\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{arydshln} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
%\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
%\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\A}{\fbox{A}~}\newcommand{\B}{\fbox{B}~}\newcommand{\C}{\fbox{C}~}
\newcommand{\D}{\fbox{D}~}\newcommand{\E}{\fbox{E}~}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\addtolength{\topmargin}{-1.59999pt}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat spécialité},
pdftitle = {Évaluation ESciA session 2023\\},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\newcommand{\e}{\text{e}}
\newcommand{\im}{\text{i}}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small }
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 25 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Évaluation ESciA  session 25 mars 2023~\decofourright\\[7pt]Mathématiques expertes Épreuve 2 , option A}\\[7pt]Durée : 1h 30 min}

\medskip

\textbf{FONCTIONNEMENT DES QUESTIONS}
\end{center}

$\bullet~~$Les questions à \emph{choix multiples} sont numérotées M1, M2 etc. Le candidat y répond en \textbf{noircissant} la case correspondant à sa réponse dans la feuille-réponse $\square$.

Pour chacune de ces questions, il y a une et une seule bonne réponse.

Toute réponse fausse retire des points aux candidats. 

Noircir plusieurs réponses à une même question a un effet de neutralisation (le candidat récoltera 0 point).

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse brute} sont numérotées L1, L2 etc. 

Elles ne demandent aucune justification : les résultats sont reportés par le candidat dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\triangle$. Tout débordement de cadre est interdit.

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse rédigée} sont numérotées RI, R2, etc. Elles sont écrites dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\bigcirc$ ou la feuille-réponse $\triangle$, selon le symbole précédant le numéro de la question. Tout débordement de cadre est interdit.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{CONSEILS DE BON SENS}\end{center}

$\bullet~~$L'énoncé est (très) long: il n'est absolument pas nécessaire d'avoir tout traité pour avoir une note et un classement excellents.

$\bullet~~$Ne vous précipitez pas pour reporter vos réponses, notamment aux questions à choix multiples. Il est préférable d'avoir terminé un exercice avant d'en reporter les réponses.

$\bullet~~$Ne répondez jamais au hasard à une question à choix multiples !

$\bullet~~$Selon l'exercice, les questions peuvent être dépendantes les unes des autres ou non. Soyez attentifs à la variété des situations.

\newpage

\textbf{\Large Exercice 1. Nombres complexes }

\medskip

$\square$ \textbf{M1} Le produit $(1 - 3\im)(4 + \im)$ vaut:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $1 - 13\im$&\B $- 4 + 10\im$& \C $7 - 11\im$& \D $- 7 - 10\im$&\E $7 + 11\im$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M2} Le nombre complexe $5+12\im$ a pour module:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 106&\B 17 &\C $\sqrt{13}$&\D $\sqrt{17}$&\E 13
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M3} L'inverse du nombre complexe $3+4\im$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac35 - \dfrac{4}{5}\im$&\B $\dfrac{3}{25} - \dfrac{4}{25}\im$&\C $\dfrac13 + \dfrac{1}{5}\im$&\D $\dfrac13 - \dfrac{1}{5}\im$&\E$\dfrac13 + \dfrac{1}{4}\im$
\end{tabularx}
\end{center}

$\triangle \textbf{L1}$ Mettre le quotient $\dfrac{7 + \im}{1 + 2\im}$ sous la forme $a + \im b$, avec $a$ et $b$ réels.

\medskip

$\square$ \textbf{M4} L'équation $z^2 - 6z + 11 = 0$ possède pour solutions complexes :

\medskip

\A $\dfrac{3+2\im \sqrt 2}{2}$ et $\dfrac{3 - 2\im \sqrt 2}{2}$

\B $-3 + 2\im \sqrt 2$ et $- 3 + 2\im \sqrt 2$

\C  $-3 + \im \sqrt 2$ et $- 3 - \im \sqrt 2$

\D aucune de ces réponses

\E $3 + \im  \sqrt 2$ et $3 - \im  \sqrt 2$

\medskip

$\square$ \textbf{M5} Le nombre de solutions complexes de l'équation $z^5 = 1$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A4 &\B 5 &\C3 &\D 1 &\E 2
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M6} Le nombre de solutions complexes $z$ vérifiant simultanément $z^{15} = 1$ et $z^{25} = 1$ est :

\medskip

\A fini et compris strictement entre 1 et 5

\B fini et au moins égal à 5

\C infini

\D 1

\E nul

\medskip

$\bigcirc$ Donner, en justifiant votre réponse, le nombre exact de nombres complexes $z$ vérifiant simultanément $z^{15} = 1$ et $z^{25} = 1$.

