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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Concours d'entrée à l'ENAC} 
\lfoot{\small{Techniciens de l'aéronautique}}
\rfoot{\small{juin 2018}}
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Concours d'entrée à l'ENAC juin 
2018~\decofourright\\[4pt]Techniciens de l'aéronautique}} 

\vspace{0,25cm} 

\end{center}

Cette épreuve comporte 25 questions obligatoires, certaines, de numéros consécutifs, peuvent être liées. La liste de ces questions est donnée en première page du sujet.

\begin{center}
\textbf{Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.}\end{center}

À chaque question numérotée entre 1 et 25, correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 26 à 100 sont neutralisées).

Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E.

\medskip

Pour chaque ligne numérotée de 1 à 40, vous vous trouvez en face de 4 possibilités:

$\triangleright$ soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

$\triangleright$ soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse:
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

$\triangleright$ soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes:
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

$\triangleright$ soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne:
vous devez alors noircir la case E.

\medskip

\textbf{Attention, toute réponse fausse peut entraîner pour la question correspondante une pénalité dans la note.}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Questions liées}

\medskip

3 et 4

5 et 6

8 à 12

13 à 15

16 à 20

21 à 25
\end{center}
\newpage

\begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center}

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Dans cette partie, i désigne le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$
et $\C$ représente l'ensemble des nombres complexes et $\Z$ l'ensemble des nombres entiers relatifs.\\
Pour tout $z \in  \C$ avec $z = x + \text{i}y,\: (x~;~y) \in \R^2$,\:
$\overline{z} = x - \text{i}y$.\\
Pour $z \in  \C$ convenablement choisi, on note $z' = \dfrac{2\overline{z}}{\overline{z} + \text{i}}$.\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\\hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 1 :} $z'$ est un nombre réel si et seulement si :

\begin{enumerate}
\item $z$ est imaginaire pur différent de i.
\item $z$ est imaginaire pur.
\item $z$ est réel différent de 1.
\item $z$ est réel.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 2 :} on montre que:

\begin{enumerate}
\item Pour $z \ne -\text{i}$,\: $\left|z'- 2\right| = \dfrac{2}{|z + \text{i}|}$.
\item Pour $z \ne \text{i}$,\:$\left|z'- 2\right| = \dfrac{2}{\left|\overline{z} + \text{i}\right|}$
\item Pour $z \ne \text{i}$, $\left|z'- 2\right|  = \dfrac{2}{|z - \text{i}|}$
\item Pour $z \ne -\text{i}$, $\left|z'- 2\right|  = \dfrac{2}{\left|\overline{z} - \text{i}\right|}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 3:} arg $\left(z'- 2\right)$ existe pour tout :

\begin{enumerate}
\item $z \in  \C$
\item $z \in  \C/\{\text{i}\}$
\item $z \in  \C/\{\text{i},~2\}$
\item $z \in  \C/\{\text{i},~2,~- \text{i}\}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 4 :} lorsque les arguments en question sont définis, on montre que:

\begin{enumerate}
\item arg$\left(z'- 2\right) = \dfrac{\pi}{2} - \text{arg}(z - \text{i}) + 2k\pi,\: k \in \Z$
\item arg$\left(z'- 2\right) = \dfrac{\pi}{2} + \text{arg}(z- \text{i}) + 2k\pi,\: k \in \Z$
\item arg$\left(z'- 2\right) = - \dfrac{\pi}{2} + \text{arg}(z +  \text{i}) + 2k\pi,\: k \in \Z$
\item arg$\left(z'- 2\right) = - \dfrac{\pi}{2} + \text{arg}(z -  \text{i}) + 2k\pi,\: k \in \Z$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 5:} une écriture exponentielle du nombre complexe $\dfrac{\sqrt{6} - \text{i}\sqrt{2}}{1 - \text{i}}$ est:

\begin{enumerate}
\item $2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{12}}$
\item $2\text{e}^{- \text{i}\frac{5\pi}{12}}$
\item $2\sqrt{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{12}}$
\item $2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 6:} la forme algébrique de $\left(\dfrac{\sqrt{6} - \text{i}\sqrt{2}}{1 - \text{i}}\right)^{\np{2024}}$ est :

\begin{enumerate}
\item $2^{\np{2024}} \left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)$
\item $2^{\np{2024}}\left(- 1 + \text{i}\sqrt{3}\right)$
\item $2^{\np{2023}}\left(- 1 + \text{i}\sqrt{3}\right)$
\item $2^{\np{2023}}\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 7:} on considère les points A, B et C d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3},\quad  z_{\text{A}} = -1 - \text{i}\quad  \text{et}\quad  z_{\text{C}} = - \left(2 + \sqrt{3}\right) + \text{i}.\]

