\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx,booktabs} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table,dvips]{xcolor} \usepackage{graphicx} %Tapuscrit Denis Vergès %Relecture : \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pst-eucl,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Sujet 0 Hors spécialité Sujet 2}, pdftitle = {e3c}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage[french]{babel} \frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Première série générale} \lfoot{\small{Sujet 0 - Epreuve anticipée de mathématiques\\ voie générale \textbf{hors} spécialité}} \rfoot{\small{2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Sujet 0 Spécialité mathématiques Sujet 2~\decofourright\\[6pt]Évaluation en fin de première}} \end{center} \bigskip \renewcommand\arraystretch{1} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0\\[10pt] Voie générale : candidats \textbf{ne} suivant \textbf{pas} l'enseignement de spécialité de mathématiques\\[10pt] Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts)} \end{center} \medskip \textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère $A = \dfrac 12 - \dfrac 12 \times \dfrac 43$. \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $A= 0$&\textbf{b.~} $A=- \dfrac 16$&\textbf{c.~} $A = \dfrac 23$&\textbf{d.~} $A = - 1$ \end{tabularx} \item Quatre croissants coûtent 6 euros. Dix croissants coûtent : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} 60 euros &\textbf{b.~} 8 euros &\textbf{c.~} 8,50 euros&\textbf{d.~} 15 euros \end{tabularx} \item Un prix a doublé. Cela signifie que le prix a augmenté de : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} 50\,\% &\textbf{b.~} 100\,\% &\textbf{c.~} 150\,\%&\textbf{d.~} 200\,\% \end{tabularx} \item À l'issue d'une augmentation de 10\,\%, un article coûte 110 euros. Laquelle des quatre propositions suivantes est vraie ? \textbf{a.~}Le prix de l'article avant l'augmentation était égal à 99 euros. \textbf{b.~}Le prix de l'article avant l'augmentation était égal à 120 euros. \textbf{c.~}Le prix a augmenté de 10 euros. \textbf{d.~}Le prix a augmenté de 11 euros. \item La masse d'un litre d'huile est égale à 900 grammes. La masse de 750 millilitres de cette huile est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} 750 g &\textbf{b.~} 0,675 kg &\textbf{c.~} 6,75 kg &\textbf{d.~} 67,5 g \end{tabularx} \item Dans un repère du plan, on considère les points A(1~;~100) et B(4~;~106). On note $m$ le coefficient directeur de la droite (AB). On peut affirmer que : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $m = 2$ &\textbf{b.~} $m = 0,5$ &\textbf{c.~} $m =-2$ &\textbf{d.~} $m = -0,5$ \end{tabularx} \item Dans un repère du plan, on considère la droite $D$ de coefficient directeur $-0,1$, passant par le point A(0~;~4). On note B le point de la droite $D$ dont l'abscisse est égale à $1$. L'ordonnée du point B est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} 3 &\textbf{b.~} 3,9 &\textbf{c.~} 4,1&\textbf{d.~} 5 \end{tabularx} \item La forme développée de $(x - 3)(x + 2)$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~} $x^2 - 5x + 6$& \textbf{b.~} $x^2- x + 6$ \\ \textbf{c.~} $x^2 - x - 6$& \textbf{d.~} $x^2 - 5x - 6$ \end{tabularx} \item Le volume $V$ d'un cône de hauteur $h$ et de rayon $r$ est $V = \dfrac 13 \pi r^2 h$. On cherche à isoler $h$. On a : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $h = \dfrac{V}{3\pi r^2}$& \textbf{b.~} $h = \dfrac{\pi r^2}{3V}$& \textbf{c.~} $h = \dfrac{\sqrt{V}}{\pi r}$& \textbf{d.~} $h = \dfrac{3V}{\pi r^2}$ \end{tabularx} \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)= -2x^2 + 3x + 1$. L'image de $-1$ par la fonction $f$ est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} 0& \textbf{b.~} 2 &\textbf{c.~} $-2$ &\textbf{d.~}$-4$ \end{tabularx} \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)= 2x^2 - 5x + 3$. Un antécédent de 0 par la fonction $f$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} 1& \textbf{b.~}$-1$&\textbf{c.~} 0&\textbf{d.~} 2 \end{tabularx} \item On considère les deux séries ci-dessous : Série A : 9 ; 10 ; 10 ; 11, \qquad Série B : 7 ; 10 ; 10 ; 13. Laquelle des quatre propositions suivantes est vraie ? \textbf{a.~} La moyenne de la série A est strictement supérieure à la moyenne de la série B. \textbf{b.~} La moyenne de la série B est strictement supérieure à la moyenne de la série A. \textbf{c.~} L'écart-type de la série A est strictement supérieur à l'écart-type de la série B. \textbf{d.~} L'écart-type de la série B est strictement supérieur à l'écart-type de la série A. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{DEUXIÈME PARTIE (14 pts)} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 1 (X points)} \medskip On étudie la croissance d'une population de champignons. \medskip \textbf{Partie A.} \medskip Au début de l'expérience, on dispose de 100 champignons. Toutes les dix minutes, on mesure l'évolution de leur nombre. On obtient les résultats suivants. \medskip \begin{minipage}{0.4\linewidth} \begin{tabular}{|m{3cm}|m{3cm}|}\hline Temps écoulé (en minutes)&Nombre de champignons\\ \hline 0 &100\\ \hline 10& 125\\ \hline 20& 150\\ \hline 30& 175\\ \hline \end{tabular} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.4\linewidth} \psset{xunit=0.125cm,yunit=0.0125cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-4,-30)(35,220) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=50,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(35,200) \psdots(0,100)(10,125)(20,150)(30,175) \uput[u](25,0){\footnotesize temps écoulé (en minutes)} \uput[r](0,195){\footnotesize nombre de champignons} \end{pspicture} \end{minipage} \bigskip Soit $n$ un entier naturel. On note $u_n$ le nombre de champignons après $n$ périodes de dix minutes. Ainsi $u_0 = 100,\: u_1 = 125, u_2 = 150, ...