\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx,booktabs} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table,dvips]{xcolor} \usepackage{graphicx} %Tapuscrit Denis Vergès %Relecture : François Hache \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pst-eucl,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Sujet 0 Spécialité en première Sujet 1}, pdftitle = {}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Première série générale} \lfoot{\small{Sujet 0\\Épreuve anticipée de mathématiques\\ voie générale spécialité}} \rfoot{\small{2025 - sujet 1}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \decofourleft~\textbf{Sujet 0 -- Spécialité mathématiques sujet 1~\decofourright\\[6pt]Évaluation en fin de première}} \end{center} \bigskip \renewcommand\arraystretch{1} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0\\[10pt] Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques\\[10pt] Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts)} \end{center} \medskip \textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.} \medskip \textbf{Question 1} \medskip L'inverse du double de 5 est égal à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $\dfrac 25$ &\textbf{b.~} $\dfrac{1}{10}$&\textbf{c.~} $\dfrac 52$ &\textbf{d.~} 10 \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 2} \medskip On considère la relation $F = a + \dfrac{b}{cd}.$\\[5pt] Lorsque $a = \dfrac12,\: \:b = 3,\:\: c = 4,\:\: d = - \dfrac14$, la valeur de $F$ est égale à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $- \dfrac52$&\textbf{b.~}$- \dfrac32$&\textbf{c.~} $\dfrac52$&\textbf{d.~} $\dfrac32$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 3} \medskip Le prix d'un article est multiplié par 0,975. Cela signifie que le prix de cet article a connu : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~} une baisse de 2,5\,\% &\textbf{b.~} une augmentation de 97,5\,\%\\ \textbf{c.~} une baisse de 25\,\%& \textbf{d.~} une augmentation de 0,975\,\% \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 4} \medskip Le prix d'un article est noté $P, \:\: P \ne 0$. Ce prix augmente de 10\,\% puis baisse de 10\,\%. À l'issue de ces deux variations, le nouveau prix est noté $P_1$. On peut affirmer que: \begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $P_1 = P$\hfill \textbf{b.~} $P_1 > P$\hfill \textbf{c.~} $P_1 < P$\hfill \textbf{d.~} Cela dépend de $P$ %\end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 5} \medskip On lance un dé à 4 faces. La probabilité d'obtenir chacune des faces est donnée dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Face numéro 1 &Face numéro 2& Face numéro 3& Face numéro 4\\ \hline 0,5 &$\dfrac16$&0,2& $x$\rule[-10pt]{0pt}{28pt}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \newpage On peut affirmer que : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $x = \dfrac{2}{15}$&\textbf{b.~} $x = \dfrac{2}{3}$& \textbf{c.~} $x = 0,4$&\textbf{d.~} $x = 0,1$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 6} \medskip On considère $x,\:y, u$ des réels non nuls tels que $\dfrac 1x + \dfrac 1y = \dfrac 1u$. On peut affirmer que : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $u = \dfrac{xy}{x + y}$&\textbf{b.~} $u = \dfrac{x + y}{xy}$ &\textbf{c.~} $u = xy$ &\textbf{d.~} $u = x + y$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{minipage}{0.65\linewidth} \textbf{Question 7} \medskip On a représenté ci-contre la parabole d'équation $y = x^2$. On note $(\mathcal{J})$ l'inéquation, sur $\R$,\: $x^2 \geqslant 10$. L'inéquation $(\mathcal{J})$ est équivalente à : {\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{24}{X}} \textbf{a.~}$- \sqrt{10} \leqslant x \leqslant \sqrt{10}$&\textbf{b.~}$x \leqslant- \sqrt{10}$ ou $x \geqslant \sqrt{10}$\\ \textbf{c.~}$x \geqslant \sqrt{10}$&\textbf{d.