\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2020}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 12 avril 2021} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 12 avril 2021~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{PARTIE MATHÉMATIQUE} \medskip Toutes les questions sont indépendantes \end{center} \bigskip \textbf{Question 1} \medskip Pour $x \in [0~;~2\pi[$, l'ensemble des solutions de l'inéquation $\cos (x) \leqslant -\cos (2x)$ est : \bigskip \baselineskip 25pt \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~] $S = \left[\dfrac{\pi}{3}~;~2\pi\right]$ \item[\textbf{B.}~~] $S = \left[\dfrac{\pi}{6}~;~\pi\right]$ \item[\textbf{C.}~~] $S = \left[\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{5\pi}{3}\right]$ \item[\textbf{D.}~~] $S = \left[\dfrac{\pi}{6}~;~\dfrac{4\pi}{3}\right]$ \end{itemize} \bigskip \textbf{Question 2} \medskip La solution de l'équation différentielle $15y' + 24y = 12$ avec $y\left(\dfrac54\right) = 2$ est la fonction : \medskip \baselineskip 30pt \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~]$f(x) = \dfrac32 \times \text{e}^{-\frac85 x - 2} - \dfrac12$ \item[\textbf{B.}~~]$f(x) = \dfrac32 \times \text{e}^{-\frac85 x - 2} + \dfrac12$ \item[\textbf{C.}~~]$f(x) = \dfrac32 \times \text{e}^{-\frac85 x + 2} - \dfrac12$ \item[\textbf{D.}~~]$f(x) = \dfrac32 \times \text{e}^{-\frac85 x - 2} + \dfrac12$ \end{itemize} \bigskip \textbf{Question 3} \medskip Dans un repère orthonormé, nous considérons un hexagone régulier ABCDEF de centre O, dont les côtés ont pour mesure de longueur 1. Le produit scalaire $\vect{\text{AC}}\cdot \vect{\text{CF}}$ est égal à: \medskip \baselineskip 15pt \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~]$\sqrt{3}$ \item[\textbf{B.}~~]$- 3$ \item[\textbf{C.}~~]$-\sqrt{3}$ \item[\textbf{D.}~~]$\dfrac32$ \end{itemize} \bigskip \textbf{Question 4} \medskip Une fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]-\infty~;~ 0]$ par : \[g(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 2x}}{x - 3}.\] Soit $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan. \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~]$\mathcal{C}_g$ admet une asymptote d'équation $y = -1$. \item[\textbf{B.}~~]$\mathcal{C}_g$ n'admet pas d'asymptote. \item[\textbf{C.}~~]$\mathcal{C}_g$ admet une asymptote d'équation $y = x$. \item[\textbf{D.}~~]$\mathcal{C}_g$ admet une asymptote d'équation $y = 1$. \end{itemize} \bigskip \textbf{Question 5} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : \[f(x) = \displaystyle\int_0^x \text{e}^{-t^2}\:\text{d}t.\] La fonction $f''$, dérivée seconde de $f$ sur l'ensemble des nombres réels, est définie par: \medskip \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~]$f''(x) = \displaystyle\int_0^x - 2t\text{e}^{-t^2}\:\text{d}t$ \item[\textbf{B.}~~]$f''(x) = \displaystyle\int_0^x - 2x\text{e}^{-x^2}\:\text{d}x$ \item[\textbf{C.}~~]$f''(x) = - 2x\text{e}^{-x^2}$ \item[\textbf{D.}~~]$f''(x) = \text{e}^{-x^2}$ \end{itemize} \bigskip \textbf{Question 6} \medskip On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(u_n\right)$ définies sur l'ensemble des nombres entiers naturels : \bigskip \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~]Si $\displaystyle\lim_{n\to + \infty} u_n = +\infty$ et si $\displaystyle\lim_{n\to + \infty} v_n = -\infty$ alors $\displaystyle\lim_{n\to + \infty} \left(u_n + v_n\right) = 0$. \item[\textbf{B.