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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 2012}
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\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2012~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE COMMUNE OBLIGATOIRE}

\bigskip

\textbf{\large QUESTIONS LIÉES}


1 à 9

10 à 21

22 à24
\end{center}
\bigskip

\textbf{\large PARTIE I}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Une enquête portant sur $500$ clients d'un concessionnaire automobile a montré que 
80\,\% des clients avaient bénéficié des conseils d'un vendeur. De plus, 70\,\% des clients ayant bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat, alors que 
20\,\% seulement des clients n'ayant pas bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On en déduit que
\textbf{A.}~ seuls 400 clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur

\textbf{B.}~ plus de 401 clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur

\textbf{C.}~ moins de 399 clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur 

\textbf{D.}~ plus de 99 clients n'ont pas bénéficié des conseils d'un vendeur
\item Parmi les clients ayant bénéficié des conseils d'un vendeur 

\textbf{A.} 300 ont effectué un achat

\textbf{B.}~plus de 281 ont effectué un achat

\textbf{C.} moins de 100 n'ont pas effectué un achat

\textbf{D.}~ plus de 140 n'ont pas effectué d'achat

\item Parmi les clients qui n'ont pas été conseillés par un vendeur 

\textbf{A.} plus de 21 ont fait un achat

\textbf{B.}~moins de 21 ont fait un achat

\textbf{C.} 100 ont fait un achat

\textbf{D.}~ 80 n'ont pas effectué d'achat
\item Sur l'échantillon des 500 clients considérés 

\textbf{A.} 300 n'ont pas effectué d'achat

\textbf{B.}~ 280 au plus ont effectué un achat

\textbf{C.} seuls 300 ont effectué un achat

\textbf{D.}~ plus de 201 n'ont pas effectué d'achat

\bigskip

On note $A$ l'évènement \og le client a effectué un achat\fg{} et $C$ l'évènement \og le client a bénéficié des conseils d'un vendeur\fg.

\medskip

\item La probabilité de l'évènement 

\textbf{A.}~$A$ vaut $P(A) = 4/5$

\textbf{B.}~A vaut $P(A) = 7/4$

\textbf{C.}~C vaut $P(C) = 4/5$

\textbf{D.}~C vaut $P(C) = 3/5$

\item L'évènement

\textbf{A.}~$A \cap C$ représente l'évènement \og le client a acheté ou a bénéficié des conseils d'un vendeur \fg

\textbf{B.}~$A \cap C$ représente l'évènement \og le client a acheté et a bénéficié des conseils d'un vendeur \fg

\textbf{C.}~ $A \cap C$ représente l'évènement \og le client a acheté et a bénéficié des conseils d'un vendeur \fg

\textbf{D.}~$A \cap C$ représente l'évènement \og le client a acheté ou a bénéficié des conseils d'un vendeur \fg

\item L'évènement $B$ \og le client a bénéficié des conseils d'un vendeur et a acheté \fg{} a pour probabilité

\textbf{A.}~$P(B) = P(A \cup C) = 28/50$ 

\textbf{B.}~$P(B) = p(A \cap C) = 3/5$ 

\textbf{C.}~$P(B) = p(A \cap C) = 2/5$ 

\textbf{D.}~$P(B) = p(A \cap C) = 7/10$
\item L'évènement $D$ \og le client a bénéficié des conseils d'un vendeur ou a acheté \fg a pour probabilité

\textbf{A.}~$P(D) = P(A \cup C)= P(A) + P(C)$

\textbf{B.}~$P(D) = P(A \cup C)= (4/5) + (3/5) - (28/50) = 84/100$ 

\textbf{C.}~$P(D) = p(A \cap C) = 84/100$

\textbf{D.}~$P(D) = p(A \cap C) = P(A)P(C) = 48/100$

\item On choisit, au hasard, un des clients qui a effectué un achat et on admet qu'il y a équiprobabilité. La probabilité de choisir un client parmi les clients ayant bénéficié des conseils d'un vendeur est

\textbf{A.}~la probabilité de réalisation de l'évènement $C$ sachant que $A$ est réalisé 

\textbf{B.}~la probabilité de réalisation de l'évènement $A$ sachant que $C$ est réalisé 

\textbf{C.}~égale à $P_A(C) = 14/15 = p(A \cap C)/P(A)$

\textbf{D.}~égale à $P_A(C) = 1/15 = P(A \cap C)/P(A)$

\bigskip

\begin{center} \textbf{PARTIE II}\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Une entreprise produit et vend des bateaux. L'objectif de l'étude est de comparer les recettes et les coûts induits par cette activité. On note $x$ le nombre de bateaux fabriqués chaque semaine, $x$ étant un nombre entier compris entre $3$ et $12$.\\
On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$, des nombres réels, par

\[f(t) = 0,25t^2 + t + 20,25.\]

