\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2009} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2009~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} \bigskip \textbf{Question liées entres elles :\\[7pt] 3, 4, 5 et 6\\[7pt] 7, 8, 9 et 10\\[7pt] 11, 12 et 13\\[7pt] Toutes les autres questions sont indépendantes les unes des autres} \end{center} \newpage \textbf{Question 1} \medskip $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est une suite de réels. On dira que $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge vers un réel $\lambda$ si et seulement si : \medskip \begin{enumerate} \item Quel que soit un intervalle contenant $\lambda$, tous les éléments de $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ sont dans cet intervalle. \item Quel que soit un intervalle ouvert contenant $\lambda$, tous les éléments de $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ sont dans cet intervalle. \item Quel que soit un intervalle ouvert contenant $\lambda$, une infinité d'éléments de $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ sont dans cet intervalle. \item Quel que soit un intervalle ouvert contenant $\lambda$, il existe un rang à partir duquel tous les éléments de $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ sont dans cet intervalle. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 2} \medskip Dire qu'une suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ ne converge pas vers $0$ c'est dire que: \medskip \begin{enumerate} \item Quel que soit $n \in \N$,\, $u_n > 0$ ou $u_n < 0$ \item Quel que soit $\epsilon > 0$, quel que soit $n \in \N$,\, $u_n \notin ]- \epsilon~;~\epsilon[$ \item Il existe $\epsilon > 0$, quel que soit un rang $n_0 \in \N$, il existe $n > n_0$ et $u_n \notin ]- \epsilon~;~\epsilon[$ \item Quelque soit $\epsilon > 0$, quel que soit $n \in \N$,\, $u_n \in ]- \epsilon~;~\epsilon[$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Nota Bene: Les questions 3, 4, 5 et 6 sont liées} \bigskip \textbf{Question 3 :} On considère les suites $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ vérifiant: pour tout $n \in \N$,\, $u_{n+1} = 2u_n + \dfrac{1}{u_n}$ et $u_0 \ne 0$. On peut alors montrer que : \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout $n \in \N$,\,$u_n > 0$, par récurrence \item Pour tout $n \in \N$,\,$u_n$ est du signe de $u_0$ \item Pour tout $n \in \N$,\, $u_n < 0$ \item Pour tout $n \in \N$,\, $u_n\ne 0$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 4 :} On introduit la fonction $f \, :\begin{array}{|l c l} \R&\to&\R\\ x&\longmapsto&2x + \dfrac{1}{x}\end{array}$. On appellera $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère \Oij{} donné. On peut alors dire que : \medskip \begin{enumerate} \item $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = 0$ car $f$ est impaire \item $\mathcal{C}_f$ admet $y = 2x$ comme asymptote en $+ \infty$ et $y = -2x$ en $- \infty$ \item $\mathcal{C}_f$ admet un minimum global en $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et un maximum local en $x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ \item $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty$ donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 5 :} On considère la restriction de la fonction $f$ à l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$, soit la fonction $g :\, \left|\begin{array}{l c l} \left]0~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] &\to &\R\\ x & \longmapsto &2x + \dfrac{1}{x} \end{array}\right..$ On peut alors affirmer que : \medskip \begin{enumerate} \item $g$ est strictement décroissante et continue sur cet intervalle. C'est une bijection de $\left]0~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$ sur $\left]2\sqrt{2}~;~+ \infty\right]$ \item Puisque $g$ est une bijection il y a une solution unique à l'équation $f(x) = 3\sqrt{2}$ \item Si $y = g(x)$ alors $x = \dfrac{y+\sqrt{y^2 - 8}}{4}$ \item Si $y = g(x)$ alors $x = \dfrac{y-\sqrt{y^2 - 8}}{4}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 6 :} On considère à nouveau les suites $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définies en question 3. On choisira de plus dans la suite de ce sujet $u_0 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Que peut-on alors affirmer? \medskip \begin{enumerate} \item La suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est décroissante car $g$ est décroissante. \item Pour tout $n \in \N,\, u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ et $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est croissante car pour tout $x > 0,\, f(x) - x > 0$ \item Les solutions de $f(x) = x$ sont 1 et $-1$ et $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge vers 1 puisque pour tout $n \in \N,\, u_n > 0$ \item L'équation $f(x) = x$ n'admet aucune solution réelle et donc la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ diverge. De plus comme $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est croissante $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = + \infty$. \end{enumerate} \medskip \emph{Nota Bene : Les questions $7$, $8$, $9$ et $10$ sont liées} \bigskip \textbf{Question 7 :} A l'ENAC, il y a des jours où il fait soleil et des jours où il ne fait pas soleil. Si il fait soleil un jour, le lendemain il fait soleil avec une probabilité $a$\, $(a \in ]0~;~1[)$ et s'il ne fait pas soleil un jour, le lendemain il fait soleil avec une probabilité $b$ \, $(b \in ]0~;~1[)$. Nous noterons $S_n$ l'évènement \og le jour $n$ il fait soleil sur l'ENAC \fg. $\overline{S_n}$ notera l'événement contraire à $S_n$. Le jour 1 il fait soleil sur l'ENAC. L'énoncé nous donne: \medskip \begin{enumerate} \item $P\left(S_1\right) = a$ \item $P\left(S_n\right) = a$, pour tout $n \in \N$ \item $P_{S_n}\left(\overline{S_{n+1}}\right) = b$, pour tout $n \in \N$ \item $P_{\overline{S_n}}\left(S_{n+1}\right) = b$, pour tout $n \in \N$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 8 :} La formule des probabilités totales nous permet d'écrire: \medskip \begin{enumerate} \item $P\left(S_{n+1}\right) = P_{S_n}\left(S_{n+1}\right) + P_{\overline{S_n}}\left(S_{n+1}\right)$ \item $P\left(S_{n+1}\right) = P_{S_n}\left(S_{n+1}\right)P\left(S_n \right) + P_{\overline{S_n}}\left(S_{n+1}\right)\left(1 - P\left(S_n\right)\right)$ \item $P\left(S_{n+1}\right) = (a - b)P_{S_n}+ b$ \item $P\left(S_{n+1}\right) = (b - a)P_{S_n} + a$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 9 :} On considère alors la suite réelle $p_n = P\left(S_n\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item $|a - b| < 1$ \item Il existe un réel $\lambda$ tel que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie par : pour tout $n \in \N,\, v_n = p_n - \lambda$ soit géométrique de raison $|a - b|$. \item Il existe un réel $\lambda$ tel que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie par : Pour tout $n \in \N,\, v_n = p_n - \lambda$ soit géométrique de raison $(a - b)$ \item La suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie par : pour tout $n \in \N,\, v_n = p_n - \dfrac{a}{1 - a + b}$ est géométrique. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 10 :} On peut donc écrire que: \begin{enumerate} \item Pour tout $n \in \N,\, v_n = (a - b)^{n-1}\dfrac{1 - a}{1 + b - a}$ \item Pour tout $n \in \N,\, v_n = (a - b)^{n}\dfrac{1 - a}{1 + b - a}$ \item Pour tout $n \in \N,\,P\left(S_n\right) = (a- b)^{n-1}\dfrac{1 - a}{1 + b - a} - \dfrac{b}{1 + b - a}$ \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(S_n\right) = \dfrac{b}{1 + b - a}$ \end{enumerate} \medskip \emph{Nota Bene: Les questions $11, 12$ et $13$ sont liées} \bigskip \textbf{Question 11 :} On considère une fonction $f$, définie et continue sur $\R$ et telle que \[\displaystyle\int_0^x f(t)\:\text{d}t + 2f(x) = 2.\] On peut dire que : \medskip \begin{enumerate} \item $x \longmapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\:\text{d}t$ n'est pas nécessairement dérivable sur $\R$ car on ne sait pas si $f$ est dérivable sur $\R$. \item $x \longmapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\:\text{d}t$ est définie sur $\R$ car $f$ est définie sur $\R$ \item $f$ est dérivable sur $\R$, car elle somme de $x \longmapsto - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^x f(t)\:\text{d}t$ et de $x \longmapsto 1$ qui sont toutes deux dérivables sur $\R$. \item $f$ n'est pas nécessairement dérivable sur $\R$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 12 :} Si on suppose que $f$ est dérivable (soit parce qu'on l'a démontré en question précédente, soit en faisant cette hypothèse supplémentaire). On peut affirmer que: \medskip \begin{enumerate} \item $f'(x) + 2f(x) = 0$, pour tout $x$ réel \item $2f'(x) + f(x) = 0$, pour tout $x$ réel \item Il existe $C$ réel tel que, pour tout $x$ réel : $f(x) = C\text{e}^{2x}$. \item Il existe $C$ réel tel que, pour tout $x$ réel $f(x) = C\text{e}^{\frac{x}{2}}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 13 :} Les fonctions satisfaisant à la question 11 sont donc : \medskip \begin{enumerate} \item Toutes les fonctions de la forme $x \longmapsto C\text{e}^{- \frac{x}{2}} + 2$ \item Toutes les fonctions de la forme $x \longmapsto + C\text{e}^{\frac{x}{2}} + 2$ \item La seule fonction qui convient est $x \longmapsto -\text{e}^{- \frac{x}{2}}$ \item La seule fonction qui convient est $x \longmapsto \text{e}^{\frac{x}{2}}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 14 :} On note j le nombre complexe j $= \text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}}$. On rapporte le plan complexe à un repère orthonormé direct \Oij{} et on note A un point d'affixe $z$,\, $z \ne 0$, B le point d'affixe j$z$ et C le point d'affixe j$^2z$. \medskip \begin{enumerate} \item $1 + \text{j} + \text{j}^2 = \dfrac{1 - \text{j}^2}{1 - \text{j}}$ \item $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$, ce qui permet d'affirmer que le centre de gravité de ABC de trouve en O \item L'angle orienté $\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OA}}\right)$ vaut $\dfrac{2\pi}{3}$ à $2\pi$ près \item ABC est un triangle équilatéral \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 15 :} On ramène l'espace à un repère orthonormé \Oijk. On considère alors le cône de révolution d'axe $\left(\text{O},~\vect{k}\right)$ et de sommet O et d'angle au sommet $\dfrac{\pi}{3}$ et on considère la portion de ce cône défini entre les plans d'équations $z = - 2$ et $z = 3$ \medskip \begin{enumerate} \item L'intersection de ce tronc de cône avec le plan d'équation $z = k$ est un cercle de centre $(0~;~0~;~k)$ et de rayon $\tan \frac{\pi}{3}k$ \item L'intersection de ce tronc de cône avec le plan d'équation $z = k$ est un cercle de centre $(0~;~0~;~k)$ et de rayon $\sin \frac{\pi}{3}k$ \item Le volume du tronc de cône considéré est $\dfrac{17\pi}{27}$ \item Le volume du tronc de cône considéré est $\dfrac{17\pi}{12}$ \end{enumerate} \end{document}