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%Tapuscrit : René Roux
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Mathématiques Expertes}}
\lfoot{\small{Épreuve 2, Option A}}
\rfoot{\small{session 15 mars 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Évaluation TeSciA  session 15 mars 2025~\decofourright\\[7pt]Mathématiques expertes Épreuve 2 , option A}\\[7pt]Durée : 1 h 30 min}

\medskip

\textbf{FONCTIONNEMENT DES QUESTIONS}
\end{center}

$\bullet~~$Les questions à \emph{choix multiples} sont numérotées M1, M2 etc. Le candidat y répond en \textbf{noircissant} la case correspondant à sa réponse dans la feuille-réponse $\square$.

Pour chacune de ces questions, il y a une et une seule bonne réponse.

Toute réponse fausse retire des points aux candidats.

Noircir plusieurs réponses à une même question a un effet de neutralisation (le candidat récoltera 0 point).

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse brute} sont numérotées L1, L2 etc.

Elles ne demandent aucune justification : les résultats sont reportés par le candidat dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\triangle$. Tout débordement de cadre est interdit.

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse rédigée} sont numérotées RI, R2, etc. Elles sont écrites dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\bigcirc$ ou la feuille-réponse $\triangle$, selon le symbole précédant le numéro de la question. Tout débordement de cadre est interdit.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{CONSEILS DE BON SENS}\end{center}

$\bullet~~$L'énoncé est (très) long: il n'est absolument pas nécessaire d'avoir tout traité pour avoir une note et un classement excellents.

$\bullet~~$Ne vous précipitez pas pour reporter vos réponses, notamment aux questions à choix multiples. Il est préférable d'avoir terminé un exercice avant d'en reporter les réponses.

$\bullet~~$Ne répondez jamais au hasard à une question à choix multiples !

$\bullet~~$Selon l'exercice, les questions peuvent être dépendantes les unes des autres ou non. Soyez attentifs à la variété des situations.

\newpage
\begin{center}
	\textbf{\Large Exercice 1. Nombres complexes }
\end{center}


\medskip
Pour les questions \textbf{M1}à \textbf{M3} et \textbf{L1}, on considère le nombre complexe $Z=\dfrac{\textit{i}-4}{2\textit{i}}$

\medskip

$\square$ \textbf{M1} \hspace{0.5cm} La partie imaginaire de $Z$ vaut :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7.5cm}}
\A $2$& \B $-\dfrac12$&\C $-2$& \D $\dfrac12$& \E aucune des autres réponses proposées
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M2} \hspace{0.5cm} Le module de $Z$ vaut :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7.5cm}}
	\A $\dfrac{\sqrt{17}}{2}$& \B $\dfrac52$&\C $\dfrac{17}{4}$& \D $-\dfrac32$& \E aucune des autres réponses proposées
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M3} \hspace{0.5cm} Le nombre complexe de $Z$ possède un argument dans l'intervalle :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7.5cm}}
	\A $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$& \B $\left]\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right[$&\C $\left]\dfrac{3\pi}{2}~;~2\pi\right[$& \D $\left]\pi~;~\dfrac{3\pi}{2}\right[$& \E aucune des autres réponses proposées
\end{tabular}

\bigskip

$\triangle$ \textbf{L1} Donner l'entier $k$ compris entre $-4$ et $3$ tel que $Z$ possède un argument dans $\left[\dfrac{k\pi}{4}~;~\dfrac{(k+1)\pi}{4}\right[$.

\bigskip

\textbf{Questions diverses}

\medskip

$\square$ \textbf{M4} \hspace{0.5cm} On considère les nombres complexes $A=(2-\im)^3$, $B=\dfrac{-18+26\im}{-2+2\im}$ et $C=\dfrac{4}{1+\im}+\dfrac{9}{\im}$.

Laquelle des affirmations est vraie ?

\medskip

\begin{tabular}{L{6cm}L{6cm}L{6cm}}
	\A $A=B$ et $B\neq C$& \B $A=B=C$&\C $A=C$ et $A\neq B$\\
	&&\\
	\D $A\neq B$, $A\neq C$ et $B\neq C$& \E $B=C$ et $A\neq B$&
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M5} \hspace{0.5cm} Le nombre de solutions complexes de l'équation $z^5-z^2=0$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}}
\A 1& \B 2&\C 3& \D 4& \E 5
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Questions d'arguments}

\medskip
Dans les questions \textbf{M6} à \textbf{M8}, on considère le nombre complexe $A=\dfrac{1+\im\sqrt{3}}{1-\im}$.

\medskip

$\square$ \textbf{M6} \hspace{0.5cm} Un argument de $A$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7.5cm}}
\A $\dfrac{7\pi}{12}$& \B $\dfrac{5\pi}{12}$&\C$\dfrac{\pi}{12}$& \D$-\dfrac{\pi}{12}$& \E aucune des autres réponses proposées
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M7} \hspace{0.5cm} On choisit un argument $\theta$ de $A$. Le nombre $\cos(\theta)$ vaut alors :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}}
\A $\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$& \B $1-\sqrt{3}$&\C $\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$& \D $\sqrt{2}-\sqrt{3}$& \E $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M8} \hspace{0.5cm} Les entiers naturels $n$ tels que $A^n$ soit un entier relatif sont :

\medskip

\begin{tabular}{L{5cm}L{5cm}L{8cm}}
\A les multiples de 48& \B les multiples de 12&\C aucune des autres réponses proposées\\
&&\\
\D les multiples de 24& \E les multiples de 6& 
\end{tabular}
\bigskip

$\bigcirc$ \textbf{R1} \hspace{0.5cm} Justifier votre réponse à la question \textbf{M8}.

\begin{center}
\rule{0.5\linewidth}{1pt}
\end{center}

\newpage

\begin{center}\textbf{\Large Exercice 2. Différence symétrique d'ensembles }
\end{center}

\medskip

Pour deux ensembles $A_1$ et $A_2$, on note $A_1\Delta A_2$ l'ensemble formé des objets $x$ qui appartiennent à $A_1$ mais pas à $A_2$ et des objets $x$ qui appartiennent à $A_2$ mais pas à $A_1$. On dit que $A_1\Delta A_2$ est la \textbf{différence symétrique} de $A_1$ et $A_2$ (dans cet ordre).

