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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2015~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\bigskip

\textbf{\large Questions liées}

\bigskip

\textbf{\large 1 à 7}\\[6pt]

\textbf{8 à 11}\\[6pt]

\textbf{12 à 15}

\end{center}

\bigskip

\textbf{Notations}

Les lettres $\R$  et  $\N$ désignent respectivement les ensembles des réels et des entiers naturels.

La lettre e désigne la constante de Néper et l'application qui à $x$ associe $\text{e}^x$ désigne l'exponentielle de base e.

\bigskip
\begin{center} \textbf{Partie 1}\end{center}

On dispose d'une grille à 3 lignes et 3 colonnes. Une machine $M_1$ place au hasard un jeton dans une case de la grille, puis une machine $M_2$ place de même un jeton sur la grille dans une case libre et enfin une troisième machine $M_3$ place un jeton dans une case libre.

Soient les évènements suivants :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $H$ : \og Les 3 jetons sont alignés horizontalement \fg, 
\item[$\bullet~~$] $V$ : \og Les 3 jetons sont alignés verticalement \fg,
\item[$\bullet~~$] $D$ : \og Les 3 jetons sont alignés en diagonale \fg,
\item[$\bullet~~$] $N$ : \og Les 3 jetons ne sont pas alignés \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Question 1 :}

\medskip

La probabilité de l'évènement $H$ vaut:

\medskip

\textbf{A.~} $p(H)= \dfrac{1}{27}$

\textbf{B.~} $p(H)= \dfrac{1}{28}$

La probabilité de l'évènement $V$ vaut:

\textbf{C.~} $p(V)= \dfrac{1}{27}$

\textbf{D.~} $p(V) = \dfrac{1}{18}$

\bigskip

\textbf{Question 2 :}

\medskip

La probabilité de l'évènement $D$ vaut:

\medskip

\textbf{A.~} $p(D)= \dfrac{1}{42}$

\textbf{B.~} $p(D)= \dfrac{1}{63}$

Ainsi, la probabilité de l'évènement $N$ vaut:

\textbf{C.~} $p(N)= \dfrac{56}{63}$

\textbf{D.~} $p(N)= \dfrac{19}{21}$

\medskip

On considère la variable aléatoire $X$ définie par :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $X = 20$ lorsque $H$ ou $V$ est réalisé
\item[$\bullet~~$] $X = \alpha$ lorsque $D$ est réalisé
\item[$\bullet~~$] $X = -2$ lorsque $N$ est réalisé
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Question 3 :}

\medskip

La valeur de $\alpha$ pour laquelle l'espérance de $X$ est nulle est:

\medskip

\textbf{A.~} $\alpha = 14$ 

\textbf{B.~} $\alpha = 15$ 

\textbf{C.~} $\alpha = 16$

\textbf{D.~} $\alpha = 17$

\medskip

On se place dans le cas où la machine $M_1$ est déréglée : elle place alors le premier jeton dans un des coins de la grille.

Soit $\Delta$ l'évènement \og la machine $M_1$ est déréglée \fg.

\bigskip

\textbf{Question 4 :}

\medskip

La probabilité d'avoir un alignement horizontal est :

\medskip

\textbf{A.~} $p_{\delta}(H) = \dfrac{1}{28}$

\textbf{B.~}$p_{\delta}(H) = \dfrac{1}{63}$

\textbf{C.~} $p_{\delta}(H) = \dfrac{9}{112}$

\textbf{D.~} $p_{\delta}(H) = \dfrac{3}{84}$

\medskip

Soit $A$ l'évènement \og les 3 jetons sont alignés horizontalement ou verticalement ou en diagonale \fg.

\bigskip

\textbf{Question 5 :}

\medskip

On a :

\medskip

\textbf{A.~} $p_{\delta}(A) = \dfrac{1}{21}$

\textbf{B.~} $p_{\delta}(A) = \dfrac{1}{28}$

\textbf{C.~} $p_{\delta}(A) = \dfrac{3}{112}$

\textbf{D.~} $p_{\delta}(A) = \dfrac{3}{84}$

\medskip

Dans toute la suite, on suppose que $p(\Delta) = \dfrac{1}{5}$.

\bigskip

\textbf{Question 6 :}

\medskip

On a :

\medskip

\textbf{A.~} $p_{\Delta}\left(\overline{A}\right) = \dfrac{20}{21}$

\textbf{B.~} $p_{\Delta}\left(\overline{A}\right) = \dfrac{19}{105}$

\textbf{C.~} $p_{\Delta}\left(\overline{A}\right) = \dfrac{v}{21}$

\textbf{D.~} $p_{\Delta}\left(\overline{A}\right) = \dfrac{76}{105}$

On ne sait pas lorsqu'on joue si la machine $M_1$ est en état de marche. On joue une partie et on constate que les 3 jetons sont alignés.

