\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \def\e{\text{e}} \renewcommand{\baselinestretch}{1.8} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2015} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2015~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} \bigskip \textbf{\large Questions liées} \bigskip \textbf{\large 1 à 7}\\[6pt] \textbf{8 à 11}\\[6pt] \textbf{12 à 15} \end{center} \bigskip \textbf{Notations} Les lettres $\R$ et $\N$ désignent respectivement les ensembles des réels et des entiers naturels. La lettre e désigne la constante de Néper et l'application qui à $x$ associe $\text{e}^x$ désigne l'exponentielle de base e. \bigskip \begin{center} \textbf{Partie 1}\end{center} On dispose d'une grille à 3 lignes et 3 colonnes. Une machine $M_1$ place au hasard un jeton dans une case de la grille, puis une machine $M_2$ place de même un jeton sur la grille dans une case libre et enfin une troisième machine $M_3$ place un jeton dans une case libre. Soient les évènements suivants : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $H$ : \og Les 3 jetons sont alignés horizontalement \fg, \item[$\bullet~~$] $V$ : \og Les 3 jetons sont alignés verticalement \fg, \item[$\bullet~~$] $D$ : \og Les 3 jetons sont alignés en diagonale \fg, \item[$\bullet~~$] $N$ : \og Les 3 jetons ne sont pas alignés \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{Question 1 :} \medskip La probabilité de l'évènement $H$ vaut: \medskip \textbf{A.~} $p(H)= \dfrac{1}{27}$ \textbf{B.~} $p(H)= \dfrac{1}{28}$ La probabilité de l'évènement $V$ vaut: \textbf{C.~} $p(V)= \dfrac{1}{27}$ \textbf{D.~} $p(V) = \dfrac{1}{18}$ \bigskip \textbf{Question 2 :} \medskip La probabilité de l'évènement $D$ vaut: \medskip \textbf{A.~} $p(D)= \dfrac{1}{42}$ \textbf{B.~} $p(D)= \dfrac{1}{63}$ Ainsi, la probabilité de l'évènement $N$ vaut: \textbf{C.~} $p(N)= \dfrac{56}{63}$ \textbf{D.~} $p(N)= \dfrac{19}{21}$ \medskip On considère la variable aléatoire $X$ définie par : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $X = 20$ lorsque $H$ ou $V$ est réalisé \item[$\bullet~~$] $X = \alpha$ lorsque $D$ est réalisé \item[$\bullet~~$] $X = -2$ lorsque $N$ est réalisé \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{Question 3 :} \medskip La valeur de $\alpha$ pour laquelle l'espérance de $X$ est nulle est: \medskip \textbf{A.~} $\alpha = 14$ \textbf{B.~} $\alpha = 15$ \textbf{C.~} $\alpha = 16$ \textbf{D.~} $\alpha = 17$ \medskip On se place dans le cas où la machine $M_1$ est déréglée : elle place alors le premier jeton dans un des coins de la grille. Soit $\Delta$ l'évènement \og la machine $M_1$ est déréglée \fg. \bigskip \textbf{Question 4 :} \medskip La probabilité d'avoir un alignement horizontal est : \medskip \textbf{A.~} $p_{\delta}(H) = \dfrac{1}{28}$ \textbf{B.~}$p_{\delta}(H) = \dfrac{1}{63}$ \textbf{C.~} $p_{\delta}(H) = \dfrac{9}{112}$ \textbf{D.~} $p_{\delta}(H) = \dfrac{3}{84}$ \medskip Soit $A$ l'évènement \og les 3 jetons sont alignés horizontalement ou verticalement ou en diagonale \fg. \bigskip \textbf{Question 5 :} \medskip On a : \medskip \textbf{A.~} $p_{\delta}(A) = \dfrac{1}{21}$ \textbf{B.~} $p_{\delta}(A) = \dfrac{1}{28}$ \textbf{C.~} $p_{\delta}(A) = \dfrac{3}{112}$ \textbf{D.~} $p_{\delta}(A) = \dfrac{3}{84}$ \medskip Dans toute la suite, on suppose que $p(\Delta) = \dfrac{1}{5}$. \bigskip \textbf{Question 6 :} \medskip On a : \medskip \textbf{A.~} $p_{\Delta}\left(\overline{A}\right) = \dfrac{20}{21}$ \textbf{B.~} $p_{\Delta}\left(\overline{A}\right) = \dfrac{19}{105}$ \textbf{C.~} $p_{\Delta}\left(\overline{A}\right) = \dfrac{v}{21}$ \textbf{D.~} $p_{\Delta}\left(\overline{A}\right) = \dfrac{76}{105}$ On ne sait pas lorsqu'on joue si la machine $M_1$ est en état de marche. On joue une partie et on constate que les 3 jetons sont alignés. \bigskip \textbf{Question 7 :} \medskip La probabilité $p$ pour que la machine $M_1$ soit déréglée est alors de : \medskip \textbf{A.