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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Sujet 0\\Épreuve anticipée de mathématiques\\
 voie générale spécialité}}
\rfoot{\small{2025 - sujet 1}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \decofourleft~\textbf{Sujet 0 -- Spécialité mathématiques sujet 1~\decofourright\\[6pt]Évaluation en fin de première}}
\end{center}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0\\[10pt]
Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques\\[10pt]
Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts)}
\end{center}

\medskip

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

L'inverse du double de 5 est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\dfrac 25$ &\textbf{b.~} $\dfrac{1}{10}$&\textbf{c.~} $\dfrac 52$ &\textbf{d.~} 10
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On considère la relation $F = a + \dfrac{b}{cd}.$\\[5pt]
Lorsque $a = \dfrac12,\: \:b = 3,\:\: c = 4,\:\: d = - \dfrac14$, la valeur de $F$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $- \dfrac52$&\textbf{b.~}$- \dfrac32$&\textbf{c.~} $\dfrac52$&\textbf{d.~} $\dfrac32$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Le prix d'un article est multiplié par 0,975.

Cela signifie que le prix de cet article a connu :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} une baisse de 2,5\,\% &\textbf{b.~} une augmentation de 97,5\,\%\\
\textbf{c.~} une baisse de 25\,\%& \textbf{d.~} une augmentation de 0,975\,\%
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Le prix d'un article est noté $P, \:\: P \ne 0$. Ce prix augmente de 10\,\% puis baisse de 10\,\%.

À l'issue de ces deux variations, le nouveau prix est noté $P_1$. On peut affirmer que:

\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $P_1 = P$\hfill \textbf{b.~} $P_1 > P$\hfill
\textbf{c.~} $P_1 < P$\hfill \textbf{d.~} Cela dépend de $P$
%\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

On lance un dé à 4 faces.

La probabilité d'obtenir chacune des faces est donnée dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Face numéro 1 &Face numéro 2& Face numéro 3& Face numéro 4\\ 
\hline
 0,5 &$\dfrac16$&0,2& $x$\rule[-10pt]{0pt}{28pt}\\
 \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\newpage

On peut affirmer que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $x = \dfrac{2}{15}$&\textbf{b.~} $x = \dfrac{2}{3}$& 
\textbf{c.~} $x = 0,4$&\textbf{d.~} $x = 0,1$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 6}

\medskip

On considère $x,\:y, u$ des réels non nuls tels que  $\dfrac 1x + \dfrac 1y = \dfrac 1u$.

On peut affirmer que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $u = \dfrac{xy}{x + y}$&\textbf{b.~} $u = \dfrac{x + y}{xy}$ &\textbf{c.~} $u = xy$ &\textbf{d.~} $u = x + y$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\textbf{Question 7}

\medskip

On a représenté ci-contre la parabole d'équation $y = x^2$.

On note $(\mathcal{J})$ l'inéquation, sur $\R$,\: $x^2 \geqslant 10$.

L'inéquation $(\mathcal{J})$ est équivalente à :

{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{24}{X}}
\textbf{a.~}$- \sqrt{10} \leqslant x \leqslant \sqrt{10}$&\textbf{b.~}$x \leqslant- \sqrt{10}$ ou $x \geqslant \sqrt{10}$\\
\textbf{c.~}$x \geqslant \sqrt{10}$&\textbf{d.~}$x = \sqrt{10}$ ou $x = - \sqrt{10}$
\end{tabularx}}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,16)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-1)(4,16)
\uput[u](3.8,0){$x$}\uput[r](0,15){$y$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{4}{x dup mul}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Question 8}

\medskip

On a représenté ci-contre une droite $\mathcal{D}$ dans un repère orthonormé.

Une équation de la droite $\mathcal{D}$ est: 

\begin{minipage}{0.64\linewidth}
{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} $y = - \dfrac32 x + 2$&\textbf{b.~} $y = \dfrac23 x + 2$\\
\textbf{c.~} $2x - 3y - 6 = 0$&\textbf{d.~} $\dfrac x3 + \dfrac y2 - 1 = 0$
\end{tabularx}}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(6.5,4)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.99,-2.5)(6.5,4)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{6}{2 x 2 mul 3 div sub}
\uput[u](6,0){$x$}\uput[r](0,3.5){$y$}
\uput[dl](-1.5,3){\blue $\mathcal{D}$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Question 9}

\medskip

On considère trois fonctions définies sur $\R$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$f_1 : \:x \longmapsto x^2 - (1 - x)^2$&$f_2 : x \longmapsto \dfrac x2 - \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$&$f_3 : x \longmapsto \dfrac{5 - \frac23 x}{0,7}$
\end{tabularx}
\end{center}

Parmi ces trois fonctions, celles qui sont des fonctions affines sont:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~}aucune &\textbf{b.~} toutes\\
\textbf{c.~} uniquement la fonction $f_1$ &\textbf{d.~} uniquement les fonction $f_2$ et $f_3$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 10}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
On a représenté ci-contre une parabole $\mathcal{P}$.

Une seule des quatre fonctions ci-dessous est susceptible d'être représentée par la parabole $\mathcal{P}$.

