\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{arydshln} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
%\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
%\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\A}{\fbox{A}~~}\newcommand{\B}{\fbox{B}~~}\newcommand{\C}{\fbox{C}~~}
\newcommand{\D}{\fbox{D}~~}\newcommand{\E}{\fbox{E}~~}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat spécialité},
pdftitle = {Évaluation ESciA session 2022\\},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\newcommand{\e}{\text{e}}
\newcommand{\im}{\text{i}}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small }
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 19 mars 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Évaluation ESciA  session 19 mars 2022~\decofourright\\[7pt]Mathématiques expertes Épreuve 2 , option A}\\[7pt]Durée : 1h 30 min}

\medskip

\textbf{FONCTIONNEMENT DES QUESTIONS}
\end{center}

$\bullet~~$Les questions à \emph{choix multiples} sont numérotées M1, M2 etc. Le candidat y répond en \textbf{noircissant} la case correspondant à sa réponse dans la feuille-réponse $\square$.

Pour chacune de ces questions, il y a une et une seule bonne réponse.

Toute réponse fausse retire des points aux candidats. 

Noircir plusieurs réponses à une même question a un effet de neutralisation (le candidat récoltera 0 point).

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse brute} sont numérotées L1, L2 etc. 

Elles ne demandent aucune justification : les résultats sont reportés par le candidat dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\triangle$. Tout débordement de cadre est interdit.

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse rédigée} sont numérotées RI, R2, etc. Elles sont écrites dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\bigcirc$ ou la feuille-réponse $\triangle$, selon le symbole précédant le numéro de la question. Tout débordement de cadre est interdit.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{CONSEILS DE BON SENS}\end{center}

$\bullet~~$L'énoncé est (très) long: il n'est absolument pas nécessaire d'avoir tout traité pour avoir une note et un classement excellents.

$\bullet~~$Ne vous précipitez pas pour reporter vos réponses, notamment aux questions à choix multiples. Il est préférable d'avoir terminé un exercice avant d'en reporter les réponses.

$\bullet~~$Ne répondez jamais au hasard à une question à choix multiples !

$\bullet~~$Selon l'exercice, les questions peuvent être dépendantes les unes des autres ou non. Soyez attentifs à la variété des situations.

\newpage

\textbf{\Large Exercice 1. Nombres complexes }

\medskip

$\square$ \textbf{M1} Le produit $(1 - 5\text{i})(2 + \text{i})$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $-4- 9\text{i}$& \B $-4 + 9\text{i}$&\C $7 - 9\text{i}$& \D $-7-9\text{i}$& \E $7 + 9\text{i}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M2} Le nombre complexe $4 + 2\sqrt 5\text{i}$ a pour module :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $-36$&\B 6&\C $-6$&\D  36&\E $\sqrt{54}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M3} L'inverse du nombre complexe $2 + 3\text{i}$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac{2}{13} - \dfrac{3}{13}\text{i}$&\B $\dfrac27 - \dfrac37\text{i} $&\C $\dfrac12  + \dfrac13\text{i}$&\D $\dfrac12 - \dfrac13\text{i}$&\E $- 2 - 3\text{i}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\triangle$ \textbf{L1} Mettre le quotient $\dfrac{3 + 2\text{i}}{2 + \text{i}}$ sous la forme $a + \text{i}b$, avec $a$ et $b$ réels.

\medskip

$\square$ \textbf{M4} Le nombre de solutions complexes de l'équation $z^4 = 1$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 3&\B 4 &\C 2&\D 0 &\E 1
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M5} L'équation $z^2 - 2z + 6 = 0$ possède pour solutions complexes :

\medskip

\A $-1 + \text{i}\sqrt 5$ et $-1 - \text{i}\sqrt 5$

\B  $2 + 2\text{i}\sqrt 5$ et $- 2 + 2\text{i}\sqrt 5$

\C $1 + \text{i} \sqrt 5$ et $1 - \text{i}\sqrt 5$

\D $2\sqrt 5 + 2\text{i}$ et $2\sqrt 5 - 2\text{i}$

\E $2 + 2\text{i}\sqrt 5$ et $2 - 2\text{i}\sqrt 5$

\medskip

$\square$ \textbf{M6}  La valeur de $\left(\dfrac{1 - \text{i}}{1 + \text{i}}\right)^{\np{2022}}$ est

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac{1}{2^{\np{1011}}}$&\B $- \dfrac{1}{2^{\np{1011}}}$ &\C 1&\D $- 1$ &\E 2
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 2. Arithmétique}

\medskip

$\triangle$ \textbf{L2} Décomposer 264 en facteurs premiers.