~}$x = \sqrt{10}$ ou $x = - \sqrt{10}$ \end{tabularx}} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.32\linewidth} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-4,-1)(4,16) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-1)(4,16) \uput[u](3.8,0){$x$}\uput[r](0,15){$y$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{4}{x dup mul} \end{pspicture} \end{minipage} \bigskip \textbf{Question 8} \medskip On a représenté ci-contre une droite $\mathcal{D}$ dans un repère orthonormé. Une équation de la droite $\mathcal{D}$ est: \begin{minipage}{0.64\linewidth} {\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~} $y = - \dfrac32 x + 2$&\textbf{b.~} $y = \dfrac23 x + 2$\\ \textbf{c.~} $2x - 3y - 6 = 0$&\textbf{d.~} $\dfrac x3 + \dfrac y2 - 1 = 0$ \end{tabularx}} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.32\linewidth} \psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3,-2.5)(6.5,4) \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.99,-2.5)(6.5,4) \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{6}{2 x 2 mul 3 div sub} \uput[u](6,0){$x$}\uput[r](0,3.5){$y$} \uput[dl](-1.5,3){\blue $\mathcal{D}$} \end{pspicture*} \end{minipage} \medskip \textbf{Question 9} \medskip On considère trois fonctions définies sur $\R$ : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} $f_1 : \:x \longmapsto x^2 - (1 - x)^2$&$f_2 : x \longmapsto \dfrac x2 - \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$&$f_3 : x \longmapsto \dfrac{5 - \frac23 x}{0,7}$ \end{tabularx} \end{center} Parmi ces trois fonctions, celles qui sont des fonctions affines sont: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~}aucune &\textbf{b.~} toutes\\ \textbf{c.~} uniquement la fonction $f_1$ &\textbf{d.~} uniquement les fonction $f_2$ et $f_3$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 10} \medskip \begin{minipage}{0.65\linewidth} On a représenté ci-contre une parabole $\mathcal{P}$. Une seule des quatre fonctions ci-dessous est susceptible d'être représentée par la parabole $\mathcal{P}$. Laquelle ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~}$x \longmapsto x^2 - 10$ &\textbf{b.~} $x\longmapsto -x^2 - 10$ \\ \textbf{c.~}$x\longmapsto -x^2 + 10$ &\textbf{d.~}$x\longmapsto -x^2 + 10x$ \end{tabularx} \end{center} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.33\linewidth} \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-3.5,-2)(3.5,12) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=15]{-}(0,0)(-3.5,-2)(3.5,12) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.5}{3.5}{10 x dup mul sub} \uput[dl](0,0){O} \uput[r](2.5,6.25){\red $\mathcal{P}$} \end{pspicture} \end{minipage} \newpage \textbf{Question 11} \medskip \begin{minipage}{0.65\linewidth} On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$. Les points A, B, R et S appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$. Leurs abscisses sont notées respectivement $x_{\text{A}},\: x_{\text{B}},\: x_{\text{R}}$ et $x_{\text{S}}$. L'inéquation $x \times f(x) > 0$ est vérifiée par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~}$x_{\text{A}}$ et $x_{\text{B}}$ &\textbf{b.~} $x_{\text{A}}$ et $x_{\text{R}}$ \\ \textbf{c.~}$x_{\text{A}}$ et $x_{\text{S}}$ &\textbf{d.~}$x_{\text{A}}, \: x_{\text{B}}$ et $x_{\text{S}}$ \end{tabularx} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.33\linewidth} \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3.5,-4.5)(3.5,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=15]{-}(0,0)(-3.5,-4.5)(3.5,3) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{3.5}{x 3 exp x dup mul 2 mul sub 5 x mul sub 6 add 6 div} \uput[dl](0,0){O}\uput[r](-3,-4){A}\uput[ul](-1.44,0.97){B}\uput[ur](0.4,0.624){R}\uput[dr](2.4,-0.616){S} \uput[r](2.4,0.8){\blue $\mathcal{C}$} \psdots(-3,-4)(-1.44,0.97)(0.4,0.624)(2.4,-0.616) \end{pspicture*} \end{minipage} \bigskip \textbf{Question 12} \medskip Voici une série de notes avec les coefficients associés. \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Note&10 &8 &16\\ \hline Coefficient &1 &2&$x$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On note $m$ la moyenne de cette série. Que doit valoir $x$ pour que $m = 15$ ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} impossible &\textbf{b.