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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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pdftitle = {Métropole Antilles-Guyane Sujet 1 1 septembre 2024},
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\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Métropole Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{5 septembre 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole Antilles-Guyane ~\decofourright\\[7pt] 11 septembre 2024\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}
\medskip

\section*{Exercice 1\hfill6 points}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH de côté 1.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(9,9.4)
\psdots(1.4,1)(5.6,0.5)(7.9,1.4)(3.7,1.9)(1.4,5.5)(5.6,5)(7.9,5.9)(3.7,6.4)(4.65,1.2)(1.4,8.2)(7.1,4.72)%ABCDEFGHIKL
\pspolygon(1.4,1)(5.6,0.5)(5.6,5)(1.4,5.5)%ABFE
\psline(5.6,0.5)(7.9,1.4)(7.9,5.9)(5.6,5)%BCGF
\psline(7.9,5.9)(3.7,6.4)(1.4,5.5)%GHE
\psline(1.4,8.2)(5.6,0.5)(7.9,5.9)%KBG
\psline(1.4,8.2)(5.5,5.7)%K...L
\psline[linestyle=dashed](5.5,5.7)(7.9,4.2)%...L
\psline(1.4,8.2)(2.24,5.98)%KD
\psline(1.4,1)(1.4,9)%% AK...
\psline(0.4,8.8)(1.4,8.2)
\psline[linestyle=dashed](2.24,5.98)(3.7,1.9)%...D
\psline(7.9,4.2)(8.7,3.7)
\psline[linestyle=dashed](1.4,1)(3.7,1.9)(7.9,1.4)%ADC
\psline[linestyle=dashed](3.7,6.4)(3.7,1.9)(5.6,0.5)%HDB
\psline[linestyle=dashed](4.65,1.2)(7.9,5.9)(3.7,1.9)%IGD...
\uput[l](1.4,1){A} \uput[dr](5.6,0.5){B} \uput[r](7.9,1.4){C} \uput[170](3.7,1.9){D}
\uput[l](1.4,5.5){E} \uput[ul](5.6,5){F} \uput[ur](7.9,5.9){G} \uput[170](3.7,6.4){H}
\uput[dl](4.65,1.2){I} \uput[ur](1.4,8.2){K} \uput[d](7.1,4.72){L} \uput[dl](0.4,8.8){$\Delta$}
\end{pspicture}
\end{center}

Le point I est le milieu du segment [BD]. On définit le point L tel que $\vect{\text{IL}}= \dfrac34\vect{\text{IG}}$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\:\vect{\text{AD}},\:\vect{\text{AE}}\right)$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les coordonnées des points D, B, I et G. \\
		Aucune justification n'est attendue.
		\item Montrer que le point L a pour coordonnées $\left(\dfrac78~;~\dfrac78~;~\dfrac34\right)$.
	\end{enumerate}
\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (BDG) est $x + y - z - 1 = 0$.
\item On considère la droite $\Delta$ perpendiculaire au plan (BDG) passant par L.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est : 
\renewcommand\arraystretch{1.9}
\[
\left\{\begin{array}{l c l}x&=&\dfrac78 + t \\ y &=& \dfrac78+t \\ z&=&\dfrac34 -t \end{array}\right. \text{ où } t \in \R. \]
\renewcommand\arraystretch{1}
		\item Montrer que les droites $\Delta$ et (AE) sont sécantes au point K de coordonnées $\left(0~;~0~;~\dfrac{13}{8}\right)$.
		\item Que représente le point L pour le point K ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance KL.
		\item On admet que le triangle DBG est équilatéral. 
		
		Montrer que son aire est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

		\item En déduire le volume du tétraèdre KDBG.

\begin{list}{\textbullet}{On rappelle que :}
\item le volume d'une pyramide est donné par la formule $\mathcal{V} = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la longueur de la hauteur relative a cette base ;
\item un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.
\end{list}
	\end{enumerate}
	
\item On désigne par $a$ un réel appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et on note $K_a$ le point de coordonnées $(0~;~0~;~a)$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le volume $\mathcal{V}_a$ de la pyramide ABCD$K_a$ en fonction de $a$.
		\item On note $\Delta_a$ la droite de représentation paramétrique 

\[
\left\{\begin{array}{l c l}x&=&\phantom{-}t' \\ y &=&\phantom{-}t' \\ z&=&- t' + a \end{array}\right. \text{ où } t' \in \R. \]

On appelle $L_a$ le point d'intersection de la droite $\Delta_a$ avec le plan (BDG).