}~~] Si $\left(u_n\right)$ converge vers un nombre réel non nul et si $\displaystyle\lim_{n\to + \infty} v_n = +\infty$ alors la suite $\left(u_n \times v_n\right)$ ne converge pas vers une limite finie. \item[\textbf{C.}~~] Si $\left(u_n\right)$ converge vers un nombre réel non nul et si $\displaystyle\lim_{n\to + \infty} v_n = 0$, alors la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ admet $+ \infty$ ou $- \infty$ comme limite. \item[\textbf{D.}~~] Si $\left(u_n\right)$ et $\left(u_n\right)$ convergent alors la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ converge vers une limite finie. \end{itemize} \bigskip \textbf{Question 7} \medskip Dans un repère de l'espace, on considère les trois points: A(1~;~2~;~3), B$(-1~;~5~;~4)$, C$(-1~;~0~;~4)$. La droite parallèle à la droite (AB) passant par le point C a pour représentation paramétrique : \medskip \baselineskip 25pt \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~]$\left\{\begin{array}{l c l} x &=& -t-1\\y&=&\frac32t\\z&=&\frac12t +4\end{array}\right.$, $t$ étant un nombre réel. \item[\textbf{B.}~~]$\left\{\begin{array}{l c l}x &=&\phantom{4t} -1\\y&=&4t\\z&=& 7t+4\end{array}\right.$, $t$ étant un nombre réel. \item[\textbf{C.}~~]$\left\{\begin{array}{l c l}x &=&- 1 - 2t\\y&=&\phantom{-}5+3t\\z&=&\phantom{-}4+t\end{array}\right.$, $t$ étant un nombre réel. \item[\textbf{D.}~~]$\left\{\begin{array}{l c l}x&=&\phantom{-}2t\\ y &=& -3t\\ z &=&-t \end{array}\right.$, $t$ étant un nombre réel. \end{itemize} \bigskip \textbf{Question 8} \medskip ABCDEFGH est un cube dont les faces ABCD et EFCH sont parallèles et de telle sorte que [AE] et[BF] soient deux arêtes avec E situé \og au-dessus \fg{} de A. M est le centre de la face ABFE et N est le centre de la face BCGF. Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [GH] et [FG]. Les droites (IJ) et (MN) sont: \medskip \baselineskip 15pt \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~]perpendiculaires \item[\textbf{B.}~~]orthogonales \item[\textbf{C.}~~]sécantes, non perpendiculaires \item[\textbf{D.}~~]parallèles. \end{itemize} \bigskip \textbf{Question 9} \medskip L'équation $\text{e}^{2x}- 3\text{e}^x - 4 = 0$ admet dans l'ensemble des nombres réels: \medskip \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~]0 solution \item[\textbf{B.}~~]1 solution \item[\textbf{C.}~~]2 solution \item[\textbf{D.}~~]plus de 2 solutions \end{itemize} \bigskip \textbf{Question 10} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[$ respectivement par : \[f(x) = \text{e}^{-x} \times \cos(4x) \quad \text{et }\quad g(x) = \dfrac12\text{e}^{-x}.\] Les points communs aux deux courbes représentatives de ces deux fonctions ont pour abscisses: \medskip \baselineskip 20pt \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~]$x = \dfrac{\pi}{12} +\dfrac{k\pi}{2}$ ou $x = -\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{k\pi}{2},\,k$ étant un entier naturel. \item[\textbf{B.}~~]$x = \dfrac{\pi}{12} +\dfrac{k\pi}{2}$ ou $x = -\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{k\pi}{2},\,k$ étant un entier naturel non nul. \item[\textbf{C.}~~]$x = \dfrac{\pi}{24} +\dfrac{k\pi}{2}$ ou $x = -\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{k\pi}{2},\,k$ étant un entier naturel non nul. \item[\textbf{D.