Par exemple :
\begin{enumerate}[label=\textbullet]
	\item pour $A_1=\{1~;~2~;~4\}$ et $A_2=\{1~;~2~;~3\}$, on a $A_1 \Delta A_2=\{3~;~4\}$ ;
	\item pour l'ensemble $B$ formé des élèves Léa, Paul et Séverine, et l'ensemble $C$ formé des élèves Paul et Mathilde, l'ensemble $B\Delta C$ est formé des élèves Léa, Mathilde et Séverine, autrement dit $B \Delta C=\{\text{Léa}~,~\text{Mathilde}~,~\text{Séverine}\}$.
\end{enumerate}

On rappelle aussi que $A_1\cap A_2$ désigne l'ensemble des objets qui appartiennent à la fois à $A_1$ et à $A_2$. Dans le premier exemple ci-dessus, on a donc $A_1\cap A_2=\{1~;~2\}$, et dans le deuxième $B\cap C=\{\text{Paul}\}$.

On note $\varnothing$ l'ensemble vide.

\bigskip

\textbf{Propriétés élémentaires de la différence symétrique}

\medskip

$\triangle$ \textbf{L2} \hspace{0.5cm} Donner la différence symétrique des ensembles $\R_{-}$ et $\Z$.

\bigskip

$\square$ \textbf{M9} \hspace{0.5cm} Vrai ou Faux ? On a $A\Delta B=B \Delta A$


\begin{center}
\begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{6cm}}
\A Vrai& \B Faux&\C Cette affirmation n'a pas de sens\\
\end{tabular}
\end{center}

$\square$ \textbf{M10} \hspace{0.5cm} Pour tout ensemble $A$, la différence symétrique de $A\Delta A$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{6cm}}
\A $A$& \B $\varnothing$&\C aucune des autres réponses\\
\end{tabular}
\end{center}

$\square$ \textbf{M11} \hspace{0.5cm} Pour tout ensemble $A$, la différence symétrique de $A\Delta \varnothing$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{6cm}}
\A $A$& \B $\varnothing$&\C aucune des autres réponses\\
\end{tabular}
\end{center}

$\square$ \textbf{M12} \hspace{0.5cm} Pour tout ensemble $A$, l'ensemble $(A\Delta A) \Delta A$ est égal à :

\begin{center}
	\begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{6cm}}
		\A $A$& \B $\varnothing$&\C aucune des autres réponses\\
	\end{tabular}
\end{center}

$\square$ \textbf{M13} \hspace{0.5cm} Pour deux ensembles $A$ et $B$, une condition équivalente au fait que $A \Delta B$ soit vide est :

\medskip

\begin{tabular}{L{5cm}L{5cm}L{8cm}}
	\A $A$ est vide& \B $A=B$&\C aucune des autres réponses\\
	&&\\
	\D $A$ et $B$ sont vides& \E $B$ est vide& 
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M14} \hspace{0.5cm} Pour deux ensembles $A$ et $B$, si tout élément de $A \Delta B$ est élément de $A$ alors on peut affirmer que :

\medskip

\begin{tabular}{L{8cm}L{8cm}}
\A $B$ est vide& \B tout élément de $B$ est élément de $A$ \\
&\\
\C $A \Delta B$ est vide& \D tout élément de $A$ est élément de $B$\\ 
& \\
\multicolumn{2}{l}{\E aucune des autres affirmations proposées ne peut être soutenue} 
\end{tabular}

\newpage

$\square$ \textbf{M15} \hspace{0.5cm} Pour deux ensembles $A$ et $B$, si $A \Delta B$ possède exactement un élément alors on peut affirmer que :

\medskip

\begin{tabular}{L{18cm}}
	\A $A$ est vide \\
	\\
	\B ou bien tout élément de $A$ est élément de $B$, ou bien tout élément de $B$ est élément de $A$ \\
	\\
	\C $B$ est vide\\
	\\
	\D tout élément de $A$ est élément de $B$\\ 
	\\
	\E aucune des autres affirmations proposées ne peut être soutenue
\end{tabular}

\bigskip

$\bigcirc$ \textbf{R2} \hspace{0.5cm} Justifier votre réponse à la question \textbf{M15}.

\bigskip

$\square$ \textbf{M16} \hspace{0.5cm} Soit $A$ et $B$ deux ensembles. Laquelle des propositions suivantes est vraie ?

\medskip

\begin{tabular}{L{18cm}}
\A Il existe toujours un et un seul ensemble $X$ tel que $A\Delta X=B$ \\
\\
\B Il existe toujours plusieurs ensembles $X$ tel que $A\Delta X=B$\\
\\
\C Il existe toujours au moins un ensemble $X$ tel que $A\Delta X=B$, mais il peut n'en exister qu'un seul ou plusieurs, selon le choix de $A$ et $B$ \\
\\
\D Il peut ne pas exister d'ensemble $X$ tel que $A\Delta X=B$, selon le choix de $A$ et $B$\\ 

\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M17} \hspace{0.5cm} On introduit deux égalités qui peuvent être vraies ou non :

\begin{enumerate}
	\item[(i)] $(A\Delta B)\cap C=(A\cap C)\Delta (B\cap C)$
	\item[(ii)] $(A\cap B)\Delta C=(A\Delta C)\cap (B \Delta C)$
\end{enumerate}

Lesquelles sont vraies indépendamment du choix des ensembles $A$, $B$ et $C$ ?

\medskip

\begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{4cm}}
\A (i) mais pas (ii)& \B les deux &\C (ii) mais pas (i)& \D aucune des deux
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Différence symétrique et finitude}

\bigskip
Pour tout ensemble fini $A$, on note $c(A)$ le nombre de ses éléments (aussi appelé son cardinal).

\medskip

$\square$ \textbf{M18} \hspace{0.5cm} On introduit trois implications, qui peuvent être vraies ou non :

\begin{enumerate}
	\item[(i)]  Si $A$ et $B$ sont finis alors $A\Delta B$ est fini.
	\item[(ii)] Si $A \Delta B$ est fini alors $A$ et $B$ sont finis.
	\item[(iii)] Si $A\Delta B$ et $A$ sont finis alors $B$ est fini.
\end{enumerate}

Parmi ces implications, lesquelles sont vraies indépendamment du choix des ensembles $A$ et $B$ ?

