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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Évaluation ESciA  session 16 mars 2024~\decofourright\\[7pt]Mathématiques expertes Épreuve 2 , option A}\\[7pt]Durée : 1h 30 min}

\medskip

\textbf{FONCTIONNEMENT DES QUESTIONS}
\end{center}

$\bullet~~$Les questions à \emph{choix multiples} sont numérotées M1, M2, etc. Le candidat y répond en \textbf{noircissant} la case correspondant à sa réponse dans la feuille-réponse $\square$.

Pour chacune de ces questions, il y a une et une seule bonne réponse.

Toute réponse fausse retire des points aux candidats. 

Noircir plusieurs réponses à une même question a un effet de neutralisation (le candidat récoltera 0 point).

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse brute} sont numérotées L1, L2 etc.

Elles ne demandent aucune justification : les résultats sont reportés par le candidat dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\triangle$. Tout débordement de cadre est interdit.

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse rédigée} sont numérotées RI, R2, etc. Elles sont écrites dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\bigcirc$ ou la feuille-réponse $\triangle$, selon le symbole précédant le numéro de la question. Tout débordement de cadre est interdit.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{CONSEILS DE BON SENS}\end{center}

$\bullet~~$L'énoncé est (très) long: il n'est absolument pas nécessaire d'avoir tout traité pour avoir une note et un classement excellents.

$\bullet~~$Ne vous précipitez pas pour reporter vos réponses, notamment aux questions à choix multiples. Il est préférable d'avoir terminé un exercice avant d'en reporter les réponses.

$\bullet~~$Ne répondez jamais au hasard à une question à choix multiples !

$\bullet~~$Selon l'exercice, les questions peuvent être dépendantes les unes des autres ou non. Soyez attentifs à la variété des situations.

\newpage

\textbf{\Large Exercice 1. Nombres complexes : calculs}

\medskip

$\square$~\textbf{M1} Le produit des deux nombres complexes $2 - 3\text{i}$ et $\text{i} + 2$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $7 - 4\text{i}$ &\B $1 - 4\text{i}$&\C $1+4\text{i}$&\D $7 + 4\text{i}$ &\E $1 + 6\text{i}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M2} Soit $x$ et $y$ deux nombres réels. Le nombre complexe $(x - \text{i}y)^2$ est systématiquement égal à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\A $- x^2+y^2+2\text{i}xy$ &\B $x^2 + y^2+2\text{i}xy$&\C $x^2 - y^2+2\text{i}xy$\\
\D $x^2 - y^2 - 2\text{i}xy$&\E $x^2 + y^2 - 2\text{i}xy$&
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M3}~Le nombre complexe $\dfrac{1}{- 11 + \text{i}}$ vaut:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac{-11 +\text{i}}{120}$&\B {\small aucune des autres réponses proposées}&\C $\dfrac{-11 -\text{i}}{120}$&\D $\dfrac{11 -\text{i}}{122}$&\E $\dfrac{- 11  + \text{i}}{122}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M4} Le quotient $\dfrac{1 - 5\text{i}}{3 - \text{i}}$ vaut:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac{8 - 14\text{i}}{10}$&\B $\dfrac{- 2 + 14\text{i}}{10}$&\C $\dfrac{8 + 14\text{i}}{\sqrt{10}}$&\D {\small aucune des autres réponses proposées}&\E $\dfrac{8 - 14\text{i}}{\sqrt{10}}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M5} Les solutions complexes de $5z^2 + 2z + 1 = 0$ sont :

\A $\dfrac{-1 +2\text{i}}{5}$  et $\dfrac{-1 - 2\text{i}}{5}$

\B $\dfrac{1 +2\text{i}}{5}$  et $\dfrac{1 - 2\text{i}}{5}$

\C $\dfrac{- 1 + 2\text{i}}{10}$  et $\dfrac{- 1 - 2\text{i}}{10}$

\D $1 + 2\text{i}$ et $- 1 - 2\text{i}$

\E $\dfrac{1 + 2\text{i}}{10}$  et $\dfrac{1 - 2\text{i}}{10}$

\medskip

$\triangle$~\textbf{L1}  Donner le module et un argument du nombre complexe $1 - \text{i}$.

\medskip

$\square$~\textbf{M6} Le module et un argument de $\dfrac{1 + \text{i}\sqrt 3}{2}$ sont :

\A 1 et $\dfrac{\pi}{6}$

\B  2 et $\dfrac{\pi}{6}$

\C 1 et $\dfrac{\pi}{3}$

\D $\dfrac{1 + \sqrt 3}{2}$ et $\dfrac{\pi}{3}$

\E aucune des autres réponses proposées

\medskip

$\square$~\textbf{M7} Le module et un argument de $\dfrac{4}{1 + \text{i}\sqrt 3}$ sont :

\A aucune des autres réponses proposées

\B 1 et $- \dfrac{2\pi}{3}$

\C 4 et $\dfrac{2\pi}{3}$

\D 2 et $\dfrac{5\pi}{3}$

\E 2 et $\dfrac{\pi}{3}$

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 2. Produit de convolution de deux suites}

\medskip

Dans tout l'exercice, on appelle suite réelle toute suite à termes réels définie à partir du rang 0.

