\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox,graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{pifont}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{scratch}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\addtolength{\topmargin}{-1.6pt}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {},
pdftitle = {2023},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\thispagestyle{empty}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand{\e}{\,\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small avril 2023}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation avril 2023~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{PARTIE MATHÉMATIQUE}

\medskip

Toutes les questions sont indépendantes
\end{center}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{\large Partie 1}
\end{center}
On procède chez un sportif à l'injection intramusculaire d'un produit. Celui-ci se diffuse progressivement dans le sang.

On admet que la concentration de ce produit dans le sang, exprimée en mg.L$^{-1}$ (milligrammes par litre) peur être modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~8] par :
\begin{center}$g(t) =  6t \e^{-t}$\: où $t$\: est le temps exprimé en heures.\end{center}


\textbf{Question 1}

\medskip

La fonction dérivée $g'$ de $g$ est donnée par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{A.~} $g'(t) = -6t\e^{-t}$\\
\textbf{B.~} $g'(t) = -6\e^{-t}$\\
\textbf{C.~} $g'(t) = (-6 - 6t)\e^{-t}$\\
\textbf{D.~} $g'(t) = (6 - 6t)\e^{-t}$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On en déduit :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{A.~} $g'(t)$ est négative sur [0~;~8]\\
\textbf{B.~} $g'(t)$ est décroissante sur [0~;~8]\\
\textbf{C.~} $g'(t)$ est positive sur [0~;~1[ et négative sur ]1~;~8]\\
\textbf{D.~} $g'(t)$ est négative sur [0~;~1[ et positive sur [1~;~8]
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 3}

\medskip

On donne e $\approx 2,72$ et  $\dfrac{1}{\e} \approx 0,37$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{A.~} Une valeur approchée du maximum de la fonction $g$ sur [0~;~8] est $M \approx 16,32$\\
\textbf{B.~} Une valeur approchée du maximum de la fonction $g$ sur [0~;~8] est $M \approx 2,22$\\
\textbf{C.~} Le minimum de la fonction $g$ sur [0~;~8] est $m = 0$\\
\textbf{D.~} Une valeur approchée du minimum de la fonction $g$ sur [0~;~8] est $m \approx 2,22$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Le produit fait l'objet d'une réglementation par la fédération sportive.\\

Pour ne pas être en infraction. la concentration de ce produit au moment du contrôle, doit être inférieure à $0,05$ mg . L$^{-1}$.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Un algorithme pour lequel la variable $t$ contient à la fin de son exécution le nombre de minutes qu'il faut attendre après l'injection pour que le sportif soit à nouveau en règle avec la législation est

\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
\textbf{A.~}$\begin{array}{|l|}\hline
t \gets 60\\
y \gets 2,22\\
~\\
\text{Tant que }\: y \leqslant 0,05\\
\quad \begin{array}{|l c l}
t&\gets&t + 1\\
y&\gets&6 * t * \text{exp}(- t)\\
\end{array}\\
~\\
\text{Fin Tant que}\\ \hline
\end{array}$&
\textbf{B.~}$\begin{array}{|l|}\hline
t \gets 60\\
y \gets 2,22\\
~\\
\text{Tant que }\: y \geqslant 0,05\\
\quad \begin{array}{|l c l}
t&\gets&t + 1\\
y&\gets&\frac{t}{10} * \text{exp}(- \frac{t}{60})\\
\end{array}\\
~\\
\text{Fin Tant que}
\end{array}$\\
\textbf{C.~}$\begin{array}{|l|}\hline
t \gets 60\\
y \gets 2,22\\
~\\
\text{Tant que }\: y \geqslant 0,05\\
\quad \begin{array}{|l c l}
t&\gets&t + 1\\
y&\gets&6 * t * \text{exp}(- t)\\
\end{array}\\
~\\
\text{Fin Tant que}\\\hline
\end{array}$&
\textbf{D.~}$\begin{array}{|l|}\hline
t \gets 60\\
y \gets 2,22\\
~\\
\text{Tant que }\: y \leqslant 0,05\\
\quad \begin{array}{|l c l}
t&\gets&t + 1\\
y&\gets&\frac{t}{10} *  \text{exp}(- \frac{t}{60})\\
\end{array}\\
~\\
\text{Fin Tant que}\\\hline
\end{array}$
\end{tabular}\\ 
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\large Partie 2}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s'inscrire dans une démarche écoresponsable. Elle propose alors à ses \np{5000} collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l'entreprise.
En mai 2020, seuls $200$ d'entre eux ont choisi le télétravail. Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l'entreprise constatent que $85$\,\% de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, $450$ collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.\\
On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite $\left(a_n\right)$.\\
Le terme $a_n$ désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le $n$-ième mois après le mois de mai 2020.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

De cet énoncé on déduit:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $a_0 = \np{5000}$&
\textbf{B.~} $a_0 = 200$&
\textbf{C.~} $a_0 = \np{4700}$&
\textbf{D.~} $a_0 = 552,5$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 6}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on montre que :


