%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Entrée à Sciences Po} \lfoot{\small{annale 0}} \rfoot{\small{juin 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{Entrée à Sciences Po annale 0 } 4 heures \end{center} La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. L'usage des calculatrices est autorisé. Ce problème comporte 4 parties. La partie III et la partie IV peuvent être traitées indépendamment des parties I et II. Les résultats établis dans la partie I pourront être utilisés dans la partie II. Les résultats numériques seront arrondis à $10^{-2}$ près. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie I} \medskip Dans cette partie, $a$ est un réel strictement positif donné. \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel strictement positif par : \[f(x) = x \ln \left( 1 + \dfrac{a}{x}\right).\] \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~ + \infty[$ et que, pour tout $x$ réel strictement positif, \[f'(x) = \ln \left( 1 + \dfrac{a}{x}\right)- \dfrac{a}{x + a}.\] \item Montrer que la fonction $f'$ est dérivable sur $]0~;~ + \infty[$ et calculer $f''(x)$ pour tout $x$ réel strictement positif. \item Étudier les variations de la fonction $f'$. \item Déterminer la limite de $f'(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. En déduire le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ réel strictement positif, puis le sens de variation de la fonction $f$. \end{enumerate} \item On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par : \[u_{n} = \left( 1 + \dfrac{a}{n}\right)^n \quad \text{et} \quad v_{n} = \ln \left(u_{n}\right).\] \begin{enumerate} \item Étudier la monotonie de la suite $\left(v_{n}\right)$. En déduire celle de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item Déterminer la limite en $0$ de la fonction qui à tout $x$ strictement positif associe $\dfrac{\ln (1 + x)}{x}$. \item En déduire la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ puis celle de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie II} \medskip \textbf{Taux d'intérêt annuel et taux d'intérêt d'une fraction d'année} \medskip On considère un capital $S_{0}$ que l'on place de différentes façons. \begin{enumerate} \item La somme $S_{0}$ est placée durant une année au taux annuel de r\:\%, $r$ est un réel strictement positif. \begin{enumerate} \item De quelle somme dispose-t-on au bout d'une année de placement ? \item Application numérique : On a un taux de $5\:\% \, (r = 5)$ et $S_{0} = \np{10000}$~euros. De quelle somme dispose-t-on au bout d'une année de placement ? \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. L'année est divisée en $n$ périodes de durées égales. La somme $S_{0}$ est placée au taux d'intérêt de $\dfrac{r}{n}$\:\% pour chaque période, $r$ est un réel strictement positif. Dans ce cas la somme $S_{1}$ placée au début de la deuxième période est la somme $S_{0}$ à laquelle on ajoute les intérêts obtenus au cours de la première période. De même la somme $S_{k}$, pour $1 \leqslant k \leqslant n - 1$, placée au début de la $(k + 1)$\up{e} période est la somme $S_{k - 1}$ à laquelle ont été ajoutés les intérêts obtenus au cours de la $k$\up{e} période. \begin{enumerate} \item De quelle somme dispose-t-on à l'issue d'une période ? \item Montrer qu'à l'issue d'une année de placement, on dispose de la somme $S_{n} = S_{0} \times u_{n}$ où $u_{n}$ est le terme général de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie dans la partie I pour une valeur de $a$ que l'on donnera en fonction de $r$ et de $n$. \item Déterminer la limite de la somme $S_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. Interpréter ce résultat. \item Comparer les placements des questions 1 et 2. Lequel est le plus avantageux ? \item \emph{Application numérique} : on a un taux de $5\:\% \:\:(r = 5),~ n = 12$ et $S_{0} = \np{10000}$~euros. Quelle somme obtient-on au bout d'une année de placement ? Retrouver le résultat du \textbf{d.