\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2018} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2018~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE} \medskip \textbf{PARTIE MATHÉMATIQUES} \bigskip \textbf{\large Questions liées\\ 4 à 6 ;\\ 7 à 10 ;\\ 11 à 15.} \end{center} \medskip Notations Les lettres $\C,\, \R$ et $\N$ désignent respectivement les ensembles des nombres complexes, des nombres réels et des entiers naturels. Le nombre i désigne le nombre complexe défini par i$^2 =-1$. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. $|z|$ désigne le module du nombre complexe $z$. L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{r},~\vect{s},~\vect{t}\right)$. \bigskip \begin{center}\textbf{PARTIE 1}\end{center} \smallskip \textbf{Question 1} \medskip On désigne par $(D)$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant: $z = 1 - 2\text{i} + \text{e}^{\text{i}\theta},\, \theta$ étant un nombre réel: \medskip \textbf{A.~} $(D)$ est une droite passant par le point d'affixe $2 - 2\text{i}$. \textbf{B.~} $(D)$ est le cercle de centre le point d'affixe $-1 + 2\text{i}$ et de rayon 1. \textbf{C.~} $(D)$ est le cercle de centre le point d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon 1. \textbf{D.~} $(D)$ est le cercle de centre le point d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon $\sqrt{3}$. \medskip \textbf{Question 2} \medskip On désigne par $(E)$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ qui vérifient : \[|z - 1 + \text{i}|= |z+ 1+ 2\text{i}|.\] Les points A, B et C ont respectivement pour affixe : $1 - \text{i},\, - 1 + 2\text{i}$ et $- 1 - 2\text{i}$. Préciser la phrase qui est vraie ou les phrases qui sont vraies: \textbf{A.~} C est un point de $(E)$. \textbf{B.~} $(E)$ est la médiatrice du segment [AB]. \textbf{C.~} $(E)$ est la médiatrice du segment [AC]. \textbf{D.~} $(E)$ est le cercle de diamètre[AB]. \bigskip \textbf{Question 3} \medskip On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : \[z + \left|z^2\right| = 7 + \text{i}.\] Cette équation admet : \textbf{A.~} Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. \textbf{B.~} Une solution réelle. \textbf{C.~} Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1. \textbf{D.~} Une solution qui a pour partie imaginaire 2. \bigskip \begin{center}\textbf{Partie II}\end{center} \medskip \textbf{Question 4} \medskip On considère les points A$(1~;~2~;~-1)$,\, B$(1~;~1~;~0)$,\, C$(9~;~-1~;~-2)$ et S(1~;~1~;~1). Préciser la phrase qui est vraie ou les phrases qui sont vraies: \medskip \textbf{A.~} Une équation cartésienne du plan (ABC) est: $-x - 2y - 2z + 3 = 0$. \textbf{B.~}Une équation cartésienne du plan (ABC) est : $x + 2y + 2z + 3= 0$. \textbf{C.~} Une équation paramétrique de la droite (AB) est : $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&-1\phantom{- 1}\\ y&=&-2 - t\\ z& =&1+t \end{array}\right.$ \textbf{D.~} Une équation paramétrique de la droite (AB) est: $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&1\phantom{- 2t}\\ y&=&2 - 2t\\ z&=&- 1 + 2t \end{array}\right.$ \medskip \textbf{Question 5} \medskip Les coordonnées du point S$'$ symétrique du point S par rapport au plan (ABC) sont : \medskip \textbf{A.~}$\left(\dfrac{8}{9}~;~\dfrac{7}{9}~;~\dfrac{7}{9}\right)$ \textbf{B.~}$\left(\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{1}{9}~;~\dfrac{1}{9}\right)$ \textbf{C.~}$\left(\dfrac{7}{9}~;~\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{5}{9}\right)$ \textbf{D.~}$\left(\dfrac{1}{9}~;~\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{5}{9}\right)$ \medskip \textbf{Question 6} \medskip Le triangle ABC est : \textbf{A.~} équilatéral. \textbf{B.~} isocèle. \textbf{C.~} rectangle en A. \textbf{D.~} rectangle en C. \bigskip \begin{center}\textbf{Partie III}\end{center} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$ contenant des boules indiscernables au toucher.\\ $U_1$ contient $k$ boules blanches ($k$ entier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires. \\ $U_2$ contient 2 boules blanches e une houle noire.\\ On tire une boule au hasard dans $U_1$ et on la place dans $U_2$.\\ On tire ensuite, au hasard, une boule dans $U_2$ . \textbf{L'ensemble de ces opérations constitue une épreuve E.}\\ On note $B_1$ (respectivement $N_1$) l'évènement: \og On a tiré une boule blanche (respectivement noire) dans l'urne $U_1$ \fg{} et $p\left(B_1\right)$ (respectivement $p\left(N_1\right)$ les probabilités associées.\\ On note $B_2$ (respectivement $N_2$) l'évènement: \og On a tiré une boule blanche (respectivement noire) dans l'urne $U_2$ \fg{} et $p\left(B_2\right)$ (respectivement $p\left(N_2\right)$ les probabilités associées.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \medskip \textbf{Question 7} \medskip Le calcul de $p\left(B_2\right)$ donne : \medskip \textbf{A.