}~~]$x = \dfrac{\pi}{24} +\dfrac{k\pi}{2}$ ou $x = -\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{k\pi}{2},\,k$ étant un entier naturel. \end{itemize} \bigskip \textbf{Question 11} \medskip Un joueur lance une fois un dé cubique bien équilibré. Il gagne 10€ si le dé marque 1. Il gagne 1~\euro{} si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les autres cas. Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur. La variance de $X$ est; \medskip \baselineskip 15pt \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~]2 \item[\textbf{B.}~~]12 \item[\textbf{C.}~~]16 \item[\textbf{D.}~~]17 \end{itemize} \bigskip \textbf{Question 12} Suite télescopique \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul. La limite de l'expression $\displaystyle\sum_{k=1}^n \ln \left(1 + \frac{1}{k} \right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ est : \medskip \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~]0 \item[\textbf{B.}~~]$\ln 2$ \item[\textbf{C.}~~]$+ \infty$ \item[\textbf{D.}~~]$- \ln 2$ \end{itemize} \bigskip \textbf{Question 13} Suite doublement télescopique \medskip Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. La limite de l'expression $\displaystyle\sum_{k=1}^n \ln \left(1 - \frac{1}{k^2} \right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ est: \medskip \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~]0 \item[\textbf{B.}~~]$\ln 2$ \item[\textbf{C.}~~]$+ \infty$ \item[\textbf{D.}~~]$- \ln 2$ \end{itemize} \bigskip \textbf{Question 14} \medskip On jette deux dés cubiques non pipés, l'un bleu et l'autre rouge. Les faces de chacun des dés sont numérotées de 1 à 6. On note $a$ le nombre de la face apparente du dé bleu et $b$ celui du dé rouge. Sail $E$ l'équation du second degré dans l'ensemble des nombres réels : $x^2 - 2ax + b^2 = 0$. Identifier la ou les affirmation(s) vraie(s) parmi les suivantes : \medskip \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~]La probabilité que $E$ ait une racine double est $\dfrac16$. \item[\textbf{B.}~~]La probabilité que $E$ n'ait aucune racine réelle est égale à la probabilité que $E$ ait deux racines réelles distinctes. \item[\textbf{C.}~~]Si $E$ a deux racines réelles distinctes, la probabilité que l'une soit égale à 1 est $\dfrac13$. \item[\textbf{D.}~~]La probabilité que $E$ ait une racine double paire est $\dfrac{1}{36}$. \end{itemize} \bigskip \textbf{Question 15} \medskip Une usine fabrique des vis de 2 cm de mesure de longueur. On note $X$ la variable aléatoire ayant pour valeurs les mesures de longueurs des vis possibles exprimée en cm, la probabilité $p_i$ qu'une vis soit de longueur $x_i$. On donne : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_i$&1,8& 1,9&2& 2,1& 2,2\\ \hline $p_i$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac16$&$\dfrac12$&$\dfrac16$&$\dfrac{1}{12}$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{itemize} \item[\textbf{A.}~~] Si nous prélevons au hasard et avec remise 6 vis, la probabilité d'avoir au moins une vis de mesure de longueur 1,8 cm est $\left(\dfrac{1}{12}\right)^6$. \item[\textbf{B.}~~]Si nous prélevons au hasard et avec remise 6 vis, la probabilité d'avoir exactement deux vis de mesure de longueur 1,8 cm est $6 \times \dfrac{11^4}{12^6}$. \item[\textbf{C.}~~]Si nous prélevons au hasard et avec remise 6 vis, la probabilité d'avoir au moins une vis de mesure de longueur supérieure ou égale à 1,9 cm est $1 - \left(\dfrac{11}{12}\right)^6$. \item[\textbf{D.}~~]Si l'on prélève au hasard une vis, la probabilité qu'elle soit au moins de 2 cm est $\dfrac{3}{4}$. \end{itemize} \end{document}