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% Tapuscrit François Hache 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée de l'épreuve : 3 heures -- Coefficient 2}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Sciences Po - 24 février 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\emph{Le problème est noté sur 8, l'exercice Vrai-Faux est noté sur 12.\\
Vous devez traiter les deux exercices. Les calculatrices sont autorisées.}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\Large Problème}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\cg 0~;~+\infty\cd$ par:

\[f(x)=ax^2 + \dfrac{b}{x^2} - \left (\ln(x)\strut\right )^2\] 

où $a$ et $b$ désignent deux réels.

\begin{enumerate}
\item  $f'$ désignant la dérivée de la fonction $f$, montrer que pour tout $x$ strictement positif:

\[f'(x)=2ax - \dfrac{2b}{x^3} -2 \dfrac{\ln(x)}{x}.\]
\end{enumerate}

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé:

\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma}
\def\xmin {-0.4}   \def\xmax {4.4}
\def\ymin {-0.4}   \def\ymax {2.7}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(9,6) 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) 
\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\def\f{0.25 x dup mul mul 0.25 x dup mul div add x ln dup mul sub }                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{0.01}{\xmax}{\f}
\psline[linecolor=blue](0,0.5)(\xmax,0.5)
\psdots[linecolor=blue](1,0.5) \uput[ur](1,0.5){\blue A}
\uput[dr](3.65,1.78){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point A\,$(1~;~0,5)$ et admet une tangente horizontale en ce point.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Déterminer les réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser l'expression $2X^2 - 4X +2$ et en déduire une factorisation de l'expression $2x^4-4x^2+2$.
\item À l'aide de la question précédente, déterminer le signe de l'expression $2x^4-4x^2+2$ en fonction de $x$, où $x$ désigne un nombre réel.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\cg0~;~+\infty\cd$ par

\[g(x)=x^2-\dfrac{1}{x^2} - 4 \ln x.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de $g$ sur $\cg0~;~+\infty\cd$ (on pourra utiliser la partie \textbf{B}).
\item Calculer $g(1)$. En déduire le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $\cg0~;~+\infty\cd$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

Dans la suite du problème, $f$ désigne la fonction définie sur $\cg0~;~+\infty\cd$ par

\[f(x)=\dfrac{1}{4} x^2 + \dfrac{1}{4 x^2} - \left (\ln(x)\strut\right )^2.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x)=f\left (\dfrac{1}{x}\right )$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Déterminer la limite de $f$ en zéro.
\end{enumerate}

\item Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x) = \dfrac{1}{2x} g(x)$.

En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\cg0~;~+\infty\cd$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie E}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\cg 0 ~;~1\cg$. On pourra considérer la fonction $h$ définie sur $\cg 0 ~;~1\cg$ par $h(x)=f(x)-x$.
\item Montrer que l'équation $f(x)=\dfrac{1}{x}$ admet une unique solution $\beta$ sur $\cg 1~;~+\infty\cd$.
\item Montrer que $\alpha \times \beta = 1$.
\item
\begin{enumerate}
\item Écrire un algorithme permettant d'afficher un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{1cm}

\begin{center}
\textbf{\Large Exercice: Vrai ou Faux}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.}

\bigskip

\begin{enumerate}

\item Un capital est placé au taux annuel de 3\,\% pendant 20 ans, à intérêts composés.

\textbf{Affirmation:} la somme disponible au bout de 20 ans est supérieure ou égale au double du capital placé.

\item Une urne contient trois boules indiscernables au toucher portant respectivement les numéros 1, 2 et 3.

On tire successivement trois fois une boule avec remise.

On note $N$ la variable aléatoire donnant le nombre de numéros différents obtenus.

\textbf{Affirmation:} L'espérance de $N$ est strictement supérieure à $\dfrac{3}{2}$.

\item Une entreprise produit en grande série des véhicules électriques.

On admet que la probabilité qu'un véhicule ne soit pas conforme vaut $0,03$.

On prélève au hasard un lot de 100 véhicules en vue de les proposer à la location dans une grande agglomération (on admet que la population est suffisamment importante pour assimiler la constitution de ce lot à 100 tirages successifs avec remise).

\textbf{Affirmation:} la probabilité qu'aucun véhicule de ce lot ne soit défectueux est égal à $1-0,03^{100}$.
\item Soit $(u_n)_{n\in\N^{*}}$ et $(v_n)_{n\in\N^{*}}$ deux suites réelles définies par $u_n=2+\left ( 2+2^2 + \ldots + 2^n \strut\right ) = 2+ \ds\sum_{k=1}^{n} 2^k$ et $v_n=u_n-1$.

\textbf{Affirmation:} une seule des deux suites est géométrique.
\item Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite réelle telle qu'il existe un réel $\ell$ tel que $\ds\lim _{n \to +\infty} n u_n=\ell$.

\textbf{Affirmation:} $\ds\lim _{n \to +\infty} u_n = 0$

\item La suite $u_n$ est définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 10 u_n - 9n - 8$.

\textbf{Affirmation:} pour tout entier naturel $n$, $u_n=n+1$.
\item
\begin{list}{\textbullet}{Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ telles que}
\item $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
\item $\ds\lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$
\item Pour tout réel $x$, $f(x)>g(x)$
\end{list}

\textbf{Affirmation:} $\ds\lim_{x\to +\infty} \left (f(x) - g(x) \strut\right ) =+\infty$
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{\e^{2x}-1}{\e^{2x}+1}$.

\textbf{Affirmation:} pour tout réel $x$,

\[f(2x) = \dfrac{2f(x)}{1+ \left ( f(x)\strut\right )^2}\]

\item On donne $\sin\left ( \dfrac{7\pi}{12}\right ) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

\textbf{Affirmation:} $\cos\left ( \dfrac{7\pi}{12}\right ) = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$
\item Dans un repère orthonormé \Oij{}, on note $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=x^2$.

Soit $a$ un réel strictement positif et A le point de la parabole d'abscisse $a$.

On note B le second point d'intersection entre la parabole et la perpendiculaire à la droite (OA) passant par O.

\textbf{Affirmation:} quelle que soit la valeur de $a>0$, K\,$(0~;~1)$ appartient à la droite (AB).
\end{enumerate}
\end{document}