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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 2010}
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\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2010~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE COMMUNE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\bigskip

\textbf{\large Questions liées}

\bigskip

\textbf{\large 1 à 8}\\

\textbf{1 à 14}\\

\textbf{15 à 18}\\

\textbf{19 à 23}\\

\textbf{24 à 25}

\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE 1}\end{center}


\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On considère les fonctions $f$,\, $g$ définies sur l'intervalle $I= ]-\infty~;~+\infty[$ et $h$ définie sur l'intervalle  $J = ]0~;~+\infty[$ par :
\begin{center}$\begin{array}{l c l}
f(x) &=& 2x^2 -3 x -2\\
g(x) &=& 2\text{e}^{2x}- 3\text{e}^x - 2\\
h(x) &=& 2 (\ln x)^2+ \ln \left(\dfrac{1}{x^3}\right) - 2\\
\end{array}$\end{center}
où ln désigne la fonction logarithme népérien et e la fonction exponentielle.\\
On note $f'$,\, $g'$ et $h'$ les fonctions dérivées respectivement des fonctions $f$, $g$ et $h$.\\
On appelle $\left(E_1\right)$ l'équation $g(x) = 0$ et $\left(E_2\right)$ l'équation $h(x)= 0$.\\
On désigne par $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives respectivement des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 1}

Pour tout $x$ réel, $f(x)$ peut s'écrire sous la forme: 

\medskip
 
\textbf{a.~} $f(x) = 2\left[x + \dfrac{1}{2}\right]\left[\dfrac{x}{2} - 1\right]$

\textbf{b.~} $f(x) = (x + 2)(2x - 1)$

\textbf{c.~} $f(x) = (x - 2)(2x + 1)$

\textbf{d.~} $f(x) = 2(x + 2)\left(x - \dfrac{1}{2}\right)$

\bigskip

\textbf{Question 2}

Pour tout $x$ réel, la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ est définie par : 

\medskip

\textbf{a.~} $g'(x) = 2\text{e}^{2x}- 3\text{e}^x$

\textbf{b.~} $g'(x) = 4\text{e}^x-3$

\textbf{c.~} $g'(x) = 4\text{e}^{2x} -  3\text{e}^x$ 

\textbf{d.~} $g'(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 3\right)$

\bigskip

\textbf{Question 3}

Pour tout $x$ réel strictement positif; la fonction dérivée $h'$ de la fonction $h$ est définie par :

\medskip

\textbf{a.~} $h'(x) = 2\ln (x)- 3$

\textbf{b.~} $h'(x) = 4\dfrac{\ln x}{x} -\dfrac{3}{x}$

\textbf{c.~} $h'(x) = 4\ln x  - 3 \ln \left(x^2\right)$ 

\textbf{d.~} $h'(x) = 4{\dfrac{\ln x}{x} - 3\dfrac{\ln \left(x^2\right)}{x}}$

\bigskip

\textbf{Question 4}

La fonction $g'$

\medskip
 
\textbf{a.~} est de signe constant sur l'intervalle $I$

\textbf{b.~} change de signe niais ne s'annule pas sur l'intervalle $I$

\textbf{c.~} s'annule au point $x = \ln 3 - \ln 4$

\textbf{d.~} s'annule au point $x = \dfrac{\ln 3}{\ln 4}$

\bigskip

\textbf{Question 5}

La fonction $h'$

\medskip

\textbf{a.~} est de signe constant sur l'intervalle $J$

\textbf{b.~} s'annule au point $x = \text{e}^4 - \text{e}^3$

\textbf{c.~} s'annule au point $x = -\text{e}^{-1}$

\textbf{d.~} s'annule au point $x = -\text{e}^{\frac{3}{4}}$.

\bigskip

\textbf{Question 6}

La fonction $f$ est

\medskip
 
\textbf{a.~} croissante et positive sur l'intervalle $[3/4~;~+\infty[$

\textbf{b.~} décroissante et négative sur l'intervalle $[-1/2~;~3/4]$ 

\textbf{c.~} négative et croissante sur l'intervalle $[-1/2~;~2]$

\textbf{d.~} positive uniquement sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$

\bigskip

\textbf{Question 7}

L'équation $\left(E_1\right)$

\medskip
 
\textbf{a.~} a une solution unique $x = \ln 2$

\textbf{b.~} n'admet pas de solution

\textbf{c.~} a deux solutions $-2$ et $-1$

\textbf{d.~} a deux solutions $2$ et $1$.

\bigskip

\textbf{Question 8}

La fonction h est

\medskip
 
\textbf{a.~} décroissante et négative sur l'intervalle $J$

\textbf{b.~} croissante et positive sur l'intervalle $J$

\textbf{c.~} décroissante sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^{\frac{3}{4}}\right]$ et croissante sur l'intervalle $\left[\text{e}^{\frac{3}{4}}~;~+\infty\right[$

\textbf{d.~}  croissante, négative sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^{\frac{3}{4}}\right]$ et décroissante, positive sur l'intervalle $\left[\text{e}^{\frac{3}{4}}~;~+\infty\right[$.

