\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = { 2011}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2011} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2011~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE COMMUNE OBLIGATOIRE} \bigskip \textbf{\large QUESTIONS LIÉES} \textbf{1 à 4\\[4pt] 5 à 10\\[4pt] 11 à 22\\[4pt] 23 à 25\\[4pt]} \begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center} \end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Une école organise un concours de recrutement dont les épreuves comportent une épreuve optionnelle obligatoire avec 3 spécialités Maths, Physique et STI.\\ Parmi les \np{1300}~candidats à ce concours, 50\,\% ont choisi l'épreuve optionnelle de Mathématiques et $450$ d'entre eux sont des filles, $300$ candidats ont choisi l'épreuve optionnelle de Physique et il y a autant de garçons que de filles, enfin parmi les candidats qui ont choisi l'épreuve optionnelle de STI, il y a 6 fois plus de garçons que de filles.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On en déduit que \medskip \textbf{A.~} seuls $200$ garçons ont choisi l'option Mathématiques \textbf{B.~} plus de $201$ garçons ont choisi l'épreuve optionnelle STI \textbf{C.~} moins de $200$ garçons ont choisi l'épreuve optionnelle STI \textbf{D.~} plus de $51$ filles ont choisi l'épreuve optionnelle STI \item La probabilité de l'évènement \medskip \textbf{A.~} $M$ vaut $P(M) = 1/2$ \textbf{B.~} $M$ vaut $P(M) = 1/3$ \textbf{C.~} $T$ vaut $P(T) = 1/2$ \textbf{D.~} $T$ vaut $P(T) = 7/26$ \item L'évènement $M \cap G$ \medskip \textbf{A.~} représente l'évènement \og le candidat choisi est un garçon ayant pris l'option Mathématiques\fg \textbf{B.~}représente l'évènement \og le candidat choisi est soit un garçon soit un candidat ayant pris l'option Mathématiques\fg \textbf{C.~} a pour probabilité $p(M \cap G) 2/13$ \textbf{D.~} a pour probabilité $p(M \cap G) = (1/2)\times (1/2)= 1/4$ \item La probabilité de choisir un garçon parmi les candidats ayant choisi l'option Mathématiques est \medskip \textbf{A.~} la probabilité de réalisation de l'évènement $G$ sachant que $M$ est réalisé \textbf{B.~} la probabilité de réalisation de l'évènement $M$ sachant que $G$ est réalisé \textbf{C.~} égale à $P_M(G) = 4/13 = p(M \cap G)/P(M)$ \textbf{D.~} égale à $P_M(G)= 1/13 = p(M \cap G)P(M)$ \bigskip \begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Un fournisseur d'accès à internet souhaite étudier l'évolution du nombre de ses abonnés à partir des données qu'il possède sur la période comprise entre les années 2004 et 2010. En 2004, rang 1, il y avait 0,5 millions d'abonnés ;\\ en 2005, rang 2, il y en avait 3 millions ;\\ en 2006, rang 3, il y avait 6 millions d'abonnés ;\\ en 2007, rang 4, il y avait 8,4 millions d'abonnés ;\\ en 2008, rang 5, il y avait 12,1 millions d'abonnés ;\\ en 2009, rang 6, il y avait 15 millions d'abonnés; \\ et enfin en 2010, rang 7, il y avait 18 millions d'abonnés.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Le nombre d'abonnés a, entre les années 2004 et 2010, \medskip \textbf{A.~} augmenté de 35\,\% \textbf{B.~} augmenté de \np{3500}\,\% \textbf{C.~} été multiplié par $35$ \textbf{D.~} connu une augmentation de $17,5$ millions \item Le point moyen G a pour coordonnées \medskip \textbf{A.~} les moyennes des coordonnées du nuage de points soit (4~;~9) car \[y_m = \dfrac{(0,5+3+6+8,4+ 12,1+15+18)}{7} = \dfrac{63}{7} = 9.\] \textbf{B.~}(4~;~8,4) \textbf{C.~} (4~;~8) \textbf{D.