\medskip

$\square$ \textbf{M7} Le plus grand diviseur commun de 360 et 21 est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $21$&\B $3$&\C $\np{2520}$&\D $7$&\E $1$
\end{tabularx}
\end{center}


$\triangle$ \textbf{L3} Donner un nombre entier naturel $n$ à trois chiffres tel que les restes de $756$ et $537$ dans la division euclidienne par $n$ soient respectivement égaux à 49 et 32.

\medskip

$\square$ \textbf{M8} Soit $n \in \N^*$. Si $n$ n'est pas premier alors il possède un diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt n$. 

\begin{center}\A Vrai\quad \B Faux \quad \C On ne peut pas conclure\end{center}

$\square$ \textbf{M9} Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Le plus petit diviseur de $n$ strictement supérieur à 1 est premier.

\begin{center}\A Faux\quad \B On ne peut pas conclure\quad \C Vrai\end{center}

$\square$ \textbf{M10} Le dernier chiffre de $\np{2017}^{\np{2222}}$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $5$&\B $7$&\C $3$&\D $9$&\E $1$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M11} La décomposition de 999 en facteurs premiers est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\A $999 = 3^4 . 19$&\B $999  = 23 . 43$&\C $999 = 3^2 . 11^2$&\D $999 = 3^2 .37$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M12} Pour tout entier naturel $n$, l'entier $10^{3n} - 1$ est divisible par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $19$&\B $11$&\C $73$&\D $43$&\E $37$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M13} L'entier $10^{10} + 10^{20} + 10^{30}$ est divisible par:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $37$&\B $11$&\C $19$&\D $73$&\E $43$
\end{tabularx}
\end{center}

$\bigcirc$ \textbf{R1} Justifiez votre réponse à la question \textbf{M13}.


$\square$ \textbf{M14} Soit $a$ et $b$ deux entiers premiers entre eux, avec $a < b$. On introduit les paires de nombres :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
(1) $a + b$ et $a - b$ ;&(2) $a$ et $a^2 + b^2$& (3) $7a + 8b$ et $6a + 7b$ ;& (4) $2a + 3b$ et $a + 3b$.
\end{tabularx}
\end{center}

Parmi ces paires, exactement deux sont constituées d'entiers premiers entre eux quel que soit le couple $(a,~b)$. Il s'agit de:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A (1) et (3) &\B (1) et (2)&\C (3) et (4)&\D (2) et (4)&\E (2) et (3)
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M15} Soit $n$ un entier strictement positif. On note $n!$ le produit de tous les entiers de 1 à $n$, autrement dit
$n! = 1 \times 2 \times \ldots \times n$. 

Que dire alors de l'affirmation \og les nombres $n$ et $n! +1$ n'ont alors pas de diviseur premier commun \fg{} ?

\begin{center}\A On ne peut pas conclure\quad \B Vrai \quad \C Faux\end{center}

$\bigcirc$ \textbf{R2} Existe-t-il un plus grand nombre premier ? Justifiez votre réponse en vous appuyant sur la question précédente.

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 3. Mots}

\medskip

Dans cet exercice, on appelle \emph{mot} toute suite finie de 0 et de 1 contenant au moins un chiffre.

Par exemple, 11010, 001011 et 00 sont des mots.

La longueur d'un mot est alors le nombre de chiffres le constituant : les mots précédents sont de longueurs respectives 5, 6 et 2.

Si $u$ et $v$ sont deux mots, on note $u - v$ le mot obtenu en juxtaposant à la suite de $u$ les chiffres du mot $v$.

Par exemple, si $u = 1101$ et $v = 10001$, alors $u - v = 110110001$.

Si $u$ est un mot, on note $\hat{u}$ le mot obtenu en inversant l'ordre des chiffres de $u$.

Par exemple, si $u = 1100101$, alors $\hat{u} = 1010011$.

