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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rfoot{\small{session 19 mars 2022}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Évaluation ESciA  session 19 mars 2022~\decofourright\\[7pt]Mathématiques expertes Épreuve 2 , option B}\\[7pt]Durée : 1h 30 min}

\medskip

\textbf{FONCTIONNEMENT DES QUESTIONS}
\end{center}

$\bullet~~$Les questions à \emph{choix multiples} sont numérotées M1, M2 etc. Le candidat y répond en \textbf{noircissant} la case correspondant à sa réponse dans la feuille-réponse $\square$.

Pour chacune de ces questions, il y a une et une seule bonne réponse.

Toute réponse fausse retire des points aux candidats. 

Noircir plusieurs réponses à une même question a un effet de neutralisation (le candidat récoltera 0 point).

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse brute} sont numérotées L1, L2, etc. 

Elles ne demandent aucune justification : les résultats sont reportés par le candidat dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\triangle$. Tout débordement de cadre est interdit.

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse rédigée} sont numérotées RI, R2, etc. Elles sont écrites dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\bigcirc$ ou la feuille-réponse $\triangle$, selon le symbole précédant le numéro de la question. Tout débordement de cadre est interdit.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{CONSEILS DE BON SENS}\end{center}

$\bullet~~$L'énoncé est (très) long: il n'est absolument pas nécessaire d'avoir tout traité pour avoir une note et un classement excellents.

$\bullet~~$Ne vous précipitez pas pour reporter vos réponses, notamment aux questions à choix multiples. Il est préférable d'avoir terminé un exercice avant d'en reporter les réponses.

$\bullet~~$Ne répondez jamais au hasard à une question à choix multiples !

$\bullet~~$Selon l'exercice, les questions peuvent être dépendantes les unes des autres ou non. Soyez attentifs à la variété des situations.

\newpage

\textbf{\Large Exercice 1. Nombres réels}

\medskip

$\square$~ \textbf{M1 } L'ensemble des solutions réelles de l'inéquation $\dfrac{2}{x - 1} < \dfrac{4}{x - 1} + 2$ est :

\medskip

\A $]0~;~+\infty[$

\B aucune des autres réponses proposées

\C $]1~;~+\infty[$

\D $]2~;~+\infty[$

\E $]-\infty~;~0[\cup ]1~;~+\infty[$

\medskip

$\square$~ \textbf{M2 } Pour que l'équation $\e^{2x} - \e^x = m$ possède exactement deux solutions, il faut et il suffit que $m$ appartienne à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\left]- \frac14~;~0\right[$&\B $\left]- \frac14~;~0\right]$&\C $\left]- \frac14~;~1\right]$&\D 
$\left[- \frac14~;~1\right]$&\E $\left[- \frac14~;~+ \infty\right[$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~ \textbf{M3 }  Le nombre de solutions de l'équation $\ln \left(x - \sqrt x  -1\right) = 2$ d'inconnue $x$ réelle est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 1 &\B 0 &\C 3 &\D 4 &\E 2
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M4 }  Pour deux réels $x$ et $y$, la condition $|x + y| = ||x| -  |y||$ est équivalente à la condition :

\medskip

\A $xy \geqslant 0$

\B $xy \leqslant 0$

\C $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$

\D aucune des conditions citées

\E $x \leqslant 0$ et $y \geqslant 0$

\medskip

$\triangle$~ \textbf{L1 } Donner deux entiers $a$ et $b$ tels que $\dfrac{3 + \sqrt 2}{\sqrt 2 + 1} = a + b\sqrt 2.$

\medskip

$\triangle$~ \textbf{L2 } Donner, pour $x$ réel positif, une expression simplifiée de $A(x) = \sqrt{x + 1+ 2\sqrt x} + \sqrt{x + 1 - 2\sqrt x}$.

\medskip

$\triangle$~ \textbf{L3 }Donner sans justification les solutions de l'équation $3|2 - x| +2|5 - x| = 7$.

\medskip

$\bigcirc$~ \textbf{R1 } Pour un nombre réel $x$, on note $E(x)$ l'unique entier relatif $k$ tel que $k \leqslant x < k +1$.