~} (4~;~12) \item La droite d'ajustement affine de coefficient directeur 3 passant par le point moyen G \medskip \textbf{A.~} a pour équation $y = 3x + 3$ \textbf{B.~} a pour équation $y = 3x - 4$ \textbf{C.~} passe par les points de coordonnées (1~;~6) et (0~;~3) \textbf{D.~} passe par les points de coordonnées (1~;~0) et (0~;~3) \item En 2012 on peut estimer, suivant cet ajustement, qu'il y aura \medskip \textbf{A.~} 21 millions d'abonnés car $y = (3 \times 8) - 3$ \textbf{B.~} 30 millions d'abonnés car $y = (3 \times 9) + 3$ \textbf{C.~} 23 millions d'abonnés car $y = (3 \times 9) - 4$ \textbf{D.~} 24 millions d'abonnés car $y = (3 \times 9) - 3$ \item Le nombre d'abonnés, $y$, dépasse les 32 millions \medskip \textbf{A.~} si $32 \leqslant 3x - 3$ c'est-à-dire $11 = 35/3 \leqslant x$ \textbf{B.~} si $32 \leqslant 3x + 3$ c'est-à-dire $9,67 = 29/3 \leqslant x$ \textbf{C.~} si $32\leqslant 3x - 4$ c'est-à-dire $12 = 36/3 \leqslant x$ \textbf{D.~} si $32 \leqslant 3x - 4$ c'est-à-dire $12 = 36/3 \leqslant x$ \item Le nombre d'abonnés dépassera donc les 32 millions \medskip \textbf{A.~} à partir de 2014 \textbf{B.~} à partir de 2015 \textbf{C.~} à partir de 2016 \textbf{D.~} à partir de 2013 \begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l'ensemble $\R$, des nombres réels, par \[f(x) = 8(x + 1)\text{e}^{-x} \quad \text{et}\quad g(x) = \dfrac{(x+1)\text{e}^x}{2}.\]\\ \hline \end{tabularx} \item La fonction $f$ a pour valeur, au point $x = 0$, \medskip \textbf{A.~} $0$ \textbf{B.~} $1$ \textbf{C.~} $0,5$ \textbf{D.~} $- 8$ \item La fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout $x$ appartenant à l'ensemble $\R$ par \medskip \textbf{A.~} $f(x)= - 8\text{e}^{-x}$ \textbf{B.~} $f(x) = \dfrac{8}{\text{e}^x}$ \textbf{C.~} $f(x)= - 8(x+1)\text{e}^{-x}$ \textbf{D.~} $f(x)= - 8x\text{e}^{-x}$ \item La fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ fa pour valeur, au point $x = 0$, \medskip \textbf{A.~} $f(0) =- 8$ \textbf{B.~}$f(0) = 1$ \textbf{C.~} $f(0) = 0$ \textbf{D.~} $f(0) = 8$ \item Les courbes représentant les fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormal sont notées respectivement $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. On a alors \medskip \textbf{A.~} $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse \textbf{B.~} $\mathcal{C}_g$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse \textbf{C.~} $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $- 1$ \textbf{D.~} $\mathcal{C}_g$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $- 2$ \item La fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ est définie pour tout $x$ appartenant à l'ensemble $\R$ par \medskip \textbf{A.~} $g'(x)= \dfrac{\text{e}^x}{2}$ \textbf{B.~} $g'(x)= \dfrac{(x + 2)\text{e}^x}{2}$ \textbf{C.~} $g'(x)= x\text{e}^x$ \textbf{D.~} $g'(x)= \dfrac{(2x+4)\text{e}^x}{4}$ \item La fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ a pour valeur, au point $x = 0$ \medskip \textbf{A.~} $g'(0) = 0$ \textbf{B.~} $g'(0) = 0,5$ \textbf{C.~} $g'(0) = 1$ \textbf{D.~} $g'(0) = - 1$ \item La fonction $f$ est \medskip \textbf{A.~} croissante sur $\R$ \textbf{B.~}croissante sur l'intervalle $]-\infty~;~0]$ et décroissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ \textbf{C.~} décroissante sur $\R$ \textbf{D.~} décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~0]$ et croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ \item La fonction $g$ est \medskip \textbf{A.~} croissante sur $\R$ \textbf{B.