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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mathématiques générales avancées}
\lfoot{\small{TeSciA}}
\rfoot{\small{session 19 mars 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Évaluation ESciA  session 19 mars 2022~\decofourright\\[7pt]Mathématiques générales Épreuve 1}\\[7pt]Durée : 1 h 30 min}

\medskip

\textbf{FONCTIONNEMENT DES QUESTIONS}
\end{center}

$\bullet~~$Les questions à \emph{choix multiples} sont numérotées \textbf{M1}, \textbf{M2} etc. Le candidat y répond en \textbf{noircissant} la case correspondant à sa réponse dans la feuille-réponse $\square$.

Pour chacune de ces questions, il y a une et une seule bonne réponse.

Toute réponse fausse retire des points aux candidats.

Noircir plusieurs réponses à une même question a un effet de neutralisation (le candidat récoltera 0 point).

\medskip

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse brute} sont numérotées L1, L2, etc.

Elles ne demandent aucune justification : les résultats sont reportés par le candidat dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\triangle$. Tout débordement de cadre est interdit.

\medskip

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse rédigée} sont numérotées R1, R2, etc. Elles sont écrites dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\bigcirc$ ou la feuille-réponse $\triangle$, selon le symbole précédant le numéro de la question. Tout débordement de cadre est interdit.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{CONSEILS DE BON SENS}\end{center}

$\bullet~~$L'énoncé est (très) long: il n'est absolument pas nécessaire d'avoir tout traité pour avoir une note et un classement excellents.

$\bullet~~$Ne vous précipitez pas pour reporter vos réponses, notamment aux questions à choix multiples. Il est préférable d'avoir terminé un exercice avant d'en reporter les réponses.

$\bullet~~$Ne répondez jamais au hasard à une question à choix multiples !

$\bullet~~$Selon l'exercice, les questions peuvent être dépendantes les unes des autres ou non. Soyez attentifs à la variété des situations.

\newpage

\textbf{\Large Exercice 1. Une suite récurrente}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac13u_n + 2$ pour tout entier naturel~$n$.

On pose $a_n = u_n - 3$ lorsque $n$ est un entier naturel.

\medskip

$\square$ \textbf{M1} La valeur de $u_2$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac{37}{3}$&\B $\dfrac{25}{9}$&\C  $\dfrac{25}{3}$&$\dfrac{37}{9}$&$\dfrac{10}{3}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M2} La suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\A n'est ni arithmétique, ni géométrique &\B est arithmétique &\C est géométrique
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M3} La suite $\left(a_n\right)_{n\in \N}$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\A est arithmétique&\B est géométrique &\C n'est ni arithmétique, ni géométrique
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M4}  La raison de la suite $\left(a_n\right)_{n\in \N}$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac13$&\B  2&\C $- \dfrac23$&\D Cette suite ne possède pas de raison&\E 3
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M5}  Pour tout entier naturel $n$, le terme $a_n$  vaut:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $- 2\left(\dfrac13 \right)^n$&\B $\left(\dfrac13 \right)^n$&\C $\left(\dfrac13 \right)^{n+1}$ &\D $- \left(\dfrac13 \right)^{n+1}$ &\E $- 2\left(\dfrac13\right)^{n+1}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M6}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ vaut:

\A $\left(\dfrac13 \right)^{n+1} + 3$

\B $\left(\dfrac13 \right)^{n} - 3$

\C $\left(\dfrac13 \right)^{n+2} + 3$

\D $- 2\left(\dfrac13 \right)^{n+2} - 3$

\E $- 2\left(\dfrac13 \right)^n + 3$

\smallskip

$\bigcirc$ \textbf{R1}  Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$,
en justifiant votre réponse.

