\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2020}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2020} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2018~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} \bigskip \textbf{\large Questions liées} \bigskip \textbf{\large 1 à 3\\ 4 à 7\\ 8 à 11\\ 12 à 15 } \bigskip \textbf{\large Notations} \end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Les lettres $\R$,\, $\N$,\, $\Z$ et $\C$ désignent respectivement les ensembles des réels, des entiers naturels, des entiers relatifs et des nombres complexes. \\ La lettre e désigne la constante de Neper et l'application que à $x$ associe $\text{e}^x$ désigne l'exponentielle de base e.\\ Le nombre i désigne le nombre complexe défini par $\text{i}^2 = -1$.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center} \medskip Une étude effectuée par un chercheur a montré que l'âge en mois auquel apparaissent les premiers mots de vocabulaire chez un enfant pris au hasard dans la population peut se modéliser par une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}(11,5~;~16)$. On donne, pour une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale centrée réduite : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $P(X < 2) \approx 0,977$ \item[$\bullet~$] $P(X < 0,5) \approx 0,691$ \item[$\bullet~$] $P(X< 0,125) \approx 0,550$ \item[$\bullet~$] $P(X < \np{0,03125}) \approx 0,512$ \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \textbf{Question 1} \medskip La probabilité $p_1$ qu'un enfant de cette population ait prononcé ses premiers mots avant ses 9 mois et demi est d'environ: \textbf{A.~} $p_1 \approx 0,050$ \textbf{B.~} $p_1 \approx 0,191$ \textbf{C.~} $p_1 \approx 0,309$ \textbf{D.~} $p_1 \approx 0,450$ \medskip \textbf{Question 2} \medskip La probabilité $p_2$ qu'un enfant de cette population ait prononcé ses premiers mots dans le cours de son 12\up{e} mois est d'environ: \textbf{A.~} $p_2 \approx 0,010$ \textbf{B.~} $p_2 \approx 0,024$ \textbf{C.~} $p_2 \approx 0,512$ \textbf{D.~} $p_2 \approx 0,550$ \medskip \textbf{Question 3} \medskip La probabilité $p_3$ qu'un enfant de cette population ait prononcé ses premiers mots après l'âge de 19 mois et demi est d'environ : \textbf{A.~} $p_3 \approx 0,023$ \textbf{B.~} $p_3 \approx 0,309$ \textbf{C.~} $p_3 \approx 0,691$ \textbf{D.~} $p_3 \approx 0,977$ \bigskip \begin{center}\textbf{Partie II}\end{center} \medskip On considère sur $[0~;~2\pi]$ les courbes $\mathcal{C}$ d'équation $y = \text{e}^{-x}$ , $\mathcal{C}'$ d'équation $y = - \text{e}^{-x}$ et la courbe $\Gamma$ représentant la fonction $f$ définie par $f (x ) = \text{e}^{-x} \sin x$. \medskip \textbf{Question 4} \medskip Les courbes $\mathcal{C}$,\, $\mathcal{C}'$ et $\Gamma$ vérifient : \medskip \textbf{A.~} La courbe $\Gamma$ est au-dessous de $\mathcal{C}$,\, et $\mathcal{C}'$. \textbf{B.~} La courbe $\Gamma$ est au-dessus de $\mathcal{C}$,\,et $\mathcal{C}'$ \textbf{C.~}La courbe $\Gamma$ est au-dessus de $\mathcal{C}'$, mais oscille autour de $\mathcal{C}$ \textbf{D.~} La courbe $\Gamma$ est au-dessous de $\mathcal{C}$, mais oscille autour de $\mathcal{C}'$ \medskip \textbf{Question 5} \medskip La dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[0~;~2\pi]$ peut s'écrire: \textbf{A.~} $f'(x) = - \text{e}^{-x}\cos x$ \textbf{B.~} $f'(x) = \text{e}^{-x}(\cos x - \sin x)$ \textbf{C.~} $f'(x) = - \text{e}^{-x}(\cos x + \sin x)$ \textbf{D.~} $f'(x) = \sqrt{2}\text{e}^{-x}\cos \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$ \medskip \textbf{Question 6} \medskip La courbe $\Gamma$ touche $\mathcal{C}$ au point d'abscisse : \textbf{A.~} $x = \dfrac{\pi}{2}$ \textbf{B.~} $x = \pi$ \textbf{C.~} $x = \dfrac{3\pi}{2}$ \textbf{D.~} $x = 2\pi$ \medskip \textbf{Question 7} \medskip La tangente à $\Gamma$ en ce point de contact admet pour équation: \textbf{A.~} $y = - \text{e}^{-\pi}x + \pi\text{e}^{-\pi}$ \textbf{B.~} $y = -\text{e}^{-\frac{\pi}{2}}x + \left(1 + \dfrac{\pi}{2}\right)\text{e}^{\frac{\pi}{2}}$ \textbf{C.