Soit $n$ et $p$ des entiers relatifs. Montrer que

\[E\left(\dfrac{n + p}{2} \right) + E\left(\dfrac{n - p + 1}{2}\right) = n.\]

\newpage

\textbf{\Large Exercice 2. Généralités sur les suites}

\medskip

$\square$~\textbf{M5 } Soit $a$ et $b$ deux nombres réels. On suppose que $a < b + \dfrac 1n$ pour tout entier $n \geqslant 1$. Alors :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $a \leqslant b$&\B $a < b$&\C $a = 0$&\D On ne peut rien dire&\E $a = b$
\end{tabularx}
\end{center}

$\triangle$~\textbf{L4 } Donner, sans justification, un exemple de suite bornée qui est divergente.

\smallskip

$\triangle$~\textbf{L5 } Donner, sans justification, la limite de la suite $\left(\dfrac{\cos (n)}{n}\right)_n.$

\medskip

\textbf{Vrai ou Faux ?}

\medskip

$\square$~\textbf{M6 } Si une suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est décroissante et la suite $\left[\left(u_n\right)\right]^2_{n\in \N}$ est majorée, alors $\left(u_n\right)_{n\in \N}$
converge.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M7 }  Faux Si une suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est convergente, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n+1} - u_n = 0$

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square$~\textbf{M8 } Si une suite réelle $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ tend vers $+\infty$, alors $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$ à partir d'un certain rang.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square$~\textbf{M9 } Si une suite réelle $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ tend vers $+\infty$, alors il existe une infinité d'entiers $n$ tels que $u_{n+1} > u_n$. ~

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\bigcirc$~\textbf{R2 } Justifier votre réponse à la question \textbf{M9 }.

\newpage

\textbf{\Large Exercice 3. Étude d'une suite}

\medskip

On considère dans cet exercice la suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 1}$ définie par les conditions : 
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $u_1 = 1$ ;
\item $u_{n+1} = \sqrt{2\left(1 + \dfrac 1n \right)}u_n$ pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}

\medskip

$\square$~\textbf{M10 } La suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 1}$

\begin{center}\A est croissante\quad \B  n'est ni croissante ni décroissante\quad \C
 est décroissante\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M11 } L'affirmation \og  quand $n$ tend vers $+\infty$, $u_n$ est géométrique \fg{} :

\begin{center}\A est vraie \quad \B est fausse\quad  \C est dénuée de sens \end{center}

$\square$~\textbf{M12 } L'affirmation \og $\displaystyle\lim_{ n \to + \infty} u_{n+1} = \sqrt 2 u_n$ \fg{} :

\begin{center}\A est vraie \quad \B est fausse\quad  \C est dénuée de sens \end{center}

$\square$~\textbf{M13 }  Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

\medskip

\A $u_{n+1} \leqslant  \left(\sqrt 2\right)^n$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$

\B $\left(\sqrt 2\right)^n \leqslant u_n \leqslant 2^n$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$

\C $\left(\sqrt 2\right)^n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2^n$ pour tout entier naturel $n \geqslant 0$ 

\D $u_{n+1} \geqslant 2^n$ pour tout entier naturel $n \geqslant  0$ 

\E Aucune des autres affirmations n'est vraie

\medskip

$\square$~\textbf{M14 } Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

\medskip

\A La suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 1}$ ne converge pas et ne tend pas vers $+\infty$

\B $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$

\C $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty$

\D  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \sqrt 2$

\E La suite  $\left(u_n\right)_{n\geqslant 1}$ a une limite qui n'est pas l'une des valeurs proposées dans les autres réponses

\medskip

$\square$~\textbf{M15 } Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

\A La suite $\left(\dfrac{\left(u_n\right)^2}{n}\right)_{n \geqslant 1}$ est géométrique

\B La suite $\left(n\left(u_n\right)^2\right)_{n \geqslant 1}$ est géométrique

\C La suite $\left(\dfrac{\left(u_n\right)^2}{n ^2}\right)_{n \geqslant 1}$ est géométrique

\D La suite $\left(\left(1 + \dfrac 1n\right)\left(u_n\right)^2\right)_{n \geqslant 1}$ est géométrique

\E La suite $\left(\left(u_n\right)^2\right)_{n \geqslant 1}$  est géométrique

\medskip

$\square$~\textbf{M16 } Pour tout entier $n \geqslant 1$, le terme $u_n$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $n\sqrt{ 2^n}$&\B $n\sqrt{2^{n-1}}$&\C $\sqrt{n2^{n-1}}$&\D $\sqrt{\left(1 + \dfrac 1n\right)2^n}$&\E $\sqrt{n2^n}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\triangle$~\textbf{L6} Donner sans justification la limite de $\dfrac{u_n}{\left(\sqrt 2\right)^2}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

\newpage

\textbf{\Large Exercice 4. Mots}

\medskip

Dans cet exercice, on appelle \emph{mot} toute suite finie de 0 et de 1 contenant au moins un chiffre.