} \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. L'année est divisée en $n$ périodes de durées égales. La somme $S_{0}$ est placée au taux d'intérêt de $r_{n}$\:\% pour chacune de ces périodes, $r_{n}$ est un réel strictement positif indépendant de la période considérée. \begin{enumerate} \item De quelle somme dispose-t-on au bout d'une année de placement, le principe étant le même que celui de la question 2 ? \item On souhaite que le placement de la somme $S_{0}$ dans ce cas, rapporte autant au bout d'un an que si $S_{0}$ était placée au taux annuel de $r$\:\% , c'est-à-dire comme à la question 1. Exprimer alors $r_{n}$ en fonction de $r$ et de $n$. \item Application numérique : On a un taux de $5\:\% (r = 5),~ n = 12$. Quel est le taux de placement pour chaque période dans ce cas ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie III} \medskip \textbf{Placements avec taux d'intérêt instantané variable} \medskip La somme $S_{0}$ est placée pour tout réel $t$ positif au taux d'intérêt instantané $i(t)$ où $t$ représente la durée du placement, exprimée en années. Soit la fonction $S$ qui à chaque réel $t$ positif associe la somme $S(t)$, disponible au bout de $t$ années. On suppose que la fonction $S$ est : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item dérivable sur $[0~;~ + \infty[$ \item solution de l'équation différentielle $y' = i(t) y$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On a $y(0) = S_{0}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction $S$ lorsque la fonction $i$ est une fonction constante sur $[0~;~+ \infty[$, c'est-à-dire telle qu'il existe un réel strictement positif $b$ pour tout $t$ de $[0~;~ + \infty[,$ $ i(t) = b$. \item On suppose que la fonction $i$ est continue sur $[0~;~ + \infty[$. Soit $I$ la primitive de $i$ sur $[0~;~+ \infty[$ qui s'annule en $0$. \begin{enumerate} \item Exprimer $I(t)$ à l'aide d'une intégrale pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$. \item Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : $\varphi(t) = \text{e}^{- I(t)} S(t)$. Montrer que $\varphi$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et calculer $\varphi'(t)$ pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$. En déduire l'expression de $S(t)$ en fonction de $S_{0}$ et de $I(t)$ pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \emph{Application numérique} : Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. On pose pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[$, $i(t) = b\left(1 + a \sin t \text{e}^{-t}\right)$. \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\int_{0}^t \sin x \text{e}^{-x}\:\text{d}x$, pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$ en utilisant le théorème d'intégration par parties. \item Quelle est la somme $S(t)$ obtenue au bout de $t$ années de ce placement. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie IV} \medskip Un organisme financier propose un placement attractif en ce temps de crise, au taux garanti de 5\:\% par an comme dans l'application numérique de la partie \textbf{II - 1}. On considère un club d'investissement dont on décide de numéroter les adhérents $(1, 2, \ldots, n$, \ldots). Soit $p$ un réel donné de l'intervalle $]0~;~1[$. La personne numéro 1 décide d'investir dans ce placement et en parle à la personne numéro 2 qui fait de même avec la probabilité $p$ ou décide de ne pas le faire avec la probabilité $q = 1 - p$. Le processus se poursuit ainsi : La personne numéro $n$ informe de sa propre décision la personne numéro $(n + 1)$. La personne numéro $(n + 1)$ fait le même choix que la personne numéro $n$ avec la probabilité $p$ ou fait le choix contraire avec la probabilité $q = 1 - p$. Soit $R_{n}$ l'évènement : \og La personne numéro $n$ investit dans le placement \fg{} et $p\left(R_{n}\right) = p_{n}$ la probabilité de cet évènement. \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $p_{1}$. Montrer que pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $p_{n + 1} = (2p - 1)p_{n} + 1 - p$. \item Que se passe-t-il si $p = \dfrac{1}{2}$ ? \item On suppose désormais $p \neq \dfrac{1}{2}$ et on pose $w_{n} = p_{n} - \dfrac{1}{2}$ pour tout entier naturel $n$ strictement positif. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme. \item Exprimer $w_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ strictement positif. \item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \item Soit $p = 0,08$. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que la $20$\up{e} personne investisse dans ce placement ? \item Quelle est la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ non nul, à partir de laquelle la probabilité que la personne numéro $n$ investisse dans le placement soit comprise entre \np{0,49999} et \np{0,50001} ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}