\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2020}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2020} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2020~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} \bigskip \textbf{\large Questions liées} \bigskip \textbf{\large 1 à 7\\ 8 à 12\\ } \bigskip \textbf{\large Notations} \end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Les lettres $\R$,\, $\N$,\, $\Z$ et $\C$ désignent respectivement les ensembles des réels, des entiers naturels, des entiers relatifs et des nombres complexes. \\ Le nombre i désigne le nombre complexe défini par $\text{i}^2 = -1$.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2~;~2]$ par: \[f(x) = \sqrt{1 - 0,25x^2}.\] et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. \medskip \textbf{Question 1} Un calcul de $f(-x)$ donne \medskip \textbf{A.} $f(- x) = f(x)$ : la fonction $f$ est impaire. \textbf{B.} $f(- x) = - f(x)$ : la fonction $f$ est paire. \textbf{C.} Le point O(0~;~0) est centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$. \textbf{D.} La droite d'équation $x = 0$ est axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$. \medskip \textbf{Question 2} Le calcul de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ donne : \medskip \textbf{A.} $f'(x)= - 0,5x\sqrt{1-0,25x^2},\, x \in [-2~;~2]$ \textbf{B.} $f'(x)= \dfrac{1}{2\sqrt{1-0,25x^2}},\,x \in [-2~;~2]$ \textbf{C.} $f'(x)= -\dfrac{0,25x}{2\sqrt{1-0,25x^2}},\,x \in [-2~;~2]$ \textbf{D.} $f'(x)= \dfrac{0,25x}{2\sqrt{1-0,25x^2}},\,x \in [-2~;~2]$ \medskip \textbf{Question 3} Ainsi, on en déduit: \medskip \textbf{A.} La fonction $f$ est croissante sur $]-2~;~0[$ et décroissante sur ]0~;~2[. \textbf{B.} La fonction $f$ est décroissante sur $]-2~;~0[$ et croissante sur ]0~;~2[. \textbf{C.} La fonction $f$ est croissante sur $]-2~;~2[$. \textbf{D.} La fonction $f$ est décroissante sur $]-2~;~2[$. \medskip Pour tout réel $x$ de l'intervalle ]0~;~2[, on note : A le point de coordonnées $(x~;~0)$, D le point de coordonnées $(-x~;~0)$, B le point de coordonnées $(x~;~f(x))$, et C le point de coordonnées $(-x~;~f( -x))$. \medskip \textbf{Question 4} Soit $g$ la fonction qui à tout réel $x$ de l'intervalle ]0~;~2[ associe l'aire du rectangle ABCD. On a : \medskip \textbf{A.} $g(x) =x\sqrt{1-0,25x^2}$ \textbf{B.} $g(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1-0,25x^2}}$ \textbf{C.} $g(x) = \sqrt{4x^2 -x^4}$ \textbf{D.} $g(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{1-0,25x^2}}$ \medskip \textbf{Question 5} Ainsi, la dérivée $g'$ de la fonction $g$ sur ]0~;~2[ peut s'écrire: \medskip \textbf{A.} $g'(x)= \dfrac{1-0,5x^2}{\sqrt{1-0,25x^2}}$ \textbf{B.} $g'(x)= \dfrac{1}{2\sqrt{1-0,25x^2}}$ \textbf{C.} $g'(x) = \dfrac{1-0,5x^2}{2\sqrt{1-0,25x^2}}$ \textbf{D.} $g'(x) = \dfrac{2 - x^2}{\sqrt{1-0,25x^2}}$ \medskip \textbf{Question 6} L'aire du rectangle ABCD est alors maximale pour: \medskip \textbf{A.} $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ \textbf{B.} $x = \sqrt{2}$ \textbf{C.} $x = 2$ \textbf{D.} $x = 0,5$ \medskip \textbf{Question 7} La valeur maximale $S$ de cette aire est ainsi: \medskip \textbf{A.} $S = 2$ \textbf{B.} $S = 1$ \textbf{C.} $S= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ \textbf{D.} $S = 4$ \bigskip \textbf{Partie II} \medskip Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la probabilité qu'il gagne la première partie est $0,1$ ; \item[$\bullet~~$] s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,8$ ; \item[$\bullet~~$] s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,6$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note, pour tout entier $n$ non nul : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item $G_n$ l'évènement \og le joueur gagne la $n$-ième partie \fg ; \item $p_n$ la probabilité de l'évènement $G_n$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On a donc $p_1 = 0,1$. \medskip \textbf{Question 8} On montre que: \medskip \textbf{A.