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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{\small Entrée à Sciences Po}
\lfoot{\small{annale 0}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
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\begin{center} \Large \textbf{Entrée à Sciences Po annale 0 }

4 heures
\end{center}

La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'usage des calculatrices est autorisé.

Ce problème comporte 4 parties. La partie III et la partie IV peuvent être traitées indépendamment des parties I et II.

Les résultats établis dans la partie I pourront être utilisés dans la partie II.

Les résultats numériques seront arrondis à $10^{-2}$ près. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie I}

\medskip

Dans cette partie, $a$ est un réel strictement positif donné.

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel strictement positif par : 

\[f(x) = x \ln \left( 1 + \dfrac{a}{x}\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~ + \infty[$ et que, pour tout $x$ réel strictement positif,
		\[f'(x) = \ln \left( 1 + \dfrac{a}{x}\right)-  \dfrac{a}{x + a}.\]

		\item Montrer que la fonction $f'$ est dérivable sur $]0~;~ + \infty[$ et calculer $f''(x)$ pour tout $x$ réel strictement
positif.
		\item Étudier les variations de la fonction $f'$.
		\item Déterminer la limite de $f'(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
		
En déduire le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ réel strictement positif, puis le sens de variation de la fonction $f$.
 	\end{enumerate}
\item  On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par :
	
\[u_{n} = \left( 1 + \dfrac{a}{n}\right)^n \quad \text{et} \quad v_{n} = \ln \left(u_{n}\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item  Étudier la monotonie de la suite $\left(v_{n}\right)$.
		
En déduire celle de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item Déterminer la limite en $0$ de la fonction qui à tout $x$ strictement positif associe $\dfrac{\ln (1 + x)}{x}$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ puis celle de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie II}

\medskip

\textbf{Taux d'intérêt annuel et taux d'intérêt d'une fraction d'année}

\medskip

On considère un capital $S_{0}$ que l'on place de différentes façons.

\begin{enumerate}
\item La somme $S_{0}$ est placée durant une année au taux annuel de r\:\%, $r$ est un réel strictement positif.
	\begin{enumerate}
		\item De quelle somme dispose-t-on au bout d'une année de placement ?
		\item Application numérique :
		
On a un taux de $5\:\% \, (r = 5)$ et $S_{0} = \np{10000}$~euros.
		
De quelle somme dispose-t-on au bout d'une année de placement ?
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. L'année est divisée en $n$ périodes de durées égales.
	
La somme $S_{0}$ est placée au taux d'intérêt de
$\dfrac{r}{n}$\:\% pour chaque période, $r$ est un réel strictement positif.
	
Dans ce cas la somme $S_{1}$ placée au début de la deuxième période est la somme $S_{0}$ à laquelle on ajoute les intérêts obtenus au cours de la première période.
	
De même la somme $S_{k}$, pour $1 \leqslant  k \leqslant n - 1$, placée au début de la $(k + 1)$\up{e} période est la somme $S_{k - 1}$ à
laquelle ont été ajoutés les intérêts obtenus au cours de la $k$\up{e} période.
	\begin{enumerate}
		\item De quelle somme dispose-t-on à l'issue d'une période ?
		\item Montrer qu'à l'issue d'une année de placement, on dispose de la somme $S_{n} = S_{0} \times  u_{n}$ où $u_{n}$ est le
terme général de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie dans la partie I pour une valeur de $a$ que l'on donnera en fonction de $r$ et de $n$.
		\item Déterminer la limite de la somme $S_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
		
Interpréter ce résultat.
		\item Comparer les placements des questions 1 et 2. Lequel est le plus avantageux ?
		\item \emph{Application numérique} : on a un taux de $5\:\% \:\:(r = 5),~ n = 12$ et $S_{0} = \np{10000}$~euros.
		
Quelle somme obtient-on au bout d'une année de placement ? Retrouver le résultat du \textbf{d.}
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. L'année est divisée en $n$ périodes de durées égales.
	
La somme $S_{0}$ est placée au taux d'intérêt de $r_{n}$\:\% pour chacune de ces périodes, $r_{n}$ est un réel strictement positif indépendant de la période considérée.
	\begin{enumerate}
		\item De quelle somme dispose-t-on au bout d'une année de placement, le principe étant le même que celui de la question 2 ?
		\item  On souhaite que le placement de la somme $S_{0}$ dans ce cas, rapporte autant au bout d'un an que si $S_{0}$
était placée au taux annuel de $r$\:\% , c'est-à-dire comme à la question 1.
		