On dit qu'un mot $u$ est un \emph{palindrome} lorsque $u = \hat{u}$.

Par exemple, le mot 1101011 est un \emph{palindrome}.

\medskip

\textbf{Exemples}

\medskip

Dans les questions $\square$ \textbf{M16 } à $\square$ \textbf{M18 }, on prend $u = 0101$ et $v = 101101$.

\medskip

$\square$ \textbf{M16 } Vrai ou faux? Le mot $u$ est un palindrome.

\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \end{center}

$\square$~\textbf{M17 }Vrai ou faux? Le mot $v$ est un palindrome.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\triangle$ \textbf{L4} Écrire le mot $u- v$.

\medskip

$\square$~\textbf{M18 } Vrai ou faux ? Le mot $u - v$ est un palindrome.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square$~\textbf{M19 }Soit $u$ et $v$ deux mots. Le mot $\widehat{u - v}$ est systématiquement égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\hat{v} - \hat{u}$ &\B $\hat{u} - \hat{v}$ &\C  $v - \hat{u}$&\D $\hat{u} - v$&\E $\hat{v} - u$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M20 } Soit $u$ un \emph{palindrome}.La propriété \og le mot $u - u$ est un palindrome\fg{} est :

\medskip

\A toujours vraie

\B toujours fausse

\C vraie pour certains palindromes $u$ mais pas tous

\medskip

$\square$~\textbf{M21 } Soit $u$ et $v$ deux palindromes. La propriété \og  le mot $u - v$ est un \emph{palindrome} \fg{} est :

\medskip

\A vraie pour certains palindromes $u$ et $v$ mais pas tous

\B toujours fausse

\C toujours vraie

\medskip

$\square$~\textbf{M22 } La propriété \og le mot $u - v - u$ est un palindrome \fg{} est :

\medskip

\A vraie pour certains palindromes $u$ et $v$ mais pas tous

\B vraie pour n'importe quels mots $u$ et $v$

\C fausse lorsque $u$ et $v$ sont des palindromes, mais vraie pour certains autres mots $u$ et $v$ qui ne sont pas des palindromes

\D vraie lorsque $u$ et $v$ sont des palindromes, et uniquement dans ce cas

\E vraie lorsque $u$ et $v$ sont des palindromes, mais aussi pour certains mots $u$ et $v$ qui ne sont pas des palindromes

\medskip

\textbf{\large Anti-mots}

\medskip

Étant donné un mot $u$, on note $\overline{u}$ le mot obtenu en remplaçant tous les \og 1\fg{} de $u$ par des \og 0\fg{}, et tous les \og 0\fg{} de $u$ par des \og 1\fg{}.

Par exemple, si $u = 1100101$, alors $\overline{u} = 0011010$.

On dit qu'un mot $u$ est un anti-mot lorsque $\hat{u} = \overline{u}$.

Par exemple :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item le mot $u = 001011$ est un anti-mot car $\hat{u} = 110100$ et $\overline{u}= 110100$, et ainsi $\hat{u} = \overline{u}$;
\item le mot $u=001101$ n'est pas un anti-mot car $\hat{u}=101100$ et $\overline{u} = 110010$, et ainsi $\hat{u} \ne  \overline{u}$.
\end{itemize}

\medskip

$\square$~\textbf{M23 } Lequel des mots suivants est un anti-mot ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 1011100 &\B 011 &\C 101010 &\D 1001 &\E 1
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M24 } Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

\medskip

\A Aucun mot $u$ ne vérifie $\overline{u} = u$

\B Tous les mots $u$ vérifient $\overline{u} = u$

\C Certains mots $u$ vérifient $\overline{u} = u$, mais pas tous

\medskip

$\square$~\textbf{M25 } Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

\A Certains palindromes sont des anti-mots, mais pas tous

\B Aucun palindrome n'est un anti-mot

\C Tous les palindromes sont des anti-mots

\medskip

$\square$~\textbf{M26 } La propriété \og $\overline{u}$ est un palindrome \fg{} est :

\medskip

\A vraie lorsque $u$ est un palindrome, mais aussi pour certains mots $u$ qui ne sont pas des palindromes 