Montrer que les coordonnées du point $L_a$ sont $\left(\dfrac{a+1}{3}~;~\dfrac{a+1}{3}~;~\dfrac{2a-1}{3}\right)$.
		\item Déterminer, s'il existe, un réel strictement positif $a$ tel que le tétraèdre GDB$K_a$ et la pyramide ABCD$K_a$ sont de même volume.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 2\hfill 5 points}

\medskip

\textit{Les deux parties sont indépendantes.}

\begin{center}
	\textbf{Partie A}
\end{center}

Un artisan crée des bonbons au chocolat dont la forme rappelle le profil de la montage locale représentée en \textbf{Figure 1}. La base d'un tel bonbon est modélisée par la surface grisée, définie ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 2~cm (\textbf{Figure 2}).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=2.cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.2,-0.2)(1.4,1.6)
%\psgrid
\def\fond{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.414214}{1}{1 x dup mul sub 2.71828 x exp mul}}
\rput(0.42,0.3){\fond}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1}{1}{1 x dup mul sub 2.71828 x exp mul}
\rput(0,0.){\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1}{1}{1 x dup mul sub 2.71828 x exp mul}\psline(1,0)(-1,0)}}
\psline(1,0)(1.45,0.3) \psline(0.35,1.24)(0.85,1.56)
\psline{<->}(1.2,0)(1.65,0.3) \uput[r](1.42,0.1){3 cm}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=2.cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1.2,-0.5)(1.4,1.4)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1}{1}{1 x dup mul sub 2.71828 x exp mul}\psline(1,0)(-1,0)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{-1}{1}{1 x dup mul sub 2.71828 x exp mul}
\uput[ur](0.7,1){$\mathcal{C}_f$}
\psgrid[subgriddiv=5,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,0)(1.4,1.4)
\end{pspicture*}\\
\textbf{Figure 1}&\textbf{Figure 2}\\
\end{tabularx}
\end{center}


Cette surface est délimitée par l'axe des abscisses et la représentation graphique notée $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie sur $[-1~;~1]$ par :

\[f(x) = \left(1 - x^2\right)\e^x.\]

L'objectif de cette partie est de calculer le volume de chocolat nécessaire à la fabrication d'un bonbon au chocolat.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-1~;~1]$ on a $f(x) \geqslant 0$.
		\item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que :
		
\[ \int_{-1}^1 f(x) \text{d}x = 2 \int_{-1}^1 x\,\e^{x} \text{d}x. \]

	\end{enumerate}
\item Le volume $\mathcal{V}$ de chocolat, en cm\up{3}, nécessaire à la fabrication d'un bonbon est donné par :

\[ \mathcal{V} = 3 \times S \]

où $S$ est l'aire, en cm\up{2}, de la surface colorée (\textbf{Figure 2}).

En déduire que ce volume $\mathcal{V}$, arrondi à $0,1$~cm\up{3} près, est égal à $4,4$~cm\up{3}.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

On s'intéresse maintenant au bénéfice réalisé par l'artisan sur la vente de ces bonbons au chocolat en fonction du volume hebdomadaire des ventes.

\smallskip

Ce bénéfice peut être modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0,01~;~+\infty[$ par : 

\[B(q) = 8q^2 [2 -3\,\ln(q)] - 3.\]

Le bénéfice est exprimé en dizaines d'euros et la quantité $q$ en centaines de bonbons.

\medskip

On admet que la fonction $B$ est dérivable sur $[0,01~;~+\infty[$. On note $B'$ sa fonction dérivée. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{q \to +\infty}B(q)$.
		\item Montrer que, pour tout $q \geqslant 0,01$,\: $B'(q) = 8q(1 - 6\,\ln (q))$.
		\item Étudier le signe de $B'(q)$, et en déduire le sens de variation de $B$ sur $[0,01~;~+\infty[$.

Dresser le tableau de variation complet de la fonction $B$.
		\item Quel est le bénéfice maximal, à l'euro près, que peut espérer l'artisan ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $B(q)= 10$ admet une unique solution $\beta$ sur l'intervalle $[1,2~;~+\infty[$.
		
		Donner une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-3}$ près.
		\item On admet que l'équation $B(q)= 10$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0,01~;~1,2[$.
		
On donne $\alpha \approx 0,757$.
		