~} $\dfrac{1}{2}$ \textbf{B.~} $\dfrac{3}{4}$ \textbf{C.~} $\dfrac{3k+6}{4k+7}$. \textbf{D.~} $\dfrac{3k+6}{4k+12}$. \medskip \textbf{Question 8} \medskip Le calcul de $p\left(N_2\right)$ donne : \medskip \textbf{A.~} $\dfrac{1}{2}$ \textbf{B.~} $\dfrac{1}{4}$ \textbf{C.~} $\dfrac{k + 1}{4k+7}$ \textbf{D.~} $\dfrac{k + 18}{4k + 12}$ \medskip \textbf{Question 9} \medskip \textbf{Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve E}. Soit $X$ la variable aléatoire égale à la somme relative dont il dispose à la fin de l'épreuve. Si, à la fin de l'épreuve, le joueur tire une houle blanche, il reçoit $12$ euros de la banque. Sinon, il ne reçoit rien et sa mise revient à la banque. Nous avons alors : \medskip \textbf{A.~} $X \in \{-8~;~4\}$ \textbf{B.~} $X \in [-8~;~4] $ \textbf{C.~} $X \in [-8~;~12J$ \textbf{D.~} $X \in \{-8~;~12\}$ \medskip \textbf{Question 10} \medskip Préciser la phrase qui est vraie ou les phrases qui sont vraies: \medskip \textbf{A.~} Le jeu est favorable au joueur à partir de $7$ boules blanches au total c'est-à-dire en comptant les boules blanches dans les deux urnes. \textbf{B.~} Le jeu est favorable à la banque pour un maximum de $7$ boules blanches au total c'est-à-dire en comptant les boules blanches dans les deux urnes. \textbf{C.~} Le jeu est favorable au joueur à partir de $9$ boules blanches au total c'est-à-dire en comptant les boules blanches dans les deux urnes. \textbf{D.~} Le jeu est favorable à la banque pour un maximum de $5$ boules blanches au total c'est-à-dire en comptant les boules blanches dans les deux urnes. \bigskip \begin{center}\textbf{Partie IV}\end{center} \smallskip Soit la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: \[I_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{(\sin x)^n}{\cos x}\:\text{d}x.\] \smallskip \textbf{Question 11} \medskip Le calcul de $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin x)^n \cos x\:\text{d}x$ donne : \medskip \textbf{A.~} $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$ \textbf{B.~} $\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$ \textbf{C.~} $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}$ \textbf{D.~} $\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}$ \bigskip \textbf{Question 12} \medskip On en déduit que: \textbf{A.~} $I_{n+2} - I_n = \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$ \textbf{B.~} $I_{n+2} - I_n = -\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$ \textbf{C.~} $I_{n+2} - I_n = -\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}$ \textbf{D.~} $I_{n+2} - I_n = \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}$ \medskip \textbf{Question 13} \medskip On obtient alors : \medskip \textbf{A.~} $I_1 = - \ln 2,\, I_3 = - \ln 2 - \dfrac{3}{8}$ et $I_5 = - \ln 2 - \dfrac{33}{64}$ \textbf{B.~} $I_1 = \ln 2,\, I_3 = \ln 2 - \dfrac{3}{8}$ et $I_5 = \ln 2 - \dfrac{33}{64}$ \textbf{C.~} $I_1 = \ln 2,\, I_3 = \ln 2 - \dfrac{3}{8}$ et $I_5 = \ln 2 - \dfrac{9}{64}$ \textbf{D.~} $I_1 = - \ln 2,\, I_3 = - \ln 2 - \dfrac{3}{4}$ et $I_5 = - \ln 2 - \dfrac{9}{64}$ \medskip \textbf{Question 14} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{3} ;\right]$ par : \[f(x) = \ln \left[\tan \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right)\right].\] Pour tout $x \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{3} ;\right]$ nous avons : \medskip \textbf{A.~} $f'(x)= - \dfrac{2}{\cos x}$ \textbf{B.~} $f'(x)= \dfrac{2}{\cos x}$ \textbf{C.~} $f'(x)= - \dfrac{1}{\cos x}$ \textbf{D.~} $f'(x)= \dfrac{1}{\cos x}$ \bigskip \textbf{Question 15} \medskip Nous admettrons que pour $(a,\,b) \in \R^2$ et $a + b \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\, k \in \Z$,\, $\tan(a+b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{ 1 - \tan a \times \tan b}$. On obtient alors : \medskip \textbf{A.~} $I_0 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right),\, I_2 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $I_4 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{5\sqrt{3}}{8}$. \textbf{B.~} $I_0 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right), \, I_2 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $I_4 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ \textbf{C.~} $I_0 =\ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right),\, I_2 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $I_4 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{5\sqrt{3}}{8}$ \textbf{D.~} $I_0 =\ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right),\, I_2 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{\sqrt{3}}{4}$ et $I_4 = \ln \left(2 + 2\sqrt{3}\right) - \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$ \end{document}