Pour deux suites réelles $u$ et $v$, on note $u = v$ pour signifier que $u_n = v_n$ pour tout $n \in \N$.

Lorsque $a$ désigne un nombre réel, on note $\tilde{a}$ la suite réelle dont tous les termes sont égaux à $a$, autrement dit
$\tilde{a}_n = a$ pour tout $n \in \N$. En particulier $\tilde{0}$ a tous ses termes nuls, et est appelée la suite nulle.

On note $e$ la suite réelle définie par $e_0 = 1$ et $e_n = 0$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.

Lorsque $u = \left(u_n\right)_{n \in \N}$ et $v = \left(v_n\right)_{n \in \N}$ désignent deux suites réelles, on définit une nouvelle suite réelle, notée $u \star v$
et appelée produit de convolution de $u$ et $v$, en posant
\[\begin{array}{l c l}
(u \star v)_0&=&u_0v_0,\\
(u \star v)_1&=&u_1v_0 + u_0v_1,\\
(u \star v)_2&=&u_2v_0 + u_1v_1 +  u_0v_2,\\
\dotfill\\
(u \star v)_n&=&u_nv_0 + u_{n-1}v_1 + _{n-2}v_2 + \ldots + u_1v_{~-1} + u_0v_n.
\end{array}\]

$\triangle$ \textbf{L2} On considère la suite $u$ définie par $u_0 = 4, u_1 =2$ et $u_n = 1$ pour tout entier $n \geqslant 2$. Donner la valeur de $(u \star u)_3$.

\medskip

$\square$~\textbf{M8} On considère la suite $u$ définie par $u_0 = 4,\: u_1 =2$ et $u_n = 1$ pour tout entier $n \geqslant 2$. Alors $(u \star u)_{10}$ vaut : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 28& \B 29 &\C 18 &\D 12 &\E 19
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Vrai ou faux ?}

\medskip

Dans les questions \textbf{M9}, \textbf{M10}, \textbf{M11} et \textbf{M12}, on demande d'évaluer la validité des propositions indiquées.

\smallskip

$\square$~\textbf{M9} On a $u \star \tilde{0} = \tilde{0}$ pour toute suite réelle $u$.

\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M10} On a $u \star \tilde{1} = u$ pour toute suite réelle $u$.

\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M11} On a $u \star e = u$ pour toute suite réelle $u$.

\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \end{center}

$\square$~\textbf{M12} On a $u \star v = v \star u$ quelles que soient les suites réelles $u$ et $v$.

\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \end{center}

$\square$~\textbf{M13} On considère la suite réelle $w$ définie par $w_0 = 0, w_1 = 1$ et $w_n = 0$ pour tout entier naturel .

Pour toute suite réelle $u$ et tout entier naturel $n$ :

\medskip

\A $(u \star w)_{n+1} = u_n$

\B aucune des autres réponses proposées n'est vraie en toute généralité

\C $(u\star w)_n = u_{n-1}$

\D $(u \star w)_n = u_{n+1}$

\medskip

$\square$~\textbf{M14} On considère la suite réelle $u$ définie par $u_n = 1$ si $n$ est pair, et $u_n = 0$ si $n$ est impair ; on considère aussi la suite réelle $v$ définie par $v_n = 0$ si $n$ est pair, et $v_n = 1$ si $n$ est impair. Pour tout entier naturel $n$ :

\medskip

\A $(u \star v)_n = (n + 2)/2$ si $n$ est pair, et $(u \star v)_n = 0$ si $n$ est impair 

\B $(u \star v)_n = n/2$ si $n$ est pair, et $(u \star v)_n = 0$ si $n$ est impair

\C $(u \star v)_n = (n - 1)/2$ si $n$ est impair, et $(u \star v)_n = 0$ si $n$ est pair 

\D aucune des autres réponses proposées n'est vraie en toute généralité 

\E $(u \star v)_n = (n +1)/2$ si $n$ est impair, et $(u \star v)_n = 0$ si $n$ est pair

\bigskip

{\large \textbf{Suites arithmétiques/géométriques}}

\medskip

Dans les questions \textbf{M15} à \textbf{M19}, on fixe deux suites réelles $u$ et $v$. On rappelle que toute suite constante est arithmétique (de raison 0).

\medskip

$\square$~\textbf{M15} Si $u$ et $v$ sont constantes, alors $u \star v$ :

\medskip

\A est arithmétique

\B peut n'être ni arithmétique ni géométrique, selon le choix de U 

\C est géométrique

\medskip

$\square$~\textbf{M16} Si $u$ et $v$ sont arithmétiques alors $u \star v$ :

\medskip

\A n'est jamais arithmétique

\B peut être arithmétique ou non, selon le choix de $u$ et $v$ 

\C est arithmétique

\medskip

$\triangle$ \textbf{L3} On suppose $u$ géométrique de raison 2 et $v$ géométrique de raison 4. Donner une expression simplifiée de $(u \star v)_n$ en fonction de $n, u_0$ et $v_0$.