} $p_2 = 0,6$ \textbf{B.} $p_2 = 0,78$ \textbf{C.} $p_2 = 0,62$ \textbf{D.} $p_2 = 0,8$ \medskip \textbf{Question 9} \medskip Le joueur a gagné la deuxième partie. La probabilité $\tilde{p}$ qu'il ait perdu la première est : \medskip \textbf{A.} $\tilde{p}= \dfrac{1}{19}$ \textbf{B.} $\tilde{p}= \dfrac{18}{31}$ \textbf{C.} $\tilde{p}= \dfrac{4}{19}$ \textbf{D.} $\tilde{p} = \dfrac{27}{31}$ \medskip \textbf{Question 10} On montre, que pour tout entier naturel $n$ non nul : \medskip \textbf{A.} $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_n + \dfrac{3}{5}$ \textbf{B.} $p_{n+1} = \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}p_n$ \textbf{C.} $p_{n+1} = \dfrac{4}{5}p_n + \frac{1}{10}$ \textbf{D.} $p_{n+1} = \dfrac{9}{10} - \dfrac{4}{5}p_n$ \medskip \textbf{Question 11} Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul: \medskip \textbf{A.} $p_{n} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{7}{6}\left(- \dfrac{1}{5} \right)^n$ \textbf{B.} $p_{n} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{13}{4}\left(- \dfrac{1}{5} \right)^n$ \textbf{C.} $p_{n} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{5} \right)^n$ \textbf{D.} $p_{n} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\left(- \dfrac{4}{5} \right)^n$ \medskip \textbf{Question 12} \medskip On obtient ainsi : \medskip \textbf{A.} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = \dfrac{1}{2}$ \textbf{B.} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = \dfrac{3}{4}$ \textbf{C.} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = \dfrac{1}{3}$ \textbf{D.} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = + \infty$ \begin{center}\textbf{Partie III}\end{center} \medskip \textbf{Les questions de cette partie sont indépendantes} \medskip \textbf{Question 13} \medskip On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} les points A, B et C d'affixes respectives : \[ a = 1 + \text{i},\, b = 3\text{i},\, c = \left(\sqrt{3}+ \dfrac{1}{2}\right)+\text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2\right).\] \textbf{A.} Le triangle ABC est un triangle rectangle. \textbf{B.} Le triangle ABC est un triangle isocèle. \textbf{C.} Le triangle ABC est un triangle équilatéral. \textbf{D.} Le triangle ABC est un triangle ni rectangle, ni isocèle, ni équilatéral. \medskip \textbf{Question 14} \medskip Soit le nombre complexe $z = \left(\sqrt{3}3 + \text{i}\right)^{\np{1515}}$. \medskip \textbf{A.} Le nombre complexe $z$ est un réel. \textbf{B.} Le nombre complexe $z$ est un imaginaire pur. \textbf{C.} arg$(z) = \dfrac{\np{1515}\pi}{3} + 2k\pi,\, k \in \Z$. \textbf{D.} $|z| = \left(\sqrt{2}\right)^{\np{1515}}$. \medskip \textbf{Question 15} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $S$ l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie les conditions : \[|z- 1| = |z - \text{i}| \quad \text{et}\quad |z - 1 - 2\text{i}| \leqslant 3.\] On désigne par $C$ le cercle de centre le point de coordonnées (1~;~2) et de rayon 3, et par $\Delta$ la droite d'équation $y = x$. \textbf{A.} L'ensemble $S$ est la réunion des ensembles $C$ et $\Delta$ \textbf{B.} L'ensemble $S$ est l'intersection des ensembles $C$ et $\Delta$ \textbf{C.} Soient A et B les points d'intersection de $C$ et $\Delta$. L'ensemble $S$ est le segment [AB]. \textbf{D.} L'ensemble $S$ est réduit au point I$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ \end{document}