Le triangle ABC est :

\begin{enumerate}
\item Rectangle isocèle en A.
\item Isocèle en C.
\item Équilatéral.
\item Rectangle isocèle en B.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE II}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Dans cette partie, $\N$ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels.\\
Dans le cadre des questions 8 à 12, on définit la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ par l'expression :\\
\hspace{5cm}$\forall n \in \N,\quad \ln \left(2^n u_n\right) = n.$\\
On prendra comme approximation : $\text{e} \approx 2,718$.\\
Dans le cadre des questions 13 à 15, on considère le nombre réel suivant: $v = 9,999 \ldots$ qui s'écrit dans le système décimal de position à l'aide d'un 9, d'une virgule et d'une infinité de 9 après la virgule.\\
On note $v_0 = 9$,\: $v_1 = 0,9$,\: $v_2 = 0,09$,\:$v_3 = 0,009$, etc.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 8 :} $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique : 

\begin{enumerate}
\item de raison e et premier terme 2.
\item de raison $2$e et premier terme 1.
\item de raison $\dfrac{\text{e}}{2}$ et premier terme 2 .
\item de raison e et premier terme 1.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 9 :} on en déduit que:

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} = - \infty$
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} = + \infty$
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} = \dfrac{2}{1 - \text{e}}$
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} = 0$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 10 :} on note : $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. On montre alors que :

\begin{enumerate}
\item $S_n = \dfrac{1}{2^n} \times \dfrac{2^{n+1} - \text{e}^{n+1}}{2 - \text{e}}$
\item $S_n = \dfrac{1}{2^n} \times \left(2^n - \text{e}\right)$
\item $S_n = \dfrac{1}{2^{n1}} \times \dfrac{2^{n+1} - \text{e}^{n+1}}{2 - \text{e}}$
\item $S_n = \dfrac{1}{2^n} \times \dfrac{2^{n+1} - \text{e}^{n+1}}{2 - \text{e}}$
\end{enumerate}

\textbf{Question 11 :} on en déduit que:

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = - \infty$
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = \dfrac{2}{1 - \text{e}}$
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = \dfrac{2}{\text{e} - 1}$
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = + \infty$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 12 :} on montre que:

\begin{enumerate}
\item $u_n \geqslant  10^3 \iff n \leqslant  \dfrac{3\ln 10}{\ln \text{e} - \ln 2}$
\item $u_n \geqslant  10^3 \iff n \geqslant \dfrac{3\ln 10}{\ln \text{e} - \ln 2}$
\item $u_n \geqslant  10^3 \iff n \geqslant  \dfrac{\ln 3 + \ln 10}{\ln \text{e} - \ln 2}$
\item $u_n \geqslant  10^3 \iff n \leqslant \dfrac{\ln 3 + \ln 10}{\ln \text{e} - \ln 2}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 13 :} la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique :

\begin{enumerate}
\item De raison $\dfrac{1}{10}$ et de premier terme $v_0 = 9$.
\item De raison $\dfrac{9}{10}$ et de premier terme $v_0 = 9$.
\item De raison $0,1$ et de premier terme $v_0 = 9$.
\item De raison $0,9$ et de premier terme $v_0 = 9$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 14 :} on déduit alors que :

\begin{enumerate}
\item $v_0 + v_1 + \ldots + v_n = \dfrac{9}{10^n}$
\item $v_0 + v_1 + \ldots + v_n = 1 - \dfrac{1}{10^{n-1}}$
\item $v_0 + v_1 + \ldots + v_n = 9 - \dfrac{1}{10^{n+1}}$
\item $v_0 + v_1 + \ldots + v_n = 10 - \dfrac{1}{10^{n+1}}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 15 :} et ainsi:

\begin{enumerate}
\item $v = 9$
\item $v = 0$
\item $v = 10$
\item $v = 1$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE III}

\medskip

\textbf{Question 16 :} on donne le polynôme $P(X) = 2X^3 + 11X^2 - 20X + 7$. On démontre que :

\begin{enumerate}
\item $P(X) = (X + 1)\left(2X^2 + 13X - 7\right)$
\item $P(X) = (X + 1)\left(2X^2 - 13X - 7\right)$
\item $P(X) = (X - 1)\left(2X^2 - 13X - 7\right)$
\item $P(X) = (X - 1)\left(2X^2 + 13X - 7\right)$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 17 :} l'égalité est vraie:

\begin{enumerate}
\item $13^2 = 10^2 + 3^2$
\item $13^2 = 10^2 + 60 + 3^2$
\item $15^2 = 225$
\item $15^2 = 125$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 18 :} dans $\R$, ensemble des nombres réels, l'ensemble $S_1$ des solutions de l'équation

\[\left(E_1\right)\qquad  2x^3 + 11x^2 - 20x + 7 = 0\: \text{ est }\: :\]

