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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  2016}
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\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2016~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\bigskip


\textbf{\large Notations}

\end{center}

Les lettres $\R$ et $\N$ désignent respectivement les ensembles des réels et des entiers naturels.

La lettre e désigne la constante de Neper et l'application qui à $x$ associe $\text{e}^x$ désigne l'exponentielle de base e.

Le nombre i désigne le nombre complexe défini par $\text{i}^2 = -1$.

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Soient deux suites $u$ et $v$ vérifiant pour tout $n \in \N$\, :

\[0 \leqslant u_n \leqslant v_n \leqslant 2u_n\]

\medskip

\textbf{A.~} Si  pour tout $n \in N$, \,$0 < u_n \leqslant 1$, alors la suite $v$ converge. 

\textbf{B.~} Si la suite $u$ converge, alors la suite $v$ converge.

\textbf{C.~} Si pour tout $n \in N$, \, $0 < u_n < 1$, alors la suite $u$ converge. 

\textbf{D.~} Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n= + \infty$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n= + \infty$

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

L'équation réduite de la tangente en $-1$ à la courbe représentative de la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{x^3 +x^2}$ est :

\medskip

\textbf{A.~} $3x-3y+6 = 0$ 

\textbf{B.~} $y=x+2$

\textbf{C.~} $y = x - 2$

\textbf{D.~} $-2x + 2y + 4 = 0$
 
\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip
La valeur moyenne $M$ de la fonction $f$ : $x \longmapsto  x^3+x^2- x + 1$ sur $[-1~;~2]$ est: 

\medskip

\textbf{A.~} $M = 3$

\textbf{B.~} $M = 5$ 

\textbf{C.~} $M = \dfrac{33}{4}$

\textbf{D.~} $M = \dfrac{11}{4}$


\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x) = x\text{e}^{-x}$ est : 

\medskip

\textbf{A.~} $F(x) = x\text{e}^{-x}$

\textbf{B.~} $F(x) = - x\text{e}^{-x}$

\textbf{C.~} $F(x) = \left(- x - 1 + 2 \text{e}^{x}\right)\text{e}^{-x}$

\textbf{D.~} $F(x) = (- x + 1)\text{e}^{-x}$

\bigskip

\textbf{Question 5}

\medskip

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $I = [a~;~b]$.

\medskip

\textbf{A.~} Si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) = g(x)$, alors 
$\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$

\textbf{B.~} Si $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$, alors pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) =g(x)$

\textbf{C.~} Si pour tout réel $x$ de $I$,, on a $f(x) \leqslant g(x)$, alors 
$\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$

\textbf{D.~} Si $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x \geqslant \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$, alors pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) \geqslant g(x)$

\bigskip

\textbf{Question 6}

\medskip

On considère la fonction  $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2 + bx + c$, avec $a < 0$ et $b^2 - 4ac > 0$. 

Soit $S$ l'aire de la surface sous l'arche parabolique, comprise entre la droite d'équation $y = 0$ et la courbe représentative de $f$.

\medskip

\textbf{A.~} $S$ vaut le tiers de sa base multipliée par la hauteur de l'arche.

\textbf{B.~} $S$ vaut la moitié de sa base multipliée par la hauteur de l'arche.

\textbf{C.~} $S$ vaut les deux tiers de sa base multipliée par la hauteur de l'arche. 

\textbf{D.~} $S$ vaut les trois quarts de sa base multipliée par la hauteur de l'arche.

\bigskip

\textbf{Question 7}

\medskip

Soit $z = - \sqrt{3} + \text{i}$.

\medskip

\textbf{B.~} $z^{\np{2013}}$ est un imaginaire pur

\textbf{B.~} $z^{\np{2014}}$ est un imaginaire pur

\textbf{C.~} $z^{\np{2015}}$ est un réel

\textbf{D.~} $z^{\np{2016}}$ est un réel

\bigskip

\textbf{Question 8}

\medskip

L'ensemble $S$ des solutions dans $\C$ de l'équation $\dfrac{z - 8}{z - 3} = z$

\medskip

\textbf{A.~} $S =\{2 + 2\text{i}\}$ 

\textbf{B.~} $S = \{2-2\text{i}\}$

\textbf{C.~} $S = \{2 + 2\text{i}~;~- 2 + 2\text{i}\}$ 

\textbf{D.~} $S = \emptyset$

\bigskip

\textbf{Question 9}

\medskip

Soient A, B et O les points d'affixes respectives 1, i et 0. 

