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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  2020}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2018~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\bigskip
\textbf{\large Questions liées}

\bigskip

\textbf{\large 1 à 3\\
4 à 7\\
8 à 11\\
12 à 15
}

\bigskip

\textbf{\large Notations}

\end{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Les lettres $\R$,\, $\N$,\, $\Z$ et $\C$ désignent respectivement les ensembles des réels, des entiers naturels, des entiers relatifs et des nombres complexes. \\
La lettre e désigne la constante de Neper et l'application que à $x$ associe $\text{e}^x$ désigne l'exponentielle de base e.\\
Le nombre i désigne le nombre complexe défini par $\text{i}^2 = -1$.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center}

\medskip

Une étude effectuée par un chercheur a montré que l'âge en mois auquel apparaissent les premiers mots de vocabulaire chez un enfant pris au hasard dans la population peut se modéliser par une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}(11,5~;~16)$.

On donne, pour une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale centrée réduite : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $P(X < 2) \approx 0,977$
\item[$\bullet~$] $P(X < 0,5) \approx 0,691$
\item[$\bullet~$] $P(X< 0,125) \approx 0,550$
\item[$\bullet~$] $P(X < \np{0,03125}) \approx 0,512$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

La probabilité $p_1$ qu'un enfant de cette population ait prononcé ses premiers mots avant ses 9 mois et demi est d'environ:

\textbf{A.~} $p_1 \approx 0,050$ 

\textbf{B.~} $p_1 \approx  0,191$ 

\textbf{C.~} $p_1 \approx  0,309$ 

\textbf{D.~} $p_1 \approx 0,450$

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip
La probabilité $p_2$ qu'un enfant de cette population ait prononcé ses premiers mots dans le cours de son 12\up{e} mois est d'environ:

\textbf{A.~} $p_2 \approx 0,010$

\textbf{B.~} $p_2 \approx 0,024$

\textbf{C.~} $p_2 \approx 0,512$

\textbf{D.~} $p_2 \approx 0,550$

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

La probabilité $p_3$ qu'un enfant de cette population ait prononcé ses premiers mots après l'âge de 19 mois et demi est d'environ :

\textbf{A.~} $p_3 \approx  0,023$

\textbf{B.~} $p_3 \approx 0,309$

\textbf{C.~} $p_3 \approx  0,691$

\textbf{D.~} $p_3 \approx  0,977$

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie II}\end{center}

\medskip

On considère sur $[0~;~2\pi]$ les courbes $\mathcal{C}$ d'équation $y = \text{e}^{-x}$ , $\mathcal{C}'$ d'équation $y = - \text{e}^{-x}$ et la courbe $\Gamma$ représentant la fonction $f$ définie par $f (x ) = \text{e}^{-x} \sin x$.

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Les courbes $\mathcal{C}$,\, $\mathcal{C}'$ et $\Gamma$ vérifient :

\medskip

\textbf{A.~} La courbe $\Gamma$ est au-dessous de $\mathcal{C}$,\, et  $\mathcal{C}'$.

\textbf{B.~}  La courbe $\Gamma$ est au-dessus de $\mathcal{C}$,\,et $\mathcal{C}'$

\textbf{C.~}La courbe $\Gamma$ est au-dessus de $\mathcal{C}'$, mais oscille autour de $\mathcal{C}$ 

\textbf{D.~} La courbe $\Gamma$ est au-dessous de $\mathcal{C}$, mais oscille autour de $\mathcal{C}'$

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

La dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[0~;~2\pi]$ peut s'écrire:

\textbf{A.~} $f'(x) = - \text{e}^{-x}\cos x$

\textbf{B.~}  $f'(x) = \text{e}^{-x}(\cos x - \sin x)$

\textbf{C.~} $f'(x) = - \text{e}^{-x}(\cos x + \sin x)$

\textbf{D.~} $f'(x) = \sqrt{2}\text{e}^{-x}\cos \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$

\medskip

\textbf{Question 6}

\medskip

La courbe $\Gamma$ touche $\mathcal{C}$ au point d'abscisse : 

\textbf{A.~} $x = \dfrac{\pi}{2}$ 

\textbf{B.~} $x = \pi$

\textbf{C.~} $x = \dfrac{3\pi}{2}$

\textbf{D.~} $x = 2\pi$ 

\medskip

\textbf{Question 7}

\medskip

La tangente à $\Gamma$ en ce point de contact admet pour équation: 

\textbf{A.~} $y = - \text{e}^{-\pi}x + \pi\text{e}^{-\pi}$

\textbf{B.~} $y = -\text{e}^{-\frac{\pi}{2}}x + \left(1 + \dfrac{\pi}{2}\right)\text{e}^{\frac{\pi}{2}}$

\textbf{C.~} $y = \text{e}^{-2\pi} (x - 2\pi)$

\textbf{D.~} $y = \text{e}^{-\frac{3\pi}{2}}\left(x - 1 - \dfrac{3\pi}{2}\right)$

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie III}\end{center}

\medskip

On souhaite étudier une modélisation d'une tour de contrôle aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux droites de l'espace.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. L'unité sur chaque axe est 1~km.

