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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}

\textbf{\large \decofourleft~SciencesPo  ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE~\decofourright}


\medskip

\textbf{Samedi 22 février 2020}

\medskip

\textbf{durée de l'épreuve: 3 h - coefficient 2} 

\textbf{Les calculatrices sont autorisées.} 

\end{center}
\bigskip

\textbf{\large Exercice Vrai-Faux \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation }: le carré d'un nombre réel est toujours supérieur ou égal à ce nombre. 
\item \textbf{Affirmation }la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par $u_n = 4^{3n-1}$ est une suite géométrique. 
\item On considère la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0 = 3$ et de raison $\dfrac{2}{3}$ et on pose 

$S_n = v_0 + v_1 + \ldots + v_n$ pour tout entier naturel non nul $n$. 

\textbf{Affirmation }: la suite $\left(S_n\right)$ converge vers 9.
\item Dans le cadre d'un prêt, la première mensualité comprend $350$ euros d'intérêts. Chaque mensualité comprend ensuite 2 euros de moins d'intérêts que la précédente. 

\textbf{Affirmation } : le montant des intérêts versés après $100$ mensualités est de \np{25000} euros.
\item Dans une ville où il pleut un jour sur quatre, une personne se rend à son travail à pied ou en voiture. Lorsqu'il pleut, elle se rend à son travail en voiture dans $80\,\%$ des cas et lorsqu'il ne pleut pas elle y va à pied dans $60\,\%$ des cas.

\textbf{Affirmation } : cette personne utilise sa voiture pour se rendre à son travail un jour sur deux. 
\item Dans un groupe de $120$ personnes, $36$ sont inscrites dans un club sportif. 

\textbf{Affirmation } : la probabilité que deux personnes choisies au hasard dans le groupe soient inscrites dans un club sportif vaut $0,088$ à $10^{-3}$ près.
\item  Je lance $10$ fois un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. 

\textbf{Affirmation }: le nombre de fois où j'obtiens la face 3 est égal en moyenne à  $\dfrac{10}{3}$. 
\item \textbf{Affirmation } : l'équation $2x^3 - 3x^2 + 2 = 0$ admet trois solutions dans $\R$. 
\item $f$ désigne la fonction définie sur $\left]\frac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ par $f(x) = \dfrac{1}{1 + \ln x}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\textbf{Affirmation }: la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est parallèle à la droite d'équation $y= - \dfrac{1}{4}x$. 
\item  La fonction $g$  est définie sur $]3~;~ +\infty[$ par $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$.

\textbf{Affirmation } : la droite d'équation $y = 2$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère du plan. 
\item Étant donné un repère du plan, on considère la droite $d$ passant par le point A$(-2~;~1)$ et admettant $\vect{u}(2~;~1)$ pour vecteur directeur. 

\textbf{Affirmation } : une équation cartésienne de $d$ est : $x - 2y + 4 = 0$. 

\item Les points A, B et C  
ont pour coordonnées dans un repère orthonormé du plan: A(1~;~1), \: B$(a~:~3)$,\:C$(a+2~;~a+3)$ où $a$ désigne un nombre réel. 

\textbf{Affirmation }: les droites (AB) et (AC) ne sont pas perpendiculaires.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Problème  \hfill 8 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^{-x}$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ et donner une interprétation graphique de ce résultat.
	\end{enumerate}
\item Après avoir calculé la dérivée de la fonction $f$ dresser son tableau de variation sur $\R$ en précisant la valeur exacte du maximum. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La suite $\left(u_n\right)$ est définie par : $u_0  = 1$ et pour tout entier naturel $n$, \: $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ est strictement positif.
\item Démontrer que la suite  $\left(u_n\right)$ est décroissante. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. 
		\item  On admet que la limite $\alpha$ de la suite $\left(u_n\right)$ est solution de l'équation $f(x) = x$. Déterminer la valeur de $\alpha$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la suite $\left(S_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ par : 

\[S_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n.\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans l'algorithme ci-dessous, $u$ et $S$ désignent des nombres réels et $k$ un nombre entier. Compléter cet algorithme pour qu'à la fin de son exécution la variable $S$ contienne $S_{50}$ 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$u \gets 1$\\
$S\gets \ldots$\\
Pour $k$ variant de 1 à \ldots\\
\hspace{0.5cm}$u \gets \ldots$\\ 
\hspace{0.5cm}$S \gets \ldots$\\ 
Fin Pour\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item  Déterminer la valeur décimale de $S_{50}$ arrondie au millième. 
\end{enumerate}
\end{document}