\medskip

\begin{tabular}{L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}}
\A toutes sauf (iii)& \B toutes sauf (ii)&\C les trois& \D une seule& \E toutes sauf (i)
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M19} \hspace{0.5cm} Soit $A$ et $B$ deux ensembles finis tels que $A \Delta B$ soit fini. le nombre $c(A\Delta B)$ vaut alors systématiquement :


\begin{center}
\begin{tabular}{L{8.5cm}L{8.5cm}}
	\A $c(A)+c(B)-2c(A\cap B)$& \B $c(A)+c(B)-c(A\cap B)$\\
	&\\
	\C $c(A)+c(B)$ &\D $\dfrac{c(A)c(B)}{c(A\cap B)}$ \\
	&\\
	\E aucune des autres valeurs proposées, en général& 
\end{tabular}
\end{center}

$\square$ \textbf{M20} \hspace{0.5cm} Quels que soient les ensembles finis $A$ et $B$ tels que $A \Delta B$ soit fini et $c(B)$ soit impair :

\begin{center}
\begin{tabular}{L{8.5cm}L{8.5cm}}
\A $c(A \Delta B)$ est pair& \B $c(A \Delta B)$ est impair\\
& \\
\C $c(A \Delta B)$ n'a pas la même parité que $c(A)$ &\D $c(A \Delta B)$ a la même parité que $c(A)$ \\
& \\
\multicolumn{2}{l}{\E on ne peut pas statuer sur la parité de $c(A\Delta B)$, même en connaissant celle de $c(A)$}
\end{tabular}
\end{center}


\bigskip

\textbf{Différence symétrique itérée}

\bigskip

$\square$ \textbf{M21} \hspace{0.5cm} Soit $A_1$, $A_2$ et $A_3$ des ensembles. Pour un objet $x$, on note $n(x)$ le nombre d'entiers $i$ dans $\{1~;~2~;3\}$ tels que $x$ appartienne à $A_i$. L'appartenance de $x$ à $(A_1\Delta A_2)\Delta A_3$ est alors équivalente à la condition :

\begin{center}
\begin{tabular}{L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}}
\A $n(x)=1$& \B $n(x)$ est pair&\C $n(x)$ est impair& \D $n(x)=2$ \\
&&& \\
\multicolumn{3}{l}{\E aucune des autres réponses proposées en général}
\end{tabular}
\end{center}

$\bigcirc$ \textbf{R3} \hspace{0.5cm} En utilisant le résultat de la question \textbf{M21}, et en le combinant éventuellement avec d'autres résultats antérieurs (dont on citera alors les numéros des questions), démontrer que $(A \Delta B)\Delta C=A\Delta (B \Delta C)$ quels que soient les ensembles $A$, $B$ et $C$.

\bigskip

Le résultat de \textbf{R3} permet de définir sans ambiguïté $A_1\Delta \ldots \Delta A_n$ pour n'importe quelle liste d'ensembles $(A_1,\ldots,A_n)$, sans tenir compte de l'ordre de parenthésage. Par exemple $A_1\Delta A_2 \Delta A_3 \Delta A_4$ peut être défini comme $(((A_1\Delta A_2)\Delta A_3)\Delta A_4)$ mais aussi comme $A_1 \Delta ((A_2 \Delta A_3)\Delta A_4)$, ce qui fournit le même résultat.

\bigskip

$\square$ \textbf{M22} \hspace{0.5cm} On note $A=\{1~;~i\}$ pour tout entier naturel $i\geqslant 1$. L'ensemble $A_1\Delta \ldots \Delta A_{2025}$ est alors égal à :

\begin{center}
\begin{tabular}{L{4cm}L{2cm}L{4cm}L{4cm}}
\A $\{0~;~2~;~\ldots~;~2025\}$& \B $\varnothing$ &\C $\{0~;~1~;~2~;~\ldots~;~2025\}$& \D $\{1~;~2~;~\ldots~;~2025\}$\\
&&& \\
\multicolumn{3}{l}{\E aucune des autres réponses proposées}
\end{tabular}
\end{center}

$\square$ \textbf{M23} \hspace{0.5cm} Soit $A_1, \ldots ,A_p$ des ensembles, où $p\geqslant 4$. Pour un objet $x$, on note $n(x)$ le nombre d'entiers $i$ dans $\{1~;~2~; \ldots~;~p\}$ tels que $x$ appartienne à $A_i$. L'appartenance de $x$ à $A_1\Delta \ldots \Delta A_p$ est alors équivalente à la condition :

\begin{center}
\begin{tabular}{L{3.5cm}L{3cm}L{3cm}L{6cm}}
\A $n(x)$ est impair& \B $n(x)=1$ &\C $n(x)=p-1$ & \D $n(x)$ a la même parité que $p$\\
&&& \\
\multicolumn{3}{l}{\E aucune des autres réponses proposées, en général}
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\textbf{Classe stables}

\bigskip

On appelle \textbf{classe} tout ensemble fini non vide dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles finis. Par exemple, l'ensemble $\mathcal{C}=\{\{1~;~2~;~3\};\{1~;~3~;~5\};\varnothing\}$ est une classe dont les éléments sont $\{1~;~2~;~3\}$, $\{1~;~3~;~5\}$ et l'ensemble vide (tous finis). Dans ce qui suit, les classes sont systématiquement représentées par des majuscules calligraphiées, par exemple $\mathcal{A},~\mathcal{B},~\mathcal{C}$, et leurs éléments sont représentés par des majuscules d'imprimerie, par exemple $A,~B,~C$.

\medskip

Une classe est dite \textbf{stable} lorsque, quels que soient les éléments $A$ et $B$ de $\mathcal{C}$, l'objet $A\Delta B$ est un élément de $\mathcal{C}$.