\B  vraie pour n'importe quel mot $u$

\C vraie lorsque $u$ est un palindrome, et uniquement dans ce cas

\D fausse lorsque $u$ est un palindrome, mais vraie pour certains mots $u$ qui ne sont pas des palindromes

\E vraie pour certains palindromes $u$ mais pas tous

\medskip

$\square$~\textbf{M27 } Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

\medskip

\A Si $u$ est un anti-mot, alors les mots $\overline{u}$ et $\hat{u}$ peuvent être des anti-mots, mais il y a des exemples d'anti-mots $u$ pour lesquels ce n'est pas le cas

\B Si $u$ est un anti-mot, alors les mots $\overline{u}$ et $\hat{u}$ ne sont pas des anti-mots

\C Si $u$ est un anti-mot, alors les mots $\overline{u}$ et $\hat{u}$ sont nécessairement des anti-mots

\medskip

$\bigcirc$~\textbf{R3} Soit $u$ un mot de longueur \emph{paire}. Démontrer que $u$ est un anti-mot si et seulement s'il existe un mot $v$ tel
que $u = v - \hat{\overline{v}}$.

\bigskip

\textbf{Nombre de 1}

\medskip

Étant donné un mot $u$ de longueur $n$ ainsi qu'un entier $k$ compris entre 1 et $n$, on note $s_k(u)$ le nombre d'occurrences du chiffre 1 parmi les $k$ premiers chiffres de $u$. Par convention, si $k = 0$, on pose $s_0(u) =0$.

Par exemple, pour le mot $u = 11010$ :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item On a $s_0(u) = 0$ par convention ;
\item Le premier chiffre de $u$ est 1, donc $s_1(u) = 1$ ;
\item Les deux premiers chiffres de $u$ sont 1, 1, donc $s_2(u) = 2$ ;
\item Les trois premiers chiffres de $u$ sont 1, 1, 0, donc $s_3(u) = 2$ ;
\item Les quatre premiers chiffres de $u$ sont 1, 1, 0, 1, donc $s_4(u) = 3$ ;
\item Les cinq premiers chiffres de $u$ sont 1, 1, 0, 1, 0, donc $s_5(u) = 3$.
\end{itemize}

$\square$~\textbf{M28 } Le nombre $s_4(00101111)$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 1 &\B 2 &\C 4 &\D 0 &\E 5
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M29 } Soit $u$ un mot de longueur $n$. Si $k$ est un entier compris entre 1 et $n$, alors le $k$-ième chiffre du mot $u$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $s_k(u)$ &\B $s_{k-1}(u)$ &\C $s_{k+1}(u)$ &\D $s_{k+1}(u) - s_k(u)$ &\E $s_k(u) - s_{k-1}(u)$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M30 } Soit $u$ et $v$ deux mots de même longueur $n$. L'affirmation \og si $s_k(u) = s_k(v)$ pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n$, alors $u = v$ \fg{} est :

\medskip

\A systématiquement fausse 

\B vraie pour certains choix de $u, v$ et $n$, fausse pour d'autres

\C systématiquement vraie

\medskip

$\square$~\textbf{M31 } Soit $u$ un mot de longueur $n$, et $k$ un entier compris entre 1 et $n$.

Alors $s_k(u)$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{l*{3}{>{\small }X}l}
\A $s_n(u) - s_k(u)$ &\B $n -  s_k(u)$ &\C $k - s_{k}(u)$ &\D $k - s_{n - k}(u)$ &\E $s_n(u) - s_{n - k}(u)$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M32 } Soit $u$ un mot de longueur $n$, et $k$ un entier compris entre 1 et $n$. Alors $s_k\left(\overline{u}\right)$ est égal à : 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{l*{3}{>{\small }X}l}
\A $n - s_k(u)$&\B $k - s_{k}(u)$&\C $s_n(u) - s_{n-k}(u)$&\D $s_n(u) - s_{k}(u)$&\E
$k - s_{n -k}(u)$
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 4. Congruences}

\medskip

Dans cet exercice, on considère des suites $u$ à valeurs entières vérifiant une relation de récurrence $(\mathcal{R})$ exprimant $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $n$.

