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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  2020}
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\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2020~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\bigskip
\textbf{\large Questions liées}

\bigskip

\textbf{\large 1 à 7\\
8 à 12\\
}

\bigskip

\textbf{\large Notations}

\end{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Les lettres $\R$,\, $\N$,\, $\Z$ et $\C$ désignent respectivement les ensembles des réels, des entiers naturels, des entiers relatifs et des nombres complexes. \\
Le nombre i désigne le nombre complexe défini par $\text{i}^2 = -1$.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2~;~2]$ par:

\[f(x) = \sqrt{1 - 0,25x^2}.\]

et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

\medskip

\textbf{Question 1}

Un calcul de $f(-x)$ donne

\medskip

\textbf{A.} $f(- x) = f(x)$ : la fonction $f$ est impaire.

\textbf{B.} $f(- x) = - f(x)$ : la fonction $f$ est paire.

\textbf{C.} Le point O(0~;~0) est centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$.

\textbf{D.} La droite d'équation $x = 0$ est axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$.

\medskip

\textbf{Question 2}

Le calcul de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ donne :

\medskip

\textbf{A.} $f'(x)= - 0,5x\sqrt{1-0,25x^2},\, x \in [-2~;~2]$

\textbf{B.} $f'(x)= \dfrac{1}{2\sqrt{1-0,25x^2}},\,x \in [-2~;~2]$

\textbf{C.} $f'(x)= -\dfrac{0,25x}{2\sqrt{1-0,25x^2}},\,x \in [-2~;~2]$

\textbf{D.} $f'(x)= \dfrac{0,25x}{2\sqrt{1-0,25x^2}},\,x \in [-2~;~2]$

\medskip

\textbf{Question 3}

Ainsi, on en déduit:

\medskip

\textbf{A.} La fonction $f$ est croissante sur $]-2~;~0[$ et décroissante sur ]0~;~2[.

\textbf{B.} La fonction $f$ est décroissante sur $]-2~;~0[$ et croissante sur ]0~;~2[.

\textbf{C.} La fonction $f$ est croissante sur $]-2~;~2[$.

\textbf{D.} La fonction $f$ est décroissante sur $]-2~;~2[$.

\medskip

Pour tout réel $x$ de l'intervalle ]0~;~2[, on note : 

A le point de coordonnées $(x~;~0)$,

D le point de coordonnées $(-x~;~0)$,

B le point de coordonnées $(x~;~f(x))$,

et C le point de coordonnées $(-x~;~f( -x))$.

\medskip

\textbf{Question 4}

Soit $g$ la fonction qui à tout réel $x$ de l'intervalle ]0~;~2[ associe l'aire du rectangle ABCD.

On a :

\medskip

\textbf{A.} $g(x) =x\sqrt{1-0,25x^2}$

\textbf{B.} $g(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1-0,25x^2}}$

\textbf{C.} $g(x) = \sqrt{4x^2 -x^4}$ 

\textbf{D.} $g(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{1-0,25x^2}}$


\medskip

\textbf{Question 5}

Ainsi, la dérivée $g'$ de la fonction $g$ sur ]0~;~2[ peut s'écrire:

\medskip

\textbf{A.} $g'(x)= \dfrac{1-0,5x^2}{\sqrt{1-0,25x^2}}$

\textbf{B.} $g'(x)= \dfrac{1}{2\sqrt{1-0,25x^2}}$

\textbf{C.} $g'(x) = \dfrac{1-0,5x^2}{2\sqrt{1-0,25x^2}}$

\textbf{D.} $g'(x) = \dfrac{2 - x^2}{\sqrt{1-0,25x^2}}$

\medskip

\textbf{Question 6}

L'aire du rectangle ABCD est alors maximale pour:

\medskip

\textbf{A.} $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

\textbf{B.} $x = \sqrt{2}$

\textbf{C.} $x = 2$ 

\textbf{D.} $x = 0,5$

\medskip

\textbf{Question 7}

La valeur maximale $S$ de cette aire est ainsi:

\medskip

\textbf{A.} $S = 2$ 

\textbf{B.} $S = 1$

\textbf{C.} $S= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

\textbf{D.} $S = 4$

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité qu'il gagne la première partie est $0,1$ ;
\item[$\bullet~~$] s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,8$ ; 
\item[$\bullet~~$] s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,6$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note, pour tout entier $n$ non nul :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item $G_n$ l'évènement \og le joueur gagne la $n$-ième partie \fg ;
\item $p_n$ la probabilité  de l'évènement $G_n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On a donc $p_1 = 0,1$.

