\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Kriegk \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2018} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2018~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OBLIGATOIRE} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} \bigskip \textbf{\large Questions liées} \vspace{2cm} \textbf{\large1 à 5\\ 6 à 12\\ 15 à 20\\ 21 à 25} \bigskip \textbf{\large Notations} \end{center} Les lettres $\R$ et $\N$ désignent respectivement les ensemble des réels et des entiers naturels. On rappelle que $\text{e}^{\text{i}x} = \cos x + \text{i}\sin x$, où i désigne le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$ et $x$ est un nombre réel. \newpage \textbf{\large Partie 1} \medskip Max doit se rendre en voiture dans une ville voisine pour un rendez-vous à 15 h 15. Il quitte son domicile entre 13~h et 14~h à un instant $13 + t$, où $t$ est un nombre quelconque pris au hasard dans [0~;~1]. Plus il part tard, plus il y a de circulation, la durée de son trajet étant estimée à $t + 0,5$. \medskip \textbf{Question 1} \medskip La probabilité $p_1$ que Max ne soit pas en retard à son rendez-vous est : \medskip \begin{enumerate} \item $p_1 = 0,125$ \item $p_1 = 0,25$ \item $p_1 = 0,75$ \item $p_1 = 0,875$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 2} La probabilité $p_2$ que Max arrive avec exactement un quart d'heure d'avance est: \medskip \begin{enumerate} \item $p_2 = 0,125$ \item $p_2 = 0,25$ \item $p_2 = 0,75$ \item $p_2 = 0,875$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 3} \medskip La probabilité $p_3$ que Max soit en retard de plus de 9 minutes à son rendez-vous est: \medskip \begin{enumerate} \item $p_3 = 0,05$ \item $p_3= 0,13$ \item $p_3 = 0,87$ \item $p_3 = 0,95$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 4} \medskip La probabilité $p_4$ que Max arrive entre 14 h 54 et 15 h 06 est : \medskip \begin{enumerate} \item $p_4 = 0,1$ \item $p_4 = 0,26$ \item $p_4 = 0,52$ \item $p_4 = 0,78$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 5} \medskip Pour arriver entre 14 h 54 et 15 h 15, Max doit partir: \medskip \begin{enumerate} \item Entre 13 h 32 et 13 h 48 \item Entre 13 h 42 et 13 h 52 \item Entre 13 h 53 et 14 h 21 \item Entre 14 h 02 et 14 h 18 \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie II} \medskip On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps. On souhaite étudier, pour différentes hypothèses, l'évolution de cette quantité minute par minute. \bigskip \textbf{Question 6} \medskip On effectue à l'instant 0 une injection de $10$~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. La suite $\left(u_n\right)$ est : \medskip \begin{enumerate} \item une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 10$ eL de raison $2$ \item une suite arithmétique de premier terme $u_0 =10$ et de raison $~ 2$ \item une suite géométrique de premier terme $u_0 = 10$ et de raison $0,2$ \item une suite géométrique de premier terme $u_0 =10$ et de raison $0,8$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 7 } \medskip On en déduit : \medskip \begin{enumerate} \item $u_n = 10-2n$ \item $u_n = 10 + 2n$ \item $u_n = 8 \times (0,8)^{n-1}$ \item $u_n = 10 \times (0,2)^n$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 8} \medskip On donne $(1,25)^{20} \approx 86,74$. La quantité de médicament restant dans le sang devient inférieure à 1\,\% de la quantité initiale au bout de : \medskip \begin{enumerate} \item 5~minutes \item 19~minutes \item 20~minutes \item 21~minutes \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 9} \medskip La machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10 mL de médicament, et on estime toujours que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Toutes les minutes, la machine réinjecte $1$~mL de médicament. Pour tout entier naturel $n$, on note $w_n$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes. La suite $\left(w_n\right)$ vérifie la relation : \medskip \begin{enumerate} \item $w_{n+1} = 0,2w_n + 1$ \item $w_{n+1} = 0,2\left(w_n + 1\right)$ \item $w_{n+1} = 0,8w_n + 1$ \item $w_{n+1} = 0,8(w_n + 1)$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 10} \medskip On pose $z_n = w_n - 5$. La suite $\left(z_n\right)$ est : \medskip \begin{enumerate} \item une suite géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $z_0 = 5$ \item une suite géométrique de raison $0,2$ et de premier terme $z_0 =5$ \item une suite arithmétique de raison $2$ et de premier terme $z_0 =5$ \item une suite arithmétique de raison $- 2$ et de premier terme $z_0 =5$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 11} \medskip Ainsi, on en déduit l'expression de $w_n$ en fonction de $n$ : \medskip \begin{enumerate} \item $w_n =5(1 - 0,8)^n + 5$ \item $w_n =5(1 - 0,2)^n + 5$ \item $w_n = 2(5 + n)$ \item $w_n = 2(5 - n)$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 12} \medskip Par passage à la limite, on obtient: \medskip \begin{enumerate} \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_n =- \infty$ \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_n= 0$ \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_n = 5$ \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_n = + \infty$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie III} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (2 + \cos x)\text{e}^{1-x}$. \medskip \textbf{Question 13} \medskip La fonction $f$ vérifie : \medskip \begin{enumerate} \item Il existe un réel $\alpha$ tel que $f(x) \leqslant 0$ si $x \leqslant \alpha$ et $f(x) \geqslant 0$ si $x \geqslant \alpha$ \item Il existe un réel $\alpha$ tel que $f(x) \geqslant 0$ si $x \leqslant \alpha$ et $f(x) \leqslant 0$ si $x \geqslant \alpha$ \item Pour tout réel $x$,\: $f(x) < 0$ \item Pour tout réel $x$,\: $f(x) > 0$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 14} \medskip La fonction dérivée $f'$ de $f$ est: \medskip \begin{enumerate} \item $f'(x) = (\sin x)\text{e}^{1-x}$ \item $f'(x) = (2+ \cos x+ \sin x)\text{e}^{1-x}$ \item $f'(x) =-(2+ \cos x + \sin x )\text{e}^{1-x}$ \item $f'(x) = -(2+ \cos x- \sin x)\text{e}^{1-x}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 15} \medskip On montre que pour tout $x$ : \medskip \begin{enumerate} \item $\sqrt{2}\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos x - \sin x$ \item $\sqrt{2}\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) =\cos x + \sin x$ \item $\sqrt{2}\cos \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)= \cos x + \sin x$ \item $\sqrt{2}\cos \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos x - \sin x$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 16} \medskip La fonction $f'$ vérifie: \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$,\: $f'(x) < 0$ \item Pour tout réel $x$,\:$f'(x) > 0$ \item Il existe un réel $\beta$ tel que $f'(x)\leqslant 0$ si $ x \leqslant \beta$ et $f'(x) \geqslant 0$ si $x \geqslant \beta$ \item Il existe un réel $\beta$ tel que $f'(x) \geqslant 0$ si $x \leqslant \beta$ et $f'(x) \leqslant 0$ si $x \geqslant \beta$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 17} \medskip On montre : \medskip \begin{enumerate} \item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) =- \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) =+\infty$ \item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$ \item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$ \item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x)= +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) =- \infty$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 18} \medskip Soit $\mathcal{A}$ l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$ représentant $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x =0$ et $x =1$. On a, en unité d'aire: \medskip \begin{enumerate} \item $\mathcal{A} = 2\text{e} - 2 - \displaystyle\int_0^1 (\cos t)\text{e}^{1-t}\:\text{d}t$ \item $\mathcal{A} = 2\text{e} - 2 + \displaystyle\int_0^1 (\cos t)\text{e}^{1-t}\:\text{d}t$ \item $\mathcal{A} = 2\text{e} - 2 + \sin 1$ \item $\mathcal{A} = 2\text{e} - 2- \sin 1$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 19} \medskip Soit $f_1(t)= (\cos t)\text{e}^{1-t}$ et $f_2(t)= (\sin t)\text{e}^{1-t}$, pour $t$ réel. On peut montrer que : \medskip \begin{enumerate} \item $f_1(t) = \dfrac{1}{2}\left[f'_2(t) -f'_1(t)\right]$ \item $f_1(t) = \dfrac{1}{2}\left[f'_1(t) -f'_2(t)\right]$ \item $f_2(t) =~\dfrac{1}{2}\left[f'_2(t) + f'_1(t)\right]$ \item $f_2(t) = -\dfrac{1}{2}\left[f'_1(t) + f'_2(t)\right]$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 20} On en déduit que : \medskip \begin{enumerate} \item $\mathcal{A} = \dfrac{3}{2}\text{e} - \dfrac{3}{2}$ \item $\mathcal{A}=\dfrac{3}{2}\text{e} - 2 + \dfrac{\sin 1 - \cos 1}{2}$ \item $\mathcal{A}= \dfrac{5}{2}\text{e} - \dfrac{5}{2}$ \item $\mathcal{A} = \dfrac{5}{2}\text{e} - 2 + \dfrac{\cos 1 - \sin1}{2}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie IV} \medskip Soit les nombres complexes $z_1 = 1 - \text{i}$ et $z_2 = \dfrac{\sqrt{6} - \text{i}\sqrt{2}}{2}$. \bigskip \textbf{Question 21} \medskip Les nombres $z_1$ et $z_2$ s'écrivent sous forme exponentielle : \medskip \begin{enumerate} \item $z_1 = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ \item $z_1 = 2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$ \item $z_2 = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$ \item $z_2 = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 22} \medskip Le nombre complexe $\dfrac{z_1}{z_2}$ s'écrit sous forme exponentielle: \medskip \begin{enumerate} \item $\dfrac{z_1}{z_2} = \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$ \item $\dfrac{z_1}{z_2} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$ \item $\dfrac{z_1}{z_2} = \text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{12}}$ \item $\dfrac{z_1}{z_2} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{12}}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 23} \medskip Le nombre complexe $\dfrac{z_1}{z_2}$ s'écrit sous forme algébrique : \medskip \begin{enumerate} \item $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ \item $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ \item $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ \item $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 24} \medskip On en déduit: \medskip \begin{enumerate} \item $\cos \left(-\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ \item $\cos \left(-\dfrac{\pi}{12}\right) =\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ \item $\sin \left(-\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ \item $\sin \left(-\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 25} \medskip On en déduit: \medskip \begin{enumerate} \item $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)= - \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ \item $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)= \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ \item $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ \item $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = - \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ \end{enumerate} \end{document}