Soit $q$ un entier naturel non nul. On dit que $(\mathcal{R})$ \textbf{possède une congruence stable modulo} \boldmath $q$\unboldmath{} lorsqu'il existe un entier $m$ tel que toute suite $u$ à valeurs entières et vérifiant $u_0 = m \:\:[q]$ et la relation de récurrence $(\mathcal{R})$ vérifie aussi $u_n = m \:\:[q]$ pour tout $n$ dans $\N$.

Par exemple, la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + 2 $ possède une congruence stable modulo 2 car toute suite $u$ vérifiant cette relation ainsi que $u_0 = 0 \:\:[2]$ vérifie aussi $u_n = 0\:\: [2]$ pour tout $n$ dans $\N$.

\medskip

Dans les questions \textbf{M33 } à \textbf{M36 }, on considère la relation de récurrence

\[\left(\mathcal{R}_1\right) : \quad u_{n+1} = \left(u_n\right)^2 + 1\]

$\square$~\textbf{M33 } Vrai ou faux? La relation $\left(\mathcal{R}_1\right)$ possède une congruence stable modulo 2.

\begin{center} Faux\qquad \B   Vrai\end{center}

$\square$~\textbf{M34 } Vrai ou faux ? La relation $\left(\mathcal{R}_1\right)$ possède une congruence stable modulo 3.

\begin{center} Faux\qquad \B Vrai\end{center}

$\square$~\textbf{M35 } Vrai ou faux ? La relation $\left(\mathcal{R}_1\right)$ possède une congruence stable modulo 4.


\begin{center} Faux\qquad \B Vrai\end{center}

$\square$~\textbf{M36 } On se donne un entier quelconque $a$, et on considère la suite $u$ vérifiant $u_0 = a$ et la relation de récurrence $\left(\mathcal{R}_1\right)$. Deux termes consécutifs de $u$ n'ont jamais la même parité, et ce quel que soit $a$.

\begin{center} Faux\qquad \B Vrai\end{center}

On considère à présent la relation de récurrence

\[\left(\mathcal{R}_2\right) : \quad u_{n+1} = \left(n^2 + 1\right)u_n.\]

\smallskip

$\square$~\textbf{M37 } L'ensemble des $q \in \N^{*}$ tels que $\left(\mathcal{R}_2\right)$ possède une congruence stable modulo $q$ est:

\A réduit à un élément

\B vide

\C égal à $\N^{*}$

\D fini et possède plusieurs éléments 

\E infini mais pas égal à $\N^{*}$

\medskip

$\square$~\textbf{M38 } Soit $u$ une suite à termes entiers vérifiant la relation de récurrence $\left(\mathcal{R}_2\right) $.

L'affirmation \og pour tout entier naturel $n$, l'entier $u_n$ a la même parité que $u_0$ \fg{} est alors :

\begin{center} vraie\qquad \B fausse\end{center}

On considère à présent, et jusqu'à la fin de l'exercice, la relation de récurrence
où $a$ est un entier (relatif) différent de 1 et $b$ est un entier (relatif).

\[\left(\mathcal{R}_2\right) : \quad u_{n+1} = au_n + b.\]

\smallskip

Pour les questions \textbf{M39 } à \textbf{M41 }, on étudie le cas particulier où $a = 5$ et $b = -1$ : la relation de récurrence est donc $u_{n+1} = 5u_n - 1$.

\medskip

$\square$~\textbf{M39 } La relation $\left(\mathcal{R}_3\right) $ possède une congruence stable modulo 3

\begin{center} Faux\qquad \B Vrai\end{center}

$\square$~\textbf{M40 }  La relation $\left(\mathcal{R}_3\right) $ possède une congruence stable modulo 6

\begin{center} Faux\qquad \B Vrai\end{center}

$\square$~\textbf{M41 }  La relation $\left(\mathcal{R}_3\right) $ possède une congruence stable modulo 7

\begin{center} Faux\qquad \B Vrai\end{center}

\medskip

Dans toute la suite, on ne suppose plus que $a = 5$ ni que $b = -1$. Ainsi, $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs quelconques vérifiant $a \ne 1$.

