\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2009} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2009~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE COMMUNE OBLIGATOIRE} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} \bigskip \textbf{\large Questions liées} \bigskip \textbf{\large 1 à 8}\\ \textbf{10 à 9}\\ \textbf{20 à 23}\\ \textbf{24 et 25} \end{center} \bigskip \begin{center}\textbf{PARTIE 1}\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$, $n$ entier positif ou nul, de premier terme $u_0$ et de raison $q$ telle que $243 u_7 = 32 u_2$, $u_2$ étant supposé non nul.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 1 :} Pour tout $n$ entier positif ou nul on a \medskip \textbf{A.~} $u_n =u_0 + nq$ \textbf{B.~} $u_n = u_0q^n$ \textbf{C.~} $u_n = u_0nq$ \textbf{D.~} $u_n = u_0 + q^n$ \bigskip \textbf{Question 2 :} On a \medskip \textbf{A.~} $u_7 = u_2+ 5q$ \textbf{B.~} $u_7 = 5u_2q$ \textbf{C.~} $u_7 = u_+ q$ \textbf{D.~} $u_7 = u_2q^7$ \bigskip \textbf{Question 3 :} On en déduit que la raison $q$ de cette suite géométrique est égale à \medskip \textbf{A.~} 32/\np{1215} \textbf{B.~} 3/2 \textbf{C.~} 2/3 \textbf{D.~} $(32/243)^{1/5}$ \bigskip \textbf{Question 4 :} De manière générale, pour une suite géométrique $\left(v_n\right)$ de raison $q$ et de premier terme $v_0$, la somme $S_n = v_0 + v_1 + \ldots + v_n$ est donnée, pour tout $n$ entier strictement positif, par la formule \medskip \textbf{A.~} $S_n = v_0\left(q^{n+1} - 1\right)/(q-1)$ pour $q$ différent de 1 \textbf{B.~} $S_n = n\left(v_0 + (n + 1)(q/2)\right) + v_0$ \textbf{C.~} $S_n = v_0\left(1 - q^n\right)/(1-q)$ pour $q$ différent de 1 \textbf{D.~} $S_n = v_0 + v_1\left(1 -q^n\right)/(1-q)$ pour $q$ différent de 1 \bigskip \textbf{Question 5 :} On suppose, si cela est possible, que la somme $S_n$ des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$, $n$ entier positif ou nul, tend vers $3^{11}$ lorsque $n$ tend vers l'infini. On a \medskip \textbf{A.~} cette condition ne peut être réalisée car $S_n$ tend vers l'infini lorsque $n$ tend vers l'infini, la raison $q$ de la suite $\left(u_n\right)$ étant strictement supérieure à 1. \textbf{B.~} $u_0=3^{10}$ \textbf{C.~} $u_0 = -(1/2)3^{11}$ \textbf{D.~} $u_0 =3^9$ \bigskip \textbf{Question 6 :} Soient $n$ et $p$ deux entiers positifs ou nuls tels que $p$ est inférieur ou égal à $n$. Le produit des deux termes $u_p$ et $u_{n-p}$ de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ \medskip \textbf{A.~} ne dépend que de $n$ \textbf{B.~} ne dépend que de $p$ \textbf{C.~} est égal à $q^n \left(u_0\right)^2$ \textbf{D.~} est égal à $q^{n-p}u_p = q^nu_0$ \bigskip \textbf{Question 7 :} On note $P_n$ le produit des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$, $n$ entier positif ou nul, $P_n = u_0u_1\ldots u_n$. On a \medskip \textbf{A.~} $\left(P_n\right)^2= \left(u_0\right)^{n+1} q^{n(n+1)}$ \textbf{B.~} $\left(P_n\right)^2= \left(u_0\right)^{2(n+1)} q^{n(n+1)}$ \textbf{C.~} $\left(P_n\right)^2= \left(u_0\right)^2 q^{n(n+1)}$ \textbf{D.~} $\left(P_n\right)^2= \left(u_0 + q\right)^{2(n+l)}$ \bigskip \textbf{Question 8 :} On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout $n$ entier positif ou nul par $w_n= n$ et on note $W_n$ la somme des $n+1$ premiers termes de cette suite $\left(w_n\right)$,\, $n$ entier positif ou nul. On a \medskip \textbf{A.