~}décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~0]$ et croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ \textbf{C.~} décroissante sur $\R$ \textbf{D.~} décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~0]$ et croissante sur l'intervalle $[-1~;~+\infty[$ \item Sur l'intervalle $[-1~;~4]$, l'équation $f(x) = g(x)$ \medskip \textbf{A.~} n'admet pas de solution \textbf{B.~}admet au moins une solution car les fonctions $f$ et $g$ s'annulent au point $x = 0$ \textbf{C.~} a une solution unique car les fonctions $f$ et $g$ ne s'annulent qu'au point d'abscisse $- 1$ \textbf{D.~} admet 2 solutions car les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent deux fois \item L'équation $f(x) = g(x)$ est équivalente à \medskip \textbf{A.~} $(x + 1)\left(8 - \dfrac{\text{e}^{2x}}{2}\right) = 0$ \textbf{B.~}$(x + 1)\left(8 - \dfrac{\text{e}^{x}}{2}\right) = 0$ \textbf{C.~} $(x - 1)\left(8 + \dfrac{\text{e}^{2x}}{2}\right) = 0$ \textbf{D.~} $(x - 1)\left(8 + \dfrac{\text{e}^{x}}{2}\right) = 0$ \item ln désignant la fonction logarithme népérien, l'équation $f(x) = g(x)$ est équivalente à \medskip \textbf{A.~} $x = - 1$ ou $x = \dfrac{16}{\text{e}^2}$ \textbf{B.~}$x = - 1$ ou $x = \dfrac{16}{2\text{e}}$ \textbf{C.~} $x = - 1$ et $x = \dfrac{\ln 16}{2} = \ln 4$ \textbf{D.~} $x = 1$ ou $x = -\dfrac{\ln 16}{2} = - \ln 4$ \item L'équation $f(x) = g(x)$ \medskip \textbf{A.~} n'admet pas de solution sur l'intervalle [0~;~1] \textbf{B.~}admet une solution sur l'intervalle [0~;~1] \textbf{C.~} admet deux solutions sur l'intervalle $[-1~;~1]$ \textbf{D.~} admet une solution unique sur l'intervalle $[0~;~\ln S]$ \begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On s'intéresse à l'évolution de la population d'une ville. En 2009 la population est de \np{100000} habitants. On suppose que la population augmente de \np{4000} habitants par an. On note $u_0$ la population de la ville en 2009 et $u_n$ la population de la ville en $(2009 + n)$.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item La suite $u_n$ ainsi définie \medskip \textbf{A.~} est une suite géométrique de raison \np{4000} et de premier terme \np{100000} mais n'est pas une suite arithmétique \textbf{B.~} n'est pas une suite géométrique mais est une suite arithmétique de raison 4\,\% et de premier terme \np{100000} \textbf{C.~} est une suite arithmétique de raison \np{4000} et de premier terme \np{100000} mais n'est pas une suite géométrique \textbf{D.~} est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme 100000 \item La suite $u_n$ vérifie, pour tout $n$ entier positif \medskip \textbf{A.~} $u_n = u_0 q^n$, \,$q$ désignant la raison et $u_0$ le premier terme de la suite \textbf{B.~}$u_n = u_0 + nr$,\,$r$ désignant la raison et $u_0$ le premier terme de la suite \textbf{C.~} $u_n = u_0 + q^n$,\,$q$ désignant la raison et $u_0$ le premier terme de la suite \textbf{D.~} $u_n = u_0nr$,\, $r$ désignant la raison et $u_0$ le premier terme de la suite \item La population de la ville aura au moins doublé par rapport à 2009 \medskip \textbf{A.~} si et seulement si $u_n$ est supérieur ou égal à \np{200000} c'est-à-dire si et seulement si $\np{200000} \leqslant u_0q^n$,\, $q$ désignant la raison et $u_0$ le premier terme de la suite \textbf{B.~} si et seulement si $n$ vérifie $\np{200000} \leqslant u_0nr$,\, $r$ désignant la raison et $u_0$ le premier terme de la suite \textbf{C.~} à partir de l'année 2034 \textbf{D.~} si $25 \leqslant n$ \end{enumerate} \end{document}