\medskip

$\square$~\textbf{M42 } La relation $\left(\mathcal{R}_3\right) $ possède une congruence stable modulo $q$ si et seulement si :

\medskip

\A $(a- 1)$ divise $b$

\B il existe $m \in \Z$ tel que $m = am + b$ 

\C il existe $m \in \Z$ tel que $m = am + b\:\: [q]$

\medskip

$\square$~\textbf{M43 } Vrai ou faux ? Si $a - 1$ et $q$ sont premiers entre eux, alors 
$\left(\mathcal{R}_3\right)$ possède une congruence stable modulo $q$.

\begin{center} Vrai\qquad \B Faux\end{center}

$\square$~\textbf{M44 }Vrai ou faux? Si $q = a$, alors $\left(\mathcal{R}_3\right)$ possède une congruence stable modulo $q$.

\begin{center} Vrai\qquad \B Faux\end{center}

$\square$~\textbf{M45 } Faux Vrai ou faux ? Si $q = a + 1$  et $a$ est pair, alors $\left(\mathcal{R}_3\right)$ possède une congruence stable modulo $q$

\begin{center} Vrai\qquad \B Faux\end{center}

$\square$~\textbf{M46 }  Vrai ou faux ? Si $q = a + 1,\: a$ est impair et $b$ est impair, alors $\left(\mathcal{R}_3\right)$ possède une congruence stable modulo $q$.

\begin{center} Vrai\qquad \B Faux\end{center}

$\square$~\textbf{M47 }  Vrai ou faux ? Si $q = a + 1,\:a$ est impair et $b$ est pair, alors 
$\left(\mathcal{R}_3\right)$ possède une congruence stable modulo $q$.

\begin{center} Vrai\qquad \B Faux\end{center}

$\square$~\textbf{M48 } L'ensemble des entiers $q > 0$ tels que $\left(\mathcal{R}_3\right)$ possède une congruence stable modulo $q$ est toujours: 

\begin{center} \A vide\quad  \B réduit à un élément \quad \C fini avec plusieurs éléments \quad \D infini\end{center}

$\square$~\textbf{M49 }Vrai ou faux ? Il est possible d'ajuster $a$ et $b$ pour que la relation de récurrence $\left(\mathcal{R}_3\right)$ possède une congruence stable modulo tout entier $q > 0$.

\begin{center} \A Vrai\qquad \B Faux\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 5. Nombres complexes et géométrie}

\medskip

$\square$~\textbf{M50 } Soit $a \in ]0~;~\pi[$. Le nombre complexe $z = - \cos a + \im \sin a$ est alors égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\e^{\im(a + \pi)}$ &\B $\e^{\im a}$ &\C $\e^{-\im a}$ &\D $\e^{-\im(a + \pi)}$ &\E $- \e^{\im a}$
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

$\square$~\textbf{M51 } Le module et un argument de $\dfrac{\sqrt 6 - \im \sqrt 2}{2}$ sont respectivement:

\A $\sqrt 2$ et $\dfrac{\pi}{6}$

\B $\sqrt 3$ et $\dfrac{5\pi}{6}$

\C $\sqrt 2$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ 

\D $\sqrt 2$ et $-\dfrac{\pi}{6}$

\E $\sqrt 2$ et $-\dfrac{\pi}{6}$

\medskip

$\square$~\textbf{M52 } Soit $z$ un nombre complexe.

Le nombre $|1 + \im z|^2 + |z + \im |^2$ est alors égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $4 - 2|z|^2$&\B $4|z| + 4$&C $2|z|^2 + 2$ &\D $2|z| + 2$& \E $4|z|^2 + 4$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M53 } Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes. Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ? 

\medskip

\A $|z| \leqslant  |\text{Re}(z)|+ |\text{Im}(z)|\leqslant \sqrt 2 |z|$

\B $|z| + |z'|\leqslant  \dfrac12(|z + z'| + |z - z'|)$

\C $|z|+|z'|\leqslant \dfrac14(|z + z'| + |z - z'|)$

\medskip

$\triangle$ \textbf{L5} Combien y a-t-il de nombres complexes $z$ vérifiant $|z| = \left|\dfrac 1z \right|  = |z - 1|$ ?

\medskip

$\square$~\textbf{M54 }On pose $z = -1 +\im \sqrt 3$.

Laquelle des affirmations suivantes est vraie ? 