\medskip

Par exemple, la classe $\{\{1~;~2~;~3\};\{1~;~2~;~4\}\}$ n'est pas stable car $\{1~;~2~;~3\}\Delta\{1~;~2~;~4\}$, qui vaut $\{3~;~4\}$, n'en est pas un élément.


\newpage

$\square$ \textbf{M24} \hspace{0.5cm} Parmi les ensembles suivants, combien sont des classes stables ?

$\mathcal{A}=\{\{1~;~2~;~3\};\varnothing\}$, \hspace{0.5cm} $\mathcal{B}=\{\varnothing\}$, \hspace{0.5cm} $\mathcal{C}=\{\{1~;~2~;~3\}\}$, \hspace{0.5cm} $\mathcal{D}=\varnothing$.

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}}
\A aucun& \B un&\C deux& \D trois& \E quatre
\end{tabular}

\bigskip

On rappelle que pour tout ensemble $A$, un \textbf{sous-ensemble} de $A$ est un ensemble $B$ tel que tout élément de $B$ soit élément de $A$. Par exemple, $\varnothing$ et $A$ sont deux sous-ensembles de $A$.

\bigskip

$\square$ \textbf{M25} \hspace{0.5cm} Pour un ensemble fini $X$, l'ensemble constitué de tous les sous-ensembles de $X$ :

\medskip

\begin{tabular}{L{7cm}L{7cm}}
\A est toujours une classe stable& \B n'est pas toujours une classe\\
& \\
\multicolumn{2}{l}{\C est toujours une classe, mais n'est pas toujours stable}
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M26} \hspace{0.5cm} Soit $X$ un ensemble fini et $Y$ un sous-ensemble de $X$. On considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des sous-ensembles $Z$ de $X$ tel que $Y$ soit un sous-ensemble de $Z$. Alors $\mathcal{C}$ :

\medskip

\begin{tabular}{L{7cm}L{7cm}}
	\A est toujours une classe stable& \B n'est pas toujours une classe\\
	& \\
	\multicolumn{2}{l}{\C est toujours une classe, mais n'est pas toujours stable}
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M27} \hspace{0.5cm} Soit $X$ un ensemble fini. On considère :
\begin{enumerate}[label=\textbullet]
	\item L'ensemble $\mathcal{C}$ formé de tous les sous-ensembles de $X$ ayant un nombre pair d'éléments.
	\item L'ensemble $\mathcal{D}$ formé de tous les sous-ensembles de $X$ ayant un nombre impair d'éléments.
\end{enumerate}

Lesquels sont des classes stables quel que soit le choix de $X$ ?
\medskip

\begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{4cm}}
\A $\mathcal{D}$& \B $\mathcal{C}$&\C $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$& \D aucun d'entre eux
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M28} \hspace{0.5cm} Soit $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ deux classes stables. On considère la différence symétrique $\mathcal{C} \Delta \mathcal{D}$ et l'intersection $\mathcal{C} \cap \mathcal{D}$. Lesquelles sont des classes stables quel que soit le choix de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ ?

\medskip

\begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{4cm}}
\A $\mathcal{C} \cap \mathcal{D}$& \B $\mathcal{C} \cap \mathcal{D}$ et $\mathcal{C} \Delta \mathcal{D}$&\C $\mathcal{C} \Delta \mathcal{D}$& \D aucune d'entre elle
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M29} \hspace{0.5cm} Soit $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ deux classes stables. On considère les ensembles suivants :

\begin{enumerate}[label=\textbullet]
\item L'ensemble $\mathcal{E}$ constitué de toutes les différence symétrique $C\Delta D$, avec $C$ élément de $\mathcal{C}$ et $D$ élément de $\mathcal{D}$.
\item L'ensemble $\mathcal{F}$ constitué de toutes les intersections $C \cap D$ avec $C$ élément de $\mathcal{C}$ et $D$ élément de $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}

Lesquels sont des classes stables quel que soit le choix de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ ?

\medskip

\begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{4cm}}
\A $\mathcal{F}$& \B $\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$&\C $\mathcal{E}$& \D aucune d'entre eux
\end{tabular}


\begin{center}
\rule{0.5\linewidth}{1pt}
\end{center}

\begin{center}
	\textbf{\Large Exercice 3. Arithmétique }
\end{center}


$\triangle$ \textbf{L3} \hspace{0.5cm} Donner la liste des nombres premiers compris entre 91 et 100 au sens large.

\bigskip

$\square$ \textbf{M30} \hspace{0.5cm} Dans l'algorithme d'Euclide de recherche du pgcd, on compte une étape pour chaque division euclidienne effectuée jusqu'à trouver un reste nul. Par exemple, l'algorithme d'Euclide se fait e, 2 étapes pour calculer le pgcd de 6 et 4.
\medskip

On veut calculer le pgcd de 1007 et de 689 par l'algorithme d'Euclide. Le nombre d'étapes est alors :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}}
\A 1& \B 2&\C 3& \D 4 &\E 5
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M31} \hspace{0.5cm} Pour tout entier naturel $n$ non nul, le pgcd des entiers $n$ et $n+2$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}}
\A $n(n+2)$& \B 1&\C 2& \D 1 ou 2 &\E aucune des autres réponses proposées
\end{tabular}

\newpage

$\square$ \textbf{M32} \hspace{0.5cm} On donne deux affirmations :

\begin{enumerate}
\item[(i)] Si deux carrés d'entiers naturels diffèrent d'un nombre premier, alors ce sont des carrés consécutifs.
\item[(ii)] Pour tout nombre premier impair $p$, il existe deux carrés consécutifs qui diffèrent de $p$.
\end{enumerate}

Lesquelles sont vraies ?

