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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small avril 2022}
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\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation avril 2022~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{PARTIE MATHÉMATIQUE}

\medskip

Toutes les questions sont indépendantes
\end{center}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{\large Partie 1}
\end{center}

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par

\[u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac 1k = 1 + \dfrac12 + \ldots + \dfrac 1n.\]

\textbf{Question 1}

\medskip

Une fonction $L$ écrite en langage Python, qui a pour paramètre un nombre entier $n \geqslant 2$ et qui renvoie le $n$-ième terme de la suite $\left(u_n\right)$ est :

\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
\textbf{A.~}\begin{tabular}{|cl|}\hline
1&def L(n) :\\
2&\quad u=1\\
3&\quad for i in range (2,~n) :\phantom{+1)}\\
4&\quad \qquad  u=u+1/i\\
5&return u\\ \hline
\end{tabular}&
\textbf{B.~}\begin{tabular}{|cl|}\hline
1&def L(n):\\
2&\quad u=1\\
3&\quad for i in range (1,~n) :\\
4&\quad \qquad  u= u + 1/i\\
5&return u\\ \hline
\end{tabular}\\
\textbf{C.~}\begin{tabular}{|cl|}\hline
1&def L(n) :\\
2&\quad u = 1\\
3&\quad for i in range (2,~n+1) :~~\\
4&\quad \qquad  u=u+1/i\\
5&return u\\ \hline
\end{tabular} &
\textbf{D.~}\begin{tabular}{|cl|}\hline
1&def L(n) :\\
2&\quad u=1\\
3&\quad for i in range (2,~n) :\\
4&\quad \qquad  u=u+1/i\\
5&return u\\ \hline
\end{tabular}\\
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Question 2}

\medskip

La suite $\left(u_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~}$u_{2n} - u_n \geqslant \dfrac12$&\textbf{B.~}$u_{2n} - u_n < \dfrac12$\\
\textbf{C.~} $u_{2^n} \geqslant 1 + \dfrac n2$&\textbf{D.~} $u_{2^n} \leqslant 1 -\dfrac n2$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

La suite $\left(u_n\right)$

\medskip

\begin{tabular}{l}
\textbf{A.~} converge, car elle est croissante et majorée\\
\textbf{B.~} converge, car elle est décroissante et minorée\\
\textbf{C.~} diverge, car elle est minorée par une suite divergente non bornée \\
\textbf{D.~} diverge, car elle est majorée par une suite divergente non bornée
\end{tabular}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\large Partie 2}
\end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 
\begin{center}$f(x) = 10\e^{u(x)}$\end{center}
où $u$ est la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 
\[u(x) = -\e^{-2-\frac{x}{10}}.\]

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Pour tout réel $x \geqslant 0$, la fonction $f$
est dérivable, et : 

\begin{tabular}{l}
\textbf{A.~} $f'(x) = \e^{-\e^{- 2 - \frac{x}{10}}}$\\
\textbf{B~} $f'(x) = (-20 - x)\e^{-\e^{- 2 - \frac{x}{10}}}$\\
\textbf{C~} $f'(x) = 10u(x)e^{u(x)}$\\
\textbf{D~} $f'(x) = - u(x)\e^{u(x)}$\\
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

On admet que la fonction dérivée $f'$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$, et on note $f''$ la fonction dérivée de $f'$.

Pour tout réel $x \geqslant 0$, on obtient :

\begin{tabular}{l}
\textbf{A.~} $f''(x) = 10(1 + u(x))u'(x)e^{u(x)}$\\
\textbf{B.~} $f''(x) = \dfrac{1}{10}(1 + u(x))u(x)e^{u(x)}$\\
\textbf{C.~} $f''(x) = - \dfrac{1}{10}\e^{-\e^{- 2 - \frac{x}{10}}}$\\
\textbf{D.~} $f''(x) = \left(\dfrac{x^2}{10} +4x + 39\right)\e^{-\e^{-2 - \frac{x}{10}}}$
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 6}

\medskip

La fonction dérivée $f'$ est maximale pour:

\begin{tabular}{l}
\textbf{A.~} $x = 20$\\
\textbf{B.~} $x = 0$\\
\textbf{C.~} $x =10\left(2 + \sqrt{0,1}\right)$\\
\textbf{A.~} $x = 10\left(2 - \sqrt{0,1}\right)$
\end{tabular}

\begin{center}
\textbf{\large Partie 3}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 7}

\medskip

Le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2\cos x +3\sin y&=&\sqrt 2 - \dfrac32\\
4\cos x + \sin y&=& 2\sqrt 2 - \dfrac12\\
-\pi \leqslant x \leqslant \pi,&&-\pi \leqslant y \leqslant \pi
\end{array}\right.\]
admet pour ensemble de solutions:

\begin{tabular}{l}
\textbf{A.~} $S = \left\{\left(-\dfrac{\pi}{4}~;~-\dfrac{2\pi}{3}\right)~;~\left(-\dfrac{\pi}{4}  ~;~ -\dfrac{\pi}{3}\right)~;~\left(\dfrac{\pi}{4}~;~ -\dfrac{2\pi}{3}\right) ~;~\left(\dfrac{\pi}{4} ; -\dfrac{\pi}{3}\right)\right\}$\\
\textbf{B.~} $S = \left\{\left(-\dfrac{\pi}{2} ~;~ -\dfrac{2\pi}{3}\right) ~;~ \left(-\dfrac{\pi}{2} ~;~ -\dfrac{\pi}{3}\right) ~;~ \left(\dfrac{\pi}{2} ~;~ -\dfrac{2\pi}{3}\right) ~;~\left(\dfrac{\pi}{2} ~;~ -\dfrac{\pi}{3}\right)\right\}$\\
\textbf{C.~} $S = \left\{\left(-\dfrac{\pi}{4} ~;~ \dfrac{\pi}{4}\right) ~;~ \left(-\dfrac{5\pi}{6} ~;~ -\dfrac{\pi}{6}\right) ;\left(\dfrac{\pi}{4} ~;~ -\dfrac{\pi}{4}\right) ~;~\left(-\dfrac{\pi}{6} ~;~ -\dfrac{5\pi}{6}\right)\right\}$\\
\textbf{D.~} $S = \left\{\left(-\dfrac{\pi}{4} ~;~ -\dfrac{5\pi}{6}\right) ~;~ \left(-\dfrac{\pi}{4} ~;~ -\dfrac{\pi}{6}\right) ~;~\left(\dfrac{\pi}{4} ~;~ -\dfrac{5\pi}{6}\right) ~;~\left(\dfrac{\pi}{4} ~;~-\dfrac{\pi}{6}\right)\right\}$
\end{tabular}


