\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2016} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2016~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} \bigskip \textbf{\large Notations} \end{center} Les lettres $\R$ et $\N$ désignent respectivement les ensembles des réels et des entiers naturels. La lettre e désigne la constante de Neper et l'application qui à $x$ associe $\text{e}^x$ désigne l'exponentielle de base e. Le nombre i désigne le nombre complexe défini par $\text{i}^2 = -1$. \bigskip \textbf{Question 1} \medskip Soient deux suites $u$ et $v$ vérifiant pour tout $n \in \N$\, : \[0 \leqslant u_n \leqslant v_n \leqslant 2u_n\] \medskip \textbf{A.~} Si pour tout $n \in N$, \,$0 < u_n \leqslant 1$, alors la suite $v$ converge. \textbf{B.~} Si la suite $u$ converge, alors la suite $v$ converge. \textbf{C.~} Si pour tout $n \in N$, \, $0 < u_n < 1$, alors la suite $u$ converge. \textbf{D.~} Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n= + \infty$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n= + \infty$ \bigskip \textbf{Question 2} \medskip L'équation réduite de la tangente en $-1$ à la courbe représentative de la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{x^3 +x^2}$ est : \medskip \textbf{A.~} $3x-3y+6 = 0$ \textbf{B.~} $y=x+2$ \textbf{C.~} $y = x - 2$ \textbf{D.~} $-2x + 2y + 4 = 0$ \bigskip \textbf{Question 3} \medskip La valeur moyenne $M$ de la fonction $f$ : $x \longmapsto x^3+x^2- x + 1$ sur $[-1~;~2]$ est: \medskip \textbf{A.~} $M = 3$ \textbf{B.~} $M = 5$ \textbf{C.~} $M = \dfrac{33}{4}$ \textbf{D.~} $M = \dfrac{11}{4}$ \bigskip \textbf{Question 4} \medskip Une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x) = x\text{e}^{-x}$ est : \medskip \textbf{A.~} $F(x) = x\text{e}^{-x}$ \textbf{B.~} $F(x) = - x\text{e}^{-x}$ \textbf{C.~} $F(x) = \left(- x - 1 + 2 \text{e}^{x}\right)\text{e}^{-x}$ \textbf{D.~} $F(x) = (- x + 1)\text{e}^{-x}$ \bigskip \textbf{Question 5} \medskip Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $I = [a~;~b]$. \medskip \textbf{A.~} Si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) = g(x)$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$ \textbf{B.~} Si $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$, alors pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) =g(x)$ \textbf{C.~} Si pour tout réel $x$ de $I$,, on a $f(x) \leqslant g(x)$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$ \textbf{D.~} Si $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x \geqslant \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$, alors pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) \geqslant g(x)$ \bigskip \textbf{Question 6} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2 + bx + c$, avec $a < 0$ et $b^2 - 4ac > 0$. Soit $S$ l'aire de la surface sous l'arche parabolique, comprise entre la droite d'équation $y = 0$ et la courbe représentative de $f$. \medskip \textbf{A.~} $S$ vaut le tiers de sa base multipliée par la hauteur de l'arche. \textbf{B.~} $S$ vaut la moitié de sa base multipliée par la hauteur de l'arche. \textbf{C.~} $S$ vaut les deux tiers de sa base multipliée par la hauteur de l'arche. \textbf{D.~} $S$ vaut les trois quarts de sa base multipliée par la hauteur de l'arche. \bigskip \textbf{Question 7} \medskip Soit $z = - \sqrt{3} + \text{i}$. \medskip \textbf{B.~} $z^{\np{2013}}$ est un imaginaire pur \textbf{B.~} $z^{\np{2014}}$ est un imaginaire pur \textbf{C.~} $z^{\np{2015}}$ est un réel \textbf{D.