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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale -- sujet 2}
\lfoot{\small{Sujet 0\\ Épreuve anticipée de mathématiques -\\
 voie générale spécialité}}
\rfoot{\small{2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Sujet 0 -- Spécialité mathématiques - Sujet 2~\decofourright\\[6pt]Évaluation en fin de première}}
\end{center}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0\\[10pt]
Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques\\[10pt]
Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts)}
\end{center}

\medskip

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
On considère l'arbre de probabilité ci-contre. \\
\\
On cherche la probabilité de l'évènement $B$.\\
\\
On a
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.37\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=2cm,nodesepB=2pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$A$}\taput{$0,4$}}
	{\TR{$B$} \taput{$0,3$}
	\TR{$\overline{B}$} \tbput{}
	}
\pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$\overline{A}$}\tbput{}}
	{\TR{$B$} \taput{}
	\TR{$\overline{B}$} \tbput{$0,9$}
	}
}
\medskip
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 
$p(B) = 0,18$&$p(B) = 0,12$&$p(B) = 0,66$&$p(B) = 0,3$\\ 
\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 2}

Une tablette coûte $200$ euros. Son prix diminue de $30\,\%$. \\
Le prix après cette diminution est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\
140 euros&170 euros&194~euros&197~euros\\ 
\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Une réduction de 50\,\% suivi d'une augmentation de 50\,\% équivaut à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 
une réduction de 50\,\%&une réduction de 25\,\%& une augmentation de 25\,\%&une augmentation de 75\,\%\\ 
\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Dans un lycée, le quart des élèves sont internes, parmi eux, la moitié sont des filles. 

La proportion des filles internes par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\
 4\,\%&12,5\,\%&25\,\%& 50\,\%\\ 
 \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Question 5}

\medskip

On considère le nombre $N = \dfrac{10^7}{5^2}$. On a :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 
 $N = 2^5$&$N = \np{20000}$&$N = \dfrac{1}{10^5}$&$N = 4 \times 10^5$\rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\ 
 \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 6}

\medskip

Un appareil a besoin d'une énergie de $7,5 \times 10^6$ joules pour se mettre en route.

À combien de kiloWatts-heure (kWh) cela correspond-il ?

\hfill \emph{Données} : 1 kWh $= 3,6 \times 10^6$~J
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 
0,5 kWh&2,08 kWh&5,3 kWh&20,35 kWh\\ 
\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 7}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal. On note $d$ la droite passant par les points 
A$(0~;~-1)$ et B(2~;~5).

Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 
$- \dfrac 12$&$2$&3&$\dfrac 13$\rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\ 
\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 8}

\begin{minipage}{0.75\linewidth}
On a représenté ci-contre une droite $D$.

Parmi les quatre équations ci-dessous, la seule susceptible de représenter la droite $D$
est :
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.23\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1.4,-1.4)(1.6,1.4)
\psaxes[Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1.4,-1.4)(1.6,1.4)
\psplot[plotpoints= 600,linecolor=blue]{-1.4}{1.4}{2 x mul neg}
\uput[u](1.3,0){\small $x$}\uput[r](0,1.3){\small $y$}
\uput[l](-0.5,1){\blue $D$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}			&\textbf{B.}		& \textbf{C.}			& \textbf{D.}\\
$2x - y = 0$& $2x  + y + 1 = 0$ & $y = x^2 -(x + 1)^2 + 1$ & $y = 2x - 1$\\ 
\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 9}

\medskip

On note $\mathcal{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation $x^2 = 10$
sur $\R$. On a :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}	&\textbf{B.}		&\textbf{C.}			&\textbf{D.}\\ 
$\mathcal{S} = \{-5~;~5\} $ &$\mathcal{S} = \left\{-\sqrt 5~;~\sqrt 5\strut\right\}$ & $\mathcal{S} = \left\{-\sqrt{10}~;~\sqrt{10}\strut\right\}$ & $\mathcal{S} = \emptyset$\\
\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 10}

\medskip

La fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) = (3x - 15)(x + 2)\]

admet pour tableau de signes :

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.} & \textbf{B.}
\\
$\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3}
\hline
x & -\infty && -2 && 5 &&  +\infty\\
\hline
f(x) &  & +  & 0 & - & 0 &  + & \\
\hline
\end{tablvar}$
&
$\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3}
\hline
x & -\infty && -2 && 5 &&  +\infty\\
\hline
f(x) &  & -  & 0 & + & 0 &  - & \\
\hline
\end{tablvar}$\\
&\\
\hline
\textbf{C.} & \textbf{D.}
\\
$\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3}
\hline
x & -\infty && -5 && 2 &&  +\infty\\
\hline
f(x) &  & +  & 0 & - & 0 &  + & \\
\hline
\end{tablvar}$
&
$\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3}
\hline
x & -\infty && -5 && 2 &&  +\infty\\
\hline
f(x) &  & -  & 0 & + & 0 & -  & \\
\hline
\end{tablvar}$\\
&\\
\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 11}

\medskip

L'expression développée de $(2x + 0,5)^2$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
 \hline
 \textbf{A.}			&\textbf{B.}		& \textbf{C.}			& \textbf{D.}\\
$4x^2 + x + 0,25$	&	$4x^2+ 4x + 2$	&	$4x^2 + 2x + 0,25$	&$4x^2 + 2x + 1$\\ 
\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 12}