Par exemple, 11010, 001011 et 00 sont des mots.

La longueur d'un mot est alors le nombre de chiffres le constituant : les mots précédents sont de longueurs respectives 5, 6 et 2.

Si $u$ et $v$ sont deux mots, on note $u - v$ le mot obtenu en juxtaposant à la suite de $u$ les chiffres du mot $v$.

Par exemple, si $u = 1101$ et $v = 10001$, alors $u - v = 110110001$.

Si $u$ est un mot, on note $\hat{u}$ le mot obtenu en inversant l'ordre des chiffres de $u$.

Par exemple, si $u = 1100101$, alors $\hat{u} = 1010011$.

On dit qu'un mot $u$ est un \emph{palindrome} lorsque $u = \hat{u}$.

Par exemple, le mot 1101011 est un \emph{palindrome}.

\medskip

\textbf{Exemples}

\medskip

Dans les questions $\square$ \textbf{M17 } à $\square$ \textbf{M19 }, on prend $u = 0101$ et $v = 101101$.

\medskip

$\square$ \textbf{M17 } Vrai ou faux? Le mot $u$ est un palindrome.

\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \end{center}

$\square$~\textbf{M18 }Vrai ou faux? Le mot $v$ est un palindrome.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\triangle$ \textbf{L7} Écrire le mot $u- v$.

\medskip

$\square$~\textbf{M19 } Vrai ou faux ? Le mot $u - v$ est un palindrome.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square$~\textbf{M20 }Soit $u$ et $v$ deux mots. Le mot $\widehat{u - v}$ est systématiquement égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\hat{v} - \hat{u}$ &\B $\hat{u} - \hat{v}$ &\C  $v - \hat{u}$&\D $\hat{u} - v$&\E $\hat{v} - u$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M21 } Soit $u$ un \emph{palindrome}. La propriété \og le mot $u - u$ est un palindrome\fg{} est :

\medskip

\A toujours vraie

\B toujours fausse

\C vraie pour certains palindromes $u$ mais pas tous

\medskip

$\square$~\textbf{M22 } Soit $u$ et $v$ deux \emph{palindromes}. La propriété \og  le mot $u - v$ est un  \fg{} est un palindrome:

\medskip

\A vraie pour certains palindromes $u$ et $v$ mais pas tous

\B toujours fausse

\C toujours vraie

\medskip

$\square$~\textbf{M23 } La propriété \og le mot $u - v - u$ est un palindrome \fg{} est :

\medskip

\A vraie pour certains palindromes $u$ et $v$ mais pas tous

\B vraie pour n'importe quels mots $u$ et $v$

\C fausse lorsque $u$ et $v$ sont des palindromes, mais vraie pour certains autres mots $u$ et $v$ qui ne sont pas des palindromes

\D vraie lorsque $u$ et $v$ sont des palindromes, et uniquement dans ce cas

\E vraie lorsque $u$ et $v$ sont des palindromes, mais aussi pour certains mots $u$ et $v$ qui ne sont pas des palindromes

\medskip

\textbf{\large Anti-mots}

\medskip

Étant donné un mot $u$, on note $\overline{u}$ le mot obtenu en remplaçant tous les \og 1\fg{} de $u$ par des \og 0\fg{}, et tous les \og 0\fg{} de $u$ par des \og 1\fg{}.

Par exemple, si $u = 1100101$, alors $\overline{u} = 0011010$.

On dit qu'un mot $u$ est un anti-mot lorsque $\hat{u} = \overline{u}$.

