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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  2018}
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\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2018~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{PARTIE MATHÉMATIQUES}

\bigskip
\textbf{\large Questions liées\\
4 à 6 ;\\
7 à 10 ;\\
11 à 15.}
\end{center}
\medskip

Notations
Les lettres $\C,\, \R$ et $\N$ désignent respectivement les ensembles des nombres complexes, des nombres réels et des entiers naturels.

Le nombre i désigne le nombre complexe défini par i$^2 =-1$.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.

$|z|$ désigne le module du nombre complexe $z$.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{r},~\vect{s},~\vect{t}\right)$.

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE 1}\end{center}

\smallskip

\textbf{Question 1}

\medskip

On désigne par $(D)$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant:

$z = 1 - 2\text{i} + \text{e}^{\text{i}\theta},\, \theta$ étant un nombre réel:

\medskip

\textbf{A.~} $(D)$ est une droite passant par le point d'affixe $2 - 2\text{i}$.

\textbf{B.~} $(D)$ est le cercle de centre le point d'affixe $-1 + 2\text{i}$ et de rayon 1. 

\textbf{C.~} $(D)$ est le cercle de centre le point d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon 1.

\textbf{D.~} $(D)$ est le cercle de centre le point d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon $\sqrt{3}$.

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On désigne par $(E)$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ qui vérifient : 

\[|z - 1 + \text{i}|= |z+ 1+ 2\text{i}|.\]

Les points A, B et C ont respectivement pour affixe : $1 - \text{i},\, - 1 + 2\text{i}$ et $- 1 - 2\text{i}$. 

Préciser la phrase qui est vraie ou les phrases qui sont vraies:

\textbf{A.~} C est un point de $(E)$.

\textbf{B.~} $(E)$ est la médiatrice du segment [AB]. 

\textbf{C.~} $(E)$ est la médiatrice du segment [AC]. 

\textbf{D.~} $(E)$ est le cercle de diamètre[AB].

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : 

\[z + \left|z^2\right| = 7 + \text{i}.\]

Cette équation admet :

\textbf{A.~} Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1.

\textbf{B.~} Une solution réelle.

\textbf{C.~} Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1.

\textbf{D.~} Une solution qui a pour partie imaginaire 2.

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie II}\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

On considère les points A$(1~;~2~;~-1)$,\, B$(1~;~1~;~0)$,\, C$(9~;~-1~;~-2)$ et S(1~;~1~;~1).

Préciser la phrase qui est vraie ou les phrases qui sont vraies:

\medskip

\textbf{A.~} Une équation cartésienne du plan (ABC) est: $-x - 2y - 2z + 3 = 0$. 

\textbf{B.~}Une équation cartésienne du plan (ABC) est : $x + 2y + 2z + 3= 0$.

\textbf{C.~} Une équation paramétrique de la droite (AB) est :
$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&-1\phantom{- 1}\\
y&=&-2 - t\\
z& =&1+t
\end{array}\right.$

\textbf{D.~} Une équation paramétrique de la droite (AB) est:
$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1\phantom{- 2t}\\
y&=&2 - 2t\\
z&=&- 1 + 2t
\end{array}\right.$


\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

Les coordonnées du point S$'$ symétrique du point S par rapport au plan (ABC) sont :

\medskip

\textbf{A.~}$\left(\dfrac{8}{9}~;~\dfrac{7}{9}~;~\dfrac{7}{9}\right)$

\textbf{B.~}$\left(\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{1}{9}~;~\dfrac{1}{9}\right)$

\textbf{C.~}$\left(\dfrac{7}{9}~;~\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{5}{9}\right)$

\textbf{D.~}$\left(\dfrac{1}{9}~;~\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{5}{9}\right)$

\medskip

\textbf{Question 6}

\medskip

Le triangle ABC est :

\textbf{A.~} équilatéral.

\textbf{B.~} isocèle.

\textbf{C.~} rectangle en A. 

\textbf{D.~} rectangle en C.

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie III}\end{center}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$ contenant des boules indiscernables au toucher.\\
$U_1$ contient $k$ boules blanches ($k$ entier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires. \\
$U_2$ contient 2 boules blanches e une houle noire.\\
On tire une boule au hasard dans $U_1$ et on la place dans $U_2$.\\
On tire ensuite, au hasard, une boule dans $U_2$ .

\textbf{L'ensemble de ces opérations constitue une épreuve E.}\\
 On note $B_1$ (respectivement $N_1$) l'évènement:

\og On a tiré une boule blanche (respectivement noire) dans l'urne $U_1$ \fg{} et $p\left(B_1\right)$ (respectivement $p\left(N_1\right)$ les probabilités associées.\\
On note $B_2$ (respectivement $N_2$) l'évènement:

\og On a tiré une boule blanche (respectivement noire) dans l'urne $U_2$ \fg{} et $p\left(B_2\right)$ (respectivement $p\left(N_2\right)$ les probabilités associées.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\medskip

\textbf{Question 7}

\medskip

Le calcul de $p\left(B_2\right)$ donne :

\medskip

\textbf{A.~} $\dfrac{1}{2}$

\textbf{B.~}  $\dfrac{3}{4}$

\textbf{C.~} $\dfrac{3k+6}{4k+7}$.