\medskip

\begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{4cm}}
	\A Les deux& \B Aucune des deux&\C (i)& \D (ii)
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M33} \hspace{0.5cm} Le nombre de diviseurs positifs de l'entier $2^6\times 3^2 \times 5^3$ est : 

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}}
\A 11& \B 14&\C 36& \D 84 &\E aucune des autres réponses proposées
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M34} \hspace{0.5cm} Pour tout entier naturel $n\geqslant10$, le pgcd des coefficients binomiaux $\dbinom{6n+3}{2}$ et $\dbinom{6n+3}{3}$ est :
\medskip

\begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}}
\A $(6n+3)(3n+1)$& \B $(2n+1)(3n+1)$&\C $6n+3$& \D $2n+1$&\E aucune des autres réponses proposées
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M35} \hspace{0.5cm} Le nombre d'entiers naturels $n$ tel que $n+3$ divise $2n^2-5n+1$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}}
\A 0& \B 1&\C 2& \D 3 &\E 4
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M36} \hspace{0.5cm} On s'intéresse à l'ensemble $A$ formé des nombres de la forme $20a + 63b$ où $a$ parcourt les entiers de 1 à 63, et $b$ parcourt les entiers de 1 à 20. Trois élèves inspectent le problème puis proposent une conjecture :

\begin{enumerate}[label=\textbullet]
	\item Caroline dit que $A$ contient exactement \np{1260} éléments.
	\item Olivier dit que $A$ contient tous les entiers de 83 à 4369.
	\item Anne dit que $A$ contient exactement 83 éléments.
\end{enumerate}

Qui a raison ?
\medskip

\begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{4cm}}
	\A Anne& \B Caroline&\C Olivier& \D Aucun d'entre eux 
\end{tabular}

\bigskip

$\bigcirc$ \textbf{R4} \hspace{0.5cm} Justifier votre réponse à la question \textbf{M36}.

\bigskip

$\square$ \textbf{M37} \hspace{0.5cm} Le nombre de couples $(a~;~b)$ d'entiers premiers entre eux, compris entre 1 et 50 tels que 7 divise $a^2+b^2$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}}
	\A 0& \B 4&\C 7& \D 49 & \E $4\times 49$ 
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M38} \hspace{0.5cm} Le nombre d'entiers naturels $n$ tels que $1\leqslant n \leqslant 30$ et 7 divise $3^{2n}+5^n$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}}
	\A 12& \B 14&\C 15& \D 16 & \E 20 
\end{tabular}

\bigskip


\bigskip

$\square$ \textbf{M39} \hspace{0.5cm} Soit $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts. Le produit de tous les diviseurs positifs de $p^5q^6$ vaut :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}}
	\A $p^{15}q^{21}$& \B $p^{30}q^{30}$&\C $p^{90}q^{105}$& \D $p^{105}q^{126}$&\E aucune des autres réponses proposées
\end{tabular}

\begin{center}
	\rule{0.5\linewidth}{1pt}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Exercice 4. Nombres complexes et géométrie }
\end{center}

Dans tout l'exercice on se place dans un plan $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormal \Oij, et on repère chaque point de $\mathcal{P}$ par son affixe. Dans les figures, on représente le point de $\mathcal{P}$ d'affixe 1 par le caractère \textbf{1}.

\smallskip

\textbf{Sur une figure}

\smallskip

$\square$ \textbf{M40} \hspace{0.5cm} On considère la figure suivante.

\medskip

\begin{minipage}{7cm}
	\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm,scale=1.5]
		\draw (0,0) node[below left]{$O$};
		\draw (1,0) node[below]{$1$};
		\draw (1,0) node {$\bullet$};
		\draw (0,0) -- (1,0) ;
		\draw[->] (0,0) -- (2,0) ;
		\draw[->] (0,0) -- (0,2) ;
		\draw (0,0) -- (0,1) ;
		%\draw (0,0) circle (1) ;
		\draw (1,0) arc (0:90:1);
		%%% a
		\draw (1.5,0) node[below]{\textbf{a}};
		\draw (1.5,0) node {$\bullet$};
		%%% b
		\draw (0,1.5) node[left]{\textbf{b}};
		\draw (0,1.5) node {$\bullet$};
		%%% z
		\draw (1.2,0.75) node[right]{\textbf{z}};
		\draw (1.2,0.75) node {$\bullet$};
		%%% c
		\draw (0.75,1.2) node[right]{\textbf{c}};
		\draw (0.75,1.2) node {$\bullet$};
		%%%d
		\draw (1.2,-0.75) node[below]{\textbf{d}};
		\draw (1.2,-0.75) node {$\bullet$};
		%%% e
		\draw (-1.2,-0.75) node[below]{\textbf{e}};
		\draw (-1.2,-0.75) node {$\bullet$};	
	\end{tikzpicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{10cm}
	Sachant que le point d'affixe $z$ sur la figure ci-contre par la lettre $z$, le point d'affixe $\im~\overline{z}$ est repéré par la lettre :
	
	\medskip

\begin{tabular}{L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}}
\A \textbf{a}& \B \textbf{b}&\C \textbf{c}& \D \textbf{d}&\E \textbf{e}
\end{tabular}

\end{minipage}

\medskip

$\square$ \textbf{M41} \hspace{0.5cm} On considère la figure suivante.

\medskip

\begin{minipage}{7cm}
	\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1.0cm,scale=1.5]
		\draw (0,0) node[below left]{$O$};
		\draw (1,0) node[below right]{$1$};
		\draw (1,0) node {$\bullet$};
		\draw (0,0) -- (1,0) ;
		\draw[->] (-2,0) -- (2,0) ;
		\draw[->] (0,0) -- (0,2) ;
		\draw (0,0) -- (0,1) ;
		\draw (0,0) circle (1) ;
		%\draw (1,0) arc (0:90:1);
		%%% a
		\draw (0.683,-0.415) node[below]{\textbf{a}};
		\draw (0.683,-0.415) node {$\bullet$};
		%%% b
		\draw (0.683,0.415) node[left]{\textbf{b}};
		\draw (0.683,0.415) node {$\bullet$};
		%%% z
		\draw (1.07,0.65) node[right]{\textbf{z}};
		\draw (1.07,0.65) node {$\bullet$};
		%%% c
		\draw (-0.683,-0.415) node[below]{\textbf{c}};
		\draw (-0.683,-0.415) node {$\bullet$};
		%%%d
		\draw (0.415,0.683) node[left]{\textbf{d}};
		\draw (0.415,0.683) node {$\bullet$};
		%%% e
		\draw (1.07,-0.65) node[below]{\textbf{e}};
		\draw (1.07,-0.65) node {$\bullet$};	
	\end{tikzpicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{10cm}
	Sachant que le point d'affixe $z$ sur la figure ci-contre par la lettre $z$, le point d'affixe $\dfrac{1}{z}$ est repéré par la lettre :

	\medskip

\begin{tabular}{L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}}
\A \textbf{a}& \B \textbf{b}&\C \textbf{c}& \D \textbf{d}&\E \textbf{e}
\end{tabular}

\end{minipage}

\medskip

$\square$ \textbf{M42} \hspace{0.5cm} On considère la figure suivante.