\medskip

$\square$ \textbf{M7} Le module et un argument de $\left(-1 +\im \sqrt 3\right)^2$ sont respectivement:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\sqrt 2$ et $- \dfrac{\pi}{6}$&\B 4 et $- \dfrac{2\pi}{3}$&\C 2 et $- \dfrac{2\pi}{3}$&\D
2 et $- \dfrac{\pi}{3}$&\E 4 et $\dfrac{2\pi}{3}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M8} Soit $a \in ]0~;~\pi[$. Le nombre complexe $z = -\im \cos a - \sin a$ est alors égal à: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\e^{\im(a - \pi/2)}$&\B $\e^{\im a}$&\C $\e^{- \im a}$&\D $\e^{\im(a + \pi)/2}$&\E $- \e^{\im a}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M9} Soit $a \in ]- \pi~;~\pi[$. Le nombre complexe $z = 1 + \cos a - \im \sin a$ est alors égal à:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $2\cos (a/2) \e^{\im a/2}$&\B {\small$2\cos (a/2) \e^{-\im a/2}$}&\C $\e^{- \im a/2}$&\D $- \e^{- \im a/2}$&\E $2\sin (a/2) \e^{\im a/2}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M10} Le nombre complexe $\left(\dfrac{1 + \im \sqrt 3}{1 + \im}\right)^{\np{2401}}$ vaut:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\sqrt{2}^{\np{2401}}\e^{\im \frac{\pi}{12}}$&\B $\sqrt{2}^{\np{2401}}\e^{-\im \frac{\pi}{12}}$&\C $2^{\np{2401}} \e^{\im \frac{\pi}{12}}$&\D 1&\E $\e^{\np{2401}}\e^{-\im \frac{\pi}{12}}$
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 2. Semi-inverses d'une fonction}

Dans tout cet exercice, on se donne deux fonctions $f$ et $g$, définies en tout réel et à valeurs réelles. On introduit quatre conditions :

\medskip

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $(f,~g)$ vérifie $C_1$ lorsque $g(f(x)) = x$ pour tout réel $x$.
\item $(f,~g)$ vérifie $C_2$ lorsque $f(g(y)) = y$ pour tout réel $y$.
\item $(f,~g)$ vérifie $C_3$ lorsque $f(g(f(x))) = f(x)$ pour tout réel $x$.
\item $(f,~g)$ vérifie $C_4$ lorsque $g(f(g(y))) = g(y)$ pour tout réel $y$.
\end{itemize}

Par exemple :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item lorsque $f(x) = \dfrac x2$ pour tout réel $x$, et $g(y) = 2y$ pour tout réel $y$, les conditions $C_1$ et $C_2$ sont évidemment vérifiées;
\item lorsque $f(x) = \dfrac x2$ pour tout réel $x$, et $g(y) = y + 1$ pour tout réel $y$, la condition $C_1$ n'est pas vérifiée, car l'égalité $\dfrac x2 + 1 = x $ ne vaut pas pour $x = 0$ (par exemple).
\end{itemize}

Pour un réel $y$, on pose sgn$(y) = 1$ si $y \geqslant  0$, et sgn$(y) = -1$ si $y < 0$.

On dit qu'une fonction est constante lorsqu'elle ne prend qu'une seule valeur.

On introduit enfin les cinq fonctions particulières $f_1,\: f_2,\: g_1, \:g_2$ et $g_3$ qui suivent: 

\medskip

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $f_1$ associe à tout réel $x$ le réel $f_1(x) = \e^x$;
\item $f_2$associe à tout réel $x$ le réel $f_2(x) = x^2$ ;
\item $g_1$ associe à tout réel $y$ le réel $g_1(y) = \ln (y)$ si $y > 0$, et $g_1(y) = 0$ sinon;
\item $g_2$ associe à tout réel $y$ le réel $g_2(y) = \sqrt{|y|}$ ;
\item $g_3$ associe à tout réel $y$ le réel $g_3(y) = \text{sgn}(y)$.

Par exemple, $g_3(-4) = -2$ et $g_3(9) = 3$.
\end{itemize}

Vrai ou faux?
Dans les questions  \textbf{M11} à \textbf{M27}, on demande d'évaluer la validité des affirmations indiquées.