Laquelle ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~}$x \longmapsto x^2 - 10$ &\textbf{b.~} $x\longmapsto -x^2 - 10$ \\
\textbf{c.~}$x\longmapsto -x^2 + 10$ &\textbf{d.~}$x\longmapsto -x^2 + 10x$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3.5,-2)(3.5,12)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=15]{-}(0,0)(-3.5,-2)(3.5,12)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.5}{3.5}{10 x dup mul sub}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[r](2.5,6.25){\red $\mathcal{P}$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\newpage

\textbf{Question 11}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$.

Les points A, B, R et S appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$.

Leurs abscisses sont notées respectivement $x_{\text{A}},\: x_{\text{B}},\: x_{\text{R}}$
 et $x_{\text{S}}$.

L'inéquation $x \times f(x) > 0$ est vérifiée par : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~}$x_{\text{A}}$ et $x_{\text{B}}$ &\textbf{b.~} $x_{\text{A}}$ et $x_{\text{R}}$ \\
\textbf{c.~}$x_{\text{A}}$ et $x_{\text{S}}$ &\textbf{d.~}$x_{\text{A}}, \: x_{\text{B}}$ et $x_{\text{S}}$
\end{tabularx}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3.5,-4.5)(3.5,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=15]{-}(0,0)(-3.5,-4.5)(3.5,3)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{3.5}{x 3 exp x dup mul 2 mul sub 5 x mul sub 6 add 6 div}
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](-3,-4){A}\uput[ul](-1.44,0.97){B}\uput[ur](0.4,0.624){R}\uput[dr](2.4,-0.616){S}
\uput[r](2.4,0.8){\blue $\mathcal{C}$}
\psdots(-3,-4)(-1.44,0.97)(0.4,0.624)(2.4,-0.616)
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Question 12}

\medskip

Voici une série de notes avec les coefficients associés.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Note&10 &8 &16\\ \hline
Coefficient &1 &2&$x$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On note $m$ la moyenne de cette série.

Que doit valoir $x$ pour que $m = 15$ ? 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} impossible &\textbf{b.~} $x = 10^{-3}$&
\textbf{c.~} $x = 3$ &\textbf{d.~} $x = 19$
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{DEUXIÈME PARTIE (14 points)}
\end{center}

\textbf{Exercice 1 (X points)}

\medskip

On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé \Oij.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=6,Dy=6](0,0)(0,0)(5,5)
\psframe[linewidth=1.5pt](4,4)
\psline[linewidth=1.5pt](0,4)(1.92,1.44)(4,3)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](4,0){A} \uput[ur](4,4){B} \uput[ur](0,4){C} 
\uput[d](1.92,1.44){H} \uput[r](4,3){I} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\rput{40}(1.92,1.44){\psframe(0.25,0.25)}
\uput[d](4,0){\small 4}\uput[l](0,4){\small 4}
\pscircle[linecolor=red,linewidth=1.5pt](2,2){0.5}\psdots[linecolor=red](2,2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On dispose des données suivantes:

\begin{itemize}
\item Le quadrilatère OABC est un carré de côté 4 ;
\item On a A(4~;~0),\: B(4~;~4), C(0~;~4), I(4~;~3) ;
\item Le point H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (OI) ;
\item On note $\mathcal{E}$ le cercle de centre D(2~;~2) et de rayon 0,5.
\end{itemize}

\newpage

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{OI}}$ et $\vect{\text{OC}}$.
		\item En déduire le produit scalaire $\vect{\text{OI}}\cdot \vect{\text{OC}}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le produit scalaire $\vect{\text{OI}} \cdot \vect{\text{OC}}$ en fonction des longueurs OH et OI.
		\item Calculer la longueur OI.
		\item En déduire que OH $= 2,4$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation cartésienne de la droite (CH).
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
	\begin{enumerate}[start=2]
		\item Justifier qu'une équation du cercle $\mathcal{E}$ est:
\[x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7,75 = 0.\]
		\item Le point M(1,5~;~2) appartient-il à l'intersection du cercle $\mathcal{E}$
et de la droite (CH) ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.27\linewidth}
\begin{tabular}{|c|} \hline
Aide au calcul :\\
$0,5^2 = 0,25$\\
$1,5^2 = 2,25$\\
$2,5^2 = 6,25$\\
$5 \times 2,4 = 12$\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 (X points)}

\medskip

On se place dans un repère \Oij{} orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par 
\[g(x) = x^2 - 5x + 4.\]
On note $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $g$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
		\item On considère un entier naturel $n$ quelconque.

On note $\text{A}_n$ le point de la courbe $\mathcal{P}$ d'abscisse $n$.

On note $a_n$ le coefficient directeur de la droite $(\text{A}_n\text{A}_{n+1})$.

Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $a_n = 2n - 4$.
		\item Quelle est la nature de la suite $(a_n)$ ?

	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~8] par

\[f(x) = x - 5 + \dfrac 4 x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x$, de l'intervalle [0,5~;~8] on a $f(x) =\dfrac{ g(x)}{x}$. 
		\item À l'aide de la question 1. a, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.
		\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0,5~;~8].
		
Montrer que tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~8] on a :

\[f'(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}.\]
.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~8]. 
		\item Réaliser un schéma de l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur lequel apparaîtront les
résultats des questions \textbf{2.b} et \textbf{2.d}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}