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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  2010}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2010~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\bigskip

\textbf{Question liées entres elles :\\[10pt]
1 à 6\\[10pt]
7 à 11\\[10pt]
12 à 13\\}

\bigskip

\end{center}

\newpage

\textbf{Exercice 1  Des probabilités}

\medskip

Dans cet exercice $n$ est un entier naturel non nul. On jette $n$ fois une pièce de monnaie qui fait apparaître le coté \og pile \fg{} avec une probabilité de $p$\, $(0 < p < 1)$. 

On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de \og piles \fg{} obtenus au cours des $n$ lancers. $Y$ est la variable aléatoire égale au numéro du lancer pour lequel on obtient le premier pile, si un pile est obtenu lors des $n$ lancers, et qui vaut $0$ sinon.

\medskip

\textbf{Question 1 :} À propos de la variable aléatoire $X$.

Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ?

\medskip

\begin{enumerate}
\item $X$ prend ses valeurs dans $\{1~;~2~;~\ldots,~n\}$
\item Pour $k$ un entier tel que $0 \leqslant k,\, \leqslant n$,\, $P(X =  k)= \binom{n}{k}(1 - p)^kp^{n-k}$
\item Pour $k$ un entier tel que $0 \leqslant k$,\, $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k(1 - p)^{n-k}$ 
\item L'espérance mathématique de $X$ est $np(1-p)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 2 : } À propos de la variable aléatoire $Y$.

Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ?

\medskip

\begin{enumerate}
\item $Y$ prend ses valeurs dans $\{1~;~2~;~\ldots,~n\}$
\item Pour $k$ un entier tel que $1 \leqslant k,\, \leqslant n$,\, $P(Y =  k)= (1 - p)^{k-1}p$
\item $P(Y = 0) = (1 - p)^n$
\item $P(Y = 0) = p^n$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3 :} Soit $\left(u_n\right)_{n\in \N^*}$ une suite géométrique de raison $r$ un réel. 

Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ?

\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_1 + u_2 + \ldots  + u_n = u_1 \dfrac{1 - r^n}{1 - r}$ si $r \ne 1$
\item $u_1 + u_2 + \ldots  + u_n = u_1 \dfrac{1 - r^{n-1}}{1 - r}$ si $r \ne 1$
\item $u_1 + u_2 + \ldots  + u_n = n - 1$ si $r = 1$
\item $u_1 + u_2 + \ldots  + u_n = nu_1$ si $r = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 4 :} Les résultats de la question 3 permettent d'affirmer que:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P(Y = 1) + P(Y  = 2) + \ldots +P(Y = n)  = 1$
\item $P(Y = 1) + P(Y  = 2) + \ldots +P(Y = n)  = (1 - p)^n$
\item $P(Y = 1) + P(Y  = 2) + \ldots +P(Y = n)  = p^n$
\item $P(Y = 1) + P(Y  = 2) + \ldots +P(Y = n)  = 0$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 5 :} Dans la suite de cet exercice on choisira $n$ et $p$ tels que $np$ soit un entier naturel non nul. 

Pour tout entier $k$,\, $0 \leqslant k \leqslant n - 1$ , on pose $m(k) = \dfrac{P(X = k+1)}{P(X = k)}$.

On peut alors dire que:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $m(k) = \dfrac{ (n - k)(1 - p)}{(k + 1)p}$
\item $m(k) = \dfrac{ (n - k)p}{(k + 1)(1 - p)}$
\item $m(k) > 1$ si et seulement si $k \leqslant np - 1$
\item $m(k) > 1$ si et seulement si $k < np - 1$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 6 :} Les résultats de la question précédente permettent donc d'affirmer que:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P(X = k)$ est maximal pour $k=np$
\item $P(X = k)$ est maximal pour $k=np-1$
\item $P(X = k)$ est minimal pour $k=np$ 
\item $P(X = k)$ est minimal pour $k=np-1$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 : Une fonction définie par une intégrale}

\medskip



On considère la fonction $f$ définie par, pour tout $x$ réel,

\[f(x) = \displaystyle\int_0^{2x} \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t\]

On notera $g$ la fonction définie  pour tout $x$ réel par $g(x) =\dfrac{1}{1 + x^2}$.