Le plan \Oij{} représente le sol. Les deux \og routes aériennes\fg{} à contrôler sont représentées par deux droites $D_1$ et $D_2$ dont on connaît des représentations paramétriques :

\[D_1 : \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&3+a\\
y&=&9+3a\\
z&=&2
\end{array}\right., a \in \R\quad ; \quad  D_2 : \left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 0,5 +2b\\
y&=&4+b\\
z&=&4-b
\end{array}\right., b \in \R.\]

\textbf{Question 8}

\medskip

Les droites $D_1$ et $D_2$ :

\textbf{A.~}sont parallèles,

\textbf{B.~} sont sécantes,

\textbf{C.~} sont coplanaires,

\textbf{D.~} sont non coplanaires.

\medskip

\textbf{Question 9}

\medskip

On veut installer au sommet $S$ de la tour de contrôle, de coordonnées $S(3~;~4~;~0,1)$, un appareil de surveillance qui émet un rayon représenté par une droite notée $(R)$.

Un technicien souhaite savoir s'il est possible de choisir la direction de $(R)$ pour que cette droite coupe chacune des droites $D_1$ et $D_2$.

Le point $S$ vérifie :

\medskip

\textbf{A.~} $S \in D_1$

\textbf{B.~} $S  \in D_2$

\textbf{C.~} $S \in (R)$

\textbf{D.~} $S$ n'appartient à aucune de ces droites.

\medskip

\textbf{Question 10}

\medskip

Soit $P_1$ le plan contenant $S$ et $D_1$ et $P_2$ le plan contenant $S$ et $D_2$. Les plans $P_1$ et $P_2$ se coupent selon la droite $\Delta$.

\medskip

\textbf{A.~} Les droites $D_1$ et $\Delta$ sont sécantes. 

\textbf{B.~} Les droites $D_1$ et $\Delta$ sont parallèles. 

\textbf{C.~}Les droites $D_2$ et $\Delta$ sont sécantes. 

\textbf{D.~} Les droites $D_2$ et $\Delta$ sont parallèles.

\medskip

\textbf{Question 11}

\medskip

Les droites $(R)$ et $\Delta$ :

\medskip

\textbf{A.~} ont un unique point d'intersection en $S$. 

\textbf{B.~} se coupent en un point distinct de $S$.

\textbf{C.~} sont confondues.

\textbf{D.~} sont parallèles distinctes.

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie IV}\end{center}

\medskip

Soit $p$ un réel tel que $0 < p < 1$ et $n$ un entier naturel non nul. On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$. On répète cette épreuve de façon identique et indépendante au maximum $n$ fois et on s'arrête à la réalisation du premier succès. La variable aléatoire $X$ prend:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la valeur 0 si aucun succès n'a été rencontré,
\item[$\bullet~$]la valeur $k$ si le premier succès est rencontré lors de la $k$-ième répétition pour 

$1 \leqslant k \leqslant n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\textbf{Question 12}

\medskip

On montre que :

\medskip

\textbf{A.~} $P(X =0)= p^n$

\textbf{B.~} $p(X = 0)=(1-p)^n$

\textbf{C.~} $P(X = k) = p(1 - p)^{k-1}$

\textbf{D.~} $P(X = k) = p^k(1 - p)^{n-k} $

\medskip

\textbf{Question 13}

\medskip

L'espérance mathématique $E(X)$ de $X$ s'écrit :

\textbf{A.~} $E(X)= np$

\textbf{B.~} $E(X)=n(1 - p)$ 

\textbf{C.~} $E(X)=np(1 - p)$

\textbf{D.~} $E(X) = p\left(1 + 2(1 - p) + 3(1 - p)^2 +\ldots +n(1-p)^{n-1}\right)$

\medskip

On introduit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x + x^2  + x^3 +\ldots + x^n  = \displaystyle\sum_{k=1}^n x^k.\]

\medskip

\textbf{Question 14}

\medskip

$E(X)$ vérifie :

\medskip

\textbf{A.~} $E(X) = f(p)$

\textbf{B.~} $E(X) = f(1-p)$ 

\textbf{C.~} $E(X) = pf'(1-p)$

\textbf{D.~} $E(X) = (1-p)f'(p)$

\medskip

\textbf{Question 15}

\medskip

On montre ainsi, que pour $x \ne 1$ et $0 < p < 1$ :

\medskip

\textbf{A.~} $f(x) = \dfrac{1- x^{n+1}}{1 - x}$

\textbf{B.~} $f(x) = \dfrac{1 - x^n(1+n-nx)}{ (1 - x)^2}$

\textbf{C.~} $E(X) = \dfrac{1}{1 - p} - \dfrac{p^n}{1 - p} - np^n$

\textbf{D.~} $E(X) = \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p}(1 - p)^n - n(1 - p)^n$
\end{document}