\medskip

\A La suite de terme général Re$\left(z^n\right)$ est convergente

\B Re$\left(z^n\right)$ tend vers $-\infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$

\C Re$\left(z^n\right)$ tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$

\D Pour tout réel M, il existe un entier naturel $n$ tel que $z^n \in \R$ et $z^n > M$

\medskip

$\square$~\textbf{M55 } On rappelle que les racines quatrièmes de l'unité sont les nombres complexes $z$ tels que $z^4 = 1$.

Soit $n$ un entier naturel non nul. La somme des puissances $n$-ièmes des racines quatrièmes de l'unité vaut: 

\medskip

\A 0 quelle que soit la valeur de $n$

\B 4 quelle que soit la valeur de $n$

\C 4 si 8 divise $n$

\D 4 si et seulement si $8$ divise $n$ 

\E 4 lorsque 8 divise $n$, et 0 dans le cas contraire

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 6. Transformations complexes}

\medskip

Le plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormal, ce qui permet de repérer chaque point par une affixe.

On note $f$ l'application définie sur $\mathbb{C}\backslash \{2\text{i}\}$ par

\[f(z) = \dfrac{2\im z - 5}{z - 2\i}\]

On note A le point d'affixe 2i, et F l'application définie sur $\mathcal{P}\backslash\{\text{A}\}$, et qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $F(M)$ d'affixe $f(z)$.

Un point $M$ de $\mathcal{P}\backslash\{\text{A}\}$ est dit \textbf{invariant par} $F$ lorsque $F(M) = M.$

\medskip

$\square$~\textbf{M56 } Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

\medskip

\A $F$ admet exactement quatre points invariants

\B $F$ admet exactement un point invariant

\C $F$ admet une infinité de points invariants

\D $F$ admet exactement deux points invariants 

\E $F$ n'admet aucun point invariant

\medskip

$\triangle$ \textbf{L6} Expliciter les points invariants par $F$.

\medskip

On note $\mathcal{D}$ la droite de $\mathcal{P}$ passant par les points d'affixes respectives 0 et i.

\medskip

$\square$~\textbf{M57 }  Pour une droite $\Delta$ passant par A, on considère la propriété $P(\Delta)$ affirmant que $\Delta\backslash{\text{A}}$ est envoyé par $F$ dans une droite passant par A.

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie?

\medskip

\A La seule droite $\Delta$ passant par A et pour laquelle $P(\Delta)$ est vraie est $D$

\B Il existe plusieurs droites $\Delta$ passant par A et pour lesquelles $P(\Delta)$ est vraie, mais elles sont en nombre fini

\C La propriété $P(\Delta)$ est vraie pour toute droite $\Delta$ passant par A

\D Il n'existe aucune droite $\Delta$ passant par A et pour laquelle $P(\Delta)$ est vraie

\medskip

$\square$~\textbf{M58 }  Pour un cercle $\mathcal{C}$ de centre A, on considère la propriété $Q(\mathcal{C})$ affirmant que $\mathcal{C}$ est envoyé par $F$ dans un cercle de centre A.

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

\medskip

\A Il existe un et un seul cercle $\mathcal{C}$ de centre A et pour lequel $Q(\mathcal{C})$ est vraie

\B Il n'existe aucun cercle C de centre A et pour lequel $Q(\mathcal{C})$ est vraie

\C La propriété $Q(\mathcal{C})$ est vraie pour tout cercle $\mathcal{C}$ de centre A

\D Il existe plusieurs cercles $\mathcal{C}$ de centre A et pour lesquels $Q(\mathcal{C})$ est vraie, mais ils sont en nombre fini

\medskip

$\square$~\textbf{M59 }  Pour un cercle $\mathcal{C}$ passant par A, on considère la propriété $R(\mathcal{C})$ affirmant que $\mathcal{C}\backslash\{\text{A}\}$ est envoyé par $F$ dans un cercle passant par A.

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie?

\medskip

\A Il existe un et un seul cercle $\mathcal{C}$ passant par A et pour lequel $R(\mathcal{C})$ est vraie

\B Il n'existe aucun cercle $\mathcal{C}$ passant par A et pour lequel $R(\mathcal{C})$ est vraie

\C Il existe plusieurs cercles $\mathcal{C}$ passant par A et pour lesquels $R(\mathcal{C})$ est vraie, mais ils sont en nombre fini 

\D La propriété $R(\mathcal{C})$ est vraie pour tout cercle $\mathcal{C}$ passant par A

\medskip

$\triangle$ \textbf{R4} justifiez votre réponse à la question \textbf{M59 }.