Le coût total $C(x)$ de production hebdomadaire de $x$ bateaux, exprimé en milliers
d'euros, est défini par :

\[C(x) = 3f(x).\]
\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item La fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout $x$ appartenant à l'ensemble $\R$ par

\textbf{A.}~$f'(x)= 0,5x$

\textbf{B.}~$f'(x)= 0,5x + 1$

\textbf{C.}~$f'(x)= 0,5x + 21,25$

\textbf{D.}~$f'(x)= 0,25x+1$

 
\item La fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ a pour valeur, au point $x = 0$,

\textbf{A.}~$f'(0) = 20,25$

\textbf{B.}~$f'(0) = 0$ 

\textbf{C.}~$f'(0) = 21,25$

\textbf{D.}~$f'(0) = 1$

\item La courbe représentant la fonction $f$ dans un repère orthonormé est notée 
$\mathcal{C}_f$. On a alors

\textbf{A.}~$\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 0 

\textbf{B.}~$\mathcal{C}_f$ admet une tangente verticale au point d'abscisse 0

\textbf{C.}~$\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $-2$ 

\textbf{D.}~$\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $-1$

\item  La fonction $f$ est

\textbf{A.}~croissante sur $[0~;~+\infty[$

\textbf{B.}~décroissante sur $]-\infty~;~0]$

\textbf{C.}~décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~-2]$ et croissante sur l'intervalle $[-2~;~+\infty[$ 

\textbf{D.}~décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~0]$ et croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Tous les bateaux fabriqués par l'entreprise sont vendus et elle doit fixer le prix de son produit. On note $R_i(x)$ la recette, exprimée en milliers d'euros, occasionnée
par la vente de $x$ bateaux à un tarif $p_i$ où $i$ est un entier.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  La première proposition de prix $p_1$ est de \np{16500}~euros par bateau, la fonction $R_1$ définissant la recette correspondante vérifie, pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 3

\textbf{A.}~$R_1(x) = \np{16500} x$ 

\textbf{B.}~$R_1(x)= 165x$

\textbf{C.}~$R_1(x) = 1,65x$ 

\textbf{D.}~$R_1(x) = 16,5 x$

\item  La seconde proposition de prix est un tarif unitaire $p_2$ de \np{18900}~euros, la fonction $R_2$ définissant la recette correspondante vérifie

\textbf{A.}~$R_2(x) = \np{18900}x$ pour tout x réel supérieur ou égal à 3

\textbf{B.}~$R_2 = 189x$ pour tout x réel supérieur ou égal à 3

\textbf{C.}~la courbe représentant $R_2$ est une droite passant par les points (0~;~0) et (10~;~189) 

\textbf{D.}~la courbe représentant $R_2$ est une droite passant par les points (0~;~0) et (10~;~\np{189000})


\item Les fonctions $R_1$ et $R_2$ vérifient

\textbf{A.}~$R_2(x) > C(x)$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 3 

\textbf{B.}~$R_1(x) > C(x)$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 3 

\textbf{C.}~$R_1(x) < C(x)$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 3 

\textbf{D.}~$R_2(x) < C(x)$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 3

\item  Dans le cas de la seconde proposition de prix $p_2$ le bénéfice généré est défini par la fonction $B_2$ vérifiant

\textbf{A.}~$B_2(x) = -0,25 x^2 + 5,3x - 20,25$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 5

\textbf{B.}~$B_2(x) = 3\left(-0,25x^2 + 5,3x -20,25\right)$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 5

\textbf{C.}~$B_2(x) = 3\left(0,25x^2 - 5,3 x + 20,25\right)$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 3 

\textbf{D.}~$B_2(x) = 0,25x^2 - 5,3 x + 20,25$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 3

\item  La fonction $B_2$ est

\textbf{A.}~croissante sur l'intervalle [5~;~12]

\textbf{B.}~décroissante sur l'intervalle [5~;~12]

\textbf{C.}~décroissante sur l'intervalle [5~;~10,6] et croissante sur l'intervalle [10,6~;~12] 

\textbf{D.}~croissante sur l'intervalle [5~;~10,6] et décroissante sur l'intervalle [10,6~;~12]

\item La fonction $B_2$

\textbf{A.}~admet un maximum au point $x = 10,6$ sur l'intervalle [5~;~12] 

\textbf{B.}~admet un minimum au point x = 10,6 sur l'intervalle [5~;~12] 

\textbf{C.}~n'admet pas de maximum sur l'intervalle [5~;~12]

\textbf{D.}~n'admet pas d'extremum sur l'intervalle [5~;~12]

