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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} \Large \textbf{Entrée à Sciences Po}

\medskip

\textbf{ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2015} 

Samedi 21 février 2015

\textbf{MATHÉMATIQUES}
 
durée de l'épreuve : 3~h
\end{center}
 
Les calculatrices sont autorisées.

\begin{center}

{\large\textbf{Problème}\hfill 12 points}

\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En janvier 2006, l'once d'or (soit environ 31~g d'or) coûtait 500~\$ contre \np{1700}~\$ en janvier 2013 (source Les Echos, 2013). Le cours de l'or a donc connu une progression spectaculaire avec une augmentation moyenne d'environ 19\,\% par an.

En supposant que cette augmentation annuelle reste constante pour les prochaines années, à
partir de quelle année le prix de l'once d'or dépassera-t-il les \np{5000}~\$ ?
\item On s'intéresse à une entreprise spécialisée dans la production d'articles dont la qualité
augmente quand on y introduit de l'or. Le coût de production de ces articles, exprimé en
milliers d'euros, peut être modélisé par une fonction $C$.

Cette fonction $C$ dépend principalement de la masse d'or, en dizaines de grammes, contenu
dans les articles. Les coûts de production augmentant très fortement (on parle, en économie,
d'une croissance exponentielle) en fonction de la masse d'or contenu, l'entreprise ne produira
que des articles ne contenant qu'une faible quantité d'or.

On admet que tous les articles fabriqués sont vendus et que leur prix de vente est
proportionnel à la masse d'or contenu, la même pour tous les articles.

On appelle $R$ la recette de l'entreprise exprimée en milliers d'euros en fonction de $x$ quantité d'or exprimée en dizaines de grammes d'or.

Les courbes des fonctions $C$ et $R$ sont données dans le repère ci-dessous.

On suppose que la quantité d'or minimale contenu dans les articles est de dix grammes.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(6,6)
\uput[u](5.2,0){Dizaines de grammes}
\uput[r](0,5.8){Milliers d'euros}
\psline(1,1)(5,5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{2.71828 x 1 sub exp  0.5 sub}
\uput[dr](4,4){$C_1$} \uput[l](2.7,4.8){\blue $C_2$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{figure}

	\begin{enumerate}
		\item Identifier, en justifiant, les courbes associées aux fonctions de coût et de recette.
		\item Conjecturer le sens de variation de chacune des fonctions.
	\end{enumerate}
\item On dit que l'entreprise a un bénéfice nul lorsque le coût de production est égal à la recette.

	\begin{enumerate}
		\item Justifier graphiquement qu'il existe une masse d'or exprimée en dizaines de grammes et notée $\alpha$ pour laquelle le bénéfice de l'entreprise est nul et en déduire une équation vérifiée par $\alpha$.
		\item Déterminer, avec la précision permise par le graphique, les masses d'or que les articles doivent contenir pour que l'entreprise réalise des bénéfices positifs.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
On se propose d'étudier la fonction $C$ définie et dérivable sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par:

\[C(x) = \text{e}^{x - 1} - \dfrac{1}{2}\]

et les solutions éventuelles de l'équation $C(x) = x$.
 
Pour cela on pose $\varphi(x) = C(x) - x$, pour $x \in  [1~;~+ \infty[$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $\varphi$.
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $\varphi$ sur $[1~;~+ \infty[$.
\item En déduire que l'équation $C(x) = x$ admet une unique solution $\alpha$.
\item Établir que $\frac{3}{2} < \alpha < 2$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}
 
\medskip

On se propose d'étudier une méthode d'approximation du nombre $\alpha$.

Soit $g$ la fonction définie sur I $= \left[\frac{3}{2}~;~2\right]$ par :

\[g(x) = \ln \left(x + \dfrac{1}{2}\right) + 1.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $C(x) = x$ équivaut à l'équation $g(x) = x$ pour $x \in\:$ I.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la fonction $g$ est croissante sur I et en déduire que, pour tout réel $x$ appartenant à I, $g(x)$ appartient à I.
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de I :

		\[0 \leqslant  g'(x) \leqslant \dfrac{1}{2}.\]
	\end{enumerate}
\item  On admet alors que, pour tout couple de réels $(x,~y)$ de I, on a :

\[|g(x) - g(y)| \leqslant \frac{1}{2}|x - y|.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de I, on a :

\[|g(x) - \alpha| \leqslant \frac{1}{2}|x - \alpha|. \qquad (1)\]