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z - 1| = \left|\overline{z} + \text{i}\right|$ est 

\medskip

\textbf{A.~} la droite (AB)

\textbf{B.~} la médiatrice du segment [AB]

\textbf{C.~} le cercle de centre O et de rayon 1.

\textbf{D.~} le cercle de diamètre [AB] 

\bigskip

\textbf{Question 10}

\medskip

Soient les points A(2~;~0~;~3) et B$(-1~;~2~;~0)$, et la droite $(D)$ de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{-}4 + 2u\\
y&=&\phantom{-}1 - u\\
z&=&-2 + u
\end{array}\right., u \in \R\]

\medskip

\textbf{A.~} Les droites (AB) et $(D)$ ne sont pas coplanaires 

\textbf{B.~} Les droites (AB) et $(D)$ sont coplanaires

\textbf{C.~} Les droites (AB) et $(D)$ sont sécantes

\textbf{D.~} Les droites (AB) et $(D)$ sont parallèles

\bigskip

\textbf{Question 11}

\medskip

SABDC est une pyramide de base carrée ABDC. Les points I, J et K sont les milieux
respectifs des segments [SA], [SB] et [BD], et O désigne Je centre du carré ABDC.

\medskip

\textbf{A.~} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{A}M} = t\vect{\text{IJ}}$,  $t \in \R$ est la droite (AD)

\textbf{B.~} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{J}M}= u\vect{\text{SD}},\;  u \in \R$ est la droite (JK)

\textbf{C.~} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{B}M} = k\vect{\text{SA}}, \, k \in \R$ est la droite (BJ)

\textbf{D.~} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{O}M} = x \vect{\text{SB}} +y \vect{\text{SC}},\, x \in \R$ et $y \in \R$ est le plan (ABC)

\bigskip

\textbf{Question 12}

\medskip

\textbf{A.~} Si deux droites de l'espace sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont  parallèles entre elles.

\textbf{B.~} Si deux droites de l'espace sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.

\textbf{C.~} Si deux droites de l'espace sont parallèles, elles admettent une droite perpendiculaire à elles deux.

\textbf{D.~} Si deux droites de l'espace sont parallèles à une même troisième, les trois droites sont coplanaires,

\bigskip

\textbf{Question 13}

\medskip

Soit $X$ une variable aléatoire qui prend des valeurs positives. On suppose que:

\[P(1 \leqslant X \leqslant 3)= \dfrac{3}{8}\]

Si $X$ suit une loi uniforme sur $[0~;~N]$, alors on a :

\medskip

\textbf{A.~} $N = 5,3$

\textbf{B.~} $N = 8$

\textbf{C.~} $N= \dfrac{6}{8}$

\textbf{D.~} $N = \dfrac{16}{3}$

\bigskip

\textbf{Question 14}

\medskip

Soit $X$ une variable aléatoire qui prend des valeurs positives. On suppose que :

\[P(1 \leqslant X \leqslant 3)= \dfrac{3}{8}\]

Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$, alors :

\medskip

\textbf{A.~} $\lambda = - \ln 2$

\textbf{B.~} $\lambda$ prend deux valeurs dont la valeur $\ln 2$

\textbf{C.~} $\lambda = \ln \left(\dfrac{\sqrt{13}  +1}{4}\right)$

\textbf{D.~} Il n'existe pas de tel $\lambda$.

\bigskip

\textbf{Question 15}

\medskip

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $10$ et de variance $8$.

Si $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n$ et $p$, alors :

\medskip

\textbf{A.~} $n=20$ et $p = 0,5$ 

\textbf{B.~} $n=25$ et $p = 0,4$ 

\textbf{C.~} $n=40$ et $p = 0,25$ 

\textbf{D.~} $n = 50$ et $p = 0,2$
\end{document}