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 2. Identités algébriques}

\medskip

$\square$ \textbf{M7} Étant donné un réel $x$ différent de $-2$, la quantité $\dfrac{2}{x + 2} - 1$ est systématiquement égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac{1}{x+2} $&\B  $\dfrac{-x+4}{x + 2}$&\C $\dfrac{ 1-x}{x}$&\D $\dfrac{-x}{ x+2}$&\E aucune des autres réponses
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M8} Étant donné un réel $x$ différent de 1 et $-1$, la quantité $\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x - 1}$ est systématiquement égale à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A aucune des autres réponses&\B $\dfrac{2}{(x + 1)(1 - x)}$&\C $\dfrac{2x}{(x + 1)(1 - x)}$&\D $\dfrac12$&\E 1
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M9} Étant donné un réel $x$ différent de 1 et $-1$, la quantité $\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x - 1}$ est systématiquement égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac{x-1}{x}$&\B $\dfrac{x-1}{x+1}$&\C $\dfrac{ x+2}{x-1}$&\D $\dfrac{x-2}{x-1}$&\E aucune des autres réponses
\end{tabularx}
\end{center}


$\square$ \textbf{M10} Étant donné deux réels non nuls $a$ et $b$, la quantité $\dfrac ab + \dfrac ba$ est systématiquement égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A aucune des autres réponses&\B $\dfrac{2ab}{a + b}$ &\C $\dfrac{ab}{a + b}$&\D $\dfrac{a^2 + b^2}{ab}$&\E $\dfrac{a + b}{ab}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M11} Étant donné deux réels non nuls $a$ et $b$, la quantité $\left(\dfrac{b + \dfrac 1a}{b} \right)a$ est systématiquement égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $b + \dfrac 1b$&\B aucune des autres réponses&\C $a + \dfrac 1b$	&\D $a + \dfrac 1a$&\E $a + 1$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M12} Étant donné deux réels $a$ et $b$ tels que $a - b \ne  0$ et $a + b \ne  0$, la quantité $\dfrac{a-b}{a+b} - \dfrac{b}{a - b}$ est systématiquement égale à : 

\medskip

\A aucune des autres réponses

\B $\dfrac{a(a - 3b)}{a^2 - b^2}$

\C $\dfrac{a - 2b}{b}$

\D $- 1 - \dfrac 1a$

\E $\dfrac{a^2- ab - 2b^2}{a^2 - b^2}$

$\square$ \textbf{M13} Étant donné deux réels $a$ et $b$ distincts et non nuls, la quantité $\dfrac{a^{-1} + b^{-1}}{a - b} + \dfrac{a - b}{a^{-1} - b^{-1}}$ est systématiquement égale à :

\medskip

\A aucune des autres réponses

\B  $\dfrac{a+b}{ 2}$

\C $\dfrac{a + b}{ab(a - b)}$

\D $\dfrac{-ab}{(a - b)^2}$

\E $\dfrac{(a + b)(1 - ab)(1 + ab)}{ab(a - b)}$

\medskip

$\triangle$ \textbf{L1} Étant donné deux réels $a$ et $b$, développer et simplifier l'expression 
\[A = 2 \left(a - \dfrac b2\right)^2 +(a + b - 1)^2.\]

On écrira le résultat final sans justification.

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 3. Équations et inéquations}

\medskip

$\square$ \textbf{M14} L'équation $2x^2 - 3x +1 = 0$ a pour solution(s) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X p{3cm}*{3}{X}}
\A $\dfrac12$ et 1&\B aucune des autres réponses proposées &\C $\dfrac34$&\D $- \dfrac12$ et $- 1$&\E 1 et 2
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M15} L'équation $x^3 + x = 2x^2$ a pour solution(s) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 0 et 1 &\B 1&\C  0 , \:1 et un autre réel &\D  0&\E 0 et $-1$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M16} L'équation $x^2 = \dfrac 1x$ a pour solution(s) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}p{3.5cm} X}
\A 0 &\B 1 et $- 1$&\C 0 et 1&\D 1 et deux autres nombres réels&\E 1
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

$\square$ \textbf{M17} L'inéquation $x^2 + x - 1 \geqslant 0$  a pour ensemble de solutions :

