\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2020} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2017~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} \bigskip \textbf{\large Questions liées} \bigskip \textbf{\large 11 à 14}\\ \bigskip \textbf{\large Notations} \end{center} Les lettres $\R$ et $\N$ désignent respectivement les ensembles des réels et des entiers naturels. La lettre e désigne la constante de Neper et l'application qui à $x$ associe $\text{e}^x$ désigne l'exponentielle de base e. Le nombre i désigne le nombre complexe défini par $\text{i}^2 = -1$. \bigskip \textbf{Question 1} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul. On définit la fonction $f_n$ par : $f_n(x) = \dfrac{2\text{e}^{nx}}{\text{e}^{nx} + 5}$ et la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ par l'expression : $u_n= \dfrac{n}{\ln 5}\displaystyle\int_0^{\frac{\ln 5}{n}} f_n(x)\:\text{d}x$. \medskip \textbf{A.~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est strictement croissante \textbf{B.~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est strictement décroissante \textbf{C.~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est convergente \textbf{D.~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est constante \bigskip \textbf{Question 2} \medskip On définit sur $\R$ la fonction $f$ par : $f(x) = \displaystyle\int_0^x \text{e}^{1 - t^2}\:\text{d}t$. \medskip \textbf{A.~} $f$ est strictement décroissante \textbf{B.~} $f$ est strictement croissante \textbf{C.~} $f$ n'admet pas de maximum \textbf{D.~} On ne peut rien dire au sujet de la monotonie de $f$ \bigskip \textbf{Question 3} \medskip el-l' dt. x e1u lln(x)dx.On peut montrer que: La lettre $n$ désignant un entier naturel non nul, on considère une urne qui contient $n$ boules blanches et 3 boules noires, ces boules étant indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. \textbf{A.~} Il existe deux entiers naturels $n$ pour lesquelles la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$. \textbf{B.~} Il existe un entier naturel $n$ pour laquelle la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$. \textbf{C.~} Il n'existe pas d'entiers naturels $n$ pour lesquelles la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$. \textbf{D.~} La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est : $\dfrac{6n}{(n + 3)(n + 1)}$ \bigskip \textbf{Question 4} \medskip \parbox{0.48\linewidth}{On considère l'arbre de probabilité ci-contre. La probabilité que l'évènement $A$ soit réalisé sachant que l'évènement $B$ est réalisé est :}\hfill \parbox{0.5\linewidth}{ \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A$~~}\taput{0,2}} {\TR{$B$}\taput{0,7} \TR{$\overline{B}$} } \pstree{\TR{$\overline{A}$~~}} {\TR{$B$} \TR{$\overline{B}$}\tbput{0,4} } } \end{center} } \textbf{A.~} 7/31 \textbf{B.~} 6/31 \textbf{C.~} 7/30 \textbf{D.~} 6/30 \bigskip \textbf{Question 5} \medskip \parbox{0.4\linewidth}{On considère l'algorithme ci-contre. Lorsqu'on saisit la valeur $n = 6$, la valeur $u$ affichée est: \textbf{A.~} 2,44 \textbf{B.~} 2,27 \textbf{C.~} 2,4 \textbf{D.~} 2,23}\hfill \parbox{0.58\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c| X|}\hline Variables :&$i$ et $n$ sont des entiers naturels et $u$ est un réel\\ \hline Entrée :&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$\\ \hline Initialisation :&Affecter à $u$ la valeur $0$.\\ \hline Traitement :&Pour i variant de 1 à $n$\\ &Affecter à $u$ la valeur $u + \dfrac{u}{i}$\\ \hline Sortie : &Afficher $u$\\ \hline \end{tabularx}} \bigskip \textbf{Question 6} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les points $M_n$ d'affixe $z_n = \text{e}^{\frac{2n\text{i}\pi}{3}}$. D'une manière générale, on considèrera qu'un triangle est défini par trois points distincts du plan. \medskip \textbf{A.~} Les points O, $M_1$ et $M_2$ sont alignés \textbf{B.~} Les points O, $M_6$ et $M_9$ sont alignés \textbf{C.~} Le triangle O$M_1M_{20}$, s'il existe, est équilatéral \textbf{D.~} Le triangle O$M_6M_{9}$, s'il existe, est équilatéral \bigskip \textbf{Question 7} \medskip Soit $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ une suite non constante de nombres réels. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n = \sin \left(u_n\right)$. \medskip \textbf{A.~} On peut choisir une suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ afin que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ converge vers $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ \textbf{B.~} On peut choisir une suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ afin que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ converge vers $1$ \textbf{C.