\medskip

$\square$~\textbf{M17} Si $u$ et $v$ sont géométriques de raisons non nulles différentes, et si $u_0 \ne =0$ et $v_0 \ne 0$, alors $u \star v$: 

\medskip

\A n'est jamais géométrique

\B peut être géométrique ou non, selon les valeurs respectives de $u$ et $v$

\C est géométrique

\medskip

$\square$~\textbf{M18} Si $u$ et $v$ sont géométriques de raisons non nulles différentes, et si $u_0 \ne 0$ et $v_0 \ne 0$,  alors $u \star v$ : 

\medskip

\A est la somme de deux suites géométriques 

\B peut être la somme de deux suites géométriques ou non, selon les valeurs respectives de $u$ et $v$

\C n'est jamais la somme de deux suites géométriques

\medskip

$\bigcirc$ \textbf{R1} Justifier votre réponse à la question \textbf{M18}.

\medskip

$\square$~\textbf{M19} Si $u$ et $v$ sont géométriques et de raisons différentes de 0 et 1, alors $u \star v$ :

\medskip

\A peut être arithmétique ou non, selon les valeurs respectives de $u$ et $v$

\B est arithmétique

\C n'est jamais arithmétique

\bigskip

\textbf{Valuation, résolution d'équations}

\medskip

Soit $u$ une suite réelle différente de $\tilde{0}$. Il existe donc un entier $n \geqslant 0$ tel que $u_n \ne 0$, et on note $\alpha(u)$ le plus petit de ces entiers, appelé \textbf{valuation} de $u$. Par exemple, pour une suite $u$ vérifiant $u_0 = 0, u_1 = 0, u_2 = - 4$ et $
u_3 = 9$, on a $\alpha(u)= 2.$

\medskip

$\square$~\textbf{M20} Soit $u$ et $v$ deux suites réelles différentes de $\tilde{0}$. On note $p$ la valuation de $u$, et $q$ celle de $v$. On note $m$ le plus petit des entiers $p$ et $q$, et $M $le plus grand d'entre eux. On peut alors affirmer :

\medskip

\A qu'aucune des autres affirmations n'est systématiquement vraie

\B que $(u \star v)_n = 0$ pour tout entier naturel $n < pq$, mais que $(u \star v)_{pq} \ne 0$

\C que $(u \star v)n = 0$ pour tout entier naturel $n < p + q$, mais que $(u \star v)_{p+q} \ne  0 $

\D que $(u \star v)_n = 0$ pour tout entier naturel $n < m$, mais que $(u \star v)_m \ne 0 $

\E que $(u \star v)n = 0$ pour tout entier naturel $n < M$, mais que $(u \star v)_M \ne 0$

\medskip

$\square$~\textbf{M21} Soit $u$ et $v$ deux suites différentes de la suite nulle. On peut alors affirmer:

\medskip

\A que $u \star v$ n'est pas la suite nulle, et que sa valuation est le plus petit des entiers $\alpha(u)$ et $\alpha(v)$

\B que $u \star v$ n'est pas la suite nulle, et que sa valuation est $\alpha(u) + \alpha(v)$

\C qu'aucune des autres affirmations n'est systématiquement vraie

\D que $u \star v$ n'est pas la suite nulle, et que sa valuation est le plus grand des entiers $\alpha(u)$ et $\alpha(v)$

\E que $u \star v$ n'est pas la suite nulle, et que sa valuation est $\alpha(u)\alpha(v)$

\medskip

$\square$~\textbf{M22} Soit $b$ une suite réelle. S'il existe une suite réelle $u$ telle que $u \star b = e$, alors la conséquence la plus précise que l'on puisse en tirer est :

\medskip

\A aucune des autres affirmations n'est vraie en toute généralité 

\B $b_1 \ne 0$

\C $b_n \ne 0$ pour tout $n \in \N$

\D il existe un $n \in \N$ tel que $b_n \ne 0$

\E $b_0 \ne  0$

\medskip

$\square$~\textbf{M23} On fixe deux suites réelles $b$ et $c$ telles que $b \ne 0$.

L'affirmation la plus précise que l'on puisse soutenir est :

\medskip

\A il n'existe aucune suite réelle $u$ telle que $u  \star b = c$

\B aucune des autres affirmations ne peut être soutenue

\C il existe une et une seule suite réelle $u$ telle que $u \star b = c$

\D il existe plusieurs suites réelles $u$ telles que $u \star b = c$

\E il existe au moins une suite réelle $u$ telle que $u \star b = c$

\medskip

$\bigcirc$ \textbf{R2} Justifier votre réponse à la question \textbf{M23}.