~} $\left(w_n\right)$ est une suite arithmétique de raison 1 \textbf{B.~} $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1 \textbf{C.~} $P_n = \left(u_0\right)^{n+1}q^{W_n}$ avec $W_n = n(n+1)$ et $u_0 = 3^{10}$ \textbf{D.~} $P_n = \left(u_0\right)^{n+1}q^{W_n}$ avec $W_n = n(n+1)/2$ et $u_ = 3^{10}$. \medskip \begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On considère le système d'équations \[\left\{\begin{array}{l c l} (5-2x)/3) + ((3 - y)/2) &=& 3\\ ((5y + y)/6) - ((3 - 2x)/5&=&0. \end{array}\right.\]\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 9 :} Le système a pour solution \medskip \textbf{A.~} les couples $(x,~y)$ solutions du système $\left\{\begin{array}{l c l} (5-2x+3 -y)/5 &=& 3\\ 5+y-3+2x)/11&=&0. \end{array}\right.$ \textbf{B.~} les couples $(x,~y)$ solutions du système $\left\{\begin{array}{l c l}8-2x-y&=&18\\ 2+y+ 2x&=& 0 \end{array}\right.$ \textbf{C.~} les couples $(x,~y)$ solutions du système $\left\{\begin{array}{l c l} 4x+3y&=&-1 \\ 12x+5y&=&-7 \end{array}\right.$ \textbf{D.~} le couple $(x,~y) = (-13/8,~5/2)$ \begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $I =]-\infty~;~+\infty[$ par \[\left\{\begin{array}{l c l} f(x) &=& (x- 1)\text{e}^x + 1\\ g(x)&= &(x- 2)\text{e}^x + x - 2 \end{array}\right.\] On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 10 :} On a \medskip \textbf{A.~} $f'(x) = \text{e}^x$ pour tout $x$ réel \textbf{B.~} $f'(x) = \text{e}^x+ (x- 1)\text{e}^x = x\text{e}^x$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 1 et $f'$ n'est pas définie pour $x$ inférieur ou égal à 1 \textbf{C.~} $f'(x) = x\text{e}^x + 1$ pour tout $x$ réel \textbf{D.~} $f'(x) = (x - 1)\text{e}^x$ pour tout $x$ réel \bigskip \textbf{Question 11 :} La fonction $f'$ \medskip \textbf{A.~} ne s'annule pas car la fonction exponentielle est strictement positive sur $I$ \textbf{B.~} s'annule uniquement pour $x = 0$ \textbf{C.~} s'annule en deux points de $I$ \textbf{D.~} s'annule en un point de l'intervalle $]O~;~+\infty[$. \bigskip \textbf{Question 12 :} La fonction $f$ est \medskip \textbf{A.~} décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~0]$ et croissante sur $[0~;~+\infty[$ \textbf{B.~} croissante sur l'intervalle $]-\infty~;~0]$ et décroissante sur $[0~;~+\infty[ $ \textbf{C.~} décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~1]$ et croissante sur $[1~;~+\infty[$ \textbf{D.~} croissante sur l'intervalle $]-\infty~;~+\infty[$ car $f'$ est positive sur $I$ \bigskip \textbf{Question 13 :} La fonction $f$ \medskip \textbf{A.~} admet un minimum au point $x = 1$ \textbf{B.~} admet un minimum au point $x = 0$ \textbf{C.~} n'admet pas de maximum dans $I$ \textbf{D.~} n'admet pas d'extremum dans $I$ \bigskip \textbf{Question 14 :} La fonction $f$ \medskip \textbf{A.~} est positive sur 1 car elle s'annule au point $x = 1$ \textbf{B.~} est négative sur 1 car elle s'annule au point $x = 0$ \textbf{C.~} n'est pas de signe constant sur $I$ \textbf{D.~} est positive sur $I$ car elle a un minimum égal à $0$ au point $x= 0$. \bigskip \textbf{Question 15 :} La fonction $g'$ vérifie \medskip \textbf{A.~} $g'(x) = f(x)$ pour tout $x$ appartenant à $I$ \textbf{B.