\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{\theenumi.}}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\Alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\Alph{\theenumii.}}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2011}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{Épreuve optionnelle}} \rfoot{\small 2011} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2011~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} \bigskip \textbf{Question liées :\\[10pt] 1 et 2\\[10pt] 4 à 8\\[10pt] 9 à 13\\[10pt]} \end{center} \newpage \begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center} \medskip On désigne par e, la fonction exponentielle, par $\text{e}^x$ l'image de $x$ par cette fonction et par $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$. \medskip \begin{enumerate} \item On a \medskip \begin{enumerate} \item Pour tous les réels $a$ et $b$,\, $\text{e}^{ab} = \text{e}^{a} \text{e}^{b}$ \item Pour tous les réels $a$ et $b$,\, $\dfrac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}} = \text{e}^{a} - \text{e}^{b}$ \item La droite d'équation $y = x + \text{e}$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse $1$ \item La droite d' équation $y = \text{e}x$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 1 \end{enumerate} \item Soit $a$ un point de l'intervalle $I$, on a \medskip \begin{enumerate} \item Pour que $f$ soit continue en $a$ il est nécessaire que $f$ soit dérivable en ce point \item Pour que $f$ soit dérivable en $a$ il est nécessaire que $f$ soit continue en ce point \item La fonction e est dérivable en $a$ mais n'est pas nécessairement continue en ce point \item Si $f$ est dérivable en $a$ alors $\dfrac{f(a + h) - f(h)}{h}$ a une limite finie, égale à $f'(a)$, lorsque $h$ tend vers $0$ \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center} \medskip On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies sur $\N$ \medskip \item * désignant la multiplication, on a \medskip \begin{enumerate} \item Pour que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ converge il suffit que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(u_n\right)$ convergent \item Pour que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ converge il est nécessaire que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(u_n\right)$ convergent \item Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = +\infty$ alors la suite $\left(u_n + v_n\right)$ converge vers $0$ \item Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty$, pour que la suite $\left(u_n*v_n\right)$ converge il suffit que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $0$ \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On pose $z_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$,\, \[ z_{n+1} = \dfrac{1 + \text{i}}{2}z_n.\] On désigne par $A_n$ le point d'affixe le complexe $z_n$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_n\right|$, où $\left|z_n\right|$ désigne le module du complexe $z_n$. \medskip \item Les coordonnées $(x~;~y)$ du point \medskip \begin{enumerate} \item $A_3$ vérifient $x = \dfrac{1}{2} = - y$ \item $A_3$ vérifient $x = -\dfrac{1}{2} = y$ \item $A_4$ vérifient $x = - \dfrac{1}{2} = - y$ \item $A_4$ vérifient $x = 0$ et $y = - 1$ \end{enumerate} \medskip \item La suite $\left(u_n\right)$ \medskip \begin{enumerate} \item est une suite géométrique de raison 1 et de premier terme $u_0 = 2$ car $|1 + \text{i}| = 2$ \item est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et de premier terme $u_0 = 2$ car $|1 + \text{i}|^2 = 2$ \item vérifie, pour tout $n$ entier naturel, $u_n = \dfrac{2}{\sqrt{2^n}}$ \item est une suite géométrique convergente et de limite nulle car sa raison est positive et strictement inférieure à 1 \end{enumerate} \medskip \item On note D le disque fermé de centre O et de rayon 0,1. Le point $A_n$ appartient à D \medskip \begin{enumerate} \item si et seulement si $u_n^2 \leqslant 0,1$ \item si et seulement si $n$ est supérieur ou égal à $\dfrac{2\ln 10}{\ln 2}$ \item si et seulement si $n$ est un entier supérieur ou égal à $\dfrac{2\ln 20}{\ln 2}$ \item si et seulement si $n$ est égal à $\dfrac{2\ln 20}{\ln 2}$ \end{enumerate} \medskip \item Pour tout entier naturel $n$, $Z_n= \dfrac{z_{n+1} - z_n}{z_{n+1}}$, on a \medskip \begin{enumerate} \item $Z_n$ a pour module 1 et pour argument $\dfrac{\pi}{2}$ car $Z_n= \dfrac{\text{i}(1 + \text{i})}{(1 +\text{i})} = \text{i}$ \item $Z_n$ a pour module 2 et pour argument $\dfrac{\pi}{2}$ car $Z_n= \dfrac{(-1+\text{i})}{(1 - \text{i})}$ \item le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle isocèle en $A_n$ \item le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle isocèle en $A_{n+1}$ \end{enumerate} \medskip \item Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $\ell_n = A_0A_1 + A_1A_2 + \ldots + A_{n-1}A_n$, on a \medskip \begin{enumerate} \item $\ell_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1}$ somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ \item $\ell_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1}$ somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ \item la suite $\left(\ell_n\right)$ diverge \item la suite $\left(\ell_n\right)$ converge vers $2\left(\sqrt{2} + 1\right)$ car $\ell_n = \sqrt{2} \dfrac{\sqrt{2^n} - 1}{\sqrt{2^{n-1}}\left(\sqrt{2} - 1 \right)}$ \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center} On considère les équations différentielles $(E)\quad y' = \dfrac{1}{10}y - \dfrac{3}{10}$ et $(F)\quad z' = -\dfrac{1}{10}z(3 - \ln z)$. On désigne par $f$, une fonction dérivable strictement positive sur l'intervalle $I = [0~;~+\infty[$ et par $g$, la fonction définie sur $I$ par $g(t) = \ln (f(t))$. On note exp la fonction exponentielle \medskip \item L'équation différentielle $(E)$ a pour solution générale \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $z$ qui à $x$ associe $z(x) = C\text{exp}\left(\dfrac{x}{10}\right)$ où $C$ est un réel quelconque \item La fonction $z$ qui à $x$ associe $z(x) = 3 + C\text{exp}\left(\dfrac{x}{10}\right)$ où $C$ est un réel quelconque \item La fonction $z$ qui à $x$ associe $z(x) = \dfrac{3}{10} + C\text{exp}\left(\dfrac{x}{10}\right)$ où $C$ est un réel quelconque \item La fonction $z$ qui à $x$ associe $z(x) = 3 + \text{exp}\left(\dfrac{x}{10}\right)$ \end{enumerate} \medskip \item La fonction $g$ \medskip \begin{enumerate} \item n'est dérivable que sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ \item est dérivable sur l'intervalle $I$ car la fonction ln est dérivable sur $I$ \item a pour dérivée $g'(t) = \dfrac{1}{f(t)}$ pour tout $t$ appartenant à $I$ \item a pour dérivée $g'(t) = \dfrac{f'(t)}{f(t)}$ pour tout $t$ appartenant à $I$ \end{enumerate} \medskip \item On a \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $f$ vérifie l'équation différentielle $(F)$ sur $I$ si et seulement si la fonction $g$ vérifie r équation différentielle $(E)$ sur $I$ \item La fonction $f$ vérifie l'équation différentielle $(E)$ sur $I$ si et seulement si la fonction $g$ vérifie l'équation différentielle $(F)$ sur $I$ \item La fonction $f$ vérifie l'équation différentielle $(E)$ sur $I$ si et seulement si il existe un réel $K$ tel que pour tout $t$ appartenant à $I$,\, $f(t) = \text{exp}\left(3 + K\text{exp}\left(\dfrac{t}{10}\right)\right)$ \item La fonction $f$ vérifie l'équation différentielle $(E)$ sur $I$ si et seulement si pour tout $t$ appartenant à $I$,\, $f(t) = \text{exp}\left(3 + \text{exp}\left(\dfrac{t}{10}\right)\right)$ \end{enumerate} \medskip \item On suppose dorénavant que la fonction $f$ prend la valeur 1 au point $t = 0$. On a alors \medskip \begin{enumerate} \item $f(x)= \text{exp}\left(3 + 3\text{exp}\left(\dfrac{x}{10}\right)\right)$ pour tout $x$ appartenant àI \item $f(x)= \text{exp}\left(3 - 3\text{exp}\left(\dfrac{x}{10}\right)\right)$ pour tout $x$ appartenant à I \item $f(t)$ tend vers $0$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ car exp$(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $-\infty$ \item $f(t)$ tend vers $+\infty$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ car exp$(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $-\infty$ \end{enumerate} \medskip \item La fonction $f$ \medskip \begin{enumerate} \item est strictement croissante sur $I$ \item est décroissante puis croissante sur $I$ \item est croissante puis décroissante sur $I$ \item est strictement décroissante sur $I$ \end{enumerate} \medskip \begin{center}\textbf{PARTIE V}\end{center} \medskip On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $J = ]-1~;~+\infty[$ par \[ h(x) = x - \dfrac{\ln (1 + x)}{1 + x}\] \item La fonction $h$ \medskip \begin{enumerate} \item a pour dérivée $h'(x) = 1 -\dfrac{1}{1 + x}$ pour tout $x$ appartenant à $J$ \item a pour dérivée $h'(x) = \dfrac{(1+x)^2 - 1+ \ln (1+x)}{(1+x)^2}$ pour tout $x$ appartenant à $J$ \item est décroissante sur l'intervalle $]-1~;~1[$ et croissante sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ car la fonction $H(x) = (1 + x)^2 - 1 + \ln (1 + x)$ est croissante sur $J$ et nulle au point $x = 0$ \item est décroissante sur l'intervalle $]-1~;~0[$ et croissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ car la fonction $H(x) = (1 + x)^2 - 1 + \ln (1 + x)$ est croissante sur $J$ et nulle au point $x = 0$. \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{PARTIE VI}\end{center} \medskip On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies respectivement sur l'intervalle $I = ]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln x$ et $g(x) = (\ln x)^2$. On désigne par $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentant respectivement les fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormal \Oij. On note $L$ l'intégrale de la fonction $f$ sur le segment [1~;~e] et $M$ l'intégrale de $g$ sur ce même segment [1~;~e] \medskip \item Soit $\mathcal{A}$ l'aire de la partie du plan délimitée par la droite d'équation $x = 1$, la droite d'équation $x = $e et les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. On obtient \medskip \begin{enumerate} \item par une intégration par parties, $M = \text{e} - L$ et $L = 1$ car $x\ln x - x$ est une primitive de $\ln x$ \item par une intégration par parties, $M = \text{e} -2L$ et $L = 1$ car $x \ln x +x$ est une primitive de $\ln x$ \item $A = L- M = 3 - \text{e}$ \item $A = M + L= \text{e} - 1$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}