\medskip

$\square$~\textbf{M24} Soit $b$ une suite réelle non nulle. S'il existe une suite réelle $u$ telle que $u \star u = b$, alors :

\medskip

\A on peut affirmer que la valuation de $u$ est paire

\B on peut affirmer que la valuation de $b$ est paire

\C on peut affirmer que la valuation de $b$ est impaire

\D aucune des autres affirmations ne peut être soutenue 

\E on peut affirmer que la valuation de $u$ est impaire

\medskip

$\square$~\textbf{M25} Soit $b$ une suite réelle telle que $b_0 > 0$. On peut alors affirmer:  

\medskip

\A qu'il existe exactement deux suites réelles $u$ telles que $u \star u = b$

\B qu'il existe exactement une suite réelle u telle que $u \star u = b$

\C qu'aucune des autres affirmations ne peut être soutenue

\D qu'il existe une infinité de suites réelles u telles que $u \star u = b$ 

\E qu'il n'existe aucune suite réelle u telle que $u \star u = b$

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3. Arithmétique}

\medskip

$\triangle$ \textbf{L4} Parmi les entiers suivants, indiquer lesquels sont premiers

\[1, \quad 2, \quad 43, \quad 59, \quad 111, \quad 143, \quad 147, \quad 187\]

$\square$~\textbf{M26} Le pgcd de 720 et 210 est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 60&\B 30&\C 90&\D 15&\E 105
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M27} le nombre 66 est premier avec 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 45&\B 111&\C 35&\D 143&\E 105
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M28} Le dernier chiffre de $\np{2023}^{\np{2024}}$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 2&\B 1&\C 7&\D 9&\E 3
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M29} On rappelle que $10! = 2 \times 3 \times \ldots  \times 9 \times 10$. On considère les nombres $2 +  10!,\: \ldots, \:  9 + 10!$.

Parmi ces nombres, combien sont premiers ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A Aucun &\B Un &\C  Tous &\D Trois & Deux
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M30} Le pgcd des nombres $2.10! + 1$ et $3.10! + 1$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2.5cm}*{4}{X}}
\A aucune des autres réponses&\B 1 &\C 5 &\D 3 &\E 7
\end{tabularx}
\end{center}

$\bigcirc $ \textbf{R3} justifier votre réponse à la question \textbf{M30}.

\medskip

$\square$~\textbf{M31} Vrai ou Faux?

Tout entier $a \geqslant  4$ est de la forme $3k+1$ ou $3k+2$, où $k$ est un entier naturel.

\begin{center}\A Vrai \qquad  \B Faux\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M32} Vrai ou Faux?

Tout entier impair $a \geqslant 1$ est de la forme $4k +1$ ou $4k +3$, où $k$ est un entier naturel.

\begin{center}\A Vrai \qquad  \B Faux\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M33} Vrai ou Faux? 

Pour tout entier impair $a \geqslant 1$, le nombre $a^2 - 1$ est divisible par 8.

\begin{center}\A Vrai \qquad  \B Faux\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M34} Vrai ou Faux? 

Pour tout entier $a \geqslant 5$ non divisible par $3$, le nombre $a^2 - 1$ est divisible par 24.

\begin{center}\A Vrai \qquad  \B Faux\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M35} Combien y a-t-il de nombres premiers $p$ tels que $p - 2$ et $p + 2$ soient premiers ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 0&\B une infinité &\C 4&\D 2&\E 1
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 4. Nombres complexes et trigonométrie}

\medskip

$\square$ \textbf{M36} Soit $z$ un nombre complexe. À partir de l'hypothèse qu'il existe un nombre réel $x$ tel que $z = x\overline{z}$, la conséquence la plus précise que l'on puisse en tirer est :

\medskip

\A $z$ est imaginaire pur

\B l'un des nombres $z$ ou $\text{i}z$ est réel

\C aucune des autres réponses proposées 

\D $z$ est un nombre réel

\E $z$ est de module 1

\medskip

$\square$~\textbf{M37} Soit $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls, et $n$ un entier naturel non nul. L'affirmation la plus précise que l'on puisse soutenir est :

\medskip

\A $(a + \text{i}b)^n + (a - \text{i}b)^n$ est réel négatif

\B $(a + \text{i}b)^n + (a - \text{i}b)^n$ est imaginaire pur

\C aucune des autres affirmations ne peut être soutenue 

\D $(a + \text{i}b)^n + (a - \text{i}b)^n$ est réel positif 

\E $(a + \text{i}b)^n+ (a - \text{i}b)^n$ est réel

\medskip

$\square$~\textbf{M38} Soit $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls, et $n$ un entier naturel non nul. L'affirmation la plus précise que l'on puisse soutenir est :

\medskip

\A $(a + \text{i}b)^n - (a - \text{i}b)^n$ est réel

\B $(a + \text{i}b)^n - (a - \text{i}b)^n$ est réel positif

\C aucune des autres affirmations ne peut être soutenue 

\D $(a + \text{i}b)^n - (a - \text{i}b)^n$ est réel négatif

\E $(a + \text{i}b)^n - (a - \text{i}b)^n$ est imaginaire pur

\medskip

$\square$~\textbf{M39} Soit $n$ un entier naturel non nul. Le nombre complexe $(1 + \text{i})^n + (1 - \text{i})^n$ est systématiquement égal à:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $2^n$&\B $\left(\sqrt 2\right)^n \cos \dfrac{n \pi}{4}$&\C $2^n\cos \dfrac{n \pi}{4}$&\D $2\left(\sqrt 2\right)^n \cos \dfrac{n \pi}{4}$&\E $2^{n+1}\cos \dfrac{n \pi}{4}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M40} Soit $n$ un entier naturel non nul. La somme