\bigskip

\textbf{Question 9}

L'équation $\left(E_2\right)$

\medskip
 
\textbf{a.~} a une solution unique $x = \text{e}^2$

\textbf{b.~} n'admet pas de solution

\textbf{c.~} a deux solutions $-\text{e}^2$ et $\text{e}^{-1/2}$

\textbf{d.~} a deux solutions $\text{e}^2$ et $\dfrac{-1}{\text{e}^2}$

\bigskip

\textbf{Question 10}

La courbe $\mathcal{C}_f$

\medskip
 
\textbf{a.~} admet un maximum au point $x = 3/4$

\textbf{b.~} est symétrique par rapport au point origine

\textbf{c.~} est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées O$y$

\textbf{d.~} est symétrique par rapport à l'axe des abscisses O$x$

\bigskip

\textbf{Question 11}

La courbe $\mathcal{C}_g$

\medskip
 
\textbf{a.~} admet un minimum au point $x = 3/4$

\textbf{b.~} admet un minimum au point $x = \ln 3 - \ln 4$

\textbf{c.~} est symétrique par rapport au point origine

\textbf{d.~} est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées O$y$

\bigskip

\textbf{Question 12}

On a 

\medskip
 
\textbf{a.~} les fonctions $f$,\, $g$ et $h$ ont le même minimum égal à $-25/8$

\textbf{b.~} les fonctions $f$,\, $g$ et $h$ ont des minimums différents

\textbf{c.~} les fonctions $f$,\, $g$ et $h$ ont le même maximum égal à $-25/8$ 

\textbf{d.~} les fonctions $f$,\, $g$ et $h$ ont le même maximum égal à $25/8$

\bigskip

\textbf{Question 13}

La fonction $g$ est la dérivée de la fonction $G$ définie sur l'intervalle $I$ par 
 
\medskip
 
\textbf{a.~} $G(x) = 2\text{e}^{2x} - 3\text{e}^x$

\textbf{b.~} $G(x) = \text{e}^{2x} - 3\text{e}^x - 2x - 2$ 

\textbf{c.~} $G(x) = \text{e}^{2x} - 3\text{e}^ - 2x$

\textbf{d.~} $G(x) =x\text{e}^{2x} -3x\text{e}^x - 2x$.

\bigskip

\textbf{Question 14}

La fonction $h$ est la dérivée de la fonction $H$ définie sur l'intervalle $J$ par 

\medskip
 
\textbf{a.~} $H(x) = (x\ln (x) - x)(\ln (x) -1) + x$

\textbf{b.~} $H(x) = \dfrac{2}{3} (\ln x)^3 - \dfrac{3}{2} (\ln x)^2 - 2x$

\textbf{c.~} $H(x) = 2x(\ln x)^2 -3x\ln(x) - 2x$

\textbf{d.~} $H(x) = \dfrac{4 \ln x -3}{x}$


\begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On considère un placement à intérêts composés à 12\,\% par an. On note $B_0$ le capital initial et $B(n)$ le capital après $n$ années de placement dans ces conditions, $n$ étant un entier naturel non nul.\\
ln désigne la fonction logarithme népérien.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 15} 

Après $n$ années de placement, $n$ étant un entier strictement positif

\medskip
 
\textbf{a.~} $B(n) = 28 nB_0/25$

\textbf{b.~} le capital a augmenté de $3nB_0/25$,\, $B(n)$ est une suite arithmétique

\textbf{c.~} $B(n) = \left(\dfrac{13}{12}\right)^nB_0$,\, $B(n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{13}{12}$

\textbf{d.~}  $B(n) = \left(\dfrac{28}{25}\right)^nB_0$,\, $B(n)$ est une suite arithmétique de raison $1,12$.

\bigskip

\textbf{Question 16}

On suppose, dans cette question, que le capital initial est \np{1000} euros. Après $2$ années de placement

\medskip
 
\textbf{a.~} le capital a augmenté de 24\,\% soit $240$ euros 

\textbf{b.~} le capital a augmenté de $120^2$ euros

\textbf{c.~} le capital a augmenté de $\left[\frac{3}{25} + \left(\frac{3}{25}\right)^2\right] \times \np{1000}$ soit $134,40$ euros 

\textbf{d.~} le capital a augmenté de $\left[\frac{6}{25} + \left(\frac{3}{25}\right)^2\right] \times \np{1000}$ soit $254,40$ euros.

