\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox,graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{pifont}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{scratch}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\def\e{\text{e}}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {},
pdftitle = {2015},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\thispagestyle{empty}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2015~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\bigskip

\textbf{\large Questions liées}

\bigskip

\textbf{\large 1 à 3}\\[6pt]

\textbf{4 à 9}\\[6pt]

\textbf{10 à 11}

\end{center}

\bigskip

On considère le nombre complexe $z =-1 + \text{i}\sqrt{3}$.

\medskip

\textbf{Question 1 :}

\medskip

\textbf{A.~} Une forme exponentielle de $z$ est $z = 2\e^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$

\textbf{B.~} Une forme exponentielle de $z$ est $z = 2\e^{\text{i}\frac{4\pi}{3}}$

\textbf{C.~} Une forme exponentielle de $z$ est $z = 2\e^{-\text{i}\frac{4\pi}{3}}$

\textbf{D.~} Une forme exponentielle de $z$ est $z = 2\e^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$

\bigskip

\textbf{Question 2 :}

\medskip

\textbf{A.~} La forme algébrique $z^{-1}$ est $z^{-1} = \dfrac{1}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.

\textbf{B.~} La forme algébrique $z^{-1}$ est $z^{-1} = -\dfrac{1}{4} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.

\textbf{C.~} La forme algébrique $z^{-1}$ est $z^{-1} = \dfrac{1}{4} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.

\textbf{D.~} La forme algébrique $z^{-1}$ est $z^{-1} = -\dfrac{1}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.

\bigskip

\textbf{Question 3 :}

\medskip

\textbf{A.~} La forme algébrique de $z^2$ est $z^2 = -2 - 2\text{i}\sqrt{3}$.

\textbf{B.~} La forme algébrique de $z^2$ est $z^2 = 2 - 2\text{i}\sqrt{3}$.

\textbf{C.~} La forme algébrique de $z^2$ est $z^2 = -8$.

\textbf{D.~} La forme algébrique de $z^2$ est $z^2 = 8$.

\bigskip

\begin{center} \textbf{PARTIE II} \end{center}

Pour tout nombre entier naturel $n$ , on définit le terme général de la suite 
$\left(J_n\right)$ par l'intégrale suivante : $J_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{t^n}{1 + t^2}\:\text{d}t$.

\bigskip

\textbf{Question 4 :}

\medskip

On établit que 

\textbf{A.~} $J_1 = \ln 2$.

\textbf{B.~} $J_1 = 2\ln 2$.

\textbf{C.~} $J_1 = \dfrac{\ln 2 - 1}{2}$.

\textbf{D.~} $J_1 = \dfrac{\ln 2}{2}$.

\bigskip

\textbf{Question 5 :}

\medskip

On démontre que

\textbf{A.~}  $J_n + J_{n+2} = \dfrac{2}{n+1}$.

\textbf{B.~} $J_n + J_{n+2} = \dfrac{2}{n+2}$.

\textbf{C.~} $J_n + J_{n+2} = \dfrac{1}{n+2}$.

\textbf{D.~} $J_n + J_{n+2} = \dfrac{1}{n+1}$.

\bigskip

\textbf{Question 6 :}

\medskip

On établit que

\textbf{A.~} $J_3 = \dfrac{1 - \ln 2}{2}$.

\textbf{B.~} $J_3 = \dfrac{4 - 3\ln 2}{6}$.

\textbf{C.~} $J_3 = \dfrac{-1 + 2 \ln 2}{4}$.

\textbf{D.~} $J_3 = \dfrac{-1 +  6\ln 2}{12}$.

\bigskip

\textbf{Question 7 :}

\medskip

On établit que 

\textbf{A.~} $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t + 2t^3 + 2t^5}{1 + t^2}\:\text{d}t = \ln 2 + \dfrac{1}{2}$.

\textbf{B.~} $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t + 2t^3 + 2t^5}{1 + t^2}\:\text{d}t = \ln \left(2\sqrt{\text{e}}\right)$.

\textbf{C.~} $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t + 2t^3 + 2t^5}{1 + t^2}\:\text{d}t = \ln \left(\sqrt{2\text{e}}\right)$.

\textbf{D.~} $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t + 2t^3 + 2t^5}{1 + t^2}\:\text{d}t = \dfrac{\ln 2 + 1}{2}$.

\bigskip

\textbf{Question 8 :}

\medskip 

On démontre que la suite $\left(J_n\right)$ est

\textbf{A.~} convergente car elle est croissante majorée.

\textbf{B.~} divergente car elle est croissante non majorée.

\textbf{C.~} divergente car elle est décroissante non minorée. 

\textbf{D.~} convergente car elle est décroissante minorée.