\[\binom{2n}{0} - \binom{2n}{2} + \ldots + (-1)^p \binom{2n}{2p} + \ldots + (-1)^n \binom{2n}{2bn}\] 
est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $2^n \cos \dfrac{n \pi}{2}$&\B $\left(\sqrt 2\right)^{n+2} \cos \dfrac{n \pi}{4}$&\C $2^{2n - 1}$ &\D $\left(\sqrt 2\right)^n \cos \dfrac{n \pi}{4}$&\E $2^{n+1}\cos \dfrac{n \pi}{2}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M41} L'ensemble des valeurs prises par $\left|\e^{\text{i} t} - 1\right|$ lorsque $t$ varie dans $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\left]- \sqrt 2~;~\sqrt 2\right[$&\B $\left]0~;~\sqrt 2\right[$&\C ]0~;~1[&\D [0~;~1]&\E $\left[0~;~\sqrt 2\right]$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M42}  Les complexes $z$ tels que $z^{10} = 1$ et Im$(z) \geqslant 0$ sont au nombre de :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A  4&\B 2 &\C 6&\D 5 &\E 10
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 5. Systèmes de Steiner}

\medskip

On définit la terminologie suivante :

\medskip

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item Une \textbf{paire} d'un ensemble $E$ est un sous-ensemble de E possédant exactement deux éléments. Par exemple, les ensembles $\{1~;~3\}$ et $\{2~;~ 4\}$ sont des paires de l'ensemble $\{1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$.

On rappelle que les ensembles $\{3~;~1\}$ et $\{1~;~3\}$ sont identiques puisqu'ils ont les mêmes éléments.
\item Un \textbf{triplet} d'un ensemble E est un sous-ensemble de $E$ possédant exactement trois éléments. Par exemple $\{1~;~2~;~4\}$ est un triplet de $\{1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$, égal au triplet $\{4~;~2~;~1\}$, au triplet $\{1~;~4~;~2\}$ etc.
\item Une paire est dite \textbf{incluse} dans un triplet lorsque tout élément de la paire est aussi un élément du triplet. Par exemple $\{1~;~4\}$ est incluse dans $\{1~;~2~;~4\}$ (les éléments 1 et 4 sont tous deux dans $\{1~;~2~;~4\}$), mais $\{1~;~5\}$ n'est pas incluse dans $\{1~;~2~;~4\}$ car 5 appartient à $\{1~;~5\}$ mais pas à $\{1~;~2~;~4\}$.
Dans tout l'exercice, on note $E_n$ l'ensemble des entiers naturels compris entre 1 et $n$, autrement dit 
\[E_n = \{1~;~2~;~ \ldots ~;~n\}.\]
\end{itemize}

\medskip

\textbf{\large Un peu de dénombrement}

\medskip

Dans les questions \textbf{M43}, \textbf{M44} et \textbf{M45}, on considère les 7 sommets d'un heptagone convexe.

\begin{center}
\begin{pspicture}(4.8,3.4)
\psdots[dotscale=2.2](0,0.7)(0,2)(1.2,3)(3.2,3)(4.2,2.6)(3.2,0.6)(1.3,0)
\pspolygon(0,0.7)(0,2)(1.2,3)(3.2,3)(4.2,2.6)(3.2,0.6)(1.3,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M43} Le nombre de paires de sommets de l'heptagone est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X p{4cm} *{3}{X}}
\A 14&\B aucune des autres réponses proposées&\C 21 &\D 42& \E 13
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M44} Le nombre de paires de sommets de l'heptagone qui ne sont pas côte-à-côte  est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{p{4cm}*{4}{X}}
\A aucune des autres réponses proposées&\B 11 &\C 28&\D  12&\E  14
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M45} Le nombre total de triangles que l'on peut former sur des sommets de l'heptagone et qui n'ont pas de côté commun avec l'heptagone est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X p{4cm} *{3}{X}}
\A 7 &\B aucune des autres réponses proposées&\C 2 &\D21&\E 3
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M45}  Soit un entier naturel $n \geqslant 3$. Le nombre de paires de $E_n$ et le nombre de triplets de $E_n$ sont respectivement égaux à :

\medskip

\A  $\dfrac{n(n-1)}{2}$  et $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$

\B $\dfrac{n(n+1)}{2}$  et $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$

\C $\dfrac{n(n-1)}{2}$  et $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3}$

\D $\dfrac{n(n+1)}{2}$  et $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

\E $2^{n-1}$ et $2^{n-2}$

\medskip

$\triangle $ \textbf{L5} Donner tous les entiers $n \geqslant 3$ tels que $E_n$ ait autant de paires que de triplets.

\bigskip

{\large \textbf{Introduction aux systèmes de Steiner}}

\medskip

On considère dans la suite un ensemble fini $E$. Un système de Steiner sur $E$ est un ensemble $T$ tel que:

(i) Les éléments de $T$ sont des triplets de $E$.

(ii) Toute paire $\{i~;~j\}$ de $E$ est incluse dans un et un seul élément de $T$.