Par exemple :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item le mot $u = 001011$ est un anti-mot car $\hat{u} = 110100$ et $\overline{u}= 110100$, et ainsi $\hat{u} = \overline{u}$;
\item le mot $u=001101$ n'est pas un anti-mot car $\hat{u}=101100$ et $\overline{u} = 110010$, et ainsi $\hat{u} \ne  \overline{u}$.
\end{itemize}

\medskip

$\square$~\textbf{M24 } Lequel des mots suivants est un anti-mot ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 1011100 &\B 011 &\C 101010 &\D 1001 &\E 1
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M25 } Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

\medskip

\A Aucun mot $u$ ne vérifie $\overline{u} = u$

\B Tous les mots $u$ vérifient $\overline{u} = u$

\C Certains mots $u$ vérifient $\overline{u} = u$, mais pas tous

\medskip

$\square$~\textbf{M26 } Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

\medskip

\A Certains palindromes sont des anti-mots, mais pas tous

\B Aucun palindrome n'est un anti-mot

\C Tous les palindromes sont des anti-mots

\medskip

$\square$~\textbf{M27 } La propriété \og $\overline{u}$ est un palindrome \fg{} est :

\medskip

\A vraie lorsque $u$ est un palindrome, mais aussi pour certains mots $u$ qui ne sont pas des palindromes 

\B  vraie pour n'importe quel mot $u$

\C vraie lorsque $u$ est un palindrome, et uniquement dans ce cas

\D fausse lorsque $u$ est un palindrome, mais vraie pour certains mots $u$ qui ne sont pas des palindromes

\E vraie pour certains palindromes $u$ mais pas tous

\medskip

$\square$~\textbf{M28 } Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

\medskip

\A Si $u$ est un anti-mot, alors les mots $\overline{u}$ et $\hat{u}$ peuvent être des anti-mots, mais il y a des exemples d'anti-mots $u$ pour lesquels ce n'est pas le cas

\B Si $u$ est un anti-mot, alors les mots $\overline{u}$ et $\hat{u}$ ne sont pas des anti-mots

\C Si $u$ est un anti-mot, alors les mots $\overline{u}$ et $\hat{u}$ sont nécessairement des anti-mots

\medskip

$\bigcirc$~\textbf{R3} Soit $u$ un mot de longueur \emph{paire}. Démontrer que $u$ est un anti-mot si et seulement s'il existe un mot $v$ tel
que $u = v - \hat{\overline{v}}$.

\bigskip

\textbf{\large Nombre de 1}

\medskip

Étant donné un mot $u$ de longueur $n$ ainsi qu'un entier $k$ compris entre 1 et $n$, on note $s_k(u)$ le nombre d'occurrences du chiffre 1 parmi les $k$ premiers chiffres de $u$. Par convention, si $k = 0$, on pose $s_0(u) =0$.

Par exemple, pour le mot $u = 11010$ :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item On a $s_0(u) = 0$ par convention;
\item Le premier chiffre de $u$ est 1, donc $s_1(u) = 1$ ;
\item Les deux premiers chiffres de $u$ sont 1, 1, donc $s_2(u) = 2$ ;
\item Les trois premiers chiffres de $u$ sont 1, 1, 0, donc $s_3(u) = 2$ ;
\item Les quatre premiers chiffres de $u$ sont 1, 1, 0, 1, donc $s_4(u) = 3$ ;
\item Les cinq premiers chiffres de $u$ sont 1, 1, 0, 1, 0, donc $s_5(u) = 3$.
\end{itemize}

$\square$~\textbf{M29 } Le nombre $s_4(00101111)$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 1 &\B 2 &\C 4 &\D 0 &\E 5
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M30 } Soit $u$ un mot de longueur $n$. Si $k$ est un entier compris entre 1 et $n$, alors le $k$-ième chiffre du mot $u$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $s_k(u)$ &\B $s_{k-1}(u)$ &\C $s_{k+1}(u)$ &\D {\footnotesize $s_{k+1}(u) - s_k(u)$} &\E {\footnotesize $s_k(u) - s_{k-1}(u)$}
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M31 } Soit $u$ et $v$ deux mots de même longueur $n$. L'affirmation \og si $s_k(u) = s_k(v)$ pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n$, alors $u = v$ \fg{} est :

\medskip

\A vraie pour certains choix de $u, v$ et $n$, fausse pour d'autres 

\B systématiquement vraie

\C systématiquement fausse

\medskip

$\square$~\textbf{M32 } Soit $u$ un mot de longueur $n$, et $k$ un entier compris entre 1 et $n$.