~} $p = \dfrac{41}{420}$ \textbf{B.~} $p = \dfrac{3}{140}$ \textbf{C.~} $p = \dfrac{1}{10}$ \textbf{D.~} $p = \dfrac{9}{41}$ \begin{center}\textbf{Partie II}\end{center} \medskip Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)\text{e}^{\frac{1}{x}}+ 1$. \bigskip \textbf{Question 8 :} \medskip \textbf{A.~} La fonction $f$ est définie pour $x \in \R_{+}^{*}$ \textbf{B.~} La fonction $f$ est définie pour $x \in \R_{-}^{*}$ \textbf{C.~} La fonction $f$ est définie uniquement pour $x \in \R_{+}^{*}$ \textbf{D.~} La fonction $f$ est définie uniquement pour $x \in \R_{-}^{*}$ \bigskip \textbf{Question 9 :} \medskip Le calcul de la dérivée de $f$ donne : \medskip \textbf{A.~} $f'(x)= -\dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}$ \textbf{B.~} $f'(x) = - \left(1 + \dfrac{1}{x} \right)\dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}$ \textbf{C.~} $f'(x)= - \left(2 + \dfrac{1}{x} \right)\dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}$ \textbf{D.~} $f'(x)= - \left(\dfrac{2x + 1}{x^3}\right)\text{e}^{\frac{1}{x}}$ \bigskip \textbf{Question 10 :} \medskip \textbf{A.~} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]- \infty~;~0[$ et décroissante sur $]0~;~ +\infty[$ \textbf{B.~} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]1 - \text{e}^{-2}~;~1[$ \textbf{C.~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ \textbf{D.~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~-1[$ \bigskip \textbf{Question 11 :} \medskip \textbf{A.~} La fonction $f$ est positive pour tout $x \in \R^{*}$ \textbf{B.~} La fonction $f$ est positive pour $x \in \left]- \dfrac{1}{2}~;~0\right[$,et négative sinon \textbf{C.~} La fonction $f$ est positive pour $x \in \R_{-}^{*}$, et négative pour $x \in \R_{+}^{*}$ \textbf{D.~} La fonction $f$ est négative pour $x \in \R_{-}^{*}$, et positive pour $x \in \R_{+}^{*}$ \medskip \begin{center} \textbf{Partie III}\end{center} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $\R$ par : \[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{nx}\left(1 + \text{e}^x\right)}\] On souhaite étudier la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x\] \bigskip \textbf{Question 12 :} \medskip On a : \medskip \textbf{A.~} $u_0 = \text{e}$ \textbf{B.~} $u_0 = \dfrac{\ln (1 + \text{e})}{2}$ \textbf{C.~} $u_0 = 1 - \ln\left(\dfrac{ 1 + \text{e}}{2}\right)$ \textbf{D.~} $u_0 = \ln (\text{e} + 1) - \ln (2)$ \bigskip \textbf{Question 13 :} \medskip On montre \medskip \textbf{A.~} $u_0 + u_1 = 1$ \textbf{B.~} $u_0 + u_1 = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ \textbf{C.~} $u_0 + u_1 = 1 + \text{e}$ \textbf{D.~} $u_0 + u_1 = 1 + \dfrac{1}{\text{e}}$ \bigskip \textbf{Question 14 :} \medskip On en déduit : \medskip \textbf{A.~} $u_1 = 1 + \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2} \right)$ \textbf{B.~} $u_1 = 1 - \dfrac{1}{\text{e}} - \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2} \right)$ \textbf{C.~} $u_1 = 1 + \text{e} - \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2} \right)$ \textbf{D.~} $u_1 = 1 + \dfrac{1}{\text{e}} - \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2} \right)$ \bigskip \textbf{Question 15 :} \medskip On pose $k(x) = f_{n+1}(x)- f_n(x)$. \medskip \textbf{A.~} La fonction $k$ est positive sur [0~;~1], et de ce fait la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est croissante \textbf{B.~} La fonction $k$ est positive sur [0~;~1] , et de ce fait la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est décroissante \textbf{C.~} La fonction $k$ est négative sur [0~;~1], et de ce fait la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est décroissante \textbf{D.~} La fonction $k$ est négative sur [0~;~1], et de ce fait la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est croissante \end{document}