Par exemple, pour $E = \{1~;~2~;~3\}$ :

$\bullet~$ l'ensemble $T$ formé de $\{1~;~2~;~3\}$ et $\{1~;~2\}$ n'est pas un système de Steiner car il n'est pas exclusivement constitué de triplets (l'objet $\{1~;~2\}$ de $T$ n'est pas un triplet) ;

$\bullet~$ l'ensemble $T$ formé du seul triplet $\{1~;~2~;~3\}$ est bien un système de Steiner. En effet, $\{1~;~2~;~3\}$ est bien un triplet,
et toute paire de $\{1~;~2~;~3\}$ est incluse dans $\{1~;~2~;~3\}$, qui est le seul élément de $T$.

Autre exemple, sur $E_4 = \{1~;~2~;~3~;~4\}$, l'ensemble $T$ formé des quatre triplets $\{1~;~ 2~;~3\}, \{1~;~2~;~4\}, \{2~;~3~;~4\}$ et $\{1~;~3~;~4\}$ n'est pas un système de Steiner : bien que toute paire de $E_4$ soit incluse dans l'un de ses éléments (ce que l'on vérifie facilement), la paire $\{1~;~2\}$ est incluse dans plusieurs éléments de $T$.

\medskip

$\square$ \textbf{M47} Sur $E_4$, l'ensemble $T$ formé du seul triplet $\{1~;~2~;~3\}$ :

\medskip

\A n'est pas un système de Steiner car au moins une paire de $E_4$ n'est incluse dans aucun élément de $T$

\B n'est pas un système de Steiner car $T$ n'est pas constitué uniquement de triplets

\C n'est pas un système de Steiner car au moins une paire de $E_4$ est incluse dans plusieurs éléments de $T$ 

\D est un système de Steiner

\E n'est pas un système de Steiner car n'importe quelle paire de $E_4$ est incluse dans plusieurs éléments de $T$

\medskip

$\square$ \textbf{M48} Sur $E_4$, l'ensemble $T$ formé des triplets $\{1~;~2~;~3\}, \{1~;~2~;~4\}$ et $\{2~;~3~;~4\}$ :

\medskip

\A n'est pas un système de Steiner car au moins une paire de $E_4$ est incluse dans plusieurs éléments de $T$ 

\B n'est pas un système de Steiner car n'importe quelle paire de $E_4$ est incluse dans plusieurs éléments de $T$

\C n'est pas un système de Steiner car $T$ n'est pas constitué uniquement de triplets

\D est un système de Steiner

\E n'est pas un système de Steiner car au moins une paire de $E_4$ n'est incluse dans aucun élément de $T$

\bigskip

\textbf{\large Vrai ou faux ?}

\medskip

$\square$ \textbf{M49}  Il existe un et un seul système de Steiner sur $E_3$.

\begin{center} \A Faux\qquad \B Vrai \end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M50} Il existe un système de Steiner sur $E_4$.

\begin{center} \A Vrai\qquad \B Faux \end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M51} Il existe un système de Steiner sur $E_5$.

\begin{center} \A Faux\qquad \B Vrai \end{center}

\medskip

$\bigcirc$ \textbf{R4} Justifier votre réponse à la question \textbf{M51}.

\medskip

$\square$ \textbf{M52} Pour obtenir un système de Steiner sur $E_7$, quels triplets adjoindre aux triplets 

$\{1~;~2~;~3\}, \{1~;~6~;~7\}, \{2~;~4~;~6\}, \{3~;~4~;~7\}$ et $\{3~;~5~;~6\}$ ?

\medskip

\A $\{2~;~4~;~5\}$ et $\{1~;~5~;~7\}$

\B aucune des autres réponses proposées ne convient 

\C $\{2~;~5~;~7\}$ et $\{1~;~4~;~5\}$

\D $\{2~;~5~;~7\}$ et $\{1~;~5~;~6\}$

\E $\{2~;~5~;~6\}$ et $\{1~;~4~;~7\}$

\bigskip

\textbf{\large Une construction sur un carré}

\medskip

On se place dans un plan euclidien, muni d'un repère orthonormal. On considère un carré représenté par le dessin suivant :

\begin{center}
\begin{pspicture}(2.4,2.4)
\psframe(2.2,2.2)
\psdots[dotscale=2](0,0)(0,1.1)(0,2.2)(1.1,2.2)(1.1,1.1)(1.1,0)(2.2,0)(2.2,1.1)(2.2,2.2)
\uput[dl](0,0){$A$} \uput[l](0,1.1){$M_1$} \uput[ul](0,2.2){$A$} 
\uput[u](1.1,2.2){$M_1$} \uput[u](1.1,1.1){$\Omega$} \uput[d](1.1,0){$M_3$} 
\uput[dr](2.2,0){$C$} \uput[r](2.2,1.1){$M_2$} \uput[ur](2.2,2.2){$B$} 
\end{pspicture}
\end{center}

On note $E$ l'ensemble constitué des sommets du carré, des milieux des côtés, et du centre du carré. Ces points sont représentés par des pastilles $\bullet$ sur le dessin.

On forme :

\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item l'ensemble $T_c$ des triplets constitués de trois points de E alignés sur une droite parallèle à l'un des côtés du carré;
\item l'ensemble $T_d$ constitués des deux diagonales $\{A~;~\Omega~;~C\}$ et $\{B~;~\Omega~;~D\}$.
\end{itemize}

On réunit ces deux ensembles de triplets pour former un ensemble $T$.