Alors $s_k\left(\overline{u}\right)$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{l*{3}{>{\small }X}l}
\A $s_n(u) - s_k(u)$ &\B $n -  s_k(u)$ &\C $k - s_{k}(u)$ &\D $k - s_{n - k}(u)$ &\E $s_n(u) - s_{n - k}(u)$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M33 } Soit $u$ un mot de longueur $n$, et $k$ un entier compris entre 1 et $n$. Alors $s_k\left(\hat{u}\right)$ est égal à : 

\medskip

\A $k - s_k(u)$

\B $n - s_{n-k}(u)$

\C $k - s_{n - k}(u)$

\D $s_n(u) - s_k(u)$

\E $s_n(u) - s_{n-k}(u)$

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 5. Rationnels et irrationnels}

\medskip

Un nombre réel $x$ est dit \textbf{rationnel} lorsqu'il existe des entiers relatifs $p$ et $q$, avec $q$ non nul, tels que $x = \dfrac pq$.

Dans le  cas contraire $x$ est dit \textbf{irrationnel}.

L'ensemble des nombres rationnels est noté $\Q$, l'ensemble des nombres irrationnels est donc $\R \backslash \Q$.

On admettra que $\pi$ et e (base du logarithme népérien) sont irrationnels, de même que $\sqrt n$ pour tout entier $n \geqslant 2$ qui n'est pas le carré d'un entier.

\medskip


$\square$~\textbf{M34 } Parmi les nombres
\[a = \sqrt 5, \quad b = \np{1,000000005}, \quad c = - 4 \quad\text{et} \quad d = \dfrac{2}{1/3},\]

lesquels sont rationnels?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $c$ et $d$ &\B aucun &\C Tous &\D $b,\:c$ et $d$ &\E $b$ et $c$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M35 } Vrai ou faux? La somme et le produit de deux nombres rationnels sont toujours rationnels.

\begin{center}
\A Faux \qquad \B Vrai\end{center}

$\square$~\textbf{M36 } Soit $x$ un rationnel et $y$ un irrationnel. L'affirmation \og $x + y$ est irrationnel \fg{} est : 

\medskip

\A vraie quel que soit le choix de $x$ et $y$

\B vraie pour au moins un choix de $x$ et $y$, fausse pour au moins un autre

\C fausse quel que soit le choix de $x$ et $y$

\medskip

$\triangle~$\textbf{R4} Justifiez brièvement votre réponse à la question \textbf{M36 }.

\medskip

$\square$~\textbf{M37 } Soit $x$ un rationnel et $y$ un irrationnel. L'affirmation \og $xy$ est irrationnel \fg{} est : 

\medskip

\A vraie pour au moins un choix de $x$ et $y$,

\B fausse pour au moins un autre

\C  fausse quel que soit le choix de $x$ et $y$

\D vraie quel que soit le choix de $x$ et $y$

\medskip

$\triangle$~\textbf{L8} Parmi les nombres
\[a = \sqrt{256},\quad  b = \dfrac{\pi}{6}, \quad c = \sin \dfrac{\pi}{6}, \quad  d = \sqrt{\e}\quad \text{et} f = \sqrt{3+ \sqrt 8} - \sqrt 2,\]

indiquer sans justification lesquels sont irrationnels.

\medskip

$\square$~\textbf{M38 } Vrai ou faux? La suite $\left(\dfrac{\sqrt 2}{n}\right)_n$ converge vers $0$.


\begin{center}\A Faux \qquad  \B L'affirmation n'a pas de sens\qquad \C  Vrai\end{center}

$\square$~\textbf{M39 } Vrai ou faux ? Il existe une suite de nombres irrationnels qui converge vers $0$.

\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \qquad \C L'affirmation n'a pas de sens\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M40 } Vrai ou faux ? La limite d'une suite convergente de nombres rationnels est toujours un nombre rationnel.

\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \end{center}

$\square$~\textbf{M41 } Soit $x \in[0~;~1[$ donné par son développement décimal illimité $x = 0,x_1x_2x_3 \ldots x_n \ldots$

Pour tout entier $n \geqslant 1$, on considère le nombre $u_n = 0,x_1x_2x_3 \ldots x_n000000000\ldots$, définissant ainsi une suite $u$.