~} $g'(x) = \text{e}^x + 1$ pour tout $x$ appartenant à $I$ \textbf{C.~} $g'(x) = (x - 3)\text{e}^x - 1$ pour tout $x$ appartenant à $I$ \textbf{D.~} $g'(x) = f(x)$ uniquement sur l'intervalle $[2~;~+ \infty[$ \bigskip \textbf{Question 16 :} La fonction $g$ \medskip \textbf{A.~} est décroissante sur $I$ \textbf{B.~} n'est croissante sur aucun intervalle de $]-\infty~;~+\infty[$ \textbf{C.~} est croissante sur l'intervalle $]-\infty~;~1]$ et décroissante sur $[1~;~+\infty[$ \textbf{D.~} est croissante sur l'intervalle $]-\infty~;~0]$ et décroissante sur $[0~;~+\infty[$ \bigskip \textbf{Question 17 :} On désigne par $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormal. La courbe $\mathcal{C}_g$ \medskip \textbf{A.~} admet une tangente horizontale au point d'abscisse $x = 1$ car $g'(1) = 0$ \textbf{B.~} n'admet pas de tangente horizontale \textbf{C.~} admet une tangente horizontale au point d'abscisse $x = 0$ car $g(0) = 0$ \textbf{D.~} admet une tangente parallèle à la droite d'équation $y = x - 2$ au point d'abscisse $x = 1$ car $f(1)= 1$. \bigskip \textbf{Question 18 :} Soit $m$ un réel fixé. On note $h$ la fonction définie sur $I$ par \[h(x)= (x - 2)\text{e}^x - m - 2.\] La fonction $h$ \medskip \textbf{A.~} est croissante sur l'intervalle $]-\infty~;~0]$ et décroissante sur $[0~;~+\infty[$ \textbf{B.~} est décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~0]$ et croissante sur $[0~;~+\infty[$ \textbf{C.~} admet un minimum égal à $(- m - 4)$ au point $x = 0$ \textbf{D.~} admet un minimum égal à $(- m -2 - \text{e})$ au point $x = 1$. \bigskip \textbf{Question 19 :} $m$ étant toujours un réel fixé, on désigne par $D_m$ la droite d'équation $y = x + m$ \medskip \textbf{A.~} il n'existe aucun réel $m$ tel que la courbe $\mathcal{C}_g$ coupe la droite $D_m$ \textbf{B.~} pour $m$ strictement inférieur à $(-2- \text{e})$ la courbe $\mathcal{C}_g$ et la droite $D_m$ n'ont aucun point d'intersection \textbf{C.~} pour $m$ strictement supérieur à $(-2- \text{e})$ la courbe $\mathcal{C}_g$ et la droite $D_m$ se coupent en deux points \textbf{D.~} pour $m$ strictement inférieur à $(-2- \text{e})$ la courbe $\mathcal{C}_g$ et la droite $D_m$ se coupent en deux points. \begin{center}\textbf{PARTIE IV} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On désigne par $J$ l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\\ On considère la fonction $f$ définie sur $J$ par \[f(x) = \dfrac{\left(1+ \text{e}^x\right)}{\left(1 - \text{e}^x\right)}\] et la fonction $g$ définie sur $J$ par \[g(x) = x - \ln \left[\left(1 - \text{e}^x\right)^2\right]\] ln désignant la fonction logarithme népérien.\\ On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{Question 20 :} Pour tout $x$ réel strictement positif, on a, d'après les propriétés du logarithme népérien \medskip \textbf{A.~} $g(x)=x - 2\ln \left(1 - \text{e}^x\right)$ \textbf{B.~} $g(x)= x - [\ln \left(1 - \text{e}^x\right)]^2$ \textbf{C.~} $g(x) = x + 2 \ln\left[\dfrac{1}{1 - \text{e}^x}\right]$ \textbf{D.~} $g(x) = \dfrac{x}{\ln \left(1 - \text{e}^x\right)^2}$ \bigskip \textbf{Question 21 :} Pour tout $x$ réel strictement positif, la fonction dérivée g' est définie par \medskip \textbf{A.