\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox,graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{pifont}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{scratch}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{\theenumi.}}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\Alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\Alph{\theenumii.}}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {},
pdftitle = {2011},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\thispagestyle{empty}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{Épreuve optionnelle}}
\rfoot{\small 2011}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2011~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\bigskip

\textbf{Question liées  :\\[10pt]
1 et 2\\[10pt]
4 à 8\\[10pt]
9 à 13\\[10pt]}

\end{center}

\newpage

\begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center}

\medskip

On désigne par e, la fonction exponentielle, par $\text{e}^x$ l'image de $x$ par cette fonction et par $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Pour tous les réels $a$ et $b$,\, $\text{e}^{ab} = \text{e}^{a} \text{e}^{b}$
		\item Pour tous les réels $a$ et $b$,\, $\dfrac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}} = \text{e}^{a} - \text{e}^{b}$
		\item La droite d'équation $y = x + \text{e}$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse $1$
		\item La droite d' équation $y = \text{e}x$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 1
	\end{enumerate}
\item Soit $a$ un point de l'intervalle $I$, on a

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Pour que $f$ soit continue en $a$ il est nécessaire que $f$ soit dérivable en ce point
		\item Pour que $f$ soit dérivable en $a$ il est nécessaire que $f$ soit continue en ce point
		\item La fonction e est dérivable en $a$ mais n'est pas nécessairement continue en ce point
		\item Si $f$ est dérivable en $a$ alors $\dfrac{f(a + h) - f(h)}{h}$ a une limite finie, égale à $f'(a)$, lorsque $h$ tend vers $0$
	\end{enumerate}
	
\bigskip
	
\begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center}

\medskip

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies sur $\N$

\medskip

\item * désignant la multiplication, on a

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Pour que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ converge il suffit que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(u_n\right)$ convergent
		\item Pour que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ converge il est nécessaire que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(u_n\right)$ convergent
		\item Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = +\infty$ alors la suite $\left(u_n + v_n\right)$ converge vers $0$
		\item Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty$, pour que la suite $\left(u_n*v_n\right)$ converge il suffit que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $0$
	\end{enumerate}
\bigskip
	
\begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On pose $z_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$,\,

\[ z_{n+1} = \dfrac{1 + \text{i}}{2}z_n.\]

On désigne par $A_n$ le point d'affixe le complexe $z_n$. 

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_n\right|$, où $\left|z_n\right|$ désigne le module du complexe $z_n$.

\medskip

\item Les coordonnées $(x~;~y)$ du point 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item $A_3$ vérifient $x = \dfrac{1}{2} = - y$
		\item $A_3$ vérifient $x = -\dfrac{1}{2} = y$		
		\item $A_4$ vérifient $x = - \dfrac{1}{2} = - y$ 
		\item $A_4$ vérifient $x = 0$ et $y = - 1$
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item La suite $\left(u_n\right)$

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item est une suite géométrique de raison 1 et de premier terme $u_0 = 2$ car $|1 + \text{i}| = 2$
		\item est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et de premier terme $u_0 = 2$ car $|1 + \text{i}|^2 = 2$ 
		\item vérifie, pour tout $n$ entier naturel, $u_n = \dfrac{2}{\sqrt{2^n}}$
		\item est une suite géométrique convergente et de limite nulle car sa raison est positive et strictement inférieure à 1
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item On note D le disque fermé de centre O et de rayon 0,1. Le point $A_n$ appartient à D 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item si et seulement si $u_n^2 \leqslant 0,1$
		\item si et seulement si $n$ est supérieur ou égal à $\dfrac{2\ln 10}{\ln 2}$
		\item si et seulement si $n$ est un entier supérieur ou égal à 
		$\dfrac{2\ln 20}{\ln 2}$
		\item si et seulement si $n$ est égal à $\dfrac{2\ln 20}{\ln 2}$
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item Pour tout entier naturel $n$, $Z_n= \dfrac{z_{n+1} - z_n}{z_{n+1}}$, on a

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item $Z_n$ a pour module 1 et pour argument $\dfrac{\pi}{2}$ car $Z_n= \dfrac{\text{i}(1 + \text{i})}{(1 +\text{i})} = \text{i}$ 
		\item $Z_n$ a pour module 2 et pour argument $\dfrac{\pi}{2}$  car $Z_n= \dfrac{(-1+\text{i})}{(1 - \text{i})}$
		\item le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle isocèle en $A_n$ 
		\item le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle isocèle en $A_{n+1}$
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $\ell_n =  A_0A_1 + A_1A_2 + \ldots + A_{n-1}A_n$, on a 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item $\ell_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1}$ somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
		\item $\ell_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1}$ somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 
		\item la suite $\left(\ell_n\right)$ diverge

		\item la suite $\left(\ell_n\right)$ converge vers $2\left(\sqrt{2} + 1\right)$ car $\ell_n = \sqrt{2} \dfrac{\sqrt{2^n} - 1}{\sqrt{2^{n-1}}\left(\sqrt{2} - 1 \right)}$
	\end{enumerate}
	
\bigskip
	
\begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center}

On considère les équations différentielles 

$(E)\quad y' = \dfrac{1}{10}y - \dfrac{3}{10}$
et $(F)\quad z' = -\dfrac{1}{10}z(3 - \ln z)$.