\medskip

$\square~$ \textbf{M11} La condition $C_1$ est vérifiée par le couple $\left(f_1,\:g_1\right)$.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square~$ \textbf{M12} La condition $C_2$ est vérifiée par le couple $\left(f_1,\:g_1\right)$.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square~$ \textbf{M13} La condition $C_1$ est vérifiée par le couple $\left(f_2,\:g_2\right)$.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square~$ \textbf{M14} La condition $C_2$ est vérifiée par le couple $\left(f_2,\:g_2\right)$.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square~$ \textbf{M15} La condition $C_3$ est vérifiée par le couple $\left(f_2,\:g_2\right)$.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square~$ \textbf{M16} La condition $C_4$ est vérifiée par le couple $\left(f_2,\:g_2\right)$.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square~$ \textbf{M17} La condition $C_1$ est vérifiée par le couple $\left(f_2,\:g_3\right)$.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square~$ \textbf{M18} La condition $C_2$ est vérifiée par le couple $\left(f_2,\:g_3\right)$.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square~$ \textbf{M19} La condition $C_3$ est vérifiée par le couple $\left(f_2,\:g_3\right)$.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square~$ \textbf{M20} La condition $C_4$ est vérifiée par le couple $\left(f_2,\:g_3\right)$.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square~$ \textbf{M21} Quel que soit le choix des fonctions $f$ et $g$, si la condition $C_1$ est vérifiée alors la condition $C_2$ l'est aussi.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square~$ \textbf{M22} Quel que soit le choix des fonctions $f$ et $g$, si les conditions $C_3$ et $C_4$ sont vérifiées alors la condition $C_1$ est vérifiée.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square~$ \textbf{M23} Quel que soit le choix des fonctions $f$ et $g$, si la condition $C_1$ est vérifiée alors les conditions $C_3$ et $C_4$ sont vérifiées.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

\medskip

$\square~$ \textbf{M24} Si $C_1$ est vérifiée alors $f$ prend toutes les valeurs réelles possibles.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

$\square~$ \textbf{M25} Si $C_1$ est vérifiée et $f$ prend toutes les valeurs réelles possibles alors $C_2$ est vérifiée.

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

\medskip

$\square~$ \textbf{M26} Si $C_3$ est vérifiée et $f$ prend toutes les valeurs réelles possibles alors $C_1$ est vérifiée. 

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}


$\square~$ \textbf{M27} Si $C_3$ est vérifiée et $f$ prend toutes les valeurs réelles possibles alors $C_2$ est vérifiée. 

\begin{center}\A Faux \qquad \B Vrai \end{center}

\medskip

$\square~$ \textbf{M28} Pour la fonction $f$ qui à $x$ associe $x + 1$ :

\medskip

\A Il existe plusieurs fonctions $g$ telles que $C1$ soit vérifiée 

\B Il n'existe aucune fonction $g$ telle que $C_1$ soit vérifiée 

\C Il existe exactement une fonction $g$ tel que $C_1$  soit vérifiée

\medskip

$\square~$ \textbf{M29} Pour la fonction $f$ qui à $x$ associe $|x|$ :

\medskip

\A Il n'existe aucune fonction $g$ telle que $C_1$ soit vérifiée

\B Il existe plusieurs fonctions $g$ telles que $C_1$ soit vérifiée

\C Il existe exactement une fonction $g$ tel que $C_1$ soit vérifiée

\medskip

$\triangle$ \textbf{L2} On suppose que la fonction $g$ est constante. Expliciter sans démonstration les fonctions $f$ telles que $C_3$ soit vérifiée.

\medskip

$\bigcirc$ \textbf{R2} Démontrer que $f$ est constante si et seulement si la propriété $C_3$ est vérifiée quelle que soit la fonction $g$.

\medskip

\textbf{\large Suite itérée croisée}

\medskip

On fixe un réel $a$ et l'on définit une suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 0}$ à termes réels en posant $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$ :

\[u_{n+1} = \left\{\begin{array}{l c l}
g\left(u_n\right)\quad \text{si}\:\: n \:\: \text{est pair}\\
f\left(u_n\right)\quad \text{si}\:\: n \:\: \text{est impair}
\end{array}\right.\]

\smallskip

$\square$ \textbf{M30} En supposant validée la condition $C_2$, quelle est, parmi celles des affirmations suivantes qui sont vraies indépendamment des choix de $a,\: f$ et $g$, celle qui apporte l'information la plus précise ?

\medskip

\A La suite $u$ est constante

\B La suite $u$ prend au plus 4 valeurs distinctes

\C La suite $u$ prend au plus 3 valeurs distinctes

\D La suite $u$ prend au plus 2 valeurs distinctes

\E La suite $u$ prend un nombre fini de valeurs ou une infinité de valeurs

\medskip

$\square$ \textbf{M31} En supposant validée la condition $C_3$, quelle est, parmi celles des affirmations suivantes qui sont vraies indépendamment des choix de $a,\: f$ et $g$, celle qui apporte l'information la plus précise ?