\medskip

$\square$ \textbf{M53} L'ensemble $T$ n'est pas un système de Steiner sur $E$ parce que : 

\medskip

\A $T$ n'est pas constitué uniquement de triplets

\B aucune paire de $E$ n'est incluse dans au moins un élément de $T$

\C toutes les paires de $E$ sont incluses dans plusieurs éléments de $T$ 

\D au moins une paire de $E$ n'est incluse dans aucun élément de $T$

\E au moins une paire de $E$ est incluse dans plusieurs éléments de $T$

\medskip

$\triangle $ \textbf{L6} Quels triplets rajouter à $T$ pour obtenir un système de Steiner sur $E$ ?

On obtient ainsi plus généralement la construction suivante : étant donné deux triplets $A = \{x_1~;~x_2~;~x_3\}$ et $B = \{y_1~;~y_2~;~y_3\}$ de nombres, on considère l'ensemble $E$ des points du plan dont l'abscisse est dans $A$, et l'ordonnée dans $B$. Alors $E$ possède un système de Steiner, et mieux il existe un système de Steiner sur $E$ contenant, entre autres :

\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item tous les triplets de points de $E$ alignés sur une même droite horizontale ;
\item tous les triplets de points de $E$ alignés sur une même droite verticale.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(7.5,4.5)
\uput[d](1,0){$x_1$} \uput[d](2.7,0){$x_2$} \uput[d](5,0){$x_3$} 
\uput[l](0,1.1){$y_1$}\uput[l](0,1.6){$y_2$}\uput[l](0,2.8){$y_3$}
\psline[linestyle=dashed](1.1,0)(1.1,2.8)
\psline[linestyle=dashed](2.7,0)(2.7,2.8)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,2.8)
\psline[linestyle=dashed](0,1.1)(5,1.1)
\psline[linestyle=dashed](0,1.6)(5,1.6)
\psline[linestyle=dashed](0,2.8)(5,2.8)
\psdots[dotscale=1.8](1.1,1.1)(1.1,2.8)(2.7,2.8)(5,1.6)(5,1.1)(5,2.8)(1.1,1.6)(2.7,1.6)(5,1.1)(2.7,1.1)(1.1,1.6)
\end{pspicture}
\end{center}

$\square$ \textbf{M54} Ce qui précède permet d'affirmer :

\medskip

\A qu'aucune des autres affirmations n'est vraie

\B qu'aucun ensemble fini de cardinal 9 ne possède de système de Steiner

\C que tout ensemble fini de cardinal 9 possède un système de Steiner

\D que certains ensembles finis de cardinal 9 possèdent un système de Steiner, mais peut-être pas tous

\medskip

\textbf{Une idée séduisante}

\medskip

Pour une certaine valeur de l'entier $n \geqslant 6$, Jean-Pascal cherche à construire un système de Steiner sur $E_n$. On suppose qu'il a déjà réussi :

\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item à partager $E_n$ en deux sous-ensembles $A$ et $B$, tous deux non vides, et sans élément commun ;
\item à construire, avec quelque effort, un système de Steiner $T$ sur $A$ et un système de Steiner $T'$ sur $B$.
\end{itemize}

Il réunit les deux systèmes, c'est-à-dire qu'il prend tous les triplets qui sont soit dans $T$ soit dans $T'$. Il obtient ainsi un ensemble $T \cup T'$ de triplets de $E_n$.

\medskip

$\square$ \textbf{M55} L'ensemble $T \cup T'$ n'est pas un système de Steiner sur $E_n$ parce que :

\medskip

\A au moins une paire de $E_n$ est incluse dans plusieurs éléments de $T \cup T'$

\B $T \cup T'$ n'est pas constitué uniquement de triplets

\C au moins une paire de $E_n$ n'est incluse dans aucun élément de $T \cup T'$

\D toutes les paires de $E_n$ sont incluses dans plusieurs éléments de $T \cup T'$

\medskip

Jean-Pascal a bien compris que sa construction n'est pas suffisante. Il va donc tenter de la modifier, soit en retirant des triplets à $T \cup T'$, soit en rajoutant des triplets à $T \cup T'$.

\medskip

$\square$ \textbf{M56} Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

\A Il est possible, pour au moins un jeu de données $n, A, B, T, T'$, d'obtenir un système de Steiner sur $E_n$ à partir de $T \cup T'$ en rajoutant certains triplets bien choisis.

\B Il est possible, pour au moins un jeu de données $n, A, B, T, T'$, d'obtenir un système de Steiner sur $E_n$ à partir de $T \cup T'$ en retirant certains triplets bien choisis 

\C Aucune des autres réponses n'est correcte

\medskip

$\triangle$ \textbf{R5} Justifier votre réponse à la question \textbf{M56}.

\medskip

\textbf{Une autre idée séduisante}

\medskip

Jean-Pascal considère maintenant la situation suivante. Il prend deux entiers naturels $n \geqslant 3$ et $p \geqslant 3$ pour lesquels il a réussi à construire un système de Steiner $T_n$ sur $E_n$ et un système de Steiner $T_p$ sur $E_p$. Il considère l'ensemble $F$ des points du plan dont l'abscisse $x$ est dans $E_n$ et l'ordonnée $y$ dans $E_p$. Il espère construire un système de Steiner sur $F$.