On désigne par $f$, une fonction dérivable strictement positive sur l'intervalle 

$I = [0~;~+\infty[$ et par $g$, la fonction définie sur $I$ par $g(t) = \ln (f(t))$.

On note exp la fonction exponentielle

\medskip

\item L'équation différentielle $(E)$ a pour solution générale

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item La fonction $z$ qui à $x$ associe $z(x) = C\text{exp}\left(\dfrac{x}{10}\right)$ où $C$ est un réel quelconque
		\item La fonction $z$ qui à $x$ associe $z(x) = 3 + C\text{exp}\left(\dfrac{x}{10}\right)$ où $C$ est un réel quelconque
		\item La fonction $z$ qui à $x$ associe $z(x) = \dfrac{3}{10} + C\text{exp}\left(\dfrac{x}{10}\right)$ où $C$ est un réel quelconque
		\item La fonction $z$ qui à $x$ associe $z(x) = 3 + \text{exp}\left(\dfrac{x}{10}\right)$
	\end{enumerate}
\medskip

\item  La fonction $g$

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item n'est dérivable que sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$
		\item est dérivable sur l'intervalle $I$ car la fonction ln est dérivable sur $I$ 
		\item a pour dérivée $g'(t) = \dfrac{1}{f(t)}$ pour tout $t$ appartenant à $I$ 
		\item a pour dérivée $g'(t) = \dfrac{f'(t)}{f(t)}$ pour tout $t$ appartenant à $I$
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item On a

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ vérifie l'équation différentielle $(F)$ sur $I$ si et seulement si la fonction $g$ vérifie r équation différentielle $(E)$ sur $I$
		\item La fonction $f$ vérifie l'équation différentielle $(E)$ sur $I$ si et seulement si la fonction $g$ vérifie l'équation différentielle $(F)$ sur $I$
		\item La fonction $f$ vérifie l'équation différentielle $(E)$ sur $I$ si et seulement si il existe un réel $K$ tel que pour tout $t$ appartenant à $I$,\, $f(t) = \text{exp}\left(3 + K\text{exp}\left(\dfrac{t}{10}\right)\right)$ 
		\item La fonction $f$ vérifie l'équation différentielle $(E)$ sur $I$ si et seulement si pour tout $t$ appartenant à $I$,\, $f(t) = \text{exp}\left(3 + \text{exp}\left(\dfrac{t}{10}\right)\right)$
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item On suppose dorénavant que la fonction $f$ prend la valeur 1 au point $t = 0$. On a alors 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item $f(x)= \text{exp}\left(3 + 3\text{exp}\left(\dfrac{x}{10}\right)\right)$ pour tout $x$ appartenant àI
		\item $f(x)= \text{exp}\left(3 - 3\text{exp}\left(\dfrac{x}{10}\right)\right)$ pour tout $x$ appartenant à I
		\item $f(t)$ tend vers $0$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ car exp$(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $-\infty$
		\item $f(t)$ tend vers $+\infty$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ car exp$(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $-\infty$
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item La fonction $f$

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item est strictement croissante sur $I$
		\item est décroissante puis croissante sur $I$
		\item est croissante puis décroissante sur $I$
		\item est strictement décroissante sur $I$
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{PARTIE V}\end{center}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $J =  ]-1~;~+\infty[$
par

\[ h(x) = x - \dfrac{\ln (1 + x)}{1 + x}\]

\item La fonction $h$

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item a pour dérivée $h'(x) = 1 -\dfrac{1}{1 + x}$ pour tout $x$ appartenant à $J$
		\item a pour dérivée $h'(x) = \dfrac{(1+x)^2 - 1+ \ln (1+x)}{(1+x)^2}$ pour tout $x$ appartenant à $J$ 
		\item est décroissante sur l'intervalle $]-1~;~1[$ et croissante sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ car la fonction $H(x) = (1 + x)^2 - 1 + \ln (1 + x)$ est croissante sur $J$ et nulle au point $x = 0$
		\item est décroissante sur l'intervalle $]-1~;~0[$ et croissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ car la fonction $H(x) = (1 + x)^2 - 1 + \ln (1 + x)$ est croissante sur $J$ et nulle au point $x = 0$.
	\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE VI}\end{center}

\medskip

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies respectivement sur l'intervalle $I =  ]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln x$ et $g(x) = (\ln x)^2$.

On désigne par $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentant respectivement les fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormal \Oij.

On note $L$ l'intégrale de la fonction $f$ sur le segment [1~;~e] et $M$ l'intégrale de $g$ sur ce même segment [1~;~e]

\medskip

\item Soit $\mathcal{A}$ l'aire de la partie du plan délimitée par la droite d'équation $x = 1$, la droite d'équation $x = $e et les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. On obtient

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item par une intégration par parties, $M = \text{e} - L$ et $L = 1$ car $x\ln x - x$ est une primitive de $\ln x$
		\item par une intégration par parties, $M = \text{e} -2L$ et $L = 1$ car $x \ln x +x$ est une primitive de $\ln x$
		\item $A = L- M = 3 - \text{e}$
		\item $A = M + L= \text{e} - 1$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}