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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  2009}
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\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2009~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\bigskip

\textbf{Question liées entres elles :\\[7pt]
3, 4, 5 et 6\\[7pt]
7, 8, 9 et 10\\[7pt]
11, 12 et 13\\[7pt]
Toutes les autres questions sont indépendantes les unes des autres}

\end{center}

\newpage

\textbf{Question 1}

\medskip

$\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est une suite de réels. On dira que $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge vers un réel $\lambda$ si et seulement si :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel que soit un intervalle contenant $\lambda$, tous les éléments de $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ sont dans cet intervalle.
\item Quel que soit un intervalle ouvert contenant $\lambda$, tous les éléments de $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ sont dans cet intervalle.
\item Quel que soit un intervalle ouvert contenant $\lambda$, une infinité d'éléments de $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ sont dans cet intervalle.
\item Quel que soit un intervalle ouvert contenant $\lambda$, il existe un rang à partir duquel tous les éléments de $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ sont dans cet intervalle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Dire qu'une suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ ne converge pas vers $0$ c'est dire que:

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Quel que soit $n \in \N$,\, $u_n > 0$ ou $u_n < 0$
\item Quel que soit $\epsilon > 0$, quel que soit $n \in \N$,\, $u_n \notin ]- \epsilon~;~\epsilon[$
\item Il existe $\epsilon > 0$, quel que soit un rang $n_0 \in \N$, il existe $n > n_0$ et $u_n \notin ]- \epsilon~;~\epsilon[$
\item Quelque soit $\epsilon > 0$, quel que soit $n \in \N$,\, $u_n \in ]- \epsilon~;~\epsilon[$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Nota Bene: Les questions 3, 4, 5 et 6 sont liées}

\bigskip

\textbf{Question 3 :}

On considère les suites $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ vérifiant:

pour tout $n \in \N$,\, $u_{n+1} = 2u_n + \dfrac{1}{u_n}$ et $u_0 \ne 0$.
On peut alors montrer que :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n \in \N$,\,$u_n > 0$, par récurrence
\item Pour tout $n \in \N$,\,$u_n$ est du signe de $u_0$
\item Pour tout $n \in \N$,\, $u_n < 0$
\item Pour tout $n \in \N$,\, $u_n\ne  0$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 4 :}

On introduit la fonction $f \,  :\begin{array}{|l c l}
\R&\to&\R\\
x&\longmapsto&2x + \dfrac{1}{x}\end{array}$. 

On appellera $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un
repère \Oij{} donné. On peut alors dire que :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = 0$ car $f$ est impaire
\item $\mathcal{C}_f$ admet $y = 2x$ comme asymptote en $+ \infty$  et $y = -2x$ en $- \infty$
\item $\mathcal{C}_f$ admet un minimum global en $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et un maximum local en $x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
\item $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty$ donc $\displaystyle\lim_{x \to 0}  f(x) = + \infty$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 5 :}

On considère la restriction de la fonction $f$ à l'intervalle 
$\left]0~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$, soit la fonction

$g :\, \left|\begin{array}{l c l}
\left]0~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] 	&\to 			&\R\\
x 										& \longmapsto 	&2x + \dfrac{1}{x}
\end{array}\right..$

On peut alors affirmer que :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $g$ est strictement décroissante et continue sur cet intervalle. C'est une bijection de $\left]0~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$ sur $\left]2\sqrt{2}~;~+ \infty\right]$
\item Puisque $g$ est une bijection il y a une solution unique à l'équation $f(x) = 3\sqrt{2}$
\item Si $y = g(x)$ alors $x = \dfrac{y+\sqrt{y^2 - 8}}{4}$
\item Si $y = g(x)$ alors $x = \dfrac{y-\sqrt{y^2 - 8}}{4}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 6 :}

On considère à nouveau les suites $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définies en question 3. On choisira de plus dans la suite de ce sujet $u_0 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Que peut-on alors affirmer?

\medskip

\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est décroissante car $g$ est décroissante.
\item Pour tout $n \in \N,\,  u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ et $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est croissante car pour tout $x > 0,\,  f(x) - x > 0$
\item Les solutions de $f(x) = x$ sont 1 et $-1$ et $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge vers 1 puisque pour tout $n \in \N,\, u_n > 0$
\item L'équation $f(x) = x$ n'admet aucune solution réelle et donc la suite
$\left(u_n\right)_{n\in \N}$ diverge. De plus comme $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est croissante  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = + \infty$.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Nota Bene : Les questions $7$, $8$, $9$ et $10$ sont liées} 

\bigskip

\textbf{Question 7 :}

A l'ENAC, il y a des jours où il fait soleil et des jours où il ne fait pas soleil.
Si il fait soleil un jour, le lendemain il fait soleil avec une probabilité $a$\, $(a \in  ]0~;~1[)$ et s'il ne fait pas soleil un jour, le lendemain il fait soleil avec une probabilité $b$ \, $(b \in  ]0~;~1[)$.

Nous noterons $S_n$ l'évènement \og le jour $n$ il fait soleil sur l'ENAC \fg. $\overline{S_n}$ notera l'événement contraire à $S_n$. Le jour 1 il fait soleil sur l'ENAC. 