\medskip

\A $\R$

\B aucune des autres réponses proposées

\C $\left]- \infty~;~\dfrac{1 - \sqrt 3}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{1 + \sqrt 3}{2}]~;~+ \infty\right[$

\D  $\left[\dfrac{1 - \sqrt 3}{2}~;~ \dfrac{1 + \sqrt 3}{2}\right]$

\E l'ensemble vide

\medskip

$\square$ \textbf{M18} L'inéquation $\dfrac{1}{x - 1} > 1$ a pour ensemble de solutions :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $]-\infty~;~2[$&\B $]-\infty~;~1[$&\C $]2~;~+ \infty[$&\D $]1~;~+ \infty[$&\E ]1~;~2[
\end{tabularx}
\end{center}

$\triangle$ \textbf{L2} Donner sans justification l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 > 2$.

\medskip

$\bigcirc$ \textbf{R2} Donner, en justifiant votre réponse, l'ensemble des solutions de l'inéquation 
\[x^2 +3 \leqslant 4x + 2.\]

\smallskip

$\square$ \textbf{M19} Le nombre de solutions (réelles) de l'équation $\dfrac{1}{x^2 + 1} = 2$ vaut:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 3&\B 2&\C 4&\D 0&\E 1
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M20} Le nombre de solutions (réelles) de l'équation 
\[\dfrac 1x - \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{2x + 1}{x(x + 1)}\]
vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 1&\B 4&\C 2&\D 3&\E 0
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 4. Probabilités}

\medskip

Une urne contient initialement une boule bleue et trois boules rouges.

On effectue l'expérience suivante:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item On réalise un premier tirage dans l'urne.
	\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
		\item Si la boule obtenue est bleue, on la remet dans l'urne et on y ajoute cinq boules bleues supplémentaires (l'urne contient alors six boules bleues et trois boules rouges).
		\item Si la boule obtenue est rouge, on ne la remet pas dans l'urne (l'urne contient alors une boule bleue et deux boules rouges).
	\end{itemize}
\item On réalise ensuite un deuxième tirage dans l'urne selon la même règle que le premier tirage.
\end{itemize}

On note $B_1$ l'évènement \og on a obtenu une boule bleue au premier tirage \fg, et $B_2$ l'évènement \og on a obtenu une boule bleue au second tirage \fg.

\medskip

$\square$ \textbf{M21} La probabilité d'obtenir une boule rouge au premier tirage est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac13$&\B $\dfrac34$&\C $\dfrac12$&\D $\dfrac{25}{9}$&\E $\dfrac14$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M22} On suppose \textbf{dans cette question uniquement} qu'on a tiré une boule bleue au premier tirage. Dans cette situation, la probabilité de tirer une boule bleue au deuxième tirage est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac12$&\B $\dfrac13$&\C $\dfrac23$&\D $\dfrac{1}{16}$&\E $\dfrac16$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M23} La probabilité calculée à la question précédente est aussi égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\A $P\left(B_1\right)$&\B $P\left(B_2\right)$&\C $P_{B_2}\left(B_1\right)$&\D $P_{B_1}\left(B_2\right)$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M24} La probabilité d'obtenir deux boules bleues (une à chaque tirage) est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac14$&\B $\dfrac{1}{16}$&\C $\dfrac12$&\D $\dfrac{2}{3}$&\E $\dfrac16$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M25} La probabilité d'obtenir une boule bleue au deuxième tirage est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $1$&\B $\dfrac{5}{12}$&\C $\dfrac12$&\D $\dfrac{1}{5}$&\E $\dfrac29$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M26} On note $C$ l'évènement \og on a tiré deux boules rouges \fg. Laquelle des assertions suivantes est vraie ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\A $P\left(B_2\right) = P(C)$&\B $P\left(B_2\right) > P(C)$&\C $P\left(B_2\right) < P(C)$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Dans la suite, on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules bleues tirées dans cette expérience.