~} $z^{\np{2016}}$ est un réel \bigskip \textbf{Question 8} \medskip L'ensemble $S$ des solutions dans $\C$ de l'équation $\dfrac{z - 8}{z - 3} = z$ \medskip \textbf{A.~} $S =\{2 + 2\text{i}\}$ \textbf{B.~} $S = \{2-2\text{i}\}$ \textbf{C.~} $S = \{2 + 2\text{i}~;~- 2 + 2\text{i}\}$ \textbf{D.~} $S = \emptyset$ \bigskip \textbf{Question 9} \medskip Soient A, B et O les points d'affixes respectives 1, i et 0. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z - 1| = \left|\overline{z} + \text{i}\right|$ est \medskip \textbf{A.~} la droite (AB) \textbf{B.~} la médiatrice du segment [AB] \textbf{C.~} le cercle de centre O et de rayon 1. \textbf{D.~} le cercle de diamètre [AB] \bigskip \textbf{Question 10} \medskip Soient les points A(2~;~0~;~3) et B$(-1~;~2~;~0)$, et la droite $(D)$ de représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{-}4 + 2u\\ y&=&\phantom{-}1 - u\\ z&=&-2 + u \end{array}\right., u \in \R\] \medskip \textbf{A.~} Les droites (AB) et $(D)$ ne sont pas coplanaires \textbf{B.~} Les droites (AB) et $(D)$ sont coplanaires \textbf{C.~} Les droites (AB) et $(D)$ sont sécantes \textbf{D.~} Les droites (AB) et $(D)$ sont parallèles \bigskip \textbf{Question 11} \medskip SABDC est une pyramide de base carrée ABDC. Les points I, J et K sont les milieux respectifs des segments [SA], [SB] et [BD], et O désigne Je centre du carré ABDC. \medskip \textbf{A.~} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{A}M} = t\vect{\text{IJ}}$, $t \in \R$ est la droite (AD) \textbf{B.~} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{J}M}= u\vect{\text{SD}},\; u \in \R$ est la droite (JK) \textbf{C.~} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{B}M} = k\vect{\text{SA}}, \, k \in \R$ est la droite (BJ) \textbf{D.~} L'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{O}M} = x \vect{\text{SB}} +y \vect{\text{SC}},\, x \in \R$ et $y \in \R$ est le plan (ABC) \bigskip \textbf{Question 12} \medskip \textbf{A.~} Si deux droites de l'espace sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles entre elles. \textbf{B.~} Si deux droites de l'espace sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles. \textbf{C.~} Si deux droites de l'espace sont parallèles, elles admettent une droite perpendiculaire à elles deux. \textbf{D.~} Si deux droites de l'espace sont parallèles à une même troisième, les trois droites sont coplanaires, \bigskip \textbf{Question 13} \medskip Soit $X$ une variable aléatoire qui prend des valeurs positives. On suppose que: \[P(1 \leqslant X \leqslant 3)= \dfrac{3}{8}\] Si $X$ suit une loi uniforme sur $[0~;~N]$, alors on a : \medskip \textbf{A.~} $N = 5,3$ \textbf{B.~} $N = 8$ \textbf{C.~} $N= \dfrac{6}{8}$ \textbf{D.~} $N = \dfrac{16}{3}$ \bigskip \textbf{Question 14} \medskip Soit $X$ une variable aléatoire qui prend des valeurs positives. On suppose que : \[P(1 \leqslant X \leqslant 3)= \dfrac{3}{8}\] Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$, alors : \medskip \textbf{A.~} $\lambda = - \ln 2$ \textbf{B.~} $\lambda$ prend deux valeurs dont la valeur $\ln 2$ \textbf{C.~} $\lambda = \ln \left(\dfrac{\sqrt{13} +1}{4}\right)$ \textbf{D.~} Il n'existe pas de tel $\lambda$. \bigskip \textbf{Question 15} \medskip Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $10$ et de variance $8$. Si $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n$ et $p$, alors : \medskip \textbf{A.~} $n=20$ et $p = 0,5$ \textbf{B.~} $n=25$ et $p = 0,4$ \textbf{C.~} $n=40$ et $p = 0,25$ \textbf{D.~} $n = 50$ et $p = 0,2$ \end{document}