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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Entrée à Sciences Po}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{Lundi 28 juin 2010}}
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\begin{center} \Large \textbf{Entrée à Sciences Po}


4 heures
\end{center}

Le problème se compose de 5 parties.
  
Les calculatrices sont autorisées.
 
Dans le cas où un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale très lisiblement sur sa copie, propose la correction et poursuit l'épreuve en conséquence. Si cela le conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, il le mentionne explicitement. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème}

\medskip

\emph{Le problème examine différents aspects de l'utilisation d'un ensemble de fonctions introduit dans la partie III et motivé dans la partie II.\\ 
À ce fil conducteur près, on peut considérer les parties comme indépendantes, mais les résultats de la partie I sont utiles dans la partie II.}

\bigskip
 
\textbf{I. Des arcs d'hyperboles}

\medskip
 
À tout réel $m$ élément du segment [0~;~1], on associe la fonction $f_{m}$, définie sur l'intervalle $[0~;~1[$ par : 

\[f_{m}(x) = \dfrac{m}{1 - x},\]

et la fonction $g_{m}$ définie sur l'intervalle $]0~;~1]$ par :

\[g_{m}(x) =  - \dfrac{m}{x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le sens de variation de chacune des fonctions $f_{m}$ et $g_{m}$ ? 
\item Résoudre les équations :

\[f_{m}(x) = 1 \quad \text{et} \quad g_{m}(0) = 0.\]
 
\item Pour quelles valeurs du réel $m$ l'équation $g_{m}(x) = f_{m}(x)$ a-t-elle des solutions ? 
\item Représenter sur un même graphique les fonctions $f_{m}$ et $g_{m}$. On distinguera plusieurs cas, selon le nombre de solutions de l'équation précédente et on fera une figure illustrant chaque cas. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II. Des lignes de niveau}

\medskip
 
\parbox{0.52\linewidth}{Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère le carré unité OIDJ. Pour chaque point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ intérieur au carré, les parallèles aux axes du repère déterminent quatre rectangles marqués R1, R2, R3 et R4. 
\begin{enumerate}
\item Exprimer, en fonction des coordonnées de $M$, les aires des rectangles R1, R2, R3 et R4. 
\item On note $A(x~;~y)$ la plus grande des aires obtenues.\\
Pourquoi est-on assuré que 

$\dfrac{1}{4} \leqslant A(x~;~y) \leqslant  1$ ?
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
\psaxes[Dx=10,Dy=10](0,0)(-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
\psframe[linewidth=1.25pt](5,5)
\psline[linestyle=dashed](0,2)(5,2)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,5)
\uput[ul](3,2){$M$}\rput(4,1){R2}\rput(1.5,1){R1}\rput(1.5,3.5){R4}\rput(4,3.5){R3}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](3,0){$x$}\uput[l](0,2){$y$}
\end{pspicture}}

\newpage
\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}] Montrer que, pour tout couple $(x~;~y)$ de réels de l'intervalle $[0~;~1],~A(x~;~y) = A(y~;~x)$. 
\item[\textbf{4.}] Résoudre dans $[0~;~1]$ l'inéquation $t \geqslant 1 - t$. En déduire une expression explicite de $A(x~;~y)$ en fonction de $x$ et $y$ (on distinguera quatre cas). 
\item[\textbf{5.}] Pour tout réel $m$ du segment $\left[\dfrac{1}{4}~;~1\right]$, on note $L_{m}$ la ligne de niveau $m$ de l'application $A$ c'est-à-dire l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées $x$ et $y$ vérifient $A(x~;~y) = m$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer -- en utilisant la distinction en quatre cas précédente -- une équation de la ligne de niveau $L_{m}$. 
		\item Tracer sur un même graphique les lignes de niveau $\dfrac{3}{4},~\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{4}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{III. Étude d'un ensemble de fonctions affines par morceaux}