\medskip

\A La suite $u$ prend au plus 3 valeurs distinctes

\B La suite $u$ prend un nombre fini de valeurs ou une infinité de valeurs 

\C La suite $u$ prend au plus 4 valeurs distinctes

\D La suite $u$ prend au plus 2 valeurs distinctes

\E La suite $u$ prend au plus 5 valeurs distinctes

\medskip

$\square$ \textbf{M32} En supposant validée la condition $C_4$, quelle est, parmi celles des affirmations suivantes qui sont vraies indépendamment des choix de $a,\: f$ et $g$, celle qui apporte l'information la plus précise ?

\medskip

\A La suite $u$ prend au plus 4 valeurs distinctes

\B La suite $u$ prend au plus 5 valeurs distinctes

\C La suite $u$ prend au plus 3 valeurs distinctes

\D La suite $u$ prend un nombre fini de valeurs ou une infinité de valeurs 

\E La suite $u$ prend au plus 2 valeurs distinctes

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 3. Questions de divisibilité}

\medskip

Dans les questions \textbf{M33} à \textbf{M36}, on se donne un entier naturel impair $p$ différent de 1, et $a$ un entier naturel non nul.

\medskip

$\square$ \textbf{M33} L'implication \og si $p$ divise $a$ alors $a$ est impair \fg :

\medskip

\A est vraie sous l'hypothèse que $p$ est premier, mais n'est pas toujours vraie 

\B peut tomber en défaut même si $p$ est premier

\C est toujours vraie

\medskip

$\square$ \textbf{M34} L'implication \og si $p$ divise $2a$ alors $p$ divise $a$ \fg{} :

\medskip

\A est toujours vraie

\B peut tomber en défaut même si $p$ est premier

\C est vraie sous l'hypothèse que $p$ est premier, mais n'est pas toujours vraie

\medskip

$\square$ \textbf{M35} L'implication \og si $p$ divise $a^2$ alors $p$ divise $a$ \fg{} :

\medskip

\A peut tomber en défaut même si $p$ est premier

\B est toujours vraie

\C est vraie sous l'hypothèse que $p$ est premier, mais n'est pas toujours vraie

\medskip

$\square$ \textbf{M36} L'implication« si $p$ divise $8a^2$ alors $p$ divise a \fg :

\medskip

\A est toujours vraie

\B est vraie sous l'hypothèse que $p$ est premier, mais n'est pas toujours vraie 

\C peut tomber en défaut même si $p$ est premier

\medskip

Dans la suite de l'exercice, on se donne un nombre premier $p$ impair, ainsi que deux entiers naturels $a$ et $b$ non nuls.

\medskip

$\square$ \textbf{M37} Soit $n \in \N^{*}$. Le nombre de diviseurs positifs de $p^n$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $p^n - 1$ &\B $n$ &\C $n+1$ &\D $n-1$ &\E $p^{n-1}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M38} L'affirmation \og $p + 1$ a strictement plus de diviseurs que $p$\fg{} :

\medskip

\A est systématiquement fausse

\B est systématiquement vraie

\C peut être vraie ou fausse, selon la valeur de $p$

\medskip

$\bigcirc$ \textbf{R3} Justifier votre réponse à la question \textbf{M38}.

\medskip

$\square$ \textbf{M39} Si $a$ a exactement trois diviseurs positifs alors on peut affirmer que : 


\A $a$ est le carré d'un nombre premier

\B $a$ est le cube d'un nombre premier

\C $a = 12$

\D $a$ est le produit de deux nombres premiers distincts

\E $a$ est premier

\medskip

$\triangle$ \textbf{L3} On suppose que $a$ possède exactement trois diviseurs positifs et que $b$ en possède exactement deux. Donner sans démonstration les valeurs possibles (lorsque $a$ et $b$ varient) pour le nombre $D$ de diviseurs positifs de $ab$.

\medskip

$\square$ \textbf{M40} Si le nombre de diviseurs positifs de $a$ est premier et impair alors : 

\medskip

\A $a$ est premier

\B $a = 1$

\C $a$ possède plusieurs diviseurs premiers

\D $a$ possède un unique diviseur premier, mais $a$ n'est pas premier

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 4. Nombres complexes et géométrie}

\medskip

Pour un nombre réel $x$, on note $\lfloor x \rfloor$ sa partie entière, c'est-à-dire l'unique entier relatif $k$ tel que $k \leqslant  x < k + 1$.