\medskip

$\square$ \textbf{M27} Les valeurs possibles pour $X$ sont:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\A 0,\:1,\:2,\: \ldots,\:6&\B 1 et 6&\C 0, 1 et 2
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M28} La probabilité $P(X = 1)$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac{1}{4}$&\B $\dfrac{1}{12}$&\C $\dfrac23$&\D $\dfrac{1}{3}$&\E $\dfrac12$
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

$\triangle$ \textbf{L3} Donner sans justification l'espérance de $X$ (sous la forme d'une fraction irréductible).

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 5. Géométrie dans l'espace}

\medskip

L'espace euclidien E est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les droites $D$ et $D'$ paramétrées comme suit :

\[(D)\quad \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{3}t + 2,\\
y&=&3t - 1,\\
z&=&2t + 2,
\end{array}\right. \: t\in \R \quad \text{et}\:\quad 
(D')\quad \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{-}s + 2,\\
y&=&\phantom{-}s + 5,\\
z&=&-2s + 1,\end{array}\right. \: s\in \R.\] 


On note enfin $P$ le plan d'équation $x + y - 2z+4 = 0$.

\medskip

$\triangle$ \:\textbf{L4} Donner sans justification un vecteur directeur de $D$ et un vecteur directeur de $D'$.

\medskip

$\square$ \textbf{M29} Les droites $D$ et $D'$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\A sont orthogonales&\B sont parallèles&\C ne sont ni parallèles ni orthogonales
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

$\square$ \textbf{M30} La droite $D$ : 

\medskip

\A est sécante à $P$ mais non orthogonale à $P$

\B est orthogonale à $P$

\C est parallèle à $P$ mais non incluse dans $P$

\D est incluse dans $P$

\medskip

$\square$ \textbf{M31}  La droite $D'$ :

\medskip

\A est parallèle à $P$ mais non incluse dans $P$ 

\B est orthogonale à $P$

\C est incluse dans $P$

\D est sécante à $P$ mais non orthogonale à $P$

\bigskip

Dans la suite, on considère les points de l'espace :

\begin{center}A(0~;~1~;~3),\: B(1~;~4~;~2),\: C(3~;~10~;~0),\: D$(-1~;~4~;~2)$, et E(2~;~3~;~1).\end{center}

\textbf{\large Vrai ou faux ?}

\medskip

$\square$ \textbf{M32} Les points A, B et C sont coplanaires.

\begin{center}\A \:Faux \qquad \B Vrai\end{center}

$\square$ \textbf{M33} Le triangle ABE est rectangle.

\begin{center}\A \:Vrai \qquad \B\: Faux\end{center}

$\square$ \textbf{M34} Les points A, B, C, D sont coplanaires.

\begin{center}\A \:Vrai \qquad \B\: Faux\end{center}

$\square$ \textbf{M35} Le point C appartient au segment [AB].

\begin{center}\A \:Vrai \qquad \B\: Faux\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 6. Calculs de dérivées}

\bigskip

$\square$ \textbf{M36} La dérivée de la fonction $x \longmapsto \dfrac 1x  + \ln (x)$ est la fonction qui à $x$ associe: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac 2x$&\B $\dfrac{2x - 1}{x^2}$&\C $\dfrac{1 + x}{x^2}$&\D $\dfrac{x - 1}{x^2}$&\E $\ln (x) + \dfrac 1x$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M37} La dérivée de la fonction $x \longmapsto x^2\ln (x) - x$ est la fonction qui à $x$ associe:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}p{2.8cm}*{2}{X}}
\A $1$&\B $x - 1$&\C $2x \ln (x) + x - 1$&\D $2x \ln (x)$&\E $2x \ln (x) - 1$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M38} La dérivée de la fonction $x \longmapsto \dfrac{1 + 2x}{2 - x}$ est la fonction qui à $x$ associe :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac{2}{2 - x}$&\B $\dfrac{-2}{(2 - x)^2}$&\C $- 2$&\D $\dfrac{3 - 4x}{(2 - x)^2}$&\E $\dfrac{5}{(2 - x)^2}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M39}  La dérivée sur $\R_+^{*}$de la fonction $x \longmapsto \e^{x + 2\ln (x)}$ est la fonction qui à $x$ associe:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $x(x + 2)\e^x$&\B $\dfrac{x +2}{x}\e^x$&\C $\dfrac{x}{x + 2}\e^x$&\D $\dfrac{1}{x(x + 2)}\e^x$&\E $x \e^x$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M40} La dérivée sur $\R_+^{*}$ de la fonction $x \longmapsto  \e^x (\ln x )^2$ est la fonction qui à $x$ associe :