\item Sur l'intervalle [3~;~12], l'équation $R_2(x) = C(x)$ 

\textbf{A.}~n'admet pas de solution

\textbf{B.}~admet au moins une solution car les fonctions $R_2$ et $C$ s'annulent au point $x = 0$ 

\textbf{C.}~a une solution unique car les courbes représentant les fonctions $R_2$ et $C$, dans un repère orthonormé, se coupent une seule fois

\textbf{D.}~admet 2 solutions car les courbes représentant les fonctions $R_2$ et $C$, dans un repère orthonormé, se coupent deux fois

\item  Dans le cas de la seconde proposition de prix $p_2$ le bénéfice maximum hebdomadaire est

\textbf{A.}~obtenu par une vente hebdomadaire de $11$ bateaux 

\textbf{B.}~obtenu une vente hebdomadaire de $10$ bateaux

\textbf{C.}~de \np{23400} euros

\textbf{D.}~de \np{2340} euros

\medskip

\begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center}

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Disposant d'un capital de \np{10000} euros un investisseur étudie les offres de placement de deux banques différentes.\\
La banque A propose un placement à intérêts composés au taux annuel de 3,5\,\%.\\
La banque B propose un placement à intérêts composés au taux annuel de 2\,\%, les intérêts obtenus sont augmentés d'une prime annuelle de $170$ euros intégrée au capital, ainsi les intérêts et la prime produisent des intérêts pour l'année suivante\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  On étudie l'offre de la banque A et on note $\left(a_n\right)$ la suite dont le terme général $a_n$ représente, pour tout entier naturel $n$, le capital, en euros, de l'investisseur au début de l'année $n$. La suite $\left(a_n\right)$ ainsi définie

\textbf{A.}~est une suite géométrique de raison $1,035$ et de premier terme \np{10000} mais n'est pas une suite arithmétique

\textbf{B.}~n'est pas une suite géométrique mais est une suite arithmétique de raison 3,5\,\% et de premier terme \np{10000}

\textbf{C.}~est une suite arithmétique de raison $350$ et de premier terme \np{10000} mais n'est pas une suite géométrique

\textbf{D.}~est une suite géométrique de raison $350$ et de premier terme \np{10000}

\item  La suite $\left(a_n\right)$ vérifie, pour tout $n$ entier positif

\textbf{A.}~$a_n = a_0q^n$,\, $q = 1,035$ désignant la raison et $a_0$ le premier terme de la suite

\textbf{B.}~$a_n = a_0 + nr$,\, $r$ désignant la raison et $a_0$ le premier terme de la suite

\textbf{C.}~$a_n = a_0 + q^n$,\, $q = 1,035$ désignant la raison et $a_0$ le premier terme de la suite 

\textbf{D.}~$a_n = a_0nr$,\,\ $r$ désignant la raison et $a_0$ le premier terme de la suite

\item  On étudie l'offre de la banque B et on note $\left(b_n\right)$ la suite dont le terme général $b_n$ représente, pour tout entier naturel $n$, le capital, en euros, de l'investisseur au début de l'année $n$. La suite $\left(b_n\right)$ ainsi définie

\textbf{A.}~ est une suite géométrique de raison $1,02$ et de premier terme \np{10000} mais n'est pas une suite arithmétique

\textbf{B.}~est une suite arithmétique de raison $370$ et de premier terme \np{10000} mais n'est pas une suite géométrique

\textbf{C.}~vérifie, pour tout $n$ entier positif, $b_{n+1} = b_n q +170$, \,  $q = 1,02$ et $b_0$ désigne le premier terme de la suite

\textbf{D.}~vérifie, pour tout $n$ entier positif, $b_n = b_0 + q^n$,\,  $q = 1,02$ désignant la raison et $b_0$ le premier terme de la suite

\bigskip

\begin{center}
\textbf{PARTIE IV}
\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $I= [-3~;~3]$ par 

\[g(x) = (x + 2) \text{e}^{-x},\]

e désignant la fonction exponentielle.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Soient $\alpha$ un nombre réel strictement compris entre 0 et 1 et $\beta$ un nombre réel strictement compris entre $-2$ et $-1$. On établit que

\textbf{A.}~$g(\alpha) > \text{e} > g(\beta)$ car la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $I$

\textbf{B.}~$g(0) > g(\alpha) > 3\text{e}^{-1}$ car la fonction g est décroissante sur l'intervalle $[-1~;~3]$ 

\textbf{C.}~$g(0) > g(\beta) > 0$ car la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[-3~;~0]$

\textbf{D.}~l'équation $g(x) = 3$ n'a pas de solution sur l'intervalle $I$
\end{enumerate}
\end{document}