Pour un nombre complexe $z$, on note $d(z)$ le plus petit des deux réels Im$(z) - \lfloor \text{Im}(z)\rfloor$ et $\lfloor \text{Im}(z) + 1\rfloor - \text{Im}(z)$.


\medskip

$\triangle$ \textbf{L4} Donner une expression simplifiée de $d(1),\: d\left(\dfrac{\im}{2}\right)$ et $d\left(1 + \dfrac{5}{4\im}\right)$.

\medskip

Pour la suite de l'exercice, on se place dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormal, dans lequel sont calculés coordonnées et affixes des points. Il pourra être judicieux, pour interpréter la valeur de $d(z)$, de raisonner à l'aide des droites $D_k$ et $D_{k+1}$ pour $k$ entier, où l'on note $D_t$ la droite d'équation $y = t$.

\medskip

$\square$ \textbf{M41}  Quels que soient les réels $x$ et $y$ :

\medskip

\A $d(x + \im y) = -d(y)$

\B $d(x + \im y) = d(x) + d(y)$

\C $d(x + \im y) = d(\im y)$

\D $d(x +\im y) = d(x)$

\E $d(x +\im y) = d(x) - d(y)$

\medskip

$\square$ \textbf{M42} Pour tout nombre complexe $z$ :

\medskip

\A $ d(- z) \ne - d(z)$ sauf si $z$ est entier 

\B $d(-\im z) = - d(z) + 1$ si $z$ est entier 

\C $d(-z) =- d(z)$

\D $d(-z) = d(z)$ si est $z$ rationnel, et seulement dans ce cas 

\E $d(- z) = d(z)$

\medskip

$\square$ \textbf{M43} Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier relatif $q$ : 

\medskip

\A $d(z + \im q) = d(z)$

\B $d(z + \im q) = d(z) + \im q$ 

\C $d(z +\im q) = d(\im q)$

\D $d(z +\im q) = d(z) - q $

\E $d(z +\im q) = d(z) - \im(q)$

\medskip

$\square$ \textbf{M44} Lorsque $z$ décrit $\mathbb{C}$, le nombre complexe $d(z)$ décrit: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A  [0~;~1[ &\B  [0~;~1]&\C $\left]-\frac12~;~\frac12 \right]$&\D $\left[0~;~\frac12\right]$& \E $\left[0~;~\frac12\right[$
\end{tabularx}
\end{center}

Pour un nombre complexe $z$, on note
\[t(z) = \text{Re}(z) + id(z).\]

À tout point $M$ du plan, d'affixe $z$, on associe le point $T(M)$ d'affixe $t(z)$.

On considère enfin les points $M_1$ et $M_2$ d'affixes respectives 1 et $1 + \im$, ainsi que le milieu $M_3$ du segment $\left[M_1~;~ M_2\right]$.

\medskip

$\square$ \textbf{M45} Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

\medskip

\A $T(M_1) =T(M_3)$

\B $T(M_3)$ est le milieu du segment $[T(M_1),~ T(M_2)]$ 

\C $T(M_1) = M_3$

\D $T(M_1) = M_1$ et $T(M_3) = M_3$ 

\E $T(M_1) = M_2$

\medskip

Étant donné deux réels $a$ et $b$ tels que $a \leqslant b$, on note $I_{a,~b}$ l'ensemble des complexes $z$ tels que $a \leqslant \text{Im}(z) \leqslant b$.

\medskip

$\square$ \textbf{M46} Soit $n$ un entier naturel non nul. Sur l'ensemble $I_{n,~n+\frac12}$ la fonction qui à $M$ associe $T(M)$ agit comme : 

\medskip

\A Une translation selon un vecteur non nul

\B Une symétrie centrale

\C Une symétrie orthogonale

\D La fonction identité 

\E Une projection orthogonale

\medskip

$\square$ \textbf{M47} Soit $n$ un entier naturel non nul. Sur l'ensemble $I_{n+\frac12,~n+1}$ la fonction qui à $M$ associe $T(M)$ agit comme :

\medskip

\A La fonction identité

\B Une symétrie centrale

\C Une symétrie orthogonale

\D Une translation selon un vecteur non nul

\E Une projection orthogonale

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 5. Ensembles bien ordonnés}

\medskip

Soit $A$ un ensemble formé de nombres réels (autrement dit, une partie de $\R$).