Exprimer alors $r_{n}$ en fonction de $r$ et de $n$.
		\item  Application numérique :
		
On a un taux de $5\:\% (r = 5),~ n = 12$.
		
Quel est le taux de placement pour chaque période dans ce cas ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie III}

\medskip

\textbf{Placements avec taux d'intérêt instantané variable}

\medskip

La somme $S_{0}$ est placée pour tout réel $t$ positif au taux d'intérêt instantané $i(t)$ où $t$ représente la durée du placement, exprimée en années.

Soit la fonction $S$ qui à chaque réel $t$ positif associe la somme $S(t)$, disponible au bout de $t$ années.

On suppose que la fonction $S$ est :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  dérivable sur $[0~;~ + \infty[$
\item solution de l'équation différentielle $y' = i(t) y$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
On a $y(0) = S_{0}$.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction $S$ lorsque la fonction $i$ est une fonction constante sur $[0~;~+ \infty[$, c'est-à-dire telle
qu'il existe un réel strictement positif $b$ pour tout $t$ de $[0~;~ + \infty[,$

$ i(t) = b$.
\item  On suppose que la fonction $i$ est continue sur $[0~;~ + \infty[$.

Soit $I$ la primitive de $i$ sur $[0~;~+ \infty[$ qui s'annule en $0$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $I(t)$ à l'aide d'une intégrale pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$.
		\item  Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : $\varphi(t) = \text{e}^{- I(t)} S(t)$.
		
Montrer que $\varphi$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et calculer $\varphi'(t)$ pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$.
		
En déduire l'expression de $S(t)$ en fonction de $S_{0}$ et de $I(t)$ pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item  \emph{Application numérique} :
	
Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. On pose pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[$, 

$i(t) = b\left(1 + a \sin t \text{e}^{-t}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\int_{0}^t \sin x \text{e}^{-x}\:\text{d}x$, pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$ en utilisant le théorème d'intégration par parties.
		\item Quelle est la somme $S(t)$ obtenue au bout de $t$ années de ce placement.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie IV}

\medskip

Un organisme financier propose un placement attractif en ce temps de crise, au taux garanti de 5\:\% par an comme dans l'application numérique de la partie \textbf{II - 1}.

On considère un club d'investissement dont on décide de numéroter les adhérents $(1, 2, \ldots, n$, \ldots).

Soit $p$ un réel donné de l'intervalle $]0~;~1[$.

La personne numéro 1 décide d'investir dans ce placement et en parle à la personne numéro 2 qui fait de même avec la probabilité $p$ ou décide de ne pas le faire avec la probabilité 

$q = 1 - p$.

Le processus se poursuit ainsi :

La personne numéro $n$ informe de sa propre décision la personne numéro $(n + 1)$.

La personne numéro $(n + 1)$ fait le même choix que la personne numéro $n$ avec la probabilité $p$ ou fait le choix contraire avec la probabilité $q = 1 - p$.

Soit $R_{n}$ l'évènement : \og La personne numéro $n$ investit dans le placement \fg{} et 

$p\left(R_{n}\right) = p_{n}$ la probabilité de
cet évènement.
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $p_{1}$.

Montrer que pour tout entier naturel $n$ strictement positif, 

$p_{n + 1} = (2p - 1)p_{n} + 1 - p$.
\item  Que se passe-t-il si $p = \dfrac{1}{2}$ ?
\item  On suppose désormais $p \neq \dfrac{1}{2}$ et on pose $w_{n} = p_{n} -
\dfrac{1}{2}$ pour tout entier naturel $n$ strictement positif.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
		\item Exprimer $w_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ strictement positif.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$.
		 Interpréter ce résultat.
 	\end{enumerate}
\item Soit $p = 0,08$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que la $20$\up{e} personne investisse dans ce placement ?
		\item Quelle est la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ non nul, à partir de laquelle la probabilité que la personne numéro $n$ investisse dans le placement soit comprise entre \np{0,49999} et \np{0,50001} ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}