\medskip

\A $\e^x \ln x (\ln x + 1)$

\B $\dfrac{2x \ln x + 1}{x} \e^x \ln x$

\C $\dfrac{x + 1}{x} \e^x(\ln x)^2$

\D $\dfrac{x \ln x + 2}{x} \e^x \ln x$

\E $\dfrac 2x \e^x \ln x$

\bigskip

$\square$ \textbf{M41} Soit $u, v$ et $w$ trois fonctions dérivables définies sur $\R$ La dérivée de $uvw$ est :

\medskip

\A $u'v'w'$

\B aucune des autres réponses proposées

\C $vw + uw + uv$

\D $u'vw +uv'w + uvw'$

\E $u'v'w + uv'w' +u'vw'$

\medskip

$\triangle$ \textbf{L5} Donner une expression, la plus simple possible, de la dérivée de $x \longmapsto \sqrt{x^2 + 1}$.

\medskip

$\square$ \textbf{M42} La dérivée de $x \longmapsto \ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ est la fonction qui à $x$ associe:

\A $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

\B $\dfrac{x}{1 + \sqrt{x^2 + 1}}$

\C $\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

\D $\dfrac{1}{1 + \sqrt{x^2 + 1}}$

\E $\dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

\medskip

$\triangle$ \textbf{L6} Donner sans justification la dérivée de la fonction $x \longmapsto x \ln \left(1 + \e^{2x}\right)$.

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 7 Limites de fonctions}

\medskip

$\square$ \textbf{M43} Lorsque $x$ tend vers $-\infty$, la quantité $-10x^2 +3x^6 + 4$ tend vers :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $3x^2$&\B $- \infty$&\C $1$&\D $4$&\E $+ \infty$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M44} Lorsque $x$ tend vers 2, la quantité $\left(\dfrac 1x +x\right)\ln (x)$ tend vers :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A une limite finie non nulle&\B $0$&\C $- \infty$&\D aucune limite&\E $+ \infty$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M45} Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, la quantité $\dfrac{\e^x}{\e^{-x} - 1}$ tend vers

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A une limite finie non nulle&\B $0$&\C $+ \infty$&\D aucune limite&\E $- \infty$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M46} Lorsque $x$ tend vers $-\infty$, la quantité $\e^{2x} - x\e^x - x^5$ tend vers :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A aucune limite&\B $- \infty$&\C $+ \infty$&\D $1$&\E $0$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M47} Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, la quantité $\dfrac{\ln \left(1 + \e^{-x}\right)}{\e ^{-x}}$ tend vers:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X p{2.5cm}*{3}{X}}
\A $+ \infty$&\B aucune des autres réponses proposées&\C $1$&\D 0&\E $- \infty$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M48}  Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, la quantité $\dfrac{\ln \left(1 + \e^{-2x}\right)}{\e^{-x}}$ tend vers:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $- \infty$&\B 1&\C $0$&\D $+ \infty$&\E {\footnotesize aucune des autres réponses proposées}
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M49} Lorsque $x$ tend vers 0, la quantité $\dfrac{\e^{2 + 3x} - \e^2}{x}$
 tend vers

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $3\e$&\B $\e^2$&\C $- \infty$&\D $3\e^2$&\E $+ \infty$
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

$\bigcirc$ \textbf{R3} Déterminer, en la justifiant, la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $x \left(\sqrt{1 + \dfrac{1}{\e^2}} - 1\right)$.