\bigskip 

\textbf{\Large Exercice 7. Polyominos}

\medskip

Un \textbf{polyomino} est un assemblage de carrés de côté 1, appelés \og cellules \fg, collés les uns aux autres le long d'un côté. Deux tels assemblages définissent le même polyomino lorsqu'ils peuvent être transformés l'un en l'autre à l'aide de symétries, de rotations ou de translations.

Il existe un seul polyomino à une cellule, représenté par un carré de côté 1. De même, il existe un seul polyomino à deux cellules, représenté par deux cellules accolées.

Dans le dessin suivant:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16.5,4.2)
%\psgrid
\def\cel{\psframe(0.5,0.5)}
\rput(0,1){\cel}\rput(0.5,1){\cel}\rput(0,1.5){\cel}\rput(0.5,0.5){1}%1
\rput(2.,1){\cel}\rput(2.,1.5){\cel}\rput(2.5,2){\cel}\rput(2.5,0.5){2}%2
\rput(4.,1){\cel}\rput(4.5,1){\cel}\rput(4.5,1.5){\cel}\rput(4.5,2){\cel}\rput(4.5,2.5){\cel}\rput(4.5,3){\cel}\rput(5,2.5){\cel}\rput(4.5,0.5){3}%3
\rput(6.5,1){\cel}\rput(6,1.5){\cel}\rput(6.5,1.5){\cel}\rput(7,1.5){\cel}\rput(7.5,1.5){\cel}
\rput(8,1.5){\cel}\rput(8,2){\cel}\rput(7.25,0.5){4}%4
\rput(9.5,1){\cel}\rput(10,1){\cel}\rput(9,1.5){\cel}\rput(9.5,1.5){\cel}\rput(9.5,2){\cel}\rput(10,2){\cel}\rput(10,2.5){\cel}\rput(10,0.5){5}%5
\rput(11,2){\cel}\rput(11.5,2){\cel}\rput(12.5,2){\cel}\rput(11.5,1.5){\cel}\rput(12,1.5){\cel}\rput(12.5,1.5){\cel}\rput(12,1){\cel}\rput(12,0.5){6}%6
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item Toutes les assemblages présentés représentent un polyomino, à l'exception de la figure 2.
\item Les assemblages 3 et 4 représentent le même polyomino car on peut obtenir l'un à partir de l'autre à l'aide d'une symétrie d'axe vertical et d'une rotation.
\end{itemize}

\medskip

$\triangle$~\textbf{L7} Combien existe-t-il de polyominos à trois cellules ?

\medskip

$\triangle$~\textbf{L8} Combien existe-t-il de polyominos à quatre cellules ?

\medskip

$\square$~\textbf{M60 } Le nombre de polyominos à cinq cellules est:

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 10 &\B 5 &\C 8 &\D 12 &\E 15
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Un \textbf{polyomino unilatéral} est un assemblage de cellules : deux assemblages représentent le même polyomino unilatéral lorsqu'il est possible de transformer l'un en l'autre uniquement à l'aide de rotations ou de translations.

Dans le dessin ci-dessus, les assemblages 5 et 6 représentent le même polyomino et aussi le même polyomino unilatéral, car on peut obtenir l'un à partir de l'autre à l'aide d'une rotation.

En revanche, les assemblages 3 et 4 représentent deux polyominos unilatéraux distincts.

\medskip

$\square$~\textbf{M61 } Le nombre de polyominos unilatéraux à trois cellules est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\A 1&\B 2 &\C 4&\D 3 
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M62 } Le nombre de polyominos unilatéraux à quatre cellules est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 7&\B 4&\C 6 &\D 3 &\E 5
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M63 } Le nombre de polyominos unilatéraux à cinq cellules est : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 17&\B $12$&C 10 &\D $18$& \E $15$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M63 } Le nombre de polyominos à six cellules est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 23&\B $25$&C 18 &\D $35$& \E $31$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}