		En déduire le nombre minimal et le nombre maximal de bonbons au chocolat à vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à $100$~euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 3\hfill5 points}

\medskip

\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\smallskip

\textit{Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.}

\begin{enumerate}
\item On considère une suite $\left(t_n\right)$ vérifiant la relation de récurrence : \[ \text{pour tout entier naturel } n,~t_{n+1}= - 0,8t_n + 18.\]

	\textbf{Affirmation 1} : La suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = t_n - 10$ est géométrique.
	
\smallskip

\item On considère une suite $\left(S_n\right)$ qui vérifie pour tout entier naturel $n$ non nul : \[ 3n - 4 \leqslant S_n \leqslant 3n + 4.\]
	%
	La suite $\left(u_n\right)$ est définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par : $u_n=\frac{S_n}{n}$.
	
	\textbf{Affirmation 2} : La suite $\left(u_n\right)$ converge.
	
	\smallskip
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par :
	\[ v_1=2 \text{ et pour tout entier naturel } n\geqslant1,~v_{n+1}=2-\frac{1}{v_n}. \]
	%
	\textbf{Affirmation 3} : Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $v_{n}=\dfrac{n+1}{n}$.
	
	\smallskip
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \e^n-n$.
	
	\textbf{Affirmation 4} : La suite $\left(u_n\right)$ converge.
	
	\smallskip
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie à l'aide du script écrit ci-dessous en langage \textsf{Python}, qui renvoie la valeur de $u_n$.
	
\texttt{\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{def} u(n) :\\
\qquad valeur = 2\\
\qquad \textbf{for} k \textbf{in range}(n) :\\
\qquad \qquad valeur = 0.5 * (valeur + 2/valeur)\\
\qquad \textbf{return} valeur\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
}

On admet que $\left(u_n\right)$ est décroissante et vérifie pour tout entier naturel $n$ :

\[\sqrt{2} \leqslant u_n \leqslant 2.\]

\textbf{Affirmation 5} : La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\sqrt{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 4\hfill4 points}

\medskip

\textit{Les deux parties sont indépendantes.}

\smallskip

Un laboratoire fabrique un médicament conditionné sous forme de cachets.

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

Un contrôle de qualité, portant sur la masse des cachets, a montré que 2\,\% des cachets ont une masse non conforme. Ces cachets sont conditionnés par boîtes de 100 choisis au hasard dans la chaîne de production. On admet que la conformité d'un cachet est indépendante de celle des autres.

\smallskip

On note $N$ la variable aléatoire qui à chaque boîte de $100$~cachets associe le nombre de cachets non conformes dans cette boîte.

\begin{enumerate}
	\item Justifier que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
	\item Calculer l'espérance de $N$ et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
	\item \textit{On arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'une boîte contienne exactement trois cachets non
		conformes.
		\item Calculer la probabilité qu'une boîte contienne au moins 95 cachets conformes.
	\end{enumerate}
	\item Le directeur du laboratoire veut modifier le nombre de cachets par boîte pour pouvoir affirmer : \og La probabilité qu'une boîte ne contienne que des cachets conformes est supérieure à 0,5\fg.
	
Combien de cachets une boîte doit-elle contenir au maximum pour respecter ce critère ? Justifier.
\end{enumerate}

\begin{center}
	\textbf{Partie B}
\end{center}

On admet que les masses des cachets sont indépendantes les unes des autres. On prélève 
$100$~cachets et on note $M_i$, pour $i$ entier naturel compris entre 1 et $100$, la variable aléatoire qui donne la masse en gramme du $i$-ème cachet prélevé.

\smallskip

On considère la variable aléatoire $S$ définie par : 

\[ S= M_1+ M_2+ \ldots+ M_{100}.\]

On admet que les variables aléatoires $M_1$,\: $M_2$,\: \ldots,\: $M_{100}$ suivent la même loi de probabilité d'espérance $\mu = 2$ et d'écart-type $\sigma$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer $E(S)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\item On note $s$ l'écart type de la variable aléatoire $S$.
	
Montrer que : $s = 10\sigma$.
	\item On souhaite que la masse totale, en gramme, des comprimés contenus dans une boîte
	soit strictement comprise entre 199 et 201 avec une probabilité au moins égale à $0,9$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que cette condition est équivalente à : 
		
		\[P \left ( \left |S-200 \strut \right | \geqslant 1 \right ) \leqslant 0,1.\]
		
		\item En déduire la valeur maximale de $\sigma$ qui permet, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé­-Tchebychev, d'assurer cette condition. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
