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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  2020}
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\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2017~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\bigskip
\textbf{\large Questions liées}

\bigskip

\textbf{\large 11 à 14}\\

\bigskip

\textbf{\large Notations}

\end{center}

Les lettres $\R$ et $\N$ désignent respectivement les ensembles des réels et des entiers naturels.

La lettre e désigne la constante de Neper et l'application qui à $x$ associe $\text{e}^x$ désigne l'exponentielle de base e.

Le nombre i désigne le nombre complexe défini par $\text{i}^2 = -1$.

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul.

On définit la fonction $f_n$ par :  $f_n(x) = \dfrac{2\text{e}^{nx}}{\text{e}^{nx} + 5}$ et la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ par l'expression : 

$u_n= \dfrac{n}{\ln 5}\displaystyle\int_0^{\frac{\ln 5}{n}} f_n(x)\:\text{d}x$.

\medskip

\textbf{A.~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est strictement croissante

\textbf{B.~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est strictement décroissante

\textbf{C.~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est convergente

\textbf{D.~} La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est constante


\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On définit sur $\R$ la fonction $f$ par : $f(x) = \displaystyle\int_0^x \text{e}^{1  - t^2}\:\text{d}t$.

\medskip

\textbf{A.~} $f$ est strictement décroissante

\textbf{B.~} $f$ est strictement croissante

\textbf{C.~} $f$ n'admet pas de maximum

\textbf{D.~} On ne peut rien dire au sujet de la monotonie de $f$

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

el-l' dt.
x
e1u lln(x)dx.On peut montrer que:
La lettre $n$ désignant un entier naturel non nul, on considère une urne qui contient $n$ boules blanches et 3 boules noires, ces boules étant indiscernables au toucher.

On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne.

\textbf{A.~} Il existe deux entiers naturels $n$ pour lesquelles la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$.

\textbf{B.~} Il existe un entier naturel $n$ pour laquelle la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$.

\textbf{C.~} Il n'existe pas d'entiers naturels $n$ pour lesquelles la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$.

\textbf{D.~} La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est : $\dfrac{6n}{(n + 3)(n + 1)}$

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{On considère l'arbre de probabilité ci-contre.

 La probabilité que l'évènement $A$ soit réalisé sachant que l'évènement $B$ est réalisé est :}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\taput{0,2}}
	{\TR{$B$}\taput{0,7}
	\TR{$\overline{B}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~~}}
	{\TR{$B$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,4}
	}	
}
\end{center}
}

\textbf{A.~} 7/31 

\textbf{B.~} 6/31 

\textbf{C.~} 7/30 

\textbf{D.~} 6/30

\bigskip

\textbf{Question 5}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{On considère l'algorithme ci-contre. Lorsqu'on saisit la valeur $n = 6$,
la valeur $u$ affichée est:

\textbf{A.~} 2,44 

\textbf{B.~} 2,27 

\textbf{C.~} 2,4 

\textbf{D.~} 2,23}\hfill
\parbox{0.58\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c| X|}\hline
Variables :&$i$ et $n$ sont des entiers naturels et $u$ est un réel\\ \hline
Entrée :&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$\\ \hline
Initialisation :&Affecter à $u$ la valeur $0$.\\ \hline
Traitement :&Pour i variant de 1 à $n$\\
&Affecter à $u$ la valeur $u + \dfrac{u}{i}$\\ \hline
Sortie : &Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}}

\bigskip

\textbf{Question 6}

\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les points $M_n$ d'affixe $z_n = \text{e}^{\frac{2n\text{i}\pi}{3}}$.

D'une manière générale, on considèrera qu'un triangle est défini par trois points distincts du plan.

\medskip

\textbf{A.~} Les points O, $M_1$ et $M_2$ sont alignés

\textbf{B.~} Les points O, $M_6$ et $M_9$ sont alignés 

\textbf{C.~} Le triangle O$M_1M_{20}$, s'il existe, est équilatéral 

\textbf{D.~} Le triangle O$M_6M_{9}$, s'il existe, est équilatéral

\bigskip

\textbf{Question 7}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ une suite non constante de nombres réels.

Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n = \sin \left(u_n\right)$.

\medskip

\textbf{A.~} On peut choisir une suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$  afin que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ converge vers $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

\textbf{B.~} On peut choisir une suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$  afin que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ converge vers $1$

\textbf{C.~} La suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ converge toujours 

\textbf{D.~} La suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ diverge toujours

\bigskip

\textbf{Question 8}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}\right)$.