\medskip

\A La suite $u$ converge vers $x$

\B La suite $u$ tend vers $x$ sauf s'il y a une infinité de 9 parmi les $x_n$

\C La suite $u$ diverge si $x$ est rationnel

\D La suite $u$ peut converger vers un nombre réel autre que $x$

\E La suite $u$ diverge si $x$ est irrationnel

\medskip

$\square$~\textbf{M42 } Soit $x \in [0~;~1[$. Alors :

\medskip

\A $x$ est limite d'une suite de nombre rationnels

\B Les autres propositions n'ont pas de sens

\C $x$ est limite d'une suite de nombres rationnels si et seulement s'il est lui-même rationnel

\medskip

On note $f$ la fonction définie sur $\R$ comme suit :

\begin{itemize}
\item $f(0) = 0$;
\item $f(x) = 1$ pour tout rationnel non nul $x$; 
\item $f(x) = 0$ pour tout irrationnel $x$.
\end{itemize}

$\square$~\textbf{M43 } On considère le raisonnement suivant:

\medskip

\og 0 est limite d'une suite d'irrationnels. Or $f$ est nulle en tout irrationnel. Donc $f$ est continue en 0. \fg

Ce raisonnement est:

\begin{center} \A correct \qquad \B incorrect \end{center} 

$\triangle$~\textbf{R5} Justifiez votre réponse à la question \textbf{M43 }.

\medskip

$\square$~\textbf{M44 } Laquelle des propositions suivantes est vraie ?

\medskip

\A La fonction $f$ est continue

\B La fonction $f$ est continue en tout point de $\Q$, et seulement en ces points

\C La fonction $f$ est continue en 0, et seulement en 0

[Q] La fonction $f$ est continue en tout point de $\R\backslash\Q$, et seulement en ces points 

\D Aucune des autres affirmations proposées n'est vraie

\medskip

$\square$~\textbf{M45 } On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = xf(x)$.

Laquelle des propositions suivantes est vraie ? 

\medskip

\A La fonction $g$ est continue en tout point de $\Q$, et seulement en ces points

\B La fonction $g$ est continue en tout point de $\R\backslash\Q$, et seulement en ces points

\C La fonction $g$ est continue en 0, et seulement en 0

\D La fonction $g$ est continue

\E Aucune des autres affirmations proposées n'est vraie

\medskip

$\square$~\textbf{M46 } On note $h$ la fonction définie sur $\R$ comme suit :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $h(x)= 0$ si $x \in \Z$ ;
\item $h(x)= \dfrac 1q$ si $x = \dfrac pq$ est un nombre rationnel non entier écrit sous forme irréductible (avec donc $q \geqslant 2$, et $p$ et $q$ sans diviseur positif commun autre que 1) ;
\item $h(x) = 0$ si $x$ est irrationnel.
\end{itemize}

Par exemple, $h\left(\sqrt 2\right) = 0,\: h(1) = 0$, et $h\left(\dfrac23\right) = h\left(\dfrac46\right)= \dfrac13$.

On introduit des propriétés éventuelles de $h$ :

\smallskip

(a) pour tout $x$ réel, $h(x + 1) = h(x)$ ;

(b) l'ensemble des valeurs prises par $h$ est un intervalle ; 

(c) la fonction $h$ est continue en 0 ;

(d) la fonction $h$ est continue en $\dfrac12$ ;

(e) la fonction $h$ tend vers 0 en $+\infty$.

Lesquelles de ces cinq propriétés sont vraies?

\begin{center}\A (a) et (d) \quad \B (c) et (e)\quad \C (a), (b) et (c)\quad \D (b), (d) et (e)\quad \E (a) et (c)\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 6. Logique}

\medskip

Vous êtes perdu sur une piste dans le désert. Vous arrivez à une bifurcation : de cette bifurcation partent deux pistes, une vers la gauche et une vers la droite.

Chacune de ces pistes peut conduire à une oasis ou se perdre dans le désert.

À côté de la bifurcation se tiennent trois sphinx.

Chaque sphinx vous donne une affirmation :

Sphinx 1 : \og Une au moins des deux pistes mène à une oasis. \fg

Sphinx 2 : \og La piste de droite se perd dans le désert. \fg

Sphinx 3 : \og Si la piste de gauche se perd dans le désert alors celle de droite mène à une oasis. \fg

\medskip

Pour les questions \textbf{M47 } et \textbf{M48 }, on suppose que la proposition suivante est vraie : 

Proposition $A$ : Les trois sphinx disent la vérité.