\medskip

\begin{minipage}{7cm}
	\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm,scale=1.5]
		\draw (0,0) node[below left]{$O$};
		\draw (1,0) node[below]{$1$};
		\draw (1,0) node {$\bullet$};
		\draw (0,0) -- (1,0) ;
		\draw[->] (0,0) -- (2,0) ;
		\draw[->] (0,0) -- (0,2) ;
		\draw (0,0) -- (0,1) ;
		%\draw (0,0) circle (1) ;
		\draw (1,0) arc (0:90:1);
		%%% a
		\draw (1.556,-0.667) node[below]{\textbf{a}};
		\draw (1.556,-0.667) node {$\bullet$};
		%%% b
		\draw (1.78,0.333) node[right]{\textbf{b}};
		\draw (1.78,0.333) node {$\bullet$};
		%%% z
		\draw (1.2,0.75) node[below]{\textbf{z}};
		\draw (1.2,0.75) node {$\bullet$};
		%%% c
		\draw (0.673,1.38) node[right]{\textbf{c}};
		\draw (0.673,1.38) node {$\bullet$};
		%%%d
		\draw (0.8775,1.8) node[below]{\textbf{d}};
		\draw (0.8775,1.8) node {$\bullet$};
		%%% e
		\draw (1.389,1) node[right]{\textbf{e}};
		\draw (1.389,1) node {$\bullet$};	
	\end{tikzpicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{10cm}
	Sachant que le point d'affixe $z$ sur la figure ci-contre par la lettre $z$, le point d'affixe $z^2$ est repéré par la lettre :
	
	\medskip
	
\begin{tabular}{L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}}
\A \textbf{a}& \B \textbf{b}&\C \textbf{c}& \D \textbf{d}&\E \textbf{e}
\end{tabular}

\end{minipage}

\medskip

$\square$ \textbf{M43} \hspace{0.5cm} On considère la figure suivante.

\medskip

\begin{minipage}{7cm}
	\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1.0cm,scale=1.5]
		\draw (0,0) node[below left]{$O$};
		\draw (1,0) node[above right]{$1$};
		\draw (1,0) node {$\bullet$};
		\draw (0,0) -- (1,0) ;
		\draw[->] (-1.7,0) -- (1.7,0) ;
		\draw[->] (0,-1.7) -- (0,1.7) ;
		\draw (0,0) -- (0,1) ;
		\draw (0,0) circle (1) ;
		%\draw (1,0) arc (0:90:1);
		%%% a
		\draw (0.333,1.278) node[below]{\textbf{a}};
		\draw (0.333,1.278) node {$\bullet$};
		%%% b
		\draw (0.333,-0.111) node[below]{\textbf{b}};
		\draw (0.333,-0.111) node {$\bullet$};
		%%% z et z'
		\draw (1.07,0.65) node[right]{\textbf{z}};
		\draw (1.07,0.65) node {$\bullet$};
		\draw (0.45,-0.45) node[below]{\textbf{z'}};
		\draw (0.45,-0.45) node {$\bullet$};
		%%% c
		\draw (0.8325,-0.2475)  node[below]{\textbf{c}};
		\draw (0.8325,-0.2475)  node {$\bullet$};
		%%%d
		\draw (1.222,-0.333) node[right]{\textbf{d}};
		\draw (1.222,-0.333) node {$\bullet$};
		%%% e
		\draw (0.167,0.667) node[below]{\textbf{e}};
		\draw (0.167,0.667) node {$\bullet$};	
	\end{tikzpicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{10cm}
	Sachant que le point d'affixe $z$ (respectivement $z'$) est repéré sur la figure ci-contre par la lettre $z$ (respectivement $z'$), le point d'affixe $zz'$ est repéré par la lettre :

	\medskip

\begin{tabular}{L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}}
\A \textbf{a}& \B \textbf{b}&\C \textbf{c}& \D \textbf{d}&\E \textbf{e}
\end{tabular}

\end{minipage}

\newpage

\textbf{Une application du plan complexe dans lui-même}

\bigskip
ON définit une application $F$ comme suit : pour tout point $M$ de $\mathcal{P}$ privé de l'origine $O$, on note $z$ l'affixe de $M$ et on prend le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac12\left(z+\dfrac{1}{z}\right)$, dit image de $M$ par $F$ et aussi noté $F(M)$. On dit aussi que $M$ est un antécédent de $M'$ par $F$.

\medskip

$\square$ \textbf{M44} \hspace{0.5cm} L'image par $F$ du point d'affixe $1+2\im$ est le point d'affixe :

\medskip

\begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{3cm}L{3cm}L{3cm}}
\A $\dfrac35-\dfrac45 \im$& \B $3+4\im$&\C $\dfrac45+\dfrac35 \im$& \D $\dfrac45-\dfrac35 \im$&\E $\dfrac35+\dfrac45 \im$
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M45} \hspace{0.5cm} Le point d'affixe $\dfrac12$ est l'image par $F$ :

\medskip

	\begin{tabular}{L{8cm}L{8cm}}
	\A d'aucun point& \B des points d'affixes $\dfrac{1+\im\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{1-\im\sqrt{3}}{2}$\\
	& \\
	\C uniquement du point d'affixe $\dfrac{1+\im\sqrt{3}}{2}$& \D du point d'affixe $\dfrac54$\\
	& \\
	\E uniquement du point d'affixe $\dfrac{1-\im\sqrt{3}}{2}$ &
\end{tabular}

\bigskip

$\triangle$ \textbf{L4} \hspace{0.5cm} Démontrer les antécédents par $F$ du point d'affixe $\im$.


