\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx,booktabs} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table,dvips]{xcolor} \usepackage{graphicx} %Tapuscrit Denis Vergès %Relecture : \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pst-eucl,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry} \setlength{\headheight}{22.94002pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Sujet 0 Spécialité Sujet 2}, pdftitle = {}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1} \newcommand{\e}{\text{e}\,} \usepackage[pstricks]{tablvar} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma %\frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Première série générale -- sujet 2} \lfoot{\small{Sujet 0\\ Épreuve anticipée de mathématiques -\\ voie générale spécialité}} \rfoot{\small{2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Sujet 0 -- Spécialité mathématiques - Sujet 2~\decofourright\\[6pt]Évaluation en fin de première}} \end{center} \bigskip \renewcommand\arraystretch{1} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0\\[10pt] Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques\\[10pt] Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts)} \end{center} \medskip \textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.} \medskip \textbf{Question 1} \begin{minipage}{0.58\linewidth} On considère l'arbre de probabilité ci-contre. \\ \\ On cherche la probabilité de l'évènement $B$.\\ \\ On a \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.37\linewidth} \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=2cm,nodesepB=2pt]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$A$}\taput{$0,4$}} {\TR{$B$} \taput{$0,3$} \TR{$\overline{B}$} \tbput{} } \pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$\overline{A}$}\tbput{}} {\TR{$B$} \taput{} \TR{$\overline{B}$} \tbput{$0,9$} } } \medskip \end{center} \end{minipage} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ $p(B) = 0,18$&$p(B) = 0,12$&$p(B) = 0,66$&$p(B) = 0,3$\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 2} Une tablette coûte $200$ euros. Son prix diminue de $30\,\%$. \\ Le prix après cette diminution est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 140 euros&170 euros&194~euros&197~euros\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 3} \medskip Une réduction de 50\,\% suivi d'une augmentation de 50\,\% équivaut à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ une réduction de 50\,\%&une réduction de 25\,\%& une augmentation de 25\,\%&une augmentation de 75\,\%\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 4} \medskip Dans un lycée, le quart des élèves sont internes, parmi eux, la moitié sont des filles. La proportion des filles internes par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 4\,\%&12,5\,\%&25\,\%& 50\,\%\\ \hline \end{tabularx} \newpage \textbf{Question 5} \medskip On considère le nombre $N = \dfrac{10^7}{5^2}$. On a : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ $N = 2^5$&$N = \np{20000}$&$N = \dfrac{1}{10^5}$&$N = 4 \times 10^5$\rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 6} \medskip Un appareil a besoin d'une énergie de $7,5 \times 10^6$ joules pour se mettre en route. À combien de kiloWatts-heure (kWh) cela correspond-il ? \hfill \emph{Données} : 1 kWh $= 3,6 \times 10^6$~J \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 0,5 kWh&2,08 kWh&5,3 kWh&20,35 kWh\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 7} \medskip Le plan est muni d'un repère orthogonal. On note $d$ la droite passant par les points A$(0~;~-1)$ et B(2~;~5). Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ $- \dfrac 12$&$2$&3&$\dfrac 13$\rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 8} \begin{minipage}{0.75\linewidth} On a représenté ci-contre une droite $D$. Parmi les quatre équations ci-dessous, la seule susceptible de représenter la droite $D$ est : \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.23\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-1.4,-1.4)(1.6,1.4) \psaxes[Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1.4,-1.4)(1.6,1.4) \psplot[plotpoints= 600,linecolor=blue]{-1.4}{1.4}{2 x mul neg} \uput[u](1.3,0){\small $x$}\uput[r](0,1.3){\small $y$} \uput[l](-0.5,1){\blue $D$} \end{pspicture*} \end{minipage} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.} &\textbf{B.} & \textbf{C.} & \textbf{D.}\\ $2x - y = 0$& $2x + y + 1 = 0$ & $y = x^2 -(x + 1)^2 + 1$ & $y = 2x - 1$\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 9} \medskip On note $\mathcal{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation $x^2 = 10$ sur $\R$. On a : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.} &\textbf{B.} &\textbf{C.} &\textbf{D.}\\ $\mathcal{S} = \{-5~;~5\} $ &$\mathcal{S} = \left\{-\sqrt 5~;~\sqrt 5\strut\right\}$ & $\mathcal{S} = \left\{-\sqrt{10}~;~\sqrt{10}\strut\right\}$ & $\mathcal{S} = \emptyset$\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 10} \medskip La fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = (3x - 15)(x + 2)\] admet pour tableau de signes : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.} & \textbf{B.} \\ $\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3} \hline x & -\infty && -2 && 5 && +\infty\\ \hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{tablvar}$ & $\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3} \hline x & -\infty && -2 && 5 && +\infty\\ \hline f(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{tablvar}$\\ &\\ \hline \textbf{C.} & \textbf{D.