\bigskip

\textbf{Question 17}

Le nombre $k$ d'années au bout duquel on détient un capital d'au moins \np{1700} euros à partir d'un capital initial de \np{1000} euros vérifie

\medskip
 
\textbf{a.~} $k < \dfrac{\ln \np{1700}}{\ln 1,12}$

\textbf{b.~} $k = \ln \dfrac{\np{1700}}{1,12}$

\textbf{c.~} $k$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{\ln \np{1700}}{\ln 1,12}$

\textbf{d.~} $k = 5$

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On considère, maintenant, un placement à intérêts simples à 12\,\% par an. On note $C_0$ le capital initial et $C(n)$ le capital après $n$ années de placement dans ces conditions, $n$ étant un entier naturel non nul.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 18}

Après $n$ années de placement, $n$ étant un entier strictement positif

\medskip

\textbf{a.~} $C(n) = 28 nC_0/25$

\textbf{b.~} le capital a augmenté de $3nC_0/25$

\textbf{c.~} $C(n) = \left(\dfrac{13}{12}\right)nC_0$

\textbf{d.~} le capital a augmenté de $\left(\dfrac{3}{25}\right)^nC_0$


\begin{center} \textbf{PARTIE III}\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [10~;~90]$ par : 

\[f(x) = \dfrac{110 \ln (x) - 220}{x}.\]\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 19}

La fonction $f$

\medskip
 
\textbf{a.~}  a pour dérivée la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{110}{x}$ pour tout $x $appartenant à l'intervalle $I$

\textbf{b.~} a pour dérivée la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{110(3 - \ln(x)}{x^2}$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $I$

\textbf{c.~} a pour dérivée la fonction $f$ définie par $f(x) = - \dfrac{110}{x^3}$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $I$

\textbf{d.~} a pour dérivée la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{110(\ln (x)- 3)}{x^2}$pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $I$

\bigskip

\textbf{Question 20}

Sur l'intervalle $I$, l'équation $\ln(x) - 3 = 0$ 

\medskip
 
\textbf{a.~} n'admet pas de solution

\textbf{b.~} admet plus d'une solution

\textbf{c.~} admet une solution unique $x = \ln 3$

\textbf{d.~} admet une solution unique $x = \text{e}^3$.

\bigskip

\textbf{Question 21}

Sur l'intervalle $I$, l'inéquation $\ln (x) - 3 < 0$ 

\medskip
 
\textbf{a.~} n'admet pas de solution

\textbf{b.~} a pour ensemble de solutions l'intervalle $\left[10~;~\text{e}^3\right[$ 

\textbf{c.~} a pour ensemble de solutions l'intervalle $\left[10~;~\text{e}^3\right[$ 

\textbf{d.~} admet une seule solution

\bigskip

\textbf{Question 22}

La fonction $f$ est

\medskip
 
\textbf{a.~} décroissante sur l'intervalle $\left[10~;~\text{e}^3\right[$ et croissante sur l'intervalle $\left[\text{e}^3~;~90\right]$ 

\textbf{b.~} croissante sur l'intervalle $I$

\textbf{c.~} croissante sur l'intervalle $\left[10~;~\text{e}^3\right[$ et décroissante sur l'intervalle $\left[\text{e}^3~;~90\right]$ 

\textbf{d.~} décroissante sur l'intervalle $I$

\bigskip

\textbf{Question 23}

La fonction $f$

\medskip
 
\textbf{a.~} n'admet pas d'extremum sur l'intervalle $I$

\textbf{b.~} admet un minimum sur l'intervalle $I$ qui vaut $f\left(\text{e}^3\right) = 5,5$

\textbf{c.~} admet, sur l'intervalle $I$, un maximum au point $x = \text{e}^3$ qui vaut $- 5,5$

\textbf{d.~} est, sur l'intervalle $I$, inférieure à $\dfrac{330 - 220}{\text{e}^3}$

\begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On considère une progression arithmétique $\left(u_n\right)$,\, $n$ entier supérieur ou égal à 1, de premier terme $u_1$ et de raison $r$ telle que la somme $S_n$ de ses $n$ premiers termes est donnée par la formule $S_n = 3n^2 + 4n$ pour tout $n$ entier strictement positif.
\\ \hline
\end{tabularx}


\bigskip

\textbf{Question 24}

Pour tout $n$ entier strictement positif on a 

\medskip
 
\textbf{a.~} $u_n = u_1+ (n - 1)r$

\textbf{b.~} $u_n = u_1r^{n-1}$

\textbf{c.~} $S_n = \dfrac{n\left(u_1 + u_1 + (n-1)r\right)}{2}$

\textbf{d.~} $S_n =  u_1\dfrac{\left(1 - r^n\right)}{(1-r)}$  pour $r$ différent de 1

\bigskip

\textbf{Question 25 :}

\medskip

On en déduit

\medskip
 
\textbf{a.~} $u_1 = 6$ et $r = 7$ 

\textbf{b.~} $u_1 = 7$ et $r = 5$

\textbf{c.~} $u_n = 5n + 2$ pour tout $n$ entier strictement positif 

\textbf{d.~} $u_n= 7 \times  6^{n-1}$ pour tout $n$ entier strictement positif
\end{document}