\medskip

Lorsqu'un point mobile suit une trajectoire circulaire de rayon $R$, en mètre (m), son accélération centripète $a$ (en m/s$^2$) s'exprime en fonction de la vitesse  (en m/s) de la manière suivante:

\[a = \dfrac{v^2}{R}.\]

L'expression permettant, à partir de cette formule, d'exprimer la vitesse $v$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 
$v = aR^2$&$v = \sqrt{aR}$&$v = \sqrt{\dfrac aR}$&$v = \dfrac{a^2}{R}$\rule[-10pt]{0pt}{25pt} \\
\hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}
\textbf{DEUXIÈME PARTIE (14 pts)}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1 (X points)}

\medskip

En 2020, une ville comptait 10 000 habitants

On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite $(u_n)$ définie ainsi : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&=&\np{10000}\\
u_{n+1}&=&1,08u_n - 300,\quad n \in \N 
\end{array}\right.\]

où $u_n$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020 + n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer ce que représente $u_1$ et calculer sa valeur.
\item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n  - \np{3750}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $v_0$.
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 1,08v_n$.
		\item En déduire la nature de la suite $(v_n)$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer, $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel, on a 
		
		\[u_n = \np{6250} \times 1,08^n + \np{3750}.\]

	\end{enumerate}
\item ~

\begin{minipage}{0.66\linewidth}
Le tableau ci-contre, extrait d'une feuille automatisée de calcul, a été obtenu par recopie vers le bas après avoir saisi la formule suivante dans la cellule B2 :

\begin{center}
\fbox{\texttt{= 6250*1,08\^{}A2 + 3750}}
\end{center}

La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école
 maternelle dès que la population atteindra \np{19000} habitants.\\
 

La construction d'un tel établissement nécessitant deux ans, déterminer l'année à partir de laquelle la construction de l'école doit commencer.\\
\\

\textbf{Aide au calcul :} \\


$\np{10000} - \np{3750} = \np{6250}$;

$1,08 \times \np{4050} = \np{4374}$;

$\dfrac{\np{4050}}{1,08}= \np{3750}$\rule[-10pt]{0pt}{28pt} ;

$\np{3750} \times 1,08 = \np{4050}$
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
$\begin{array}{|>{\cellcolor{lightgray}}c|c|c|}\hline
\rowcolor{lightgray}&\text{A}&\text{B}\\ \hline
1&\text{n}& \text{Un}\\ \hline
2&0&\np{10000}\\ \hline
3&1&\np{10500}\\ \hline
4&2&\np{11040}\\ \hline
5&3&\np{11623,2}\\ \hline
6&4&\np{12253,056}\\ \hline
7&5&\np{12933,30048}\\ \hline
8&6&\np{13667,96456}\\ \hline
9&7&\np{14461,40168}\\ \hline
10&8&\np{15318,31381}\\ \hline
11&9&\np{16243,77892}\\ \hline
12&10&\np{17243,28123}\\ \hline
13&11&\np{18322,74373}\\ \hline
14&12&\np{19488,56323}\\ \hline
15&13&\np{20747,64829}\\ \hline
16&14&\np{22107,46015}\\ \hline
17&15&\np{23576,05696}\\ \hline
18&16&\np{25162,14152}\\ \hline
19&17&\np{26875,11284}\\ \hline
20&18&\np{28725,12187}\\ \hline
21&19&\np{30723,13162}\\ \hline
\end{array}$
\end{minipage}
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Exercice 2 (X points)}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[-5\;; 3]$ par :

\[P(x) = 2 x^{2}+ x - 10\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les racines de $P$.
		\item En déduire l'axe de symétrie de la parabole d'équation $y= P(x)$.
	\end{enumerate}
\item Établir le tableau de signes de la fonction $P$ sur l'intervalle $[-5~:~3]$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle  $[-5~:~3]$  dont on donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$.

\begin{center}
\fbox{
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-5.5,-14)(3.5,22)
\psgrid[xunit=0.6cm,yunit=1cm,subgriddiv=5,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray!50](-11,-3)(7,6)
\psaxes[linewidth=0pt,Dx=0.5,Dy=50,labels=none](0,0)(-5.49,-14)(3.5,22)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5.49,-14)(3.5,22)
\multido{\n=-4.5+1.0}{8}{\uput[u](\n,0){\scriptsize\np{\n}}}
\uput{11pt}[dl](0,0){\scriptsize 0}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{3}{x dup mul 4 mul 14 x mul sub 8 add 2.71828 0.5 x mul exp mul}
\uput[u](-4.2,17){\red $\mathcal{C}_{f}$}
\psdots(2,-10.873)\uput[d](2,-10.873){A}
\psline[linecolor=blue](-5.5,-10.873)(3.5,-10.873)
\uput [u](-4.3,-10.873){\blue $T$}
\end{pspicture*}
}
\end{center}

La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 2 est horizontale.

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur du nombre dérivé $f'(2)$.
\item Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation $f'(x) < 0$.
\item On sait que la fonction $f$ a pour expression sur l'intervalle $[-5~;~3]$ :

\[f(x)=\left(4 x^{2}-14 x + 8\right) \e^{0,5x}\]

Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-5~;~3]$, on a :

\[f'(x)= P(x) \e^{0,5 x}\]

\item En utilisant les résultats de la \textbf{partie A}, dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5~;~3]$. (Il n'est pas demandé de calculer les images).
\end{enumerate}

\end{document}