\bigskip

\textbf{Question 7 :}

\medskip

La probabilité $p$ pour que la machine $M_1$ soit déréglée est alors de : 

\medskip

\textbf{A.~} $p = \dfrac{41}{420}$

\textbf{B.~} $p = \dfrac{3}{140}$

\textbf{C.~} $p = \dfrac{1}{10}$

\textbf{D.~} $p = \dfrac{9}{41}$


\begin{center}\textbf{Partie II}\end{center}

\medskip 

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)\text{e}^{\frac{1}{x}}+ 1$.

\bigskip

\textbf{Question 8 :}

\medskip

\textbf{A.~} La fonction $f$ est définie pour $x \in \R_{+}^{*}$

\textbf{B.~} La fonction $f$ est définie pour $x \in \R_{-}^{*}$

\textbf{C.~} La fonction $f$ est définie uniquement pour $x \in \R_{+}^{*}$

\textbf{D.~} La fonction $f$ est définie uniquement pour $x \in \R_{-}^{*}$

\bigskip

\textbf{Question 9 :}

\medskip

Le calcul de la dérivée de $f$ donne :

\medskip

\textbf{A.~} $f'(x)= -\dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}$

\textbf{B.~} $f'(x) = - \left(1 + \dfrac{1}{x} \right)\dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}$

\textbf{C.~} $f'(x)= - \left(2 + \dfrac{1}{x} \right)\dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}$

\textbf{D.~} $f'(x)= - \left(\dfrac{2x + 1}{x^3}\right)\text{e}^{\frac{1}{x}}$

\bigskip

\textbf{Question 10 :}

\medskip

\textbf{A.~} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]- \infty~;~0[$ et décroissante sur $]0~;~ +\infty[$

\textbf{B.~} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]1 - \text{e}^{-2}~;~1[$ 

\textbf{C.~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$

\textbf{D.~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~-1[$

\bigskip

\textbf{Question 11 :}

\medskip

\textbf{A.~} La fonction $f$ est positive pour tout $x \in  \R^{*}$

\textbf{B.~} La fonction $f$ est positive pour $x \in \left]- \dfrac{1}{2}~;~0\right[$,et négative sinon

\textbf{C.~} La fonction $f$ est positive pour $x \in \R_{-}^{*}$, et négative pour $x \in  \R_{+}^{*}$

\textbf{D.~} La fonction $f$ est négative pour $x \in \R_{-}^{*}$, et positive pour $x \in  \R_{+}^{*}$

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie III}\end{center}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $\R$ par :

\[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{nx}\left(1 + \text{e}^x\right)}\]

On souhaite étudier la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$  définie pour tout entier naturel $n$ par 

\[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x\]

\bigskip

\textbf{Question 12 :}

\medskip

On a :

\medskip

\textbf{A.~} $u_0 = \text{e}$

\textbf{B.~} $u_0 = \dfrac{\ln (1 + \text{e})}{2}$

\textbf{C.~} $u_0 = 1 - \ln\left(\dfrac{ 1 + \text{e}}{2}\right)$

\textbf{D.~} $u_0 =  \ln (\text{e} + 1) - \ln (2)$

\bigskip

\textbf{Question 13 :}

\medskip

On montre

\medskip

\textbf{A.~} $u_0 + u_1 = 1$

\textbf{B.~} $u_0 + u_1 = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$

\textbf{C.~} $u_0 + u_1 = 1 + \text{e}$

\textbf{D.~} $u_0 + u_1 = 1 + \dfrac{1}{\text{e}}$


\bigskip

\textbf{Question 14 :}

\medskip

On en déduit :

\medskip

\textbf{A.~} $u_1 = 1 + \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2} \right)$

\textbf{B.~} $u_1 = 1 - \dfrac{1}{\text{e}} -  \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2} \right)$

\textbf{C.~} $u_1 = 1 + \text{e} -  \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2} \right)$

\textbf{D.~} $u_1 = 1  + \dfrac{1}{\text{e}} - \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2} \right)$

\bigskip

\textbf{Question 15 :}

\medskip

On pose $k(x) = f_{n+1}(x)- f_n(x)$.

\medskip

\textbf{A.~} La fonction $k$ est positive sur [0~;~1], et de ce fait la suite 
$\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est croissante

\textbf{B.~} La fonction $k$ est positive sur [0~;~1] , et de ce fait la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est décroissante 

\textbf{C.~} La fonction $k$ est négative sur [0~;~1], et de ce fait la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est décroissante

\textbf{D.~} La fonction $k$ est négative sur [0~;~1], et de ce fait la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est croissante
\end{document}