\smallskip

$\square$ \textbf{M57} Si Jean-Pascal parvient à ses fins, il saura qu'il existe un système de Steiner sur $E_N$ pour $N$ égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $n + p$	& \B $np$	& \C $n^p$	&\D {\footnotesize aucun des autres nombres indiqués, en général}	&\E $p^n$
\end{tabularx}
\end{center}

Jean-Pascal regroupe alors tous les triplets suivants :

\medskip

(i) ceux qui sont formés de trois points ayant la même abscisse, et les ordonnées appartiennent à un même triplet du système de Steiner $T_p$ ;

(ii) ceux qui sont formés de trois points ayant la même ordonnée, et les abscisses appartiennent à un même triplet du système de Steiner $T_n$ ;

(iii) enfin, pour chaque triplet $A$ dans $T_n$ et chaque triplet $B$ dans $T_p$, il prend tous les triplets d'un système de Steiner décrit à partir de $A$ et $B$ entre les questions \textbf{L6} et \textbf{M54}.

Il forme ainsi un ensemble de triplets qu'il note $T$. Jean-Pascal prétend alors que $T$ est un système de Steiner sur $F$.

Voici son raisonnement:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Soit $\{M,~ N\}$ une paire de $F$.\\
Étape 1 : les points $M$ et $N$ sont différents, donc leurs coordonnées respectives $(x~;~y)$ et $(x'~;~ y')$ vérifient $x =1- x'$ et $y =1 - y'$.\\
Étape 2 : Puisque $\{x~;~ x'\}$ est une paire de $E_n$, on la rentre dans un unique triplet $A$ du système $T_n$.\\
Étape 3 : Puisque $\{y~;~y'\}$ est une paire de $E_p$, on la rentre dans un unique triplet $B$ du système $T_p$.\\
Étape 4: La paire $\{M~;~N\}$ est alors incluse dans un unique triplet construit à partir de $A$ et $B$ (point (iii) ci-dessus).\\
Étape 5 : La paire $\{M~;~N\}$ est alors incluse dans un unique élément du système $T$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Chacune de ces étapes, \emph{en admettant la validité des précédentes}, est soit juste, soit fausse, soit incomplète car l'affirmation ne découle pas de manière immédiate de la situation (il manque une justification).

\medskip

$\square$ \textbf{M58} L'étape 1 est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\A juste &\B fausse& \C  incomplète
\end{tabularx}
\end{center}

$\square $ \textbf{M59} En admettant la validité des étapes précédentes, l'étape 2 est : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\A incomplète &\B juste&\C fausse
\end{tabularx}
\end{center}

$\square $ \textbf{M60} En admettant la validité des étapes précédentes, l'étape 3 est: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\A incomplète &\B fausse&\C juste
\end{tabularx}
\end{center}

$\square $ \textbf{M61} En admettant la validité des étapes précédentes, l'étape 4 est: ~ 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\A incomplète &\B juste&\C fausse
\end{tabularx}
\end{center}

$\square $ \textbf{M62} En admettant la validité des étapes précédentes, l'étape 5 est: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\A juste &\B incomplète&\C fausse
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Une question de cardinal}

\medskip

On suppose dans cette partie que $E_n$ possède un système de Steiner

\medskip

$\square $ \textbf{M63}  Le nombre de paires de $E_n$ qui contiennent 1 et le nombre de triplets dans $T$ qui contiennent 1 sont respectivement égaux à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\A {\footnotesize aucune des autres réponses proposées, en général}&\B $n$ et $\dfrac{n(n - 1)}{2}$&\C $n - 1$ et $\dfrac{n + 1}{3}$\\
\D $n - 1$ et $\dfrac{n + 2}{3}$ &\E $n - 1$ et $\dfrac{n - 1}{2}$& \\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square $ \textbf{M64} Le nombre de triplets qui composent le système de Steiner $T$ vaut:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac{n+2}{3}$ &\B $\dfrac{n - 1}{2}$ &\C $\dfrac{n + 1}{2}$ &\D $\dfrac{n(n - 1)}{6}$ &\E $n - 1$ \end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\triangle$ \textbf{L7} Donner, au vu de ce qui précède, les restes possibles dans la division euclidienne de $n$ par 3.

\medskip

$\square $ \textbf{M65} Les restes possibles dans la division euclidienne de $n$ par 6 sont :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 1 et 3 &\B 0, 1 et 3 &\C 1, 3 et 5 &\D 1, 2 et 3& \E 1, 3 et 4 
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square $ \textbf{M66} On peut affirmer que tout diviseur premier de $n$ est congru modulo 6 à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 1, 3 ou 0 &\B 1, 3 ou $-1$&\C 1, $- 1$, ou 0&\D $- 1$ ou 3 &\E 1 ou 3
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M67} Au vu du reste de l'exercice, quel est le plus grand des nombres $p$ suivants pour lequel la question de l'existence d'un système de Steiner sur $E_p$ reste en suspens ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 49 & \B 15 &\C 21 &\D 62 &\E 25
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}