\medskip

\textbf{Question 8}

\medskip

Le système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2\cos x +3\sin x&=&\sqrt 2 - \dfrac32\\
4\cos x + \sin x &=& 2\sqrt 2 - \dfrac12\\
 &-\pi \leqslant x \leqslant \pi& 
\end{array}\right.\]

admet pour ensemble de solutions:

\begin{tabular}{l}
\textbf{A.~} $S = \left\{-\dfrac{2\pi}{3}~;~ -\dfrac{\pi}{3}~;~-\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{4}\right\}$\\
\textbf{B.~} $S = \left\{-\dfrac{5\pi}{6}~;~-\dfrac{\pi}{6}~;~\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{3\pi}{4} \right\}$\\
\textbf{C.~} $S = \left\{-\dfrac{\pi}{6}~;~\dfrac{\pi}{6}~;~\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{3\pi}{4} \right\}$\\
\textbf{D.~} $S = \left\{-\dfrac{5\pi}{6}~;~-\dfrac{\pi}{6}~;~-\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{4} \right\}$
\end{tabular}

\begin{center}
\textbf{\large Partie 4}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On lance deux dés parfaitement équilibrés à quatre faces numérotées 1 ; 2 ; 3 et 6.

On considère la variable aléatoire $X = \cos\left(\dfrac{\pi}{A}\right)  + \sin \left(\dfrac{\pi}{B}\right)$, où $A$ correspond à la face obtenue par
le premier dé et $B$ par le second.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 9}

\medskip

La probabilité $p_1$ que $X$ soit un entier est: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~}$p_1 = \dfrac14$&
\textbf{B.~}$p_1 = \dfrac{3}{8}$&
\textbf{C.~}$p_1 = \dfrac{5}{16}$&
\textbf{D.~}$p_1 = \dfrac{9}{16}$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 10}

\medskip

La probabilité $p_2$ que $X$ soit un entier sachant que $A$ est pair est:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~}$p_2 = \dfrac14$&
\textbf{B.~}$p_2 = \dfrac{3}{8}$&
\textbf{C.~}$p_2 = \dfrac{5}{16}$&
\textbf{D.~}$p_2 = \dfrac{9}{16}$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 11}

\medskip

La probabilité $p_3$ que $X$ soit un nombre rationnel est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~}$p_3 = \dfrac14$&
\textbf{B.~}$p_3 = \dfrac{3}{8}$&
\textbf{C.~}$p_3 = \dfrac{5}{16}$&
\textbf{D.~}$p_3 = \dfrac{9}{16}$
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Partie 5}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Dans un repère orthonormé de l'espace \Oijk, on considère les vecteurs 

$\vect{u}\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 12}

\medskip

Les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~} non coplanaires&
\textbf{B.~}coplanaires\\
\textbf{B.~}colinéaires&
\textbf{B.~}orthogonaux
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 13}

\medskip

Un vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ si et seulement si les coordonnées de $\vect{n}$
vérifient le système :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~} $\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{3}a + 3b+ 4c&=&0\\
2a - \phantom{3}b + \phantom{3}c &=& 0
\end{array}\right.$&
\textbf{B.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
- 3a +b+4c&=&0\\
- \phantom{3}a - 2b + c&=&0
\end{array}\right.$\\
\textbf{C.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{3}a - 4b + 3c&=&0\\ 
2a + \phantom{3}b + \phantom{3}c &=& 0
\end{array}\right.$&
\textbf{D.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
- 4a + 3b + c &=& 0\\
\phantom{- 3}a - b - 2c&=& 0
\end{array}\right.$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 14}

\medskip

Ainsi, on montre que:

\medskip

\begin{tabular}{m{14cm}}
\textbf{A.~} les coordonnées d'un tel vecteur $\vect{n}$ sont $\begin{pmatrix}9\\-1\\7 \end{pmatrix}$\\
\textbf{B.~} les coordonnées d'un tel vecteur $\vect{n}$ sont $\begin{pmatrix}-7\\5\\9 \end{pmatrix}$\\
\textbf{C.~} les coordonnées d'un tel vecteur $\vect{n}$ sont $\begin{pmatrix}3\\3\\-3 \end{pmatrix}$\\
\textbf{D.~} les coordonnées d'un tel vecteur $\vect{n}$ n'existent pas car le nombre d'équations et le nombre d'inconnues ne coïncident pas.
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 15}

\medskip

Une équation du plan passant par A(1~;~1~;~1) et de vecteurs directeurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~} $-7x +5y + 9z- 7 = 0$& \textbf{A.~} $x + y - z - 1 = 0$\\
\textbf{C.~} $9x-y+7z- 15=0$&\textbf{D.~}  $-2x - 2y + 2z + 2 = 0$
\end{tabularx}
\end{document}