Soit $\left(w_n\right)_{n\in \N}$ la suite d'éléments de I définie par $w_0 = \frac{3}{2}$ et pour tout entier naturel $n \geqslant 0, \:w_{n+1} = g\left(w_n\right)$.
		\item Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ près de $w_2$ et $w_3$.
		\item Établir que pour tout entier naturel $n$:

\[\left|w_n - \alpha\right| \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}.\]
		
		\item En déduire que la suite $\left(w_n\right)_{n\in \N}$ est convergente. Quelle est sa limite ?
	\end{enumerate}
\item  Donner un encadrement de la limite de la suite $\left(w_n\right)_{n\in \N}$ d'amplitude $10^{-4}$.
	
Expliquer la démarche.
\item  Pour quelle masse d'or incluse dans les articles produits, l'entreprise réalise-t-elle un
bénéfice nul ? La masse sera donnée en grammes à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice Vrai-Faux \hfill 8 points}

\bigskip

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant
soigneusement la réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par $v_1 = 1$ et pour tout entier $n \geqslant 1,\: v_{n+1} = nv_n$.

On a $v_3 = 6.$
\item Soit $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier $n \geqslant  0,\: u_{n+1} = u_n + 1$.

On note $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \text{e}^{u_n}$.

On a alors:

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(v_0 + v_1 + \cdots + v_n \right) = \dfrac{\text{e}}{1 - \text{e}}.\]

\item Soit $f$ une fonction dérivable et strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.

On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^{- f(x)}$.

La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[0~;~+\infty[$.
\item On suppose qu'à partir de l'année 2000 le prix d'un bien immobilier augmente chaque
année de 5\,\% pour atteindre \np{1500000}~euros en 2020.

En 2000, le prix arrondi à l'euro de ce bien était de \np{53772}~euros.
\item L'équation $3\text{e}^{2x} + 2 = 12\text{e}^{x}$ admet deux solutions réelles.
\item Dans un repère orthonormé \Oij, la droite $(d)$ a pour équation 

$3x + 4y + 4 = 0$.

La droite $(\Delta)$ perpendiculaire à la droite $(d)$ et passant par le point A(4~;~1) coupe la droite $(d)$ en un point H de coordonnées $\left(\frac{8}{5}~;~-  \frac{11}{5}\right)$.
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Variables :}\\
$N,\: P,\: S,\: I$ nombres entiers naturels\\
\textbf{Début}\\
Saisir ($N$)\\
Saisir $(P)$\\
$S$ prend la valeur 1\\
$I$ prend la valeur $N$\\
Tant que $S < P$ et $I > 0$ faire\\
\hspace{1.2cm}$S$ prend la valeur $S \times  I$\\
\hspace{1.2cm}$I$  prend la valeur $I - 1$\\
Fin Tant que\\
Afficher $(I)$\\
Fin\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Si l'utilisateur saisit $N = 10$ et $P = \np{10000}$, alors l'algorithme retourne 6.

\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \left(x^2 + x + 1\right)\text{e}^x.\]

Dans un repère orthonormé \Oij, la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$
au point d'abscisse 1 coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 0,5.
\item Une entreprise fabrique en très grande quantité des gélules dont la masse est exprimée en
milligrammes. Lors de la fabrication des gélules, une étude statistique a montré que 3\,\%
des gélules ont une masse non conforme.

Si l'entreprise conditionne les gélules par sachet de 10, il y aura au moins $96$\,\% des sachets
qui comporteront 9 ou 10 gélules de masses conformes.
\item Raphaël et Aurélien ont chacun organisé une tombola comportant 100 billets.

Raphaël propose $30$ billets gagnants, parmi lesquels figurent: 1 lot de 250~euros, 4 lots de~$50$ euros et $25$ lots de 2 euros.

Aurélien propose $55$ billets gagnants avec 5 lots de 20 euros, 10 lots de 15 euros, 15 lots
de $10$ euros et $25$ lots de 5 euros.

Un billet de tombola coûte 1 euro.

Il est préférable de participer à la tombola de Raphaël plutôt qu'à celle d'Aurélien.
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{FIN}
\end{center}
\end {document}