$ \bigskip \begin{enumerate} \item Justifier que les termes $u_0, \: u_1\: u_2,\: u_3$ sont en progression arithmétique. \item En supposant que la population de champignons continue d'évoluer selon le même rythme, montrer qu'elle aura quadruplé deux heures après le début de l'expérience. \end{enumerate} \medskip \begin{minipage}{0.55\linewidth} \textbf{Partie B.} En réalité, on constate que la population de champignons a quadruplé 80 minutes après le début de l'expérience. De nouvelles mesures donnent les résultats suivants. \medskip \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.42\linewidth} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Temps écoulé (en minutes)&Nombre de champignons\\ \hline 0 &100\\ \hline 40& 200\\ \hline 80& 400\\ \hline 120& 800\\ \hline \end{tabularx} \end{minipage} \bigskip Soit $n$ un entier naturel. On note $v_n$ le nombre de champignons, après $n$ périodes de \textbf{quarante} minutes. Ainsi $v_0 =100, v_1 = 200, v_2 = 400...$ \begin{enumerate} \item Montrer que les termes $v_0,\: v_1,\: v_2,\: v_3$ sont en progression géométrique. \item On suppose que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 2. Indiquer sans justifier lequel des 4 graphiques ci-dessous est susceptible de représenter la suite $(v_n)$. \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.025cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-25)(7,80) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(7,80) \psdots(1,1)(2,4)(3,9)(4,16)(5,30)(6,55) \rput(4,-20){\footnotesize Graphique 1} \end{pspicture}& \psset{xunit=0.35cm,,yunit=0.025cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-10)(10,80) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(7,80) \psdots(0.1,3)(0.25,12)(0.625,27)(1.5625,48)(3.9,70)(6.77,80) \rput(5,-20){\footnotesize Graphique 2} \end{pspicture}&\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.025cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-10)(7,80) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(7,80) \psdots(1,6)(2,12)(3,18)(4,24)(5,30)(6,36) \rput(4,-20){\footnotesize Graphique 3} \end{pspicture}& \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.05cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-10)(7,40) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(7,40) \psdots(1,40)(2,30)(3,21)(4,14)(5,10)(6,7) \rput(4,-10){\footnotesize Graphique 4} \end{pspicture} \end{tabularx} \end{enumerate} \begin{minipage}{0.78\linewidth} \begin{enumerate}[start=3] \item Quel sera le nombre de champignons quatre heures après le début de l'expérience ? \item Cinq heures après le début de l'expérience, on dénombre environ \np{18000} champignons. Est-ce cohérent avec le modèle choisi ? \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.2\linewidth} $\begin{array}{|c|}\hline \text{Aide au calcul}\\ 2^6 =64 \\ 2^7 =128\\ 2^8 = 256\\ 2^9 =512\\ 2^{10} = \np{1024}\\ \hline \end{array}$ \end{minipage} \bigskip \textbf{Exercice 2 (X points)} \begin{center} Les deux parties de cet exercice sont indépendantes \end{center} \textbf{Partie A} \medskip Dans un lycée comptant $\np{2000} $ élèves, on donne la répartition des effectifs suivant le sexe et le choix de la LV1. \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{~} & Fille & Garçon \\ \hline Anglais & 712 & 728 \\ \hline Autre LV1 & 288 & 272 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Un élève affirme \og Dans ce lycée, il y a autant de filles que de garçons\fg{}. A-t-il raison ? Justifier. \end{enumerate} \smallskip On choisit au hasard, de manière équiprobable, un élève dans ce lycée. On considère les évènements suivants : $F$ : \og l'élève est une fille\fg; $A$ : \og l'élève a choisi Anglais pour LV1\fg. Dans les questions qui suivent, on donnera les résultats sous forme d'une fraction qu'il n'est pas demandé de simplifier. \begin{enumerate}[resume] \item Déterminer la probabilité de l'évènement $A \cap F$. \item Déterminer la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $F$ est réalisé. \item Les évènements $A$ et $F$ sont-ils indépendants? Justifier. \item On sait que l'élève choisi est un garçon. On considère l'affirmation suivante : \og La probabilité qu'il ait choisi Anglais pour LV1 est plus de trois fois plus grande que la probabilité qu'il n'ait pas choisi Anglais pour LV1\fg. Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip On dispose d'une pièce de monnaie truquée pour laquelle la probabilité d'obtenir pile lors d'un lancer est égale à $\dfrac{1}{4}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité d'obtenir face. \item On lance trois fois de suite cette pièce de monnaie, les trois lancers étant indépendants, et on note pour chaque lancer le résultat (pile ou face) obtenu. \begin{enumerate} \item Représenter la situation par un arbre de probabilités. \item Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une fois pile lors de ces trois lancers ? \item Quelle est la probabilité de ne jamais obtenir pile ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}