\begin{enumerate}
\item $S_1 = \left\{\dfrac{1}{2}~;~- 1~;~-7\right\}$
\item $S_1 = \left\{\dfrac{1}{2}~;~1~;~-7\right\}$
\item $S_1 = \left\{\dfrac{1}{2}~;~1~;~7\right\}$
\item $S_1 = \left\{-\dfrac{1}{2}~;~1~;~7\right\}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 19 :} dans $\R^{*}_{+}$, ensemble des nombres réels strictement positifs, l'ensemble $S_2$ des solutions de l'équation 

\[\left(E_2\right)\qquad 2(\ln x)^3 + 11(\ln x)^2 - 20 \ln x + 7 = 0\: \text{ est } :\]

\begin{enumerate}
\item $S_2 = \left\{\text{e}~;~\text{e}^{-7}~;~\sqrt{\text{e}}\right\}$
\item $S_2 = \left\{\text{e}^{- 1}~;~\text{e}^{-7}~;~\sqrt{\text{e}}\right\}$
\item $S_2 = \left\{\text{e}~;~\text{e}^7~;~\sqrt{\text{e}}\right\}$
\item $S_2 = \left\{\text{e}~;~\text{e}^7~;~\text{e}^{- \frac{1}{2}}\right\}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 20 :} dans $\R$, ensemble des nombres réels, l'ensemble $S_3$ des solutions de l'équation

\[\left(E_3\right)\qquad  2\text{e}^{3x} + 11\text{e}^{2x} - 20\text{e}^x + 7 = 0 \: \text{ est } :\]

\begin{enumerate}
\item $S_3 = \left\{0~;~- \ln 2~;~\text{e}^{-7}\right\}$
\item $S_3 = \left\{- \ln 2\right\}$
\item $S_3 = \left\{ 0~;~- \ln 2\right\}$
\item $S_3 = \left\{0~;~- \ln 2~;~- \ln 7\right\}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE IV}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On donne les équations différentielles $(F)$, $(G)$ et $\left(G_0\right)$ suivantes :\\
\[(F)\: y'' + 4y = 0.\quad (G)\: y'+ y = 2\text{e}^{-x}\quad  \text{et}\quad  \left(G_0\right)\: y' + y = 0\: \text{où} :\]\\
$y$ , $y'$ et $y''$ désignent respectivement une fonction, sa dérivée première et sa dérivée seconde.\\
On \textbf{admet} que l'ensemble des solutions de l'équation $(G)$ est l'ensemble des fonctions $h$ qui s'écrivent sous la forme $h = g + g_0$ où $g$ désigne une solution particulière de l'équation $(G)$ et $g_0$ la forme générale des solutions de l'équation $\left(G_0\right)$.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 21:} la fonction $f$ solution d'équation différentielle $(F)$ satisfaisant aux conditions initiales $f(0) = \sqrt{3}$ et $f'(0) = 2$ est définie par l'expression :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(x) = \sqrt{3}\cos (2x)+ \sin (2x)$
\item $f(x) = \sqrt{3}\cos (4x)+ \sin (4x)$
\item $f(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos (2x) + \dfrac{1}{2}\sin (2x)$
\item $f(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos (4x)+ \dfrac{1}{2}\sin (4x)$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 22 :} pour tout nombre réel $x$, nous avons:

\begin{enumerate}
\item $f(x) = \sin \left(4x + \dfrac{\pi}{3}\right)$
\item $f(x) = 2\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$
\item $f(x) = \sin \left(4x + \dfrac{\pi}{6}\right)$
\item $f(x) = 2\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 23 :} pour $x \in  [0~;~2\pi[$, l'équation $f(x) = 0$ admet pour ensemble de solutions :

\begin{enumerate}
\item $S = \left\{\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{5\pi}{6}~;~ \dfrac{11\pi}{6}\right\}$
\item $S = \left\{\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{4\pi}{3}~;~\dfrac{11\pi}{6}\right\}$
\item $S = \left\{\dfrac{5\pi}{6}~;~\dfrac{4\pi}{3}~;~\dfrac{11\pi}{6}\right\}$
\item $S = \left\{\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{5\pi}{6}~;~\dfrac{4\pi}{3}\right\}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 24 :}

\begin{enumerate}
\item La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 2\text{e}^{-x}$ est solution de l'équation $(G)$.
\item La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 2x\text{e}^{-x}$ est solution de l'équation $(G)$.
\item La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x\text{e}^{-x}$ est solution de l'équation $(G)$.
\item La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = -2x\text{e}^{-x}$ est solution de l'équation $(G)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 25 :} la solution $h$ de l'équation $(G)$ qui vérifie la condition initiale $h(0) = - 1$ s'écrit:

\begin{enumerate}
\item $h(x) = (2x + 1)\text{e}^{-x}$
\item $h(x) = 2x\text{e}^{-x} + \text{e}^{x}$
\item $h(x) = (2x - 1)\text{e}^{-x}$
\item $h(x) = 2x\text{e}^{-x} - \text{e}^{x}$
\end{enumerate}
\end{document}