\medskip

$\square$~\textbf{M47 } La piste de droite mène-t-elle à une oasis ou dans le désert ? 

\medskip

\A Dans le désert

\B À une oasis

\C La proposition $A$ est absurde

\D Les deux sont possibles

\medskip

$\square$~\textbf{M48 } La piste de gauche mène-t-elle à une oasis ou dans le désert?

\medskip

\A Dans le désert

\B Les deux sont possibles

\C À une oasis

\D La proposition $A$ est absurde

\medskip

Pour les questions \textbf{M49 } et 
\textbf{M50 }, on suppose que la proposition suivante est vraie :

Proposition $B$ : Le sphinx 1 ment, mais chacun des autres peut mentir ou dire la vérité.

\medskip

$\square$~\textbf{M49 } La piste de droite mène-t-elle à une oasis ou dans le désert ? 

\medskip

\A Dans le désert

\B Les deux sont possibles

\C À une oasis

\D La proposition $B$ est absurde

\medskip

$\square$~\textbf{M50 } La piste de gauche mène-t-elle à une oasis ou dans le désert ? 

\medskip

\A Dans le désert

\B La proposition B est absurde

\C Les deux sont possibles

\D À une oasis

\medskip

Pour les questions \textbf{M51 } et \textbf{M52 }, on suppose que la proposition suivante est vraie:

Proposition $C$ : Le sphinx 2 ment, mais chacun des autres peut mentir ou dire la vérité.

\medskip

$\square$~\textbf{M51 } La piste de droite mène-t-elle à une oasis ou dans le désert ?

\medskip

\A Les deux sont possibles

\B Dans le désert

\C La proposition $C$ est absurde

\D À une oasis

\medskip

$\square$~\textbf{M52 } La piste de gauche mène-t-elle à une oasis ou dans le désert ? 

\medskip

\A Dans le désert

\B Les deux sont possibles

\C À une oasis

\D La proposition $C$ est absurde

\medskip

Pour les questions \textbf{M53} et \textbf{M54}, on suppose que la proposition suivante est vraie : 

Proposition $D$ : Le sphinx 3 ment, mais chacun des autres peut mentir ou dire la vérité.

$\square$~\textbf{M53 }La piste de droite mène-t-elle à une oasis ou dans le désert ? 

\medskip

\A La proposition $D$ est absurde

\B Les deux sont possibles

\C Dans le désert

\D À une oasis

\medskip

$\square$~\textbf{M54 }La piste de gauche mène-t-elle à une oasis ou dans le désert ? 

\medskip

\A Les deux sont possibles

\B La proposition $D$ est absurde

\C Dans le désert

\D À une oasis

\medskip

Pour les questions \textbf{M55 } et \textbf{M56 }, on suppose que la proposition suivante est vraie:

Proposition $E$ : Les trois sphinx mentent.

\medskip

$\square$~\textbf{M55 } La piste de droite mène-t-elle à une oasis ou dans le désert ? 

\medskip

\A Les deux sont possibles

\B Dans le désert

\C La proposition $E$ est absurde

\D À une oasis

\medskip

$\square$~\textbf{M56 } La piste de gauche mène-t-elle à une oasis ou dans le désert ?

\medskip

\A Les deux sont possibles

\B Dans le désert

\C La proposition $E$ est absurde

\D À une oasis

\medskip

Pour les questions \textbf{M57 } et \textbf{M58 }, on suppose que la proposition suivante est vraie:

Proposition $F$ : Seul un des trois sphinx dit la vérité.

\medskip

$\square$~\textbf{M57 } La piste de droite mène-t-elle à une oasis ou dans le désert ?

\medskip

\A La proposition $F$ est absurde

\B À une oasis

\C Les deux sont possibles

\D Dans le désert

\medskip

$\square$~\textbf{M58 } La piste de gauche mène-t-elle à une oasis ou dans le désert ?

\medskip

\A La proposition $F$ est absurde

\B Dans le désert

\C À une oasis

\D Les deux sont possibles

\medskip

Pour les questions \textbf{M59 } et \textbf{M60}, on suppose que la proposition suivante est vraie :

Proposition $G$ : Seul un des trois sphinx ment.