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 8 Géométrie plane}

\medskip

Dans tout cet exercice, on considère un parallélogramme non aplati ABCD. On prend un point I sur la droite (AC), distinct de A, et on écrit $\vect{\text{AI}} = \mu \vect{\text{AC}}$ où $\mu$ est un réel non nul.

On prend aussi un point K sur la droite (AB), distinct de A, et on écrit $\vect{\text{AK}}= \nu \vect{\text{AB}}$ où $\nu$ est un réel non nul. On note enfin J le milieu du segment [BC].

\medskip

$\square$ \textbf{M50} Si $\mu = 2$ alors les droites (IJ) et (AK):

\medskip

\A sont sécantes quelle que soit la valeur de $\nu$

\B peuvent être sécantes ou parallèles, selon la valeur de $\nu$

\C sont parallèles quelle que soit la valeur de $\nu$

\medskip

$\square$ \textbf{M51} Si $\mu = \dfrac12$ alors :

\A on peut choisir $\nu$ pour que I, J et K soient alignés

\B on ne peut pas choisir $\nu$ pour que I, J et K soient alignés

\medskip

$\square$ \textbf{M52} Si $\mu = 1$, alors:

\medskip

\A I, J et K ne peuvent pas être alignés

\B I, J et K sont alignés si et seulement si K = D 

\C I, J et K sont alignés si et seulement si K = B 

\D I, J et K sont alignés si et seulement si K = C 

\E I,J et K sont alignés si et seulement si K = A

\medskip

$\square$ \textbf{M53} Si $\mu = 1$, alors (BI) et (AD) sont :

\begin{center}\A sécantes \quad \B confondues \quad \C parallèles mais non confondues\end{center}

\textbf{Dans toute la suite}, on suppose que $\mu \ne \dfrac12, \: \mu \ne 1$ et $\nu \ne 1$

\medskip

$\square$ \textbf{M54}  Les points I, J et K sont alignés si et seulement si :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\mu - \nu = \mu \nu$ &\B  $\mu + \nu = \mu \nu$&\C $\mu + \nu = 2\mu \nu$&\D  {\small $2\mu + \nu = 2\mu \nu$}&\E $\mu + 2\nu = \mu \nu$
\end{tabularx}
\end{center}

$\bigcirc$ \textbf{R4} Justifier brièvement votre réponse à la question \textbf{M54}.

\medskip

$\square$ \textbf{M55}  $\mu$ est fixé et on rappelle qu'il appartient à $\R \backslash\left\{0~;~\dfrac12~;~1\right\}$. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

\medskip

\A Il existe un unique $\nu$ tel que I,\: J et K soient alignés 

\B  Il existe une infinité de $\nu$  tels que I,\:J et K soient alignés

\C Le nombre de $\nu$ tels que I,\: J et K soient alignés dépend de $\mu$

\D  Il n'existe aucun $\nu$ tel que I,\: J et K soient alignés

\medskip

$\square$ \textbf{M56}  Dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\:\vect{\text{AD}}\right)$, une équation cartésienne de la droite (BI) est: 

\medskip

\A $(\mu - 1)x - \mu y +(\mu - 1) = 0$

\B $\mu x + (\mu - 1)y - \mu =0$

\C $(\mu - 1)x + \mu y - (\mu - 1) = 0$

\D $\mu x - (\mu - 1)y - \mu = 0$

\E aucune des autres réponses proposées

\medskip

$\square$ \textbf{M57}  Quand (AD), (KC) et (BI) sont concourantes, les coordonnées de leur point d'intersection dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\:\vect{\text{AD}}\right)$ sont:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\left(0~;~\dfrac{\mu}{\mu - 1}\right)$ &\B  $\left(0~;~\dfrac{1 - \mu}{\mu}\right)$&\C $\left(0~;~\dfrac{\mu}{1 - \mu}\right)$&\D  $\left(0~;~\dfrac{\mu - 1}{\mu}\right)$&\E $\left(0~;~\dfrac{1}{\mu}\right)$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M58} Les droites (AD), (KC) et (BI) sont concourantes si et seulement si : 

\medskip

\A~ $2\mu + \nu = 2\mu \nu$

\B $\mu + \nu = 2\mu \nu$

\C $\mu + \nu = \mu \nu$

\D $\mu - \nu =\mu \nu $

\E $\mu + 2\nu = \mu \nu$

\medskip

$\square$ \textbf{M59}  Combien y a-t-il de couples $(\mu~;~\nu)$ tels que à la fois I, J et K soient alignés, et à la fois (AD), (KC) et (BI) soient concourantes ?