\bigskip

$\square$ \textbf{M46} \hspace{0.5cm} On donne deux affirmations :

\begin{enumerate}
\item[(i)] Tout point $M$ de $\mathcal{P}$ privé de $O$ admet une unique image par $F$.
\item[(ii)] Tout point $N$ de $\mathcal{P}$ est l'image par $F$ d'un unique point de $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}

\medskip

Parmi ces affirmations, les quelles sont vraies ?

\medskip

\begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{4cm}}
\A (i) mais pas (ii)& \B (ii) mais pas (i)&\C Toutes& \D Aucune
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M47} \hspace{0.5cm} On donne deux affirmations :

\begin{enumerate}
\item[(i)] Tout point de $\mathcal{P}$ a au plus deux antécédents par $F$.
\item[(ii)] Tout point de $\mathcal{P}$ a au moins un antécédent par $F$.
\item[(iii)] Il existe au moins deux points de $\mathcal{P}$ ayant un seul antécédent par $F$.
\end{enumerate}

\medskip

Parmi ces affirmations, les quelles sont vraies ?

\medskip

	\begin{tabular}{L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}}
	\A Une seule& \B Toutes sauf (i)&\C Toutes sauf (iii)& \D Toutes & \E Toutes sauf (ii)
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M48} \hspace{0.5cm} Un point $M$ est dit invariant par $F$ lorsque $F(M)=M$. Le nombre de points invariants par $F$ est alors :

\medskip

\begin{tabular}{L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}}
\A 0& \B 1&\C 2& \D 3& \E infini
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M49} \hspace{0.5cm} Lorsque $M$ parcourt (entièrement le cercle de centre $O$ et de rayon 1, le point $F(M)$ parcourt (entièrement) :

\medskip

\begin{tabular}{L{7cm}L{7cm}L{6cm}}
\A un cercle& \B la réunion d'un segment et d'un cercle&\C un segment \\
&&\\
\D une droite& \E aucune des autres réponses proposées
\end{tabular}

\bigskip

$\triangle$ \textbf{L5} \hspace{0.5cm} Donner sans justification l'ensemble des points dont l'image par $F$ est sur l'axe des ordonnées.

\bigskip

$\triangle$ \textbf{R5} \hspace{0.5cm} Déterminer, en justifiant votre réponse, l'ensemble des points dont l'image par $F$ est sur l'axe des abscisses.


\begin{center}
\rule{0.5\linewidth}{1pt}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Exercice 5. Records d'un permutation }
\end{center}

Dans tout l'exercice, on fixe un entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3.
\medskip

On appelle \textbf{permutation} de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ toute liste (ordonnée) $(i_1~;~i_2~;~\ldots~i_n)$ dans laquelle chaque entier de 1 à $n$ est représenté exactement une fois. Pour la liste $\sigma=(i_1~;~i_2~;~\ldots~i_n)$, on écrit aussi $\sigma(k)=i_k$. Par exemple, pour $n=4$ la liste $\sigma=(4~;~3~;~1~;~2)$ est une permutation de $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ et $\sigma(3)=1$ et $\sigma(4)=2$.

\medskip

On dit qu'une permutation $\sigma$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ présente un \textbf{record en position} $i$ (où $i\in \{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$) si $i=1$ ou si $i>1$ et $\sigma(i)$ est le plus grand des nombres $\sigma(1~;~\sigma(2)~;\ldots~;~\sigma(i)$. On notre $\mathcal{R}(\sigma)$ le nombre record de la permutation $\sigma$.

\medskip

Par exemple, pour $n=6$ et $\sigma=(4~;~3~;~1~;~6~;~2~;~5)$, la permutation $\sigma$ a exactement 2 records, en position 1 et 4 (ainsi $\mathcal{R}(\sigma)=2$).
\medskip

Ou encore, pour $n=7$ et $\sigma=(2~;~3~;~5~;~1~;~4~;~7~;~6)$, la permutation $\sigma$ a exactement 4 records en positions 1, 2, 3 et 6.  (ainsi $\mathcal{R}(\sigma)=4$).

\bigskip

\textbf{Le cas $n=3$}

\bigskip

$\triangle$ \textbf{L6} \hspace{0.5cm} Donner toutes les permutations de $\{1~;~2~;~3\}$.

\bigskip

\textbf{Le cas $n=4$}

\medskip

Dans cette partie on étudie le cas $n=4$.

\medskip

$\square$ \textbf{M50} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations de  $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}}
\A 6& \B 16&\C 24& \D 256& \E aucune des autres réponses
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M51} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de  $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ telle que $\mathcal{R}(\sigma)=4$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}}
\A 1& \B 2&\C 3& \D 6& \E 11
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M52} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de  $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ telle que $\mathcal{R}(\sigma)=1$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}}
\A 1& \B 2&\C 3& \D 6& \E 11
\end{tabular}

\bigskip

$\triangle$ \textbf{L7} \hspace{0.5cm} Donner les permutations $\sigma$ de  $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ telle que $\mathcal{R}(\sigma)=3$.

\bigskip

$\square$ \textbf{M53} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de  $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ telle que $\mathcal{R}(\sigma)=2$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}}
\A 1& \B 2&\C 3& \D 6& \E 11
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Le cas $n\geqslant 4$}

\bigskip

$\square$ \textbf{M54} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}}
\A $n~!$& \B $2^n$&\C $2^{n+1}$& \D $n^n$& \E aucune des autres réponses
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M55} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant $n$ records est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}}
\A 1& \B $n$&\C $2^{n}$& \D $2^{n-1}$& \E aucune des autres réponses
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M56} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ n'ayant qu'un seul record est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}}
\A $n+2$& \B $2(n-1)$&\C $(n-1)~!$& \D $2^{n-1}-2$& \E $\dfrac{n(n-1)}{2}$
\end{tabular}

\newpage

\textbf{Permutations ayant $n-1$ records}

\bigskip

$\square$ \textbf{M57} \hspace{0.5cm} Pour toute permutation $\sigma$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant exactement $n-1$ records, on a :