\medskip

$\square$~\textbf{M59 } La piste de droite mène-t-elle à une oasis ou dans le désert ?

\medskip

\A La proposition $G$ est absurde

\B Dans le désert

\C Les deux sont possibles

\D  À une oasis


$\square$~\textbf{M60 } La piste de gauche mène-t-elle à une oasis ou dans le désert? 

\medskip

\A Dans le désert

\B La proposition $G$ est absurde

\C À une oasis

\D Les deux sont possibles

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 7. Polyominos}

\medskip

Un \textbf{polyomino} est un assemblage de carrés de côté 1, appelés \og cellules \fg, collés les uns aux autres le long d'un côté. Deux tels assemblages définissent le même polyomino lorsqu'ils peuvent être transformés l'un en l'autre à l'aide de symétries, de rotations ou de translations.

Il existe un seul polyomino à une cellule, représenté par un carré de côté 1. De même, il existe un seul polyomino à deux cellules, représenté par deux cellules accolées.

Dans le dessin suivant:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16.5,4.2)
%\psgrid
\def\cel{\psframe(0.5,0.5)}
\rput(0,1){\cel}\rput(0.5,1){\cel}\rput(0,1.5){\cel}\rput(0.5,0.5){1}%1
\rput(2.,1){\cel}\rput(2.,1.5){\cel}\rput(2.5,2){\cel}\rput(2.5,0.5){2}%2
\rput(4.,1){\cel}\rput(4.5,1){\cel}\rput(4.5,1.5){\cel}\rput(4.5,2){\cel}\rput(4.5,2.5){\cel}\rput(4.5,3){\cel}\rput(5,2.5){\cel}\rput(4.5,0.5){3}%3
\rput(6.5,1){\cel}\rput(6,1.5){\cel}\rput(6.5,1.5){\cel}\rput(7,1.5){\cel}\rput(7.5,1.5){\cel}
\rput(8,1.5){\cel}\rput(8,2){\cel}\rput(7.25,0.5){4}%4
\rput(9.5,1){\cel}\rput(10,1){\cel}\rput(9,1.5){\cel}\rput(9.5,1.5){\cel}\rput(9.5,2){\cel}\rput(10,2){\cel}\rput(10,2.5){\cel}\rput(10,0.5){5}%5
\rput(11,2){\cel}\rput(11.5,2){\cel}\rput(12.5,2){\cel}\rput(11.5,1.5){\cel}\rput(12,1.5){\cel}\rput(12.5,1.5){\cel}\rput(12,1){\cel}\rput(12,0.5){6}%6
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item Toutes les assemblages présentés représentent un polyomino, à l'exception de la figure 2.
\item Les assemblages 3 et 4 représentent le même polyomino car on peut obtenir l'un à partir de l'autre à l'aide d'une symétrie d'axe vertical et d'une rotation.
\end{itemize}

$\triangle$~\textbf{L9} Combien existe-t-il de polyominos à trois cellules ?

\medskip

$\triangle$~\textbf{L10} Combien existe-t-il de polyominos à quatre cellules ?

\medskip

$\square$~\textbf{M61 } Le nombre de polyominos à cinq cellules est:

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 12 &\B 8 &\C 5 &\D 15 &\E 10
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Un \textbf{polyomino unilatéral} est un assemblage de cellules : deux assemblages représentent le même polyomino unilatéral lorsqu'il est possible de transformer l'un en l'autre uniquement à l'aide de rotations ou de translations.

Dans le dessin ci-dessus, les assemblages 5 et 6 représentent le même polyomino et aussi le même polyomino unilatéral, car on peut obtenir l'un à partir de l'autre à l'aide d'une rotation.

En revanche, les assemblages 3 et 4 représentent deux polyominos unilatéraux distincts.

\medskip

$\square$~\textbf{M62 } Le nombre de polyominos unilatéraux à trois cellules est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\A 3&\B 2 &\C 1&\D 4 
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M63 } Le nombre de polyominos unilatéraux à quatre cellules est:
~3
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 3&\B 5&\C 4 &\D 7 &\E 6
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M64 } Le nombre de polyominos unilatéraux à cinq cellules est : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 15 &\B 17&\C  18&\D 12 &\E 10
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M65 }Le nombre de polyominos à six cellules est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 25 &\B 23&\C  35&\D 31 &\E 18
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}