\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~} $a_{n+1} = 0,15a_n + 450$&
\textbf{B.~} $a_{n+1} = 0,15a_n + 67,5$\\
\textbf{C.~} $a_{n+1} = 0,85a_n + 382,5$&
\textbf{D.~} $a_{n+1} = 0,85a_n + 450$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :\\
\multicolumn{1}{|c|}{$v_n = a_n - \np{3000}$}.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 7}

\medskip

La suite $\left(v_n\right)$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~} arithmétique de raison $\np{-3000}$&
\textbf{B.~} arithmétique de raison $\np{-3000}$\\
\textbf{C.~} géométrique de raison 0,85&
\textbf{D.~} géométrique de raison 0,15
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 8}

\medskip

On montre ainsi que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~}$v_n = 200 - \np{3000}n$&
\textbf{B.~}$v_n = \np{2800} \times 0,85^n$\\
\textbf{C.~}$a_n = - \np{2800} + \np{3000}(n - 1)$&
\textbf{D.~}$a_n = - \np{2800}\times 0,85^n + \np{3000}$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 9}

\medskip

Le nombre de télétravailleurs en septembre 2021 était alors de : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~}$200 - \np{3000} \times 17$&
\textbf{B.~}$\np{2800} \times 0,85^{17}$\\
\textbf{C.~}$- \np{2800} + \np{3000} \times 16$&
\textbf{D.~}$- \np{2800} \times 0,85^{17} + \np{3000}$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Afin d'évaluer l'impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l'entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n+1} = \dfrac{5u_n + 4}{u_n + 2}\]

où $u_n$ désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de $n$ mois après le mois de mai 2020.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 10}

\medskip

La fonction $f$ définie pour tout $x \in [0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = \dfrac{5x + 4}{x + 2}.\]

 Alors:


\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{A.~}$f$ est strictement décroissante sur $[0~;~+\infty[$\\
\textbf{B.~}$f$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$\\
\textbf{C.~}Il existe $a \in [0~;~+\infty[$ tel que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~a[$ et
strictement croissante sur $]a~;~ +\infty[$.\\
\textbf{D.~}Il existe $a \in [0~;~+\infty[$ tel que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~ a[$ et strictement décroissante sur $]a~;~ +\infty[$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 11}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(u_n\right)$ vérifie

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~}$0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$&
\textbf{B.~}$0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4$\\
\textbf{C.~}$1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 5 $&
\textbf{D.~}$1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 5$
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Partie 3}
\end{center}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
Dans l'espace muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$,
on considère le cube ABCDEFGH représenté ci-contre.\\
On note I et J les milieux respectifs des segments [EH] et [FB].\\
\end{tabularx}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,4.5)
\pspolygon(0.2,0.5)(3.2,0.2)(3.2,3.6)(0.2,3.9)%ABFE
\psline(3.2,0.2)(5.2,0.7)(5.2,4.1)(3.2,3.6)%BCGF
\psline(0.2,3.9)(2.2,4.4)(5.2,4.1)%EHG
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(2.2,1)(5.2,0.7)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2.2,1)(2.2,4.4)%DH
\psdots(3.2,1.9)(1.2,4.15)%JI
\uput[dl](0.2,0.5){A} \uput[dr](3.2,0.2){B} \uput[r](5.2,0.7){C} \uput[ur](2.2,1){D}
\uput[ul](0.2,3.9){E} \uput[u](3.2,3.6){F} \uput[ur](5.2,4.1){G} \uput[u](2.2,4.4){H}
\uput[ul](1.2,4.15){I} \uput[r](3.2,1.9){J}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Question 12}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} I$\left(\dfrac12~;~0~;~1\right)$&
\textbf{B.~} I$\left(0~;~\dfrac12~;~1 \right)$&
\textbf{C.~} J$\left(1~;~1~;~\dfrac12 \right)$&
\textbf{D.~} J$\left(0~;~1~;~\dfrac12\right)$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 13}

\medskip

Un vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (BGI) si et seulement si les coordonnées de $\vect{n}$ vérifient le système:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~} $\left\{\begin{array}{l c l}
-a + c&=&0\\
2a + b - c&=&0
\end{array}\right.$&\textbf{B.~} 
$\left\{\begin{array}{l c l}
b +c &=& 0\\
-2a + b + 2c &=& 0
\end{array}\right.$\\
\textbf{C.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
2a + b &=&0\\
2a + b - c&=&0
\end{array}\right.$&
\textbf{D.~} $\left\{\begin{array}{l c l}
b +c &=& 0\\
2a + b&=&0
\end{array}\right.$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 14}

\medskip

Ainsi, on montre que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{A.~} les coordonnées d'un tel vecteur $\vect{n}$ peuvent être $\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$\\
\textbf{B.~} les coordonnées d'un tel vecteur $\vect{n}$ peuvent être $\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$\\
\textbf{C.~}les coordonnées d'un tel vecteur $\vect{n}$ peuvent être $\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$\\
\textbf{D.~} les coordonnées d'un tel vecteur $\vect{n}$ peuvent être $\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 15}

\medskip

Une équation du plan (BCI) est alors :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~}$x - 2y + 2z - 1 = 0$&\textbf{B.~} $x - y + z = 0$\\
\textbf{C.~} $x - 2y + 1 = 0$&\textbf{D.~} $2x - y + z - 2 = 0$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}