~} La suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ converge toujours \textbf{D.~} La suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ diverge toujours \bigskip \textbf{Question 8} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}\right)$. On appelle $(d)$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x&=& t + 3\\ y&=& -t + 5\\ z&=& 2 \end{array}\right.$ et $(S)$ la sphère de centre A$(1~;~- 1~;~0)$ et de rayon 6. \medskip \textbf{A.~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ sont sécantes \textbf{B.~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ sont sécantes en deux points \textbf{C.~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ ne sont pas sécantes \textbf{D.~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ sont tangentes \bigskip \textbf{Question 9} \medskip On considère l'espace muni d'un repère $\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}\right)$ et les deux droites $(d)$ et $(d')$ admettant pour représentations paramétriques : \[(d)\,\left\{\begin{array}{l c r} x&=& 2t+3\\ y&=&-2t-1\\ z&=& 6t+2 \end{array}\right. \quad \text{et}\quad (d')\, \left\{\begin{array}{l c l} x&=&- t - 1\\ y&=& \phantom{-}t - 1\\ z&=&-3t \end{array}\right. \] \medskip \textbf{A.~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont confondues \textbf{B.~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont sécantes en un point \textbf{C.~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont non sécantes et coplanaires \textbf{D.~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont non sécantes et non coplanaires \bigskip \textbf{Question 10} \medskip Soit $X$ une variable aléatoire dont la densité de probabilité est une fonction $f$ définie par: \[\left\{\begin{array}{l c r c l} f (x)&=& m\sin (x) &\text{pour}& x \in [0~;~\pi]\\ f(x)&=&0 &\text{pour}& x \in ]-\infty~;~0[ \cup ]\pi~;~+\infty[ \end{array}\right.\] $m$ étant un nombre réel qui sera choisi en conséquence. On peut vérifier que: \medskip \textbf{A.~} Pour $x \in ]\pi~;~+\infty[,\, P(X < x) = \dfrac{1}{2}$ \textbf{B.~} $P(X>0)=0$ \textbf{C.~} Pour $x \in [0~;~n],\, P(X < x)=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos (x)$ et pour $x \in ]-\infty~;~0[,\, P(X \leqslant x)= 0$ \textbf{D.~} $P\left(\dfrac{\pi}{4} \leqslant x \leqslant \dfrac{3\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ \bigskip \textbf{Question 11} \medskip Soit les nombres complexes définis par: $z_1 =\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ ; \, $z_2 = 2 +2\text{i}$. Le nombre complexe défini par $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ vérifie : \medskip \textbf{A.~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ \textbf{B.~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ \textbf{C.~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ \textbf{D.~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ \bigskip \textbf{Question 12} \medskip Les nombres complexes $z_1$ et $z_2$, vérifient : \medskip \textbf{A.~} Le complexe $z_1 = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{\pi}{3}$ \textbf{B.~} Le complexe $z_1 = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ a pour module $2\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{2\pi}{3}$ \textbf{C.~} Le complexe $z_2 = 2 + 2\text{i}$ a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{\pi}{4}$ \textbf{D.~} Le complexe $z_2 = 2 + 2\text{i}$ a pour module $2\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{3\pi}{4}$ \bigskip \textbf{Question 13} \medskip On en déduit: \textbf{A.~} Le complexe $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module 2 et pour argument $\dfrac{5\pi}{12}$ \textbf{B.~} Le complexe $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module $\dfrac{1}{2}$ et pour argument $\dfrac{-5\pi}{12}$ \textbf{C.~} Le complexe $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module 1 et pour argument $\dfrac{\pi}{12}$ \textbf{D.~} Le complexe $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module 1 et pour argument $\dfrac{-\pi}{12}$ \bigskip \textbf{Question 14} \medskip On obtient alors: \textbf{A.~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ \textbf{B.~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ \textbf{C.~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ \textbf{D.~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)= \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ \bigskip \textbf{Question 15} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}x + 1\right)^4$. L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse 2 est: \medskip \textbf{A.~} $y = 16(x - 2)$ \textbf{B.~} $y = 8(x - 1)$ \textbf{C.~} $y = 8(x - 2)$ \textbf{D.~} $y = x - 1$ \end{document}