\medskip

\textbf{Question 8}

On montre que: 

\medskip

\textbf{A.} $p_2 = 0,6$

\textbf{B.} $p_2 = 0,78$

\textbf{C.} $p_2 = 0,62$

\textbf{D.} $p_2 = 0,8$

\medskip

\textbf{Question 9}

\medskip

Le joueur a gagné la deuxième partie. La probabilité $\tilde{p}$ qu'il ait perdu la première est :

\medskip

\textbf{A.} $\tilde{p}= \dfrac{1}{19}$

\textbf{B.} $\tilde{p}= \dfrac{18}{31}$

\textbf{C.} $\tilde{p}= \dfrac{4}{19}$

\textbf{D.} $\tilde{p} = \dfrac{27}{31}$

\medskip

\textbf{Question 10}

On montre, que pour tout entier naturel $n$ non nul :

\medskip

\textbf{A.} $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_n + \dfrac{3}{5}$

\textbf{B.} $p_{n+1} = \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}p_n$

\textbf{C.} $p_{n+1} = \dfrac{4}{5}p_n + \frac{1}{10}$

\textbf{D.} $p_{n+1} = \dfrac{9}{10} - \dfrac{4}{5}p_n$

\medskip

\textbf{Question 11}

Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul:

\medskip

\textbf{A.} $p_{n} = \dfrac{1}{3} -  \dfrac{7}{6}\left(- \dfrac{1}{5} \right)^n$

\textbf{B.} $p_{n} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{13}{4}\left(- \dfrac{1}{5} \right)^n$

\textbf{C.} $p_{n} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{5} \right)^n$

\textbf{D.} $p_{n} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\left(- \dfrac{4}{5} \right)^n$

\medskip

\textbf{Question 12}

\medskip

On obtient ainsi :

\medskip

\textbf{A.}  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = \dfrac{1}{2}$

\textbf{B.} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = \dfrac{3}{4}$

\textbf{C.} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = \dfrac{1}{3}$

\textbf{D.} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = + \infty$

\begin{center}\textbf{Partie III}\end{center}

\medskip

\textbf{Les questions de cette partie sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Question 13}

\medskip

On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} les points A, B et C d'affixes respectives :

\[ a = 1 + \text{i},\,  b = 3\text{i},\, c = \left(\sqrt{3}+ \dfrac{1}{2}\right)+\text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2\right).\]

\textbf{A.} Le triangle ABC est un triangle rectangle.
\textbf{B.} Le triangle ABC est un triangle isocèle.
\textbf{C.} Le triangle ABC est un triangle équilatéral.
\textbf{D.} Le triangle ABC est un triangle ni rectangle, ni isocèle, ni équilatéral.

\medskip

\textbf{Question 14}

\medskip

Soit le nombre complexe $z = \left(\sqrt{3}3 + \text{i}\right)^{\np{1515}}$.

\medskip

\textbf{A.}  Le nombre complexe $z$ est un réel.

\textbf{B.} Le nombre complexe $z$ est un imaginaire pur.

\textbf{C.} arg$(z) = \dfrac{\np{1515}\pi}{3} + 2k\pi,\, k \in \Z$.

\textbf{D.} $|z| = \left(\sqrt{2}\right)^{\np{1515}}$.

\medskip

\textbf{Question 15}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $S$ l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie les conditions :

\[|z- 1| = |z - \text{i}| \quad \text{et}\quad  |z - 1 - 2\text{i}| \leqslant 3.\]

On désigne par $C$ le cercle de centre le point de coordonnées (1~;~2) et de rayon 3, et par $\Delta$ la droite d'équation $y = x$.

\textbf{A.} L'ensemble $S$ est la réunion des ensembles $C$ et $\Delta$ 

\textbf{B.} L'ensemble $S$ est l'intersection des ensembles $C$ et $\Delta$

\textbf{C.} Soient A et B les points d'intersection de $C$ et $\Delta$. L'ensemble $S$ est le segment [AB].

\textbf{D.} L'ensemble $S$ est réduit au point I$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$
\end{document}