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% Tapuscrit François Hache 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée de l'épreuve : 3 heures -- Coefficient 2}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Sciences Po - Samedi 23 février 2019
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\emph{L'exercice Vrai-Faux est noté sur $11$, le problème est noté sur $9$.
Vous devez traiter les deux exercices.
Les calculatrices sont autorisées.}

\bigskip

\hfill{} \textbf{\Large EXERCICE VRAI ou FAUX} \hfill{}

\bigskip

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est VRAIE ou FAUSSE en justifiant soigneusement la réponse.

\medskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 1.}}

\medskip

Les prix réglementés du gaz évoluent mensuellement. En mai 2018, ils ont augmenté de 0,4\,\%, en juin 2018 de 2,1\,\% et en juillet 2018 de 7,45\,\%.

\emph{Affirmation} : l'augmentation cumulée sur ces trois mois est de 9,95\,\%.

\medskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 2.}}

\medskip

\emph{Affirmation} : toute suite qui tend vers $+\infty$ est croissante.

\medskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 3.}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 3u_n - 2n + 3$.

\emph{Affirmation} : pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n - 1$.

\medskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 4.}}

\medskip

\emph{Affirmation} : l'équation $\ln (4x + 5) + \ln (x + 1) = 1$ possède exactement deux solutions dans $\R$.

\medskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 5.}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^{x^2}$.

Sur la figure ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ ainsi que ses tangentes $d_1$ et $d_2$ aux points A et B d'abscisses respectives $-1$ et $1$.

\begin{center}
\scalebox{0.96}{
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-5.15)(2.1,5.15)
\psgrid[linewidth=0.1pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray]
\psaxes[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(-2,-5)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.2pt](0,0)(-2,-5)(2,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.3}{1.3}{2.71828 x dup mul exp x mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-1.3}{1.3}{2.71828 x 3 mul 2 add mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-1.3}{1.3}{2.71828 x 3 mul 2 sub mul}
\psdots(-1,-2.71828)(1,2.71828)
\uput[l](-1,-2.71828){A}\uput[r](1,2.71828){B}
\uput[l](-0.2,4){$d_1$}\uput[r](0.2,-4){$d_2$}
\uput[d](-3,-1){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
}%%% fin du scalebox
\end{center}

\emph{Affirmation} : $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.

%\medskip
\newpage

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 6.}}

\medskip

Un cycliste part de chez lui à 8 h 00 et doit parcourir une distance de $61$~km pour arriver à son point d'arrivée à 9 h 30 au plus tard.

Son parcours est constitué d'une descente de $16$~km qu'il parcourt à la vitesse de 80~km/h, puis de $40$~km de plat qu'il parcourt à la vitesse de $50$~km/h, et enfin d'une montée de $5$~km qu'il parcourt à une vitesse de $x$ km/h.


\emph{Affirmation} : le cycliste sera à l'heure si et seulement si $x \geqslant 10$.

\medskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 7.}}

\medskip

Soit $f$ une fonction à valeurs réelles, dérivable sur $\R$.

Pour tout $x \in \R$,\: $f'(x) = 1 + f^2(x)$ et $f(1) = 0$.

\emph{Affirmation} : $f$ est strictement positive sur $[-1~;~0]$.

\medskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 8.}}

\medskip

Une urne contient $n$ boules numérotées, indiscernables au toucher. Une boule porte le numéro 10, trois boules portent le numéro 5 et les boules restantes portent le numéro $0$.

Après avoir misé 1~\euro, un joueur tire au hasard l'une des boules et remporte la somme affichée sur la boule.

\emph{Affirmation} : le jeu est équitable si et seulement si $n = 25$.

\medskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 9.}}

\medskip

Une pièce de monnaie est mal équilibrée.

La probabilité de tomber sur FACE est deux fois plus grande que celle de tomber sur PILE.

On lance 15 fois successivement la pièce.

\emph{Affirmation} : la probabilité de tomber exactement 10 fois sur FACE est supérieure à $0,2$.

\medskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 10.}}

\medskip

Dans un repère on considère quatre points : A(1~;~1), B(4~;~1), C(4~;~2) et D(1~;~2).

On définit les points M, N et P par :

$\vect{\text{DM}} = -2\vect{\text{BD}},\: \vect{\text{CN}} = 5\vect{\text{CA}}$ et $\vect{\text{BP}} = 3\vect{\text{AB}}$.

\emph{Affirmation} : les points M, N et P sont alignés.

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\hfill \textbf{\Large PROBLÈME} \hfill{}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $I = ]0~;~ +\infty[$ par : 

\[f(x) = x \ln (x) + 1.\]

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe dans un repère du plan.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f(x)$ en $0$ et $+\infty$.
\item On admet que $f$ est dérivable sur $I$. Montrer que, pour tout $x \in I$,\: $f'(x) = 1 + \ln(x)$.
\item Etudier les variations de $f$ sur $I$. Montrer que $f$ admet un minimum dont on donnera la valeur exacte.
\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
\item On pose, pour tout $x \in I$,\: $g(x) = f(x) - x$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $g$ sur $I$. On ne demande pas de calculer les limites.
		\item En déduire le signe de $g$ sur $I$.
		\item En déduire les positions relatives de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$ sur $I$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $I$.
	\item Démontrer sans utiliser la calculatrice que $\alpha \leqslant 2$.
	\item On admet que $\alpha^2 - \alpha \geqslant 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\alpha \geqslant  \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
		\item En déduire un encadrement de $\alpha$ à $0,2$ près.
 	\end{enumerate}
	\item  On souhaite obtenir un encadrement de $\alpha$ à $0,001$ près. Proposer l'écriture d'un algorithme qui répond à cette question.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n \in \N^*$.

Démontrer que l'équation $f(x) = n$ admet une unique solution notée $\alpha_n$ dans $I$.
\item Préciser la valeur de $\alpha_1$.
\item Démontrer que la suite $\left(\alpha_n\right)$ est croissante.
\item Démontrer que la suite $\left(\alpha_n\right)$ n'est pas majorée.
\item Conclure quant à la convergence de la suite $\left(\alpha_n\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

On définit la suite $\left(u_n\right)$ par son premier terme $u_0$ élément de $I$ et pour tout $n \in \N$,\: $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $u_0 = 1$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante.
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item On suppose que $u_0 \in ]0~;~1[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $n \in \N$,\: $0 < u_n < 1$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
		\item On admet que la limite $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$. Déterminer $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}