\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item Un \textbf{plus petit élément} de $A$ est un élément $a$ de $A$ tel que $a \leqslant x$ pour tout $x$ dans $A$.
\item Un \textbf{plus grand élément} de $A$ est un élément $b$ de A tel que $x \leqslant b$ pour tout $x$ dans $A$.
\end{itemize}

On dit que $A$ est \textbf{bien ordonné} lorsque toute partie non vide de $A$ admet un plus petit élément. Par exemple :

\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item $\{0~;~1\}$ est bien ordonné car ses parties non vides sont $\{0~;~1\}$, $\{0\}$ et $\{1\}$, et chacune a un plus petit élément (respectivement: 0, 0 et 1) ;
\item $\N$ est bien ordonné (cela doit être considéré comme évident) ;
\item $[0~;~1]$ n'est pas bien ordonné car, par exemple, $\left]\dfrac13~;~\dfrac23\right]$ est dénué de plus petit élément bien que non vide.
\end{itemize}

On rappelle enfin qu'un ensemble est \textbf{fini} lorsqu'il n'a qu'une quantité finie d'éléments, et infini dans le cas contraire (par exemple, le segment [0~;~1] est infini).

\medskip

$\triangle$ \textbf{L5} Parmi les ensembles suivants, indiquer sans démonstration lesquels sont bien ordonnés :

\[\left\{0~;~1~;~\sqrt 2\right\},\quad  [0~;~+\infty[,\quad  ]0~;~1],\quad \N^*,\: \Z \: \text{et}\: \R\]

$\square$ \textbf{M48} Une partie bien ordonnée et non vide de $\R$ :

\medskip

\A admet nécessairement un plus grand élément et un plus petit élément

\B admet nécessairement un plus grand élément, mais pas nécessairement un plus petit élément

\C peut n'avoir ni plus grand élément, ni plus petit élément

\D admet nécessairement un plus petit élément, mais pas nécessairement un plus grand élément

\medskip

\textbf{\large Vrai ou faux (1)?}

\medskip

Dans les questions  \textbf{M49} à \textbf{M54}, on demande d'évaluer la validité des affirmations indiquées.

\medskip

$\square$ \textbf{M49} Toute partie finie de $\R$ est bien ordonnée.

\begin{center}\A  Vrai\qquad  \B Faux \end{center}


$\square$ \textbf{M50} Toute partie bien ordonnée de $\R$ est finie.

\begin{center}\A  Faux\qquad  \B Vrai \end{center}

$\square$ \textbf{M51} Tout sous-ensemble non vide d'un ensemble bien ordonné est bien ordonné.

\begin{center}\A  Faux\qquad  \B Vrai \end{center}

$\square$ \textbf{M52} L'ensemble constitué des nombres de la forme $\dfrac{n - 1}{n}$, avec $n \in \N^{*}$, est bien ordonné.

\begin{center}\A  Faux\qquad  \B Vrai \end{center}

$\square$ \textbf{M53} L'ensemble constitué des nombres de la forme $\dfrac 1n$, avec $n \in \N^{*}$, est bien ordonné.

\begin{center}\A  Faux\qquad  \B Vrai \end{center}

$\square$ \textbf{M54} L'ensemble constitué des nombres de la forme $\dfrac{n^2 + 1}{\np{2023}n + \sin (n) + 1}$, avec $n \in \N$, est bien ordonné.

\begin{center}\A  Faux\qquad  \B Vrai \end{center}

$\bigcirc$ \textbf{R4} Justifier votre réponse à la question \textbf{M54}.

\medskip

\textbf{\large Vrai ou faux (2)?}

\medskip

Dans les questions \textbf{M55} à \textbf{M59}, on demande d'évaluer la validité des affirmations indiquées.

\medskip

$\square$ \textbf{M55} Pour toute partie bien ordonnée $A$ de $\R$ et tout segment $[a~;~b]$ de $\R$, l'intersection $[a~;~b] \cap  A$ (constituée des
éléments communs à $A$ et $[a~;~b]$ est finie.

\begin{center}\A  Faux\qquad  \B Vrai \end{center}

$\square$ \textbf{M56} Quelles que soient les parties bien ordonnées $A$ et $B$ de $\R$, leur réunion $A \cup B$ (constituée des réels appartenant
à au moins l'une des parties $A$ et $B$) est bien ordonnée.

\begin{center}\A  Faux\qquad  \B Vrai \end{center}

$\square$ \textbf{M57}Quelles que soient les parties bien ordonnées $A$ et $B$ de $\R$, l'ensemble $A \Delta B$, formé des réels appartenant à un et un seul des ensembles $A$ et $B$, est bien ordonné.

\begin{center}\A  Vrai\qquad  \B Faux \end{center}


$\square$ \textbf{M58} Toute partie bien ordonnée $A$ de $\R$ ayant un plus grand élément est finie.

\begin{center}\A  Vrai\qquad  \B Faux \end{center}


$\square$ \textbf{M59} Pour toute partie $A$ de $\R$, si $A$ et $- A$ (formé des nombres de la forme $-x$, avec $x$ dans $A$) sont bien ordonnées alors $A$ est finie.

\begin{center}\A  Faux\qquad  \B Vrai \end{center}

$\bigcirc$ \textbf{R5} Justifier votre réponse à la question \textbf{M59}.