~} $y = \text{e}^{-2\pi} (x - 2\pi)$ \textbf{D.~} $y = \text{e}^{-\frac{3\pi}{2}}\left(x - 1 - \dfrac{3\pi}{2}\right)$ \bigskip \begin{center}\textbf{Partie III}\end{center} \medskip On souhaite étudier une modélisation d'une tour de contrôle aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux droites de l'espace. L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. L'unité sur chaque axe est 1~km. Le plan \Oij{} représente le sol. Les deux \og routes aériennes\fg{} à contrôler sont représentées par deux droites $D_1$ et $D_2$ dont on connaît des représentations paramétriques : \[D_1 : \left\{\begin{array}{l c l} x&=&3+a\\ y&=&9+3a\\ z&=&2 \end{array}\right., a \in \R\quad ; \quad D_2 : \left\{\begin{array}{l c l} x&=& 0,5 +2b\\ y&=&4+b\\ z&=&4-b \end{array}\right., b \in \R.\] \textbf{Question 8} \medskip Les droites $D_1$ et $D_2$ : \textbf{A.~}sont parallèles, \textbf{B.~} sont sécantes, \textbf{C.~} sont coplanaires, \textbf{D.~} sont non coplanaires. \medskip \textbf{Question 9} \medskip On veut installer au sommet $S$ de la tour de contrôle, de coordonnées $S(3~;~4~;~0,1)$, un appareil de surveillance qui émet un rayon représenté par une droite notée $(R)$. Un technicien souhaite savoir s'il est possible de choisir la direction de $(R)$ pour que cette droite coupe chacune des droites $D_1$ et $D_2$. Le point $S$ vérifie : \medskip \textbf{A.~} $S \in D_1$ \textbf{B.~} $S \in D_2$ \textbf{C.~} $S \in (R)$ \textbf{D.~} $S$ n'appartient à aucune de ces droites. \medskip \textbf{Question 10} \medskip Soit $P_1$ le plan contenant $S$ et $D_1$ et $P_2$ le plan contenant $S$ et $D_2$. Les plans $P_1$ et $P_2$ se coupent selon la droite $\Delta$. \medskip \textbf{A.~} Les droites $D_1$ et $\Delta$ sont sécantes. \textbf{B.~} Les droites $D_1$ et $\Delta$ sont parallèles. \textbf{C.~}Les droites $D_2$ et $\Delta$ sont sécantes. \textbf{D.~} Les droites $D_2$ et $\Delta$ sont parallèles. \medskip \textbf{Question 11} \medskip Les droites $(R)$ et $\Delta$ : \medskip \textbf{A.~} ont un unique point d'intersection en $S$. \textbf{B.~} se coupent en un point distinct de $S$. \textbf{C.~} sont confondues. \textbf{D.~} sont parallèles distinctes. \bigskip \begin{center}\textbf{Partie IV}\end{center} \medskip Soit $p$ un réel tel que $0 < p < 1$ et $n$ un entier naturel non nul. On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$. On répète cette épreuve de façon identique et indépendante au maximum $n$ fois et on s'arrête à la réalisation du premier succès. La variable aléatoire $X$ prend: \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] la valeur 0 si aucun succès n'a été rencontré, \item[$\bullet~$]la valeur $k$ si le premier succès est rencontré lors de la $k$-ième répétition pour $1 \leqslant k \leqslant n$. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \textbf{Question 12} \medskip On montre que : \medskip \textbf{A.~} $P(X =0)= p^n$ \textbf{B.~} $p(X = 0)=(1-p)^n$ \textbf{C.~} $P(X = k) = p(1 - p)^{k-1}$ \textbf{D.~} $P(X = k) = p^k(1 - p)^{n-k} $ \medskip \textbf{Question 13} \medskip L'espérance mathématique $E(X)$ de $X$ s'écrit : \textbf{A.~} $E(X)= np$ \textbf{B.~} $E(X)=n(1 - p)$ \textbf{C.~} $E(X)=np(1 - p)$ \textbf{D.~} $E(X) = p\left(1 + 2(1 - p) + 3(1 - p)^2 +\ldots +n(1-p)^{n-1}\right)$ \medskip On introduit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = x + x^2 + x^3 +\ldots + x^n = \displaystyle\sum_{k=1}^n x^k.\] \medskip \textbf{Question 14} \medskip $E(X)$ vérifie : \medskip \textbf{A.~} $E(X) = f(p)$ \textbf{B.~} $E(X) = f(1-p)$ \textbf{C.~} $E(X) = pf'(1-p)$ \textbf{D.~} $E(X) = (1-p)f'(p)$ \medskip \textbf{Question 15} \medskip On montre ainsi, que pour $x \ne 1$ et $0 < p < 1$ : \medskip \textbf{A.~} $f(x) = \dfrac{1- x^{n+1}}{1 - x}$ \textbf{B.~} $f(x) = \dfrac{1 - x^n(1+n-nx)}{ (1 - x)^2}$ \textbf{C.~} $E(X) = \dfrac{1}{1 - p} - \dfrac{p^n}{1 - p} - np^n$ \textbf{D.~} $E(X) = \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p}(1 - p)^n - n(1 - p)^n$ \end{document}