~} $g'(x) = 1 - 2\dfrac{-\text{e}^x}{ \left(1 - \text{e}^x\right)}$ \textbf{B.~} $g'(x) = 1 - \dfrac{2}{1 - \text{e}^x}$ \textbf{C.~} $g'(x) = f(x)$ \textbf{D.~} $g'(x) = - f(x)$ \bigskip \textbf{Question 22 :} Pour tout $x$ réel strictement positif, la fonction dérivée $f'$ est définie par \medskip \textbf{A.~} $f'(x) = \dfrac{\text{e}^x}{- \text{e}^x}$ \textbf{B.~} $f'(x) = - \dfrac{1 + \text{e}^x}{\left(1 - \text{e}^x\right)^2}$ \textbf{C.~} $f'(x) = \dfrac{\text{e}^x\left(1 - \text{e}^x\right) - \text{e}^x\left(1 +\text{e}^x\right)}{\left(1 - \text{e}^x\right)^2}$ \textbf{D.~} $f'(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\left( 1 - \text{e}^x\right)^2}$ \bigskip \textbf{Question 23 :} Soit $[a~;~b]$ un intervalle où $a$ et $b$ sont tels que $b > a > 0$. La fonction $g$ \medskip \textbf{A.~} est croissante sur $J$ car $f$ admet un minimum strictement positif sur $J$ \textbf{B.~} est décroissante sur $[a~;~b]$ car $f$ est croissante et négative en $x = b$ \textbf{C.~} est décroissante sur $[a~;~b]$ car $f$ est décroissante et négative en $x = a$ \textbf{D.~} admet un minimum sur $[a~;~b]$ en un point $x_0$ tel que $x_0$ est strictement supérieur à $a$ et strictement inférieur à $b$. \begin{center}\textbf{PARTIE V}\end{center} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Une étude est réalisée sur un échantillon représentatif de la population composé de \np{1500} personnes. Deux questions sont posées.\\ À la première question \og Connaissez-vous le commerce équitable?\fg, $500$ personnes répondent oui et \np{1000} répondent non.\\ À la deuxième question \og Connaissez-vous le label AB?\fg, on obtient les résultats suivants :\\ \begin{itemize} \item parmi les personnes connaissant le commerce équitable, 450 d'entre elles connaissent le label AB \item parmi les personnes ne connaissant pas le commerce équitable, 520 d'entre elles connaissent le label AB. \end{itemize}\\ On interroge au hasard une de ces \np{1500}~personnes et on considère les évènements $C$ et $D$ suivants : \begin{description} \item[ ] C : \og la personne interrogée connait le label AB\fg \item[ ] D : \og la personne interrogée connait le commerce équitable\fg \end{description}\\ $p(C)$ (respectivement $p(D)$) désigne la probabilité de l'évènement $C$ (respectivement de $D$).\\[4pt] On note $\overline{D}$ l' évènement contraire de l'évènement $D$ et on désigne par $p_D(C)$ la probabilité de l'évènement $C$ sachant $D$.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{Question 24:} On a \medskip \textbf{A.~} $p(D) = 1/3$ et $p\left(\overline{D}\right) = 1 - p(D)= 2/3$ \textbf{B.~} $p_D(C) = 0,52$ et $p_D\left(\overline{C}\right) = 1 - p_D(C) = 0,48$ \textbf{C.~} $p_D(C)=0,9$ et $p_D\left(\overline{C}\right) = 1 - p_D(C) = 0,1$ \textbf{D.~} $p_D(C) = p(D)/p(C \cap D)$ \bigskip \textbf{Question 25 :} On a \medskip \textbf{A.~} $p(C)= p(C \cap D) = 0,3$ \textbf{B.~} $p(C) = p(C\cap D)+ p\left(C \cap \overline{D}\right) = \dfrac{1,94}{3}$ d'après la formule des probabilités totales, les évènements étant incompatibles \textbf{C.~} les évènements $C$ et $D$ sont indépendants \textbf{D.~} les évènements $C$ et $D$ ne sont pas indépendants car deux évènements $C$et $D$ sont indépendants si $p(C \cap D) = 0$, condition qui n'est pas vérifiée \end{document}