\bigskip

\textbf{Question 7 :} Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:

\begin{enumerate}
\item $f(x)$ est définie pour tout $x$ réel car $g$ est définie sur l'ensemble des réels
\item $f(x)$ est définie pour tout $x$ réel positif car $g$ est continue sur l'intervalle $[0~;~2x]$ 
\item $g$ admet une unique primitive sur l'ensemble des réels car $g$ est continue
\item Si $G$ note une primitive de $g$, alors pour tout $x$ réel : $f(x) = G(2x)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 8 :} Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comme $\dfrac{1}{1 + t^2} > 0$ pour tout $t$
 réel, on peut dire que pour tout $a$ et $b$ deux réels,
$\displaystyle\int_a^b \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t \geqslant 0$
\item $f(b)- f(a) = \displaystyle\int_{2a}^{2b} \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t$
 et donc $f(b)- f(a)  \geqslant 0$ si et seulement si $b \geqslant a$
\item $f$ est décroissante 
\item $f$ est croissante
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 9 :}

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f$ est dérivable sur l'ensemble des réels et pour tout $x$ réel $f'(x) = \dfrac{1}{1 + 4x^2}$
\item $f$ est dérivable sur l'ensemble des réels et pour tout $x$ réel $f'(x) = \dfrac{2}{1 + 4x^2}$
\item la tangente à la courbe représentative de $f$ en $0$ a pour équation $y = x$
\item la tangente à la courbe représentative de $f$ en $0$ a pour équation $y=2x+ 1$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 10 :} Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comme $g$ est paire et en utilisant la définition de l'intégrale comme étant l'aire sous la courbe, $f$ est paire
\item Comme $g$ est paire et en utilisant la définition de l'intégrale comme étant l'aire sous la courbe, $f$ est impaire
\item Pour tout $x$ réel négatif, $f(x) \leqslant \displaystyle\int_0^{-1}\dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t + 1 - \dfrac{1}{x}$
\item Pour tout $x$ réel positif, $f(x) > \displaystyle\int_0^{-1}\dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t  - 1 - \dfrac{1}{x}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 11 :} On pourra utiliser sans le démontrer le théorème suivant: toute fonction croissante admet une limite en $+ \infty$ qui est soit finie soit égale à $+\infty$.

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$
\item $f(x)$ ne peut pas tendre vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ puisque pour tout $x$ réel positif $f(x) \leqslant 2$
\item $f$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $+\infty$
\item On ne peut pas savoir avec les informations dont on dispose si $f$ admet ou non
une limite quand $x$ tend vers $+\infty$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 :}

L'espace est ramené à un repère orthonormé, On considère alors la sphère $S$ de centre I de coordonnées (1~;~1~;~1) et de rayon 2 et le plan $P$ passant par les points A, B et C de coordonnées respectives A$(0~;~0~;~-1)$, B$(1~;~-1~;~0)$ et C(0~;~2~;~1)

\bigskip

\textbf{Question 12 :} Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une équation de $S$ est donnée par $x^2 - 2x + y^2 - 2y + z^2 - 2z = 1$
\item Une équation de $S$ est donnée par $x^2- 2x + y^2 - 2y + z^2 - 2z = - 1$
\item Une équation de $P$ est donnée par $2x - y - z - 1 = 0$
\item Une équation de $P$ est donnée par $x - 2 y - z - 1 = 0$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 13 :} Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $G$ est un point de coordonnées $(a~;~b~;~c)$ et $R$ un plan d'équation
$\alpha x + \beta y + \gamma z = \delta$, la distance de $G$ à $R$ est donnée par 
$\dfrac{|\alpha a + \beta b + \gamma c - \delta|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
\item Si $G$ est un point de coordonnées $(a~;~b~;~c)$ et $R$ un plan d'équation
$\alpha x + \beta y + \gamma z = \delta$,la distance de $G$ a $R$ est donnée par
$\dfrac{|\alpha a + \beta b + \gamma c - \delta|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}}$
\item Si $G$ est un point de coordonnées $(a~;~b~;~c)$ et R un plan d'équation 
$\alpha x + \beta y + \gamma z = \delta$, la distance de $G$ à $R$ est donnée par 
$\dfrac{|\alpha a + \beta b + \gamma c + \delta|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
\item Si $G$ est un point de coordonnées $(a~;~b~;~c)$ et $R$ un plan d'équation
$\alpha x + \beta y + \gamma z = \delta$, la distance de $G$ à $R$ est donnée par
$\dfrac{|\alpha a + \beta b + \gamma c + \delta|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 14 :} Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P$ est sécant à $S$
\item $P$ ne coupe pas $S$
\item Le plan $Q$ d'équation $2x + y - z = 0$ est tangent à $S$ et orthogonal à $P$ 
\item Le plan $Q'$ d'équation $2x + y- z = 0$ est tangent à $S$ et parallèle à $P$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 15 :} $S'$ est une sphère de centre J et de rayon $R > 0$.

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Il existe une homothétie de centre I qui transforme $S$ en $S'$ si et seulement si I = J
\item Il existe une homothétie de centre I qui transforme $S$ en $S'$ même si I $\ne$  J
\item Il existe une homothétie $h$ de centre I qui transforme $S$ en $S'$ alors $P' =  h(P)$ est un plan sécant à $S'$ et parallèle à $P$.
\item S'il existe une homothétie $h$ de centre I qui transforme $S$ en $S'$ alors $P' = h(P)$ est un plan parallèle à $P$ qui ne coupe pas $S'$.
\end{enumerate}
\end{document}