\bigskip

\textbf{\large Isordonnies}

\medskip

Étant donné deux parties $A$ et $B$ de $\R$, une \textbf{isordonnie} de $A$ dans $B$ est une fonction $f$ d'ensemble de définition $A$, à valeurs dans $B$ et qui vérifie les deux conditions suivantes :

(C) : $f$ est strictement croissante, autrement dit $f(x_1) < f(x_2)$ quels que soient $x_1$ et $x_2$ dans $A$ vérifiant $x_1 < x_2$.

(P) : Pour toute valeur $y$ atteinte par $f$, tout élément de $B$ inférieur à $y$ est une valeur atteinte par $f$.

\medskip

Par exemple :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item La fonction de $\Z$ dans $\Z$ qui à $k$ associe $-k$ vérifie la condition (P) mais pas la condition (C) : ce n'est donc pas une isordonnie.
\item La fonction $g$ de $N$ dans $\R$ qui à $k$ associe $k$ vérifie la condition (C) mais pas la condition (P) (par exemple 1 est atteint par $g$, mais pas $\dfrac12$). Ce n'est donc pas une isordonnie.
\end{itemize}

$\triangle$ \textbf{L6} On note $2\N$ l'ensemble des entiers naturels pairs. Parmi les cinq assertions suivantes, indiquer sans justification lesquelles sont vraies :

\medskip

(A1) La fonction identité est une isordonnie de $\N$ dans $\N$.

(A2) La fonction identité est une isordonnie de $\N^*$ dans $\N$.

(A3) La fonction identité est une isordonnie de $2\N$ dans $\N$.

(A4) La fonction qui à n associe $2n$ est une isordonnie de $\N$ dans $2\N$.

(A5) La fonction qui à $n$ associe $n + 1$ est une isordonnie de $\N$ dans $\N$.

\bigskip

Le raisonnement suivant, qui ne contient pas d'erreur formelle mais est insuffisamment détaillé, prétend démontrer que, pour n'importe quelle partie bien ordonnée $A$ de $\R$, la fonction identité est la seule isordonnie de $A$ dans $A$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Soit $A$ une partie bien ordonnée de $\R$, et $f$ une isordonnie de $A$ dans $A$. On raisonne par l'absurde en supposant que $f$ n'est pas la fonction identité.\\
(1) L'ensemble des éléments $x$ de $A$ tels que $f(x) \ne x$ est une partie non vide de $A$, que l'on note $A_0$.\\
(2) L'ensemble $A_0$ possède un plus petit élément $y$.\\
(3) On a $f(x) = x$ pour tout élément $x$ de $A$ strictement inférieur à $y$.\\
(4) On ne peut donc avoir $f(y) < y$.\\
(5) On ne peut pas non plus avoir $f(y) > y$.\\
(6) On a ainsi une contradiction.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Dans les questions suivantes, on demande des précisions quant aux détails manquants dans le raisonnement.

\medskip

$\square$ \textbf{M60} La validité de l'étape (1) :

\medskip

\A nécessite d'utiliser simultanément les hypothèses (P) et (C)

\B nécessite d'utiliser l'hypothèse (C), mais pas l'hypothèse (P)

\C ne nécessite d'utiliser ni l'hypothèse (C) ni l'hypothèse (P)

\D nécessite d'utiliser l'hypothèse (P), mais pas l'hypothèse (C)

\medskip

$\square$ \textbf{M61} Les étapes précédentes étant considérées acquises, la validité de l'étape (2) :

\medskip

\A nécessite d'utiliser simultanément les hypothèses (P) et (C)

\B nécessite d'utiliser l'hypothèse (C), mais pas l'hypothèse (P)

\C nécessite d'utiliser l'hypothèse (P), mais pas l'hypothèse (C)

\D ne nécessite d'utiliser ni l'hypothèse (C) ni l'hypothèse (P) 

\medskip

$\square$ \textbf{M62} Les étapes précédentes étant considérées acquises, la validité de l'étape (3) : 

\medskip

\A ne nécessite d'utiliser ni l'hypothèse (C) ni l'hypothèse (P)

\B nécessite d'utiliser simultanément les hypothèses (P) et (C)

