%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Entrée à Sciences Po} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small{Mardi 28 juin 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Entrée à Sciences Po} 4 heures \end{center} Le problème se compose de 2 parties. Les calculatrices sont autorisées. \emph{Dans le cas où un candidat repère ce qui lui semble être une erreur typographique, il le signale très lisiblement sur sa copie, propose la correction et poursuit l'épreuve en conséquence. Si cela le conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, il le mentionne explicitement.} \medskip \textbf{Le problème suivant est constitué de deux parties indépendantes entre elles. Dans chaque partie, on étudie un exemple classique de loi de probabilité continue à densité.} \bigskip Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. \medskip \textbf{Première partie} \medskip Soit $\lambda$ un nombre réel non nul. On considère la fonction $f_{\lambda} \::\: x \longmapsto \text{e}^{-\lambda x}$ définie sur $\R$. Sa courbe représentative dans le repère \Oij{} est notée $\mathcal{C}_{\lambda}$. \textbf{A} \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f_{\lambda}$ selon le signe de $\lambda$. \item Déterminer l'équation réduite de la tangente T$_{\lambda,~a}$ à la courbe $\mathcal{C}_{\lambda}$ au point $A$ d'abscisse $a$, avec $a$ un nombre réel quelconque. \item \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, conjecturer, selon le signe de $\lambda$ ,la position de la courbe $\mathcal{C}_{\lambda}$ par rapport à la tangente T$_{\lambda,~a}$ au point $A$. \item Donner l'allure de la courbe $\mathcal{C}_{\lambda}$ selon le signe de $\lambda$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{B} \begin{enumerate} \item Pour tout réel $\alpha > 0$, on note $\mathcal{A}_{\lambda}(\alpha)$ l'aire sous la courbe $\mathcal{C}_{\lambda}$ sur l'intervalle $[0~;~\alpha]$ , exprimée en unités d'aire. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur de $\mathcal{A}_{\lambda}(\alpha)$. \item Déterminer, si elle existe, la limite de $\mathcal{A}_{\lambda}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier l'existence des écritures $I_{\lambda}(\alpha) = \displaystyle\int_{0}^{\alpha} t f_{\lambda}(t)\:\text{d}t$ et $J_{\lambda}(\alpha) = \displaystyle\int_{0}^{\alpha} t^2 f_{\lambda}(t)\:\text{d}t$. Calculer la valeur de chacune de ces deux intégrales. En déduire leurs limites respectives lorsque $\alpha$ tend vers $+ \infty$, si elles existent. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{C} On dit qu'une fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ est une densité de probabilité sur $[0~;~+ \infty[$ si : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[,\:f(x) \geqslant 0$ ; \item[$\bullet~~$] la fonction $f$ est continue sur $[0~;~+ \infty[$ ; \item[$\bullet~~$] la limite $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\int_{0}^x f(t)\:\text{d}t$ existe et est égale à $1$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On définit alors une loi de probabilité $P$ sur $[0~;~+ \infty[$ de densité $f$ : pour tout intervalle $[a~;~b]$ inclus dans $[0~;~+ \infty[$, la probabilité de l'intervalle $[a~;~b]$ est $P\left([a~;~b]\right) = \displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t$. Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $[0~;~+ \infty[$ suit la loi de probabilité $P$ si, pour tout intervalle $[a~;~b]$ inclus dans $[0~;~+ \infty[,\: P(a \leqslant X \leqslant b) = \displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t$. Dans la suite de cette partie C., $\lambda$ est un réel strictement positif et on considère la fonction $\varphi_{\lambda}\: :\: x \longmapsto \text{e}^{ -\lambda x}$ définie sur $[0~;~+ \infty[$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déduire de ce qui précède que $\varphi_{\lambda}$ est une densité de probabilité sur $[0~;~+ \infty[$. \item Soit $X_{\lambda}$ une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité $\varphi_{\lambda}$. Reconnaître la loi suivie par $X_{\lambda}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On appelle espérance de $X_{\lambda}$ le réel noté E$\left(X_{\lambda}\right)$ défini par E$\left(X_{\lambda}\right) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_{0}^x t \varphi_{\lambda}\lambda(t)\:\text{d}t$. Justifier l'existence de la limite précédente et donner une expression simple de E$\left(X_{\lambda}\right)$ en fonction de $\lambda$. \item Le temps d'attente en minutes à un standard téléphonique est une variable aléatoire $Y_{\lambda}$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. L'espérance E$\left(Y_{\lambda}\right)$ représente alors le temps moyen d'attente à ce standard. Sachant que ce temps moyen est de 5~minutes, déterminer la probabilité d'attendre encore 5~minutes, sachant qu'on a déjà attendu 2~minutes. \end{enumerate} \item On appelle variance de $X_{\lambda}$ le réel noté $V\left(X_{\lambda}\right)$ défini par : \[V\left(X_{\lambda}\right) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_{0}^x t^2 \varphi_{\lambda}\lambda(t)\:\text{d}t - [\text{E}\left(X\lambda\right)]^2.\] Justifier l'existence de la limite précédente et déterminer une expression simple de $V\left(X_{\lambda}\right)$ en fonction de $\lambda$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip Soit $\lambda$ un réel non nul, arbitrairement fixé. \medskip On considère la fonction $g_{\lambda}\: :\: x \longmapsto \text{e}^{- \lambda x^2}$ définie sur $\R$. Sa courbe représentative dans le repère \Oij{} est notée $\Gamma_{\lambda}$. \textbf{A} Dans cette partie A, plusieurs cas pourront être envisagés selon les valeurs du réel $\lambda$. \medskip \begin{enumerate} \item Faire une étude de la fonction $g_{\lambda}$ : parité, limites, variations. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la dérivée seconde de la fonction $g_{\lambda}$. \emph{On admet que la courbe représentative d'une fonction $f$ deux fois dérivable traverse sa tangente en un point $A$ d'abscisse $a$ si et seulement si la dérivée seconde de la fonction $f$ s'annule en $a$ en changeant de signe.} \item La courbe $\Gamma_{\lambda}$ présente-t-elle des points où elle traverse sa tangente ? \item Donner l'allure de la courbe $\Gamma_{\lambda}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{B} On considère les fonctions $F_{\lambda}\: :\: x \longmapsto \displaystyle\int_{0}^x \text{e}^{\lambda t^2}\:\text{d}t$ et $F_{1}\: :\: x \longmapsto \displaystyle\int_{0}^x \text{e}^{-t} \:\text{d}t$ définies sur $\R$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Rappeler l'argument permettant de justifier la dérivabilité de la fonction $F_{\lambda}$ puis donner l'expression de $F^{\prime}_{\lambda}(x)$, pour tout réel $x$. \item En déduire que, pour tout réel $x$, on a l'égalité : $F_{\lambda}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{\lambda}}F_{1}\left(x\sqrt{\lambda}\right)$. \end{enumerate} \item Justifier que la fonction $F_{\lambda}$ est impaire. \item Étudier les variations de la fonction $F_{\lambda}$. \medskip \emph{Dans la suite de la deuxième partie, on se place dans le cas où $\lambda$ est strictement positif.} \medskip \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $t$ supérieur ou égal $\dfrac{1}{\lambda},\: g_{\lambda}(t) \leqslant \text{e}^{-t}$. \item Montrer que, pour tout réel $x$ supérieur ou égal à $\dfrac{1}{\lambda}$, $F_{\lambda}(x) - F_{\lambda}\left(\dfrac{1}{\lambda}\right) \leqslant \displaystyle\int_{\frac{1}{\lambda}}^x \text{e}^{ -t}\:\text{d}t$. En déduire que, pour tout réel $x$ supérieur ou égal à $\dfrac{1}{\lambda}$, $F_{\lambda}(x) \leqslant F_{\lambda}\left(\dfrac{1}{\lambda}\right) + \text{e}^{ -\frac{1}{\lambda}}$. Pour tout entier naturel strictement positif, on note $u_{n} = F_{\lambda}(n)$. \item Prouver que la suite $\left(u_{n}\right)_{n > 0}$ a une limite finie en $+ \infty$, que l'on note $L_{\lambda}$. \emph{On admet que la fonction $F_{\lambda}$ admet également pour limite $L_{\lambda}$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.} \emph{De même, on peut prouver que $F_{1}$ admet une limite finie en $+ \infty$ notée $L_{1}$.