\textbf{D.~} $\dfrac{3k+6}{4k+12}$.

\medskip

\textbf{Question 8}

\medskip

Le calcul de $p\left(N_2\right)$ donne :

\medskip

\textbf{A.~} $\dfrac{1}{2}$

\textbf{B.~} $\dfrac{1}{4}$

\textbf{C.~} $\dfrac{k + 1}{4k+7}$

\textbf{D.~}  $\dfrac{k + 18}{4k + 12}$

\medskip

\textbf{Question 9}

\medskip

\textbf{Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve E}.

Soit $X$ la variable aléatoire égale à la somme relative dont il dispose à la fin de l'épreuve.

Si, à la fin de l'épreuve, le joueur tire une houle blanche, il reçoit $12$ euros de la banque. Sinon, il ne reçoit rien et sa mise revient à la banque. Nous avons alors :

\medskip

\textbf{A.~} $X \in \{-8~;~4\}$

\textbf{B.~} $X \in [-8~;~4] $

\textbf{C.~} $X \in [-8~;~12J$ 

\textbf{D.~}  $X \in  \{-8~;~12\}$

\medskip

\textbf{Question 10}

\medskip

Préciser la phrase qui est vraie ou les phrases qui sont vraies:

\medskip

\textbf{A.~} Le jeu est favorable au joueur à partir de $7$ boules blanches au total c'est-à-dire en comptant les boules blanches dans les deux urnes.

\textbf{B.~} Le jeu est favorable à la banque pour un maximum de $7$ boules blanches au total c'est-à-dire en comptant les boules blanches dans les deux urnes.

\textbf{C.~} Le jeu est favorable au joueur à partir de $9$ boules blanches au total c'est-à-dire en comptant les boules blanches dans les deux urnes.

\textbf{D.~} Le jeu est favorable à la banque pour un maximum de $5$ boules blanches au total c'est-à-dire en comptant les boules blanches dans les deux urnes.

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie IV}\end{center}

\smallskip

Soit la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

\[I_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{(\sin x)^n}{\cos x}\:\text{d}x.\]

\smallskip

\textbf{Question 11}

\medskip

Le calcul de $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin x)^n \cos x\:\text{d}x$ donne :

\medskip

\textbf{A.~} $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$


\textbf{B.~}  $\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$

\textbf{C.~} $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}$

\textbf{D.~} $\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}$

\bigskip

\textbf{Question 12}

\medskip

On en déduit que:

\textbf{A.~} $I_{n+2} - I_n = \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$

\textbf{B.~} $I_{n+2} - I_n = -\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$

\textbf{C.~} $I_{n+2} - I_n = -\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}$

\textbf{D.~} $I_{n+2} - I_n = \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}$

\medskip

\textbf{Question 13}

\medskip

On obtient alors :

\medskip

\textbf{A.~} $I_1 = - \ln 2,\, I_3 = - \ln 2 - \dfrac{3}{8}$ et $I_5 = - \ln 2 - \dfrac{33}{64}$

\textbf{B.~}  $I_1 =  \ln 2,\, I_3 = \ln 2 - \dfrac{3}{8}$ et $I_5 = \ln 2 - \dfrac{33}{64}$

\textbf{C.~} $I_1 =  \ln 2,\, I_3 = \ln 2 - \dfrac{3}{8}$ et $I_5 = \ln 2 - \dfrac{9}{64}$

\textbf{D.~} $I_1 = - \ln 2,\, I_3 = - \ln 2 - \dfrac{3}{4}$ et $I_5 = - \ln 2 - \dfrac{9}{64}$

\medskip

\textbf{Question 14}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{3} ;\right]$ par : 

\[f(x) = \ln \left[\tan \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right)\right].\]

Pour tout $x \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{3} ;\right]$ nous avons :

\medskip

\textbf{A.~} $f'(x)= - \dfrac{2}{\cos x}$

\textbf{B.~} $f'(x)=  \dfrac{2}{\cos x}$

\textbf{C.~} $f'(x)= - \dfrac{1}{\cos x}$

\textbf{D.~} $f'(x)= \dfrac{1}{\cos x}$

\bigskip

\textbf{Question 15}

\medskip

Nous admettrons que pour $(a,\,b) \in \R^2$ et $a + b \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\, k \in \Z$,\, $\tan(a+b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{
1 - \tan a \times \tan b}$.

On obtient alors :

\medskip

\textbf{A.~} $I_0 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right),\, I_2 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $I_4 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{5\sqrt{3}}{8}$. 

\textbf{B.~} $I_0 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right), \, I_2 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $I_4 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

\textbf{C.~} $I_0 =\ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right),\, I_2 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $I_4 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{5\sqrt{3}}{8}$

\textbf{D.~} $I_0 =\ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right),\,  I_2 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{\sqrt{3}}{4}$ et $I_4 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$
\end{document}