\medskip

\A Un nombre fini strictement supérieur à 2 

\B Un seul

\C Aucun

\D Deux

\E Une infinité

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 9 Fonctions hyperboliques}

\medskip

On définit la fonction cosinus hyperbolique (notée ch) et la fonction sinus hyperbolique (notée sh) sur $\R$ par:

\begin{center} ch$(x) = \dfrac{\e^x + \e^{-x}}{2}$\quad  et \quad  sh$(x)= \dfrac{\e^x - \e^{-x}}{2}$\end{center}

On définit la fonction tangente hyperbolique (notée th) par:

\begin{center} th$(x) = \dfrac{\text{sh}(x)}{\text{ch}(x)}$\end{center}

\medskip

$\triangle$ \textbf{L7} Donner la dérivée de ch.

\medskip

$\triangle$ \textbf{L8} Donner la dérivée de sh

\medskip

$\square$ \textbf{M60} La fonction th :

\begin{center}\A n'est pas définie en tout réel\qquad \B est définie en tout réel\end{center}

$\square$ \textbf{M61} La fonction th :

\begin{center}\A s'annule en plusieurs points\quad \B ne s'annule pas \quad \C {\small s'annule en exactement un point}\end{center}

$\square$ \textbf{M62} Sur $\R$, la fonction ch :

\begin{center}\A n'est pas monotone\quad \B est strictement croissante \quad \C est strictement décroissante\end{center}

$\square$ \textbf{M63} Sur $\R$, la fonction sh :

\begin{center}\A est strictement décroissante \quad \B n'est pas monotone\quad \C est strictement croissante \end{center}

$\square$ \textbf{M64} Pour tout réel $x$, la quantité $(\text{ch}(x))^2 - (\text{sh}(x))^2$ vaut :

\begin{center}\A $\e^{-2x}$\quad \B 1 \quad \C $2\e^{2x}$\quad \D $\e^{2x}$ \quad \E $- 1$\end{center}

$\square$ \textbf{M65} Sur $\R$, la fonction th :

\begin{center}\A est strictement décroissante\quad \B n'est pas monotone\quad \C est strictement croissante\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M66} Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

\medskip

\A Tout réel strictement négatif a exactement deux antécédents par la fonction ch 

\B Aucune des autres affirmations proposées n'est vraie

\C Tout réel strictement positif a exactement deux antécédents par la fonction ch

\D Tout réel non nul $a$ exactement deux antécédents par la fonction ch, mais 0 n'en a qu'un 

\E Tout réel a exactement un antécédent par la fonction ch

\medskip

$\square$ \textbf{M67} Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

\medskip

\A Il existe des réels qui ont plusieurs antécédents par la fonction sh

\B Tout réel $y$ a exactement un antécédent par la fonction sh et il s'agit de $\ln \left(- y + \sqrt{y^2 + 1}\right)$

\C Tout réel $y$ a exactement un antécédent par la fonction sh et il s'agit de $\ln \left(y + \sqrt{y^2 + 1}\right)$

\D Il existe des réels qui n'ont pas d'antécédent par la fonction sh

\E Tout réel $y$ a exactement un antécédent par la fonction sh et il s'agit de 
$\ln \left(y - \sqrt{y^2 + 1}\right)$ 

\medskip

Dans les questions suivantes, on note $C$ la courbe représentative de la fonction th.