} \item Quelle relation existe-t-il entre $L_{\lambda}$ et $L_{1}$ ? \item Montrer que : $0 \leqslant L_{\lambda} - F_{\lambda}\left(\dfrac{1}{\lambda}\right) \leqslant \text{e}^{- \frac{1}{\lambda}}$. \item On suppose dans cette question que $\lambda = \dfrac{1}{2}$. Donner une valeur approchée de $L_{\frac{1}{2}}$ à $\text{e}^{-2}$ près. \medskip \emph{On admet dans la suite du problème que} $L_{\frac{1}{2}} = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$. \item Déterminer la valeur exacte de $L_{\lambda}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{C} \medskip On dit qu'une fonction $f$ définie sur $\R$ est une densité de probabilité sur $\R$ si : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] pour tout réel $x,\: f(x) \geqslant 0$ ; \item[$\bullet~~$] la fonction $f$ est continue sur $\R$ ; \item[$\bullet~~$] les limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \int_{x}^0 f(t)\:\text{d}t$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_{0}^x f(t)\:\text{d}t$ existent et sont finies, leur somme étant égale à $1$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On définit alors une loi de probabilité $P$ sur $\R$ de densité $f$ : pour tout réel $a$, la probabilité de l'intervalle $]- \infty~;~a]$ est $P\left(]- \infty~;~a]\right) = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \int_{x}^a f(t)\:\text{d}t$. Une variable aléatoire $X_{\lambda}$ à valeurs dans $\R$ suit la loi de probabilité $P$ si, pour tout réel $a,\: P(X \leqslant a) = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \int_{x}^a f(t)\:\text{d}t$. Soit la fonction $\Psi \::\: x \longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$, définie sur $\R$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Préciser la parité de la fonction $\Psi$. \item Déduire de la partie B. que la fonction $\Psi$ est une densité de probabilité sur $\R$. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité $\Psi$. (La loi suivie par $X$ est appelée loi normale centrée réduite qui est très utilisée en statistique et probabilités.) \end{enumerate} \item On appelle espérance de $X$ le réel noté E$(X)$ défini par : \[\text{E}(X) = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \int_{x}^0 t \Psi(t)\:\text{d}t + \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \int_{0}^x t \Psi(t)\:\text{d}t.\] Justifier l'existence des limites précédentes et calculer E$(X)$. \item \begin{enumerate} \item En s'aidant de la partie B. précédente, justifier que pour tout réel $a$ supérieur à 2, la probabilité $P(2 \leqslant X \leqslant a)$ est majorée par $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{e}^{-2}$. \item En déduire que $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{e}^{-2} \leqslant P(0 \leqslant X \leqslant 2) \leqslant \dfrac{1}{2}$ puis déterminer un encadrement de la probabilité $P(X < 2)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{D} \medskip \textbf{Lors de l'étude de la loi normale centrée réduite, il est utile de s'intéresser aux limites de la forme \boldmath$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_{0}^x t^n \Psi(t)\:\text{d}t$\unboldmath\:\: où \boldmath$n$\unboldmath\: est un entier naturel.} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $\ksi_{n} \::\:x \longmapsto x^n \text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$, définie sur $[0~;~+\infty[$. Pour tout réel $x$ positif, on pose alors $b_{n}(x) = \displaystyle\int_{0}^x \ksi_{n}(t)\:\text{d}t$. \begin{enumerate} \item Calculer $b_{1}(x)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 et pour tout réel $x$ positif, \[b_{n}(x) = - x^{n - 1}\text{e}^{- \frac{x^2}{2}} + (n - 1)b_{n - 2}(x).\] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $b_{n}(x)$ a une limite finie quand $x$ tend vers $+\infty$, notée $B_{n}$. Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, $B_{n} = (n - 1) B_{n-2}$. Donner les valeurs de $B_{1},\: B_{2},\: B_{3}$ et $B_{4}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $k$, on a $B_{2k+1} = 2^k k!$ et $B_{2k} = \dfrac{(2k)!}{2^{k+1} k!}\sqrt{2\pi}$. \item En déduire la valeur de $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_{0}^x t^n \Psi(t)\:\text{d}t$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \end{enumerate} %********** FIN du problème ********** \end{document}