\C nécessite d'utiliser l'hypothèse (C), mais pas l'hypothèse (P)

\D nécessite d'utiliser l'hypothèse (P), mais pas l'hypothèse (C)

\medskip

$\square$ \textbf{M63}  Les étapes précédentes étant considérées acquises, la validité de l'étape (4) :

\A nécessite d'utiliser l'hypothèse (P), mais pas l'hypothèse (C)

\B ne nécessite d'utiliser ni l'hypothèse (C) ni l'hypothèse (P)

\C nécessite d'utiliser simultanément les hypothèses (P) et (C)

\D nécessite d'utiliser l'hypothèse (C), mais pas l'hypothèse (P)

\medskip

$\square$ \textbf{M64} Les étapes précédentes étant considérées acquises, la validité de l'étape (5) :

\medskip

\A nécessite d'utiliser l'hypothèse (C), mais pas l'hypothèse (P)

\B nécessite d'utiliser simultanément les hypothèses (P) et (C)

\C ne nécessite d'utiliser ni l'hypothèse (C) ni l'hypothèse (P)

\D nécessite d'utiliser l'hypothèse (P), mais pas l'hypothèse (C)

\medskip

$\square$ \textbf{M65} Les étapes précédentes étant considérées acquises, la validité de l'étape (6) :

\medskip

\A nécessite d'utiliser l'hypothèse (C), mais pas l'hypothèse (P)

\B nécessite d'utiliser l'hypothèse (P), mais pas l'hypothèse (C)

\C ne nécessite d'utiliser ni l'hypothèse (C) ni l'hypothèse (P)

\D nécessite d'utiliser simultanément les hypothèses (P) et (C)

\medskip

$\square$ \textbf{M66} Dans combien d'étapes est utilisée implicitement l'hypothèse voulant que $A$ est bien ordonné ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 4 &\B 1 &\C 2&\D 3 &\E 0
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 6. Nombre de distances entre \boldmath $n$ \unboldmath points du plan}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$, et $E = \{P_1, \ldots , P_n\}$ un ensemble constitué d'exactement $n$ points du plan. On note $D$ l'ensemble des distances entre ces points, c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels $d > 0$ pour lesquels il existe deux points distincts $P_i$ et $P_j$ tels que $d = P_iP_j$. On note $m$ le nombre d'éléments de $D$, appelé \textbf{nombre de distances} de $E$.

\medskip

$\square$ \textbf{M67} On suppose dans cette question que $n = 3$. La plus petite valeur possible pour $m$ est alors :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A 5 &\B 4 &\C 2 &\D 1 &\E 3\\
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M68} Sachant que les points de E sont alignés ou sur un même demi-cercle, la plus petite valeur possible pour $m$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A  $2n - 1$&\B$n$ &\C $2n+1$& \D $n-1$ &\E $2n$
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

$\Delta$ \textbf{R6} Déterminer la plus grande valeur possible pour $m$ sachant que les points de E sont alignés.

\medskip

$\Delta$ \textbf{L7} On suppose $4 \leqslant n \leqslant 5$. Donner sans démonstration la plus petite valeur possible pour $m$.

\medskip

$\square$ \textbf{M69} L'affirmation \og dès que des points de $E$ sont à même distance de $P_1$, ces points sont sur un même demi-cercle de centre $P_1$ \fg{} :

\medskip

\A est vraie si $P_1P_2$ est le plus grand élément de $D$, mais peut tomber en défaut sinon 

\B est toujours vraie

\C peut être fausse même si $P_1P_2$ est le plus grand élément de $D$

\medskip

On note $k$ le plus grand nombre possible de points de $E$ que l'on puisse placer sur un même cercle de centre $P_1$.

On note $\ell$ le nombre de réels distincts parmi $P_1P_2,\: P_1P_3,\: \ldots,\: P_1P_n$.

\medskip

$\triangle$ \textbf{L8} Donner un réel $a$, en fonction de $n$ et $k$ et le plus grand possible, tel que $\ell \geqslant a$.

On suppose, en vue de la dernière question, que $P_1P_2$ est le plus grand élément de $D$.

\medskip

$\square$ \textbf{M69} En combinant les minorations de $m$ déduites des questions \textbf{M68} et \textbf{L8}, et en examinant les valeurs possibles pour $k$, l'inégalité la plus fine que l'on puisse obtenir est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $m \geqslant \dfrac n2$&\B  $m \geqslant \sqrt n$&\C $m \geqslant \sqrt n - 1$&\D $m \geqslant \dfrac{n}{4}$&\E $m \geqslant \dfrac12 \sqrt n$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}