\medskip

$\square$ \textbf{M68} Deux points d'abscisses opposées sur $C$ :

\medskip

\A ont systématiquement la même ordonnée

\B ont systématiquement des ordonnées opposées

\C Aucune des autres réponses proposées n'est vraie

\medskip

$\square$ \textbf{M69} En deux points d'abscisses opposées sur la courbe $C$, les tangentes à $C$ : 

\medskip

\A sont systématiquement perpendiculaires

\B sont systématiquement sécantes en un point de l'axe des ordonnées

\C sont systématiquement sécantes en un point de l'axe des abscisses

\D Aucune des autres réponses proposées n'est vraie 

\D sont systématiquement parallèles

\medskip

$\square$ \textbf{M70} Les limites respectives de la fonction th en $-\infty$ et en $+\infty$ sont :

\medskip

\A $-1$ et 1

\B 0 et 1

\C 0 et $+ \infty$

\D $- \infty$ et 0

\E  $- \infty$ et $+\infty$

\medskip

$\square$ \textbf{M71} La limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $\e^x(1 - \text{th}(x))$ :

\medskip

\A existe et vaut 0 

\B  existe et vaut $+\infty$


\C existe et vaut 1 

\D n'existe pas

\E existe et vaut $-\infty$

\medskip

$\triangle$ \textbf{R5} En justifiant votre réponse, déterminer la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $\e^{2x}(1 - \text{th}(x))$.

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 10. Autour de la partie entière}

\medskip

Dans cet exercice, on note $E$ la fonction partie entière qui à un nombre réel $x$ attache l'unique entier relatif $k = E(x)$ tel que $k \leqslant x < k + 1$.

\bigskip

$\square$ \textbf{M72} Quelle est la partie entière de $\sqrt{45}$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}p{3.5cm}*{2}{X}}
\A 6&\B 45&\C Aucune des autres réponses&\D 5&\E 7
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M73} La fonction qui à tout réel positif $x$ associe $E\left(x^2\right)$ :

\medskip

\A est strictement décroissante

\B n'est pas monotone

\C est croissante mais pas strictement croissante

\D est décroissante mais pas strictement décroissante 

\E est strictement croissante

\medskip

$\square$ \textbf{M74} L'égalité $E(- x) = - E(x)$ est:

\medskip

\A Aucune des autres réponses proposées n'est juste

\B vraie pour toute valeur du réel $x$

\C fausse pour toute valeur du réel $x$ sauf un nombre fini d'entre elles 

\D vraie pour toute valeur du réel $x$ sauf un nombre fini d'entre elles

\E fausse pour toute valeur du réel $x$

\medskip

$\square$ \textbf{M75} La quantité $E(2x)$ :

\medskip

\A est égale à $2 E(x)$ quelle que soit la valeur de $x$

\B  est égale à $2 E(x) + 1$ quelle que soit la valeur de $x$

\C  est égale à $2E(x)$ ou $2E(x) +1$ selon la valeur de $x$

\D est égale à $2E(x)$ ou $2E(x) - 1$ selon la valeur de $x$

\E Aucune des autres réponses proposées n'est juste

\medskip

$\square$ \textbf{M76} Lorsque $x$ parcourt l'ensemble des réels positifs, la quantité $E\left(x^2\right)- [E(x)]^2$ 

\medskip

\A parcourt l'ensemble des entiers

\B est systématiquement nulle

\C parcourt l'ensemble des entiers strictement positifs

\D Aucune des autres réponses proposées n'est juste 

\E parcourt l'ensemble des entiers naturels

\medskip

$\square$ \textbf{M77} Lorsque $x$ parcourt l'ensemble des réels, la quantité $E\left(x^2\right) - \left[E(x)\right]^2$ : 

\medskip

\A parcourt l'ensemble des entiers strictement positifs

\B parcourt l'ensemble des entiers

\C parcourt l'ensemble des entiers naturels

\D Aucune des autres réponses proposées n'est juste 

\E est systématiquement nulle

\medskip

$\triangle\: $\textbf{R6} Déterminer, en justifiant soigneusement votre réponse, l'ensemble des réels $x$ vérifiant $E\left(x^2\right) = x + \dfrac12$.
\end{document}