\medskip
 
Pour tout couple $(t~;~x)$ de réels compris entre 0 et 1,  on pose :

\[\begin{array}{l c l c l} 
K(t~;~x)&=&x(1-t )& \text{si}& x \leqslant t\\
K(t~;~x)&=& t(1 - x)&\text{si}& x > 1
\end{array}\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $K(t~;~x) = 0$. 
\item On donne un réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$. 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la fonction $k_{t}$, définie sur $[0~;~1]$ par :

\[k_{t}(x) = K(t~;~x).\]
 
		\item  Montrer que la fonction $k_{y}$, présente un maximum.
	\end{enumerate} 
\item En déduire qu'il existe un couple $\left(t_{0}~;~x_{0}\right)$ de réels compris entre 0 et 1 tel que, pour tout couple  $(t~;~x)$ de réels compris entre $0$ et $1$, on ait : $K\left(t_{0}~;~x_{0}\right) \geqslant K(t~;~x)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{IV. Un noyau pour transformer des fonctions}

\medskip
 
Dans cette partie, la fonction $K$, composée d'une certaine manière avec des fonctions, permet de leur associer d'autres fonctions. On reprend la notation de la partie III et, à toute fonction $f$  définie 
et continue sur le segment $[0~;~1]$, on associe la fonction $\widehat{f}$ définie sur $[0~;~1]$ par : 

\[\widehat{f} = \int_{0}^1 	K(t~ ;~x) f(x)\:\text{d}x
 = \int_{0}^1 k_{t}(x) f(x)\:\text{d}x.\]
  
\begin{enumerate}
\item  Montrer que : $\displaystyle \int_{0}^1 	K(t~ ;~x) \:\text{d}x= \displaystyle \int_{0}^t (1 - t)x\:\text{d}x +  \displaystyle \int_{t}^1 t(1 - x)\:\text{d}x.$
 
Calculer $h(t) = \displaystyle \int_{0}^1 K(t~;~x)\text{d}x.$ (On pourra interpréter $h(t)$ comme une aire)
\item On appelle $s$ la fonction définie sur $[0~;~1]$ par :
 
\[s(x) = \sin (2\pi x).\]

Déterminer la fonction $\widehat{s}$. (On pourra utiliser le procédé d'intégrations par parties). 

On note E l'ensemble des fonctions définies et continues sur $[0~;~1]$ et prenant la valeur $0$ en $0$ et $1$.

\item Montrer que, pour toute fonction $g$ appartenant à E, on a aussi $\widehat{g}(0) = \widehat{g}(1) = 0$. 
 
\item Montrer que, pour toute fonction $f$ appartenant à E, la fonction $\widehat{f}$ admet une dérivée seconde.
 
Exprimer $\left(\widehat{f}\right)''$ en fonction de $f$.

\item Soit $g$ une fonction appartenant à E. Déterminer les solutions de l'équation différentielle $f'' = g$ appartenant elles aussi à E ? Combien y en a-t-il ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{V. \ldots et pour construire une suite}

\medskip
 
Soit $t$ un réel donné dans l'intervalle $]0~;~1[$. On considère la suite $\left(x_{n}\right)$ définie par son premier terme $x_{0} = t$ et la relation de récurrence :
 
\[\text{pour tout entier naturel} n \left\{\begin{array}{l c l}
x_{2n+1}&=& t\left(1 - x_{2n}\right)\\
x_{2n+2}&=&(1 -t)x_{2n+1} 
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item  On pose, pour tout entier naturel $n, y_{n} = x_{2n+1}$.
 
Exprimer $y_{n+1}$ en fonction de $y_{n}$.
 
Prouver l'existence de deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout entier naturel $n$, on puisse écrire :

\[y_{n+1} - \beta = \alpha\left(y_{n} - \beta \right)\] 

\item La suite $\left(y_{n}\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse. 
\item On pose, de la même manière, pour tout entier naturel $n,~z_{n} = x_{2n}$. 

La suite $\left(z_{n}\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse. 
\item La suite $\left(x_{n}\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}
\end{document}