} \\ $\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3} \hline x & -\infty && -5 && 2 && +\infty\\ \hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{tablvar}$ & $\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3} \hline x & -\infty && -5 && 2 && +\infty\\ \hline f(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{tablvar}$\\ &\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 11} \medskip L'expression développée de $(2x + 0,5)^2$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.} &\textbf{B.} & \textbf{C.} & \textbf{D.}\\ $4x^2 + x + 0,25$ & $4x^2+ 4x + 2$ & $4x^2 + 2x + 0,25$ &$4x^2 + 2x + 1$\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 12} \medskip Lorsqu'un point mobile suit une trajectoire circulaire de rayon $R$, en mètre (m), son accélération centripète $a$ (en m/s$^2$) s'exprime en fonction de la vitesse (en m/s) de la manière suivante: \[a = \dfrac{v^2}{R}.\] L'expression permettant, à partir de cette formule, d'exprimer la vitesse $v$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ $v = aR^2$&$v = \sqrt{aR}$&$v = \sqrt{\dfrac aR}$&$v = \dfrac{a^2}{R}$\rule[-10pt]{0pt}{25pt} \\ \hline \end{tabularx} \newpage \begin{center} \textbf{DEUXIÈME PARTIE (14 pts)} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 1 (X points)} \medskip En 2020, une ville comptait 10 000 habitants On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite $(u_n)$ définie ainsi : \[\left\{\begin{array}{l c l} u_0&=&\np{10000}\\ u_{n+1}&=&1,08u_n - 300,\quad n \in \N \end{array}\right.\] où $u_n$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020 + n$. \medskip \begin{enumerate} \item Indiquer ce que représente $u_1$ et calculer sa valeur. \item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{3750}$. \begin{enumerate} \item Déterminer $v_0$. \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 1,08v_n$. \item En déduire la nature de la suite $(v_n)$. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer, $v_n$ en fonction de $n$. \item En déduire que pour tout entier naturel, on a \[u_n = \np{6250} \times 1,08^n + \np{3750}.\] \end{enumerate} \item ~ \begin{minipage}{0.66\linewidth} Le tableau ci-contre, extrait d'une feuille automatisée de calcul, a été obtenu par recopie vers le bas après avoir saisi la formule suivante dans la cellule B2 : \begin{center} \fbox{\texttt{= 6250*1,08\^{}A2 + 3750}} \end{center} La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra \np{19000} habitants.\\ La construction d'un tel établissement nécessitant deux ans, déterminer l'année à partir de laquelle la construction de l'école doit commencer.\\ \\ \textbf{Aide au calcul :} \\ $\np{10000} - \np{3750} = \np{6250}$; $1,08 \times \np{4050} = \np{4374}$; $\dfrac{\np{4050}}{1,08}= \np{3750}$\rule[-10pt]{0pt}{28pt} ; $\np{3750} \times 1,08 = \np{4050}$ \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.3\linewidth} $\begin{array}{|>{\cellcolor{lightgray}}c|c|c|}\hline \rowcolor{lightgray}&\text{A}&\text{B}\\ \hline 1&\text{n}& \text{Un}\\ \hline 2&0&\np{10000}\\ \hline 3&1&\np{10500}\\ \hline 4&2&\np{11040}\\ \hline 5&3&\np{11623,2}\\ \hline 6&4&\np{12253,056}\\ \hline 7&5&\np{12933,30048}\\ \hline 8&6&\np{13667,96456}\\ \hline 9&7&\np{14461,40168}\\ \hline 10&8&\np{15318,31381}\\ \hline 11&9&\np{16243,77892}\\ \hline 12&10&\np{17243,28123}\\ \hline 13&11&\np{18322,74373}\\ \hline 14&12&\np{19488,56323}\\ \hline 15&13&\np{20747,64829}\\ \hline 16&14&\np{22107,46015}\\ \hline 17&15&\np{23576,05696}\\ \hline 18&16&\np{25162,14152}\\ \hline 19&17&\np{26875,11284}\\ \hline 20&18&\np{28725,12187}\\ \hline 21&19&\np{30723,13162}\\ \hline \end{array}$ \end{minipage} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Exercice 2 (X points)} \medskip Le plan est muni d'un repère orthogonal. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[-5\;; 3]$ par : \[P(x) = 2 x^{2}+ x - 10\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les racines de $P$. \item En déduire l'axe de symétrie de la parabole d'équation $y= P(x)$. \end{enumerate} \item Établir le tableau de signes de la fonction $P$ sur l'intervalle $[-5~:~3]$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~:~3]$ dont on donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$. \begin{center} \fbox{ \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-5.5,-14)(3.5,22) \psgrid[xunit=0.6cm,yunit=1cm,subgriddiv=5, gridlabels=0, gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray!50](-11,-3)(7,6) \psaxes[linewidth=0pt,Dx=0.5,Dy=50,labels=none](0,0)(-5.49,-14)(3.5,22) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5.49,-14)(3.5,22) \multido{\n=-4.5+1.0}{8}{\uput[u](\n,0){\scriptsize\np{\n}}} \uput{11pt}[dl](0,0){\scriptsize 0} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{3}{x dup mul 4 mul 14 x mul sub 8 add 2.71828 0.5 x mul exp mul} \uput[u](-4.2,17){\red $\mathcal{C}_{f}$} \psdots(2,-10.873)\uput[d](2,-10.873){A} \psline[linecolor=blue](-5.5,-10.873)(3.5,-10.873) \uput [u](-4.3,-10.873){\blue $T$} \end{pspicture*} } \end{center} La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 2 est horizontale. \begin{enumerate} \item Donner la valeur du nombre dérivé $f'(2)$. \item Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation $f'(x) < 0$. \item On sait que la fonction $f$ a pour expression sur l'intervalle $[-5~;~3]$ : \[f(x)=\left(4 x^{2}-14 x + 8\right) \e^{0,5x}\] Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-5~;~3]$, on a : \[f'(x)= P(x) \e^{0,5 x}\] \item En utilisant les résultats de la \textbf{partie A}, dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5~;~3]$. (Il n'est pas demandé de calculer les images). \end{enumerate} \end{document}