On appelle $(d)$ la droite de représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=& t + 3\\
y&=& -t + 5\\
z&=& 2
\end{array}\right.$

et $(S)$ la sphère de centre A$(1~;~- 1~;~0)$ et de rayon 6.

\medskip

\textbf{A.~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ sont sécantes

\textbf{B.~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ sont sécantes en deux points 

\textbf{C.~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ ne sont pas sécantes

\textbf{D.~} La droite $(d)$ et la sphère $(S)$ sont tangentes

\bigskip

\textbf{Question 9}

\medskip

On considère l'espace muni d'un repère $\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}\right)$ et les deux droites $(d)$ et $(d')$ admettant pour représentations paramétriques :

\[(d)\,\left\{\begin{array}{l c r}
x&=& 2t+3\\
y&=&-2t-1\\
z&=& 6t+2
\end{array}\right. \quad \text{et}\quad (d')\, 
\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- t - 1\\
y&=& \phantom{-}t - 1\\
z&=&-3t
\end{array}\right. \]

\medskip

\textbf{A.~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont confondues

\textbf{B.~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont sécantes en un point

\textbf{C.~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont non sécantes et coplanaires

\textbf{D.~} Les droites $(d)$ et $(d')$ sont non sécantes et non coplanaires

\bigskip

\textbf{Question 10}

\medskip

Soit $X$ une variable aléatoire dont la densité de probabilité est une fonction $f$ définie par:

\[\left\{\begin{array}{l c r c l}
f (x)&=& m\sin (x) &\text{pour}& x \in [0~;~\pi]\\
f(x)&=&0 &\text{pour}& x \in ]-\infty~;~0[ \cup ]\pi~;~+\infty[
\end{array}\right.\]

$m$ étant un nombre réel qui sera choisi en conséquence. On peut vérifier que: 

\medskip

\textbf{A.~} Pour $x \in ]\pi~;~+\infty[,\,  P(X < x) = \dfrac{1}{2}$ 

\textbf{B.~} $P(X>0)=0$

\textbf{C.~} Pour $x \in [0~;~n],\, P(X < x)=\dfrac{1}{2} -  \dfrac{1}{2}\cos (x)$ et pour $x \in ]-\infty~;~0[,\,  P(X \leqslant  x)= 0$

\textbf{D.~} $P\left(\dfrac{\pi}{4} \leqslant x \leqslant \dfrac{3\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

\bigskip

\textbf{Question 11}

\medskip

Soit les nombres complexes définis par: $z_1 =\sqrt{2}  + \text{i}\sqrt{6}$ ; \, $z_2 = 2 +2\text{i}$.

Le nombre complexe défini par $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ vérifie : 

\medskip

\textbf{A.~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

\textbf{B.~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

\textbf{C.~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

\textbf{D.~} $Z = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

\bigskip

\textbf{Question 12}

\medskip

Les nombres complexes $z_1$ et $z_2$, vérifient :

\medskip

\textbf{A.~} Le complexe $z_1 = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{\pi}{3}$

\textbf{B.~} Le complexe $z_1 = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ a pour module $2\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{2\pi}{3}$

\textbf{C.~} Le complexe $z_2 = 2 + 2\text{i}$ a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{\pi}{4}$

\textbf{D.~} Le complexe $z_2 = 2 + 2\text{i}$ a pour module $2\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{3\pi}{4}$

\bigskip

\textbf{Question 13}

\medskip

On en déduit:

\textbf{A.~} Le complexe $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module 2 et pour argument $\dfrac{5\pi}{12}$


\textbf{B.~} Le complexe $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module $\dfrac{1}{2}$ et pour argument $\dfrac{-5\pi}{12}$

\textbf{C.~} Le complexe $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module 1 et pour argument $\dfrac{\pi}{12}$

\textbf{D.~} Le complexe $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$ a pour module 1 et pour argument $\dfrac{-\pi}{12}$
\bigskip

\textbf{Question 14}

\medskip

On obtient alors:

\textbf{A.~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

\textbf{B.~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) =  \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

\textbf{C.~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) =  \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

\textbf{D.~} $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)= \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) =  \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

\bigskip

\textbf{Question 15}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}x + 1\right)^4$.

L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse 2 est:

\medskip

\textbf{A.~} $y = 16(x - 2)$ 

\textbf{B.~} $y = 8(x - 1)$

\textbf{C.~} $y = 8(x - 2)$ 

\textbf{D.~} $y = x - 1$
\end{document}