~} $x = 10^{-3}$& \textbf{c.~} $x = 3$ &\textbf{d.~} $x = 19$ \end{tabularx} \end{center} \bigskip \begin{center} \textbf{DEUXIÈME PARTIE (14 points)} \end{center} \textbf{Exercice 1 (X points)} \medskip On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé \Oij. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-1)(5,5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=6,Dy=6](0,0)(0,0)(5,5) \psframe[linewidth=1.5pt](4,4) \psline[linewidth=1.5pt](0,4)(1.92,1.44)(4,3) \uput[dl](0,0){O} \uput[ur](4,0){A} \uput[ur](4,4){B} \uput[ur](0,4){C} \uput[d](1.92,1.44){H} \uput[r](4,3){I} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \rput{40}(1.92,1.44){\psframe(0.25,0.25)} \uput[d](4,0){\small 4}\uput[l](0,4){\small 4} \pscircle[linecolor=red,linewidth=1.5pt](2,2){0.5}\psdots[linecolor=red](2,2) \end{pspicture} \end{center} \medskip On dispose des données suivantes: \begin{itemize} \item Le quadrilatère OABC est un carré de côté 4 ; \item On a A(4~;~0),\: B(4~;~4), C(0~;~4), I(4~;~3) ; \item Le point H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (OI) ; \item On note $\mathcal{E}$ le cercle de centre D(2~;~2) et de rayon 0,5. \end{itemize} \newpage \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{OI}}$ et $\vect{\text{OC}}$. \item En déduire le produit scalaire $\vect{\text{OI}}\cdot \vect{\text{OC}}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer le produit scalaire $\vect{\text{OI}} \cdot \vect{\text{OC}}$ en fonction des longueurs OH et OI. \item Calculer la longueur OI. \item En déduire que OH $= 2,4$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne de la droite (CH). \end{enumerate} \begin{minipage}{0.7\linewidth} \begin{enumerate}[start=2] \item Justifier qu'une équation du cercle $\mathcal{E}$ est: \[x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7,75 = 0.\] \item Le point M(1,5~;~2) appartient-il à l'intersection du cercle $\mathcal{E}$ et de la droite (CH) ? Justifier. \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.27\linewidth} \begin{tabular}{|c|} \hline Aide au calcul :\\ $0,5^2 = 0,25$\\ $1,5^2 = 2,25$\\ $2,5^2 = 6,25$\\ $5 \times 2,4 = 12$\\ \hline \end{tabular} \end{minipage} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 (X points)} \medskip On se place dans un repère \Oij{} orthogonal. \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par \[g(x) = x^2 - 5x + 4.\] On note $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $g$. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le signe de la fonction $g$ sur $\R$. \item On considère un entier naturel $n$ quelconque. On note $\text{A}_n$ le point de la courbe $\mathcal{P}$ d'abscisse $n$. On note $a_n$ le coefficient directeur de la droite $(\text{A}_n\text{A}_{n+1})$. Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $a_n = 2n - 4$. \item Quelle est la nature de la suite $(a_n)$ ? \end{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~8] par \[f(x) = x - 5 + \dfrac 4 x.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout réel $x$, de l'intervalle [0,5~;~8] on a $f(x) =\dfrac{ g(x)}{x}$. \item À l'aide de la question 1. a, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses. \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0,5~;~8]. Montrer que tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~8] on a : \[f'(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}.\] . \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~8]. \item Réaliser un schéma de l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur lequel apparaîtront les résultats des questions \textbf{2.b} et \textbf{2.d}. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}