\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2010}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2010} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2010~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} \bigskip \textbf{Question liées entres elles :\\[10pt] 1 à 6\\[10pt] 7 à 11\\[10pt] 12 à 13\\} \bigskip \end{center} \newpage \textbf{Exercice 1 Des probabilités} \medskip Dans cet exercice $n$ est un entier naturel non nul. On jette $n$ fois une pièce de monnaie qui fait apparaître le coté \og pile \fg{} avec une probabilité de $p$\, $(0 < p < 1)$. On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de \og piles \fg{} obtenus au cours des $n$ lancers. $Y$ est la variable aléatoire égale au numéro du lancer pour lequel on obtient le premier pile, si un pile est obtenu lors des $n$ lancers, et qui vaut $0$ sinon. \medskip \textbf{Question 1 :} À propos de la variable aléatoire $X$. Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ? \medskip \begin{enumerate} \item $X$ prend ses valeurs dans $\{1~;~2~;~\ldots,~n\}$ \item Pour $k$ un entier tel que $0 \leqslant k,\, \leqslant n$,\, $P(X = k)= \binom{n}{k}(1 - p)^kp^{n-k}$ \item Pour $k$ un entier tel que $0 \leqslant k$,\, $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k(1 - p)^{n-k}$ \item L'espérance mathématique de $X$ est $np(1-p)$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 2 : } À propos de la variable aléatoire $Y$. Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ? \medskip \begin{enumerate} \item $Y$ prend ses valeurs dans $\{1~;~2~;~\ldots,~n\}$ \item Pour $k$ un entier tel que $1 \leqslant k,\, \leqslant n$,\, $P(Y = k)= (1 - p)^{k-1}p$ \item $P(Y = 0) = (1 - p)^n$ \item $P(Y = 0) = p^n$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 3 :} Soit $\left(u_n\right)_{n\in \N^*}$ une suite géométrique de raison $r$ un réel. Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ? \medskip \begin{enumerate} \item $u_1 + u_2 + \ldots + u_n = u_1 \dfrac{1 - r^n}{1 - r}$ si $r \ne 1$ \item $u_1 + u_2 + \ldots + u_n = u_1 \dfrac{1 - r^{n-1}}{1 - r}$ si $r \ne 1$ \item $u_1 + u_2 + \ldots + u_n = n - 1$ si $r = 1$ \item $u_1 + u_2 + \ldots + u_n = nu_1$ si $r = 1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 4 :} Les résultats de la question 3 permettent d'affirmer que: \medskip \begin{enumerate} \item $P(Y = 1) + P(Y = 2) + \ldots +P(Y = n) = 1$ \item $P(Y = 1) + P(Y = 2) + \ldots +P(Y = n) = (1 - p)^n$ \item $P(Y = 1) + P(Y = 2) + \ldots +P(Y = n) = p^n$ \item $P(Y = 1) + P(Y = 2) + \ldots +P(Y = n) = 0$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 5 :} Dans la suite de cet exercice on choisira $n$ et $p$ tels que $np$ soit un entier naturel non nul. Pour tout entier $k$,\, $0 \leqslant k \leqslant n - 1$ , on pose $m(k) = \dfrac{P(X = k+1)}{P(X = k)}$. On peut alors dire que: \medskip \begin{enumerate} \item $m(k) = \dfrac{ (n - k)(1 - p)}{(k + 1)p}$ \item $m(k) = \dfrac{ (n - k)p}{(k + 1)(1 - p)}$ \item $m(k) > 1$ si et seulement si $k \leqslant np - 1$ \item $m(k) > 1$ si et seulement si $k < np - 1$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 6 :} Les résultats de la question précédente permettent donc d'affirmer que: \medskip \begin{enumerate} \item $P(X = k)$ est maximal pour $k=np$ \item $P(X = k)$ est maximal pour $k=np-1$ \item $P(X = k)$ est minimal pour $k=np$ \item $P(X = k)$ est minimal pour $k=np-1$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 : Une fonction définie par une intégrale} \medskip On considère la fonction $f$ définie par, pour tout $x$ réel, \[f(x) = \displaystyle\int_0^{2x} \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t\] On notera $g$ la fonction définie pour tout $x$ réel par $g(x) =\dfrac{1}{1 + x^2}$. \bigskip \textbf{Question 7 :} Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies: \begin{enumerate} \item $f(x)$ est définie pour tout $x$ réel car $g$ est définie sur l'ensemble des réels \item $f(x)$ est définie pour tout $x$ réel positif car $g$ est continue sur l'intervalle $[0~;~2x]$ \item $g$ admet une unique primitive sur l'ensemble des réels car $g$ est continue \item Si $G$ note une primitive de $g$, alors pour tout $x$ réel : $f(x) = G(2x)$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 8 :} Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies: \medskip \begin{enumerate} \item Comme $\dfrac{1}{1 + t^2} > 0$ pour tout $t$ réel, on peut dire que pour tout $a$ et $b$ deux réels, $\displaystyle\int_a^b \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t \geqslant 0$ \item $f(b)- f(a) = \displaystyle\int_{2a}^{2b} \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t$ et donc $f(b)- f(a) \geqslant 0$ si et seulement si $b \geqslant a$ \item $f$ est décroissante \item $f$ est croissante \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 9 :} Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies: \medskip \begin{enumerate} \item $f$ est dérivable sur l'ensemble des réels et pour tout $x$ réel $f'(x) = \dfrac{1}{1 + 4x^2}$ \item $f$ est dérivable sur l'ensemble des réels et pour tout $x$ réel $f'(x) = \dfrac{2}{1 + 4x^2}$ \item la tangente à la courbe représentative de $f$ en $0$ a pour équation $y = x$ \item la tangente à la courbe représentative de $f$ en $0$ a pour équation $y=2x+ 1$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 10 :} Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies: \medskip \begin{enumerate} \item Comme $g$ est paire et en utilisant la définition de l'intégrale comme étant l'aire sous la courbe, $f$ est paire \item Comme $g$ est paire et en utilisant la définition de l'intégrale comme étant l'aire sous la courbe, $f$ est impaire \item Pour tout $x$ réel négatif, $f(x) \leqslant \displaystyle\int_0^{-1}\dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t + 1 - \dfrac{1}{x}$ \item Pour tout $x$ réel positif, $f(x) > \displaystyle\int_0^{-1}\dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t - 1 - \dfrac{1}{x}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 11 :} On pourra utiliser sans le démontrer le théorème suivant: toute fonction croissante admet une limite en $+ \infty$ qui est soit finie soit égale à $+\infty$. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies: \medskip \begin{enumerate} \item $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ \item $f(x)$ ne peut pas tendre vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ puisque pour tout $x$ réel positif $f(x) \leqslant 2$ \item $f$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $+\infty$ \item On ne peut pas savoir avec les informations dont on dispose si $f$ admet ou non une limite quand $x$ tend vers $+\infty$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 :} L'espace est ramené à un repère orthonormé, On considère alors la sphère $S$ de centre I de coordonnées (1~;~1~;~1) et de rayon 2 et le plan $P$ passant par les points A, B et C de coordonnées respectives A$(0~;~0~;~-1)$, B$(1~;~-1~;~0)$ et C(0~;~2~;~1) \bigskip \textbf{Question 12 :} Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies: \medskip \begin{enumerate} \item Une équation de $S$ est donnée par $x^2 - 2x + y^2 - 2y + z^2 - 2z = 1$ \item Une équation de $S$ est donnée par $x^2- 2x + y^2 - 2y + z^2 - 2z = - 1$ \item Une équation de $P$ est donnée par $2x - y - z - 1 = 0$ \item Une équation de $P$ est donnée par $x - 2 y - z - 1 = 0$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 13 :} Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies: \medskip \begin{enumerate} \item Si $G$ est un point de coordonnées $(a~;~b~;~c)$ et $R$ un plan d'équation $\alpha x + \beta y + \gamma z = \delta$, la distance de $G$ à $R$ est donnée par $\dfrac{|\alpha a + \beta b + \gamma c - \delta|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ \item Si $G$ est un point de coordonnées $(a~;~b~;~c)$ et $R$ un plan d'équation $\alpha x + \beta y + \gamma z = \delta$,la distance de $G$ a $R$ est donnée par $\dfrac{|\alpha a + \beta b + \gamma c - \delta|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}}$ \item Si $G$ est un point de coordonnées $(a~;~b~;~c)$ et R un plan d'équation $\alpha x + \beta y + \gamma z = \delta$, la distance de $G$ à $R$ est donnée par $\dfrac{|\alpha a + \beta b + \gamma c + \delta|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ \item Si $G$ est un point de coordonnées $(a~;~b~;~c)$ et $R$ un plan d'équation $\alpha x + \beta y + \gamma z = \delta$, la distance de $G$ à $R$ est donnée par $\dfrac{|\alpha a + \beta b + \gamma c + \delta|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 14 :} Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies: \medskip \begin{enumerate} \item $P$ est sécant à $S$ \item $P$ ne coupe pas $S$ \item Le plan $Q$ d'équation $2x + y - z = 0$ est tangent à $S$ et orthogonal à $P$ \item Le plan $Q'$ d'équation $2x + y- z = 0$ est tangent à $S$ et parallèle à $P$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 15 :} $S'$ est une sphère de centre J et de rayon $R > 0$. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies: \medskip \begin{enumerate} \item Il existe une homothétie de centre I qui transforme $S$ en $S'$ si et seulement si I = J \item Il existe une homothétie de centre I qui transforme $S$ en $S'$ même si I $\ne$ J \item Il existe une homothétie $h$ de centre I qui transforme $S$ en $S'$ alors $P' = h(P)$ est un plan sécant à $S'$ et parallèle à $P$. \item S'il existe une homothétie $h$ de centre I qui transforme $S$ en $S'$ alors $P' = h(P)$ est un plan parallèle à $P$ qui ne coupe pas $S'$. \end{enumerate} \end{document}