\medskip

\begin{tabular}{L{5cm}L{5cm}L{5cm}}
\A $\sigma(n-1)=n$ ou $\sigma(n)=n$& \B $\sigma(n)=n-1$&\C $\sigma(n)<n-1$ \\
& &\\
\D $\sigma(n)=1$& \E $\sigma(n)=n$ ou $\sigma(n)=n-1$& 
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M58} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant exactement $n-1$ records et telles que $\sigma(n-1)=n$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}}
	\A 1& \B $(n-2)~!$&\C $n$& \D $n-1$& \E 0
\end{tabular}

\bigskip


$\square$ \textbf{M59} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant exactement $n-1$ records et telles que $\sigma(n)=n$ et $\sigma(1)\neq 1$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}}
	\A 1& \B $n-2$&\C $n$& \D $n-1$& \E 0
\end{tabular}

\bigskip


$\square$ \textbf{M60} \hspace{0.5cm} Soit $k$ un élément de $\{2~;~\ldots~;~n-1\}$. Le nombre de permutations $\sigma$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant exactement $n-1$ records et telles que $\sigma(n)=n$, $\sigma(1)= 1$ et n'ayant pas de record en position $k$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{4cm}L{4cm}}
\A 1& \B $k-2$&\C $n-1$& \D $1+2+\ldots+(k-1)$& \E $1+2+\ldots+(n-1)$
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M61} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant exactement $n-1$ records et telles que $\sigma(n)=n$ et $\sigma(1)= 1$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{4cm}L{4cm}}
\A 1& \B $n-2$&\C $n-1$& \D $\dfrac{n^2-3n-2}{2}$& \E $\dfrac{n^2-5n+6}{2}$
\end{tabular}

\bigskip


$\triangle$ \textbf{L8} \hspace{0.5cm} Donner le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant exactement $n-1$ records.

\bigskip

\textbf{Permutations ayant $2$ records}

\bigskip

$\square$ \textbf{M62} \hspace{0.5cm} Soit $p$ un élément de $\{2~;~\ldots~;~n\}$. Le nombre de $p$-listes $(k_1~;~k_2~;~\ldots~;~k_p)$ d'éléments distincts de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ dont $k_p$ est le plus grand élément vaut :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{4cm}L{4cm}}
\A $n^{p-1}$& \B $\dbinom{n}{p}$&\C $\dfrac{n~!}{(n-p)~!}$& \D $\dfrac{n~!}{p(n-p)~!}$& \E $(p-1)~!$
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M63} \hspace{0.5cm} Soit $p$ un élément de $\{2~;~\ldots~;~n\}$. Le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant exactement deux records lesquels sont atteints en positions 1 et $p$, est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{4cm}L{4cm}}
\A $\dfrac{1}{p}$& \B $\dfrac{1}{p-1}$&\C $\dfrac{(n-1)~!}{p}$& \D $\dfrac{(n-1)~!}{(p-1)~!}$& \E $\dfrac{(n-1)~!}{p-1}$
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M64} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ dont ayant exactement deux records  est :

\medskip

\begin{tabular}{L{7.5cm}L{7.5cm}}
\A $\dfrac12+\ldots+\dfrac{1}{p}+\ldots+\dfrac{1}{n}$& \B $(n-1)~!\left(1+\dfrac12+\ldots+\dfrac{1}{p}+\ldots+\dfrac{1}{n-1}\right)$\\
& \\
\C $(n-1)~!\left(\dfrac12+\ldots+\dfrac{1}{p}+\ldots+\dfrac{1}{n}\right)$& \D $1+\dfrac{1}{2~!}+\ldots+\dfrac{1}{p~!}+\ldots+\dfrac{1}{n~!}$\\
& \\
\E $1+\dfrac12+\ldots+\dfrac{1}{p}+\ldots+\dfrac{1}{n-1}$
\end{tabular}

\newpage

\textbf{Une loi de probabilités sur l'ensemble des permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$}

\bigskip

On note $\mathcal{S}_n$ l'ensemble des permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$. On le munit de la probabilité uniforme $\textbf{P}$, c'est-à-dire que, pour toute permutation $\sigma$ de $\mathcal{S}_n$, on a $\textbf{P}(\{\sigma\})=\dfrac{1}{n~!}$.
\medskip

On définit une variable aléatoire $\mathcal{R}_n$, qui à toute permutation $\sigma$ de $\mathcal{S}_n$ associe le nombre de records de $\sigma$.

\medskip

On note, pour tout entier $i$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$, $\mathcal{T}_i$ la variable aléatoire qui, à chaque permutation $\sigma$ de $\mathcal{S}_n$, associe 1 si $\sigma$ présente un record en position $i$, et 0 sinon. La variable aléatoire $\mathcal{T}_1$ est donc constante égale à 1.

\bigskip

$\square$ \textbf{M65} \hspace{0.5cm} L'espérance de $\mathcal{R}_3$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}}
\A $\dfrac{5}{3}$& \B $\dfrac{4}{3}$&\C $\dfrac{11}{6}$& \D $\dfrac{7}{6}$& \E 2
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M66} \hspace{0.5cm} La variance de $\mathcal{R}_3$ est :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}}
	\A $\dfrac{19}{36}$& \B $\dfrac{5}{54}$&\C $\dfrac{7}{54}$& \D $\dfrac{13}{36}$& \E $\dfrac{17}{36}$
\end{tabular}

\bigskip

$\square$ \textbf{M67} \hspace{0.5cm} Soit $i$ un élément de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$. La probabilité $\textbf{P}(T_i=1)=$ vaut alors :

\medskip

\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}}
\A $\dfrac{1}{i}$& \B $\dfrac{1}{i+1}$&\C $\dfrac{1}{i~!}$& \D $\dfrac{1}{(i+1)~!}$& \E aucune des autres réponses
\end{tabular}

\bigskip

$\triangle$ \textbf{R6} \hspace{0.5cm} Justifier votre réponse à la question \textbf{M67}.

\bigskip

$\triangle$ \textbf{L9} \hspace{0.5cm} On admet que l'espérance d'une somme de variables aléatoires est la somme de leurs espérances. Donner une expression simple de l'espérance $\mathcal{R}_n$.

\newpage

\includepdf[pages=1-3]{Grille réponse epreuve 2A.pdf}
\end{document}