\bigskip

\textbf{Question 9 :}

\medskip

En utilisant l'un des résultats précédents, on démontre que 

\textbf{A.~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_n = 0$.

\textbf{B.~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_n = + \infty$.

\textbf{C.~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_n = - \infty$.

\textbf{D.~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_n = 1$.

\medskip

\begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center}

\medskip

Une population de grenouilles comptait \np{1000} têtes en 2010, année de l'ouverture d'une nouvelle autoroute proche de leur lieu de vie.

On a remarqué que, d'une année sur l'autre, la moitié de la population des grenouilles décroissait de 40\,\% tandis que l'autre moitié augmentait de $100$ éléments.

On appelle $G_n$ le nombre de grenouilles l'année $2010 + n$.

\bigskip

\textbf{Question 10 :}

\medskip

On démontre que

\textbf{A.~} $G_{n+1}  =0,9 \times G_n + 100$. 

\textbf{B.~} $G_{n+1}  =0,8 \times G_n + 100$.

\textbf{C.~} $G_{n+1}  =1,1 \times G_n + 100$.

\textbf{D.~} $G_{n+1}  = 1,6 \times G_n + 100$.


\bigskip

\textbf{Question 11 :}

\medskip

À l'aide d'un raisonnement par récurrence, on démontre que 

\textbf{A.~} $G_n = 500 \times 1,6^n + 500$.

\textbf{B.~} $G_n = 400 \times 1,1^n + 600$. 

\textbf{C.~} $G_n = 500 \times 0,8^n + 500$. 

\textbf{D.~} $G_n = 500 \times 0,9^n + 500$.

\bigskip

\textbf{Question 12 :}

\medskip

On établit que

\textbf{A.~} La population de grenouilles va s'éteindre.

\textbf{B.~} La population de grenouilles ne va pas s'éteindre mais va décroître vers $600$.

\textbf{C.~} La population de grenouilles ne va pas s'éteindre mais va décroître vers $500$.

\textbf{D.~} La population de grenouilles va croître.

\medskip

\begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center}

\medskip

On donne les points de l'espace suivants :

\[\text{A} (1~;~2~;~3), \text{B} (-1~;~-2~;~5), \text{C}(1~;~3~;~-2), \text{D} (0~;~0~;~2)\] 

\bigskip

\textbf{Question 13 :}

\medskip

$t$ étant un nombre réel, on démontre que

\textbf{A.~} La droite (AB) a pour représentation paramétrique le système 
$\left\{\begin{array}{l c l}x&=&-2+t\\ y &=& -4 +2t\\ z &=& 2+3t\end{array}\right.$

\textbf{B.~} La droite (AB)a pour représentation paramétrique le système 
$\left\{\begin{array}{l c l}x&=&1 - t \\y&=&2- 2t \\z&=&3-t\end{array}\right.$

\textbf{C.~} La droite (AB) a pour représentation paramétrique le système $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&1-2t \\y &=& 2 - 4t \\z &=&3 + 2t\end{array}\right.$

\textbf{D.~} La droite (AB) a pour représentation paramétrique le système $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&-1 + t\\
y &=& -2 +2t \\z&=& -1+3t\end{array}\right.$

\bigskip

\textbf{Question 14 :}

\medskip

On démontre que

\textbf{A.~} Le plan médiateur $(P)$ du segment [AB] a pour équation cartésienne, $\phantom{-}x + 2y - z +3 = 0$.

\textbf{B.~} Le plan médiateur $(P)$ du segment [AB] a pour équation cartésienne, $-x - 2y + z + 4 = 0$.

\textbf{C.~} Le plan médiateur $(P)$ du segment [AB] a pour équation cartésienne, $\phantom{-}x + 2y + z + 4 = 0$.

\textbf{D.~} Le plan médiateur $(P)$ du segment [AB] a pour équation cartésienne, $- x - 2y + z + 3 = 0$.

\bigskip

\textbf{Question 15 :}

\medskip

On démontre que :

\textbf{A.~} Le plan $\left(P'\right)$ perpendiculaire au plan $(P)$ et contenant la droite (CD) a pour équation cartésienne, $\phantom{-}5x-3y-z+2=0$.

\textbf{B.~} Le plan $\left(P'\right)$ perpendiculaire au plan $(P)$ et contenant la droite (CD) a pour équation cartésienne, $- 5x + 3y + z - 2 = 0$.

\textbf{C.~} Le plan $\left(P'\right)$ perpendiculaire au plan $(P)$ et contenant la droite (CD) a pour équation cartésienne, $- \phantom{5}x - 3y + 4z - 2 = 0$.

\textbf{D.~} Le plan $\left(P'\right)$ perpendiculaire au plan $(P)$ et contenant la droite (CD) a pour équation cartésienne, $- \phantom{5}x - 3y + 4z + 2 = 0$.
\end{document}