.~~} Le complexe $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module 1 et pour argument $\dfrac{\pi}{12}$. \textbf{D.~~} Le complexe $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module 1 et pour argument $- \dfrac{\pi}{12}$. \bigskip \textbf{Question 14} \medskip On obtient alors : \medskip \textbf{A.~~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ \textbf{B.~~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ \textbf{C.~~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ \textbf{D.~~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ \bigskip \textbf{Question 15} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) =\left(\dfrac{1}{2}x + 1\right)^4$. L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $2$ est : \medskip \textbf{A.~~} $y = 16(x - 2)$ \textbf{B.~~} $y = 8(x - 1)$ \textbf{C.~~} $y = 8(x - 2)$ \textbf{D.~~} $y = x - 1$ \end{document}