L'énoncé nous donne:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P\left(S_1\right) = a$
\item $P\left(S_n\right) = a$, pour tout $n \in \N$
\item $P_{S_n}\left(\overline{S_{n+1}}\right) = b$, pour tout $n \in \N$
\item $P_{\overline{S_n}}\left(S_{n+1}\right) = b$, pour tout $n \in \N$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 8 :}

La formule des probabilités totales nous permet d'écrire:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P\left(S_{n+1}\right) = P_{S_n}\left(S_{n+1}\right) + P_{\overline{S_n}}\left(S_{n+1}\right)$
\item $P\left(S_{n+1}\right) = P_{S_n}\left(S_{n+1}\right)P\left(S_n \right)  + P_{\overline{S_n}}\left(S_{n+1}\right)\left(1 - P\left(S_n\right)\right)$
\item $P\left(S_{n+1}\right) = (a - b)P_{S_n}+ b$
\item $P\left(S_{n+1}\right) = (b - a)P_{S_n} + a$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 9 :}

On considère alors la suite réelle $p_n = P\left(S_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $|a - b| < 1$
\item Il existe un réel $\lambda$ tel que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie par :
pour tout $n \in \N,\, v_n = p_n - \lambda$ soit géométrique de raison $|a - b|$.
\item Il existe un réel $\lambda$ tel que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie par : Pour tout $n \in \N,\, v_n = p_n - \lambda$
soit géométrique de raison $(a - b)$ 
\item La suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie par :
pour tout $n \in \N,\, v_n = p_n - \dfrac{a}{1 - a + b}$ est géométrique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 10 :}

On peut donc écrire que:

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n \in \N,\,  v_n = (a - b)^{n-1}\dfrac{1 - a}{1 + b - a}$
\item Pour tout $n \in \N,\, v_n = (a - b)^{n}\dfrac{1 - a}{1 + b - a}$
\item Pour tout $n \in \N,\,P\left(S_n\right) = (a- b)^{n-1}\dfrac{1 - a}{1 + b - a} - \dfrac{b}{1 + b - a}$
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(S_n\right)  = \dfrac{b}{1 + b - a}$
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Nota Bene: Les questions $11, 12$ et $13$ sont liées} 

\bigskip

\textbf{Question 11 :}

On considère une fonction $f$, définie et continue sur $\R$ et telle que

\[\displaystyle\int_0^x f(t)\:\text{d}t + 2f(x) = 2.\]

On peut dire que :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x \longmapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\:\text{d}t$ n'est pas nécessairement dérivable sur $\R$ car on ne sait pas si $f$ est dérivable sur $\R$.
\item $x \longmapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\:\text{d}t$ est définie sur $\R$ car $f$ est définie sur $\R$
\item $f$ est dérivable sur $\R$, car elle somme de $x \longmapsto - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^x f(t)\:\text{d}t$ et de $x \longmapsto 1$ qui sont toutes deux dérivables sur $\R$.
\item $f$ n'est pas nécessairement dérivable sur $\R$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 12 :}

Si on suppose que $f$ est dérivable (soit parce qu'on l'a démontré en question précédente, soit en faisant cette hypothèse supplémentaire). On peut affirmer que:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'(x) + 2f(x) = 0$, pour tout $x$ réel
\item $2f'(x) + f(x) = 0$, pour tout $x$ réel
\item Il existe $C$ réel tel que, pour tout $x$ réel : $f(x) = C\text{e}^{2x}$.
\item Il existe $C$ réel tel que, pour tout $x$ réel $f(x) = C\text{e}^{\frac{x}{2}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 13 :}

Les fonctions satisfaisant à la question 11 sont donc :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Toutes les fonctions de la forme $x \longmapsto C\text{e}^{- \frac{x}{2}} + 2$
\item Toutes les fonctions de la forme $x \longmapsto + C\text{e}^{\frac{x}{2}} + 2$ 
\item La seule fonction qui convient est $x \longmapsto -\text{e}^{- \frac{x}{2}}$
\item La seule fonction qui convient est $x \longmapsto  \text{e}^{\frac{x}{2}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 14 :}

On note j le nombre complexe j $= \text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 

On rapporte le plan complexe à un repère orthonormé direct \Oij{} et on note A un point d'affixe $z$,\, $z \ne 0$, B le point d'affixe j$z$ et C le point
d'affixe j$^2z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $1 + \text{j} + \text{j}^2 = \dfrac{1 - \text{j}^2}{1 - \text{j}}$
\item $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$, ce qui permet d'affirmer que le centre de gravité de ABC de trouve en O
\item L'angle orienté $\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OA}}\right)$ vaut $\dfrac{2\pi}{3}$ à $2\pi$ près
\item ABC est un triangle équilatéral
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 15 :}

On ramène l'espace à un repère orthonormé \Oijk. On considère alors le cône de
révolution d'axe $\left(\text{O},~\vect{k}\right)$ et de sommet O et d'angle au sommet $\dfrac{\pi}{3}$ et on considère la portion  de ce cône défini entre les plans d'équations $z = - 2$ et $z = 3$

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'intersection de ce tronc de cône avec le plan d'équation  $z = k$ est un cercle de centre $(0~;~0~;~k)$ et de rayon $\tan \frac{\pi}{3}k$
\item L'intersection de ce tronc de cône avec le plan d'équation $z = k$ est un cercle de centre $(0~;~0~;~k)$ et de rayon $\sin \frac{\pi}{3}k$
\item Le volume du tronc de cône considéré est $\dfrac{17\pi}{27}$
\item Le volume du tronc de cône considéré est $\dfrac{17\pi}{12}$
\end{enumerate}
\end{document}