%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{ifthen,color}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Entrée à Sciences Po},
pdftitle = {Entrée à Sciences Po 20 février 2016},
allbordercolors = white}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Entrée à Sciences Po}
\lfoot{\small{20 février 2016}}

\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} \Large \textbf{Entrée à Sciences Po}

\medskip

\textbf{ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2016} 

Samedi 20 février 2016

\textbf{MATHÉMATIQUES}
 
durée de l'épreuve : 3~h
\end{center}
 
Les calculatrices sont autorisées.

\begin{center}
\Large Problème
\end{center}

La partie A est indépendante des parties B et C

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une banque propose un contrat d'assurance vie qui fonctionne de la façon suivante. À l'ouverture
du contrat en janvier 2016, le client dépose \np{5000}~euros. Le 31 décembre de chaque année, la banque
ajoute des intérêts à hauteur de 2\,\%. Puis chaque année, le 1\up{er} janvier, le client dépose 500 euros. Les intérêts produits une année engendrent eux-mêmes des intérêts les années suivantes.

On note $I_n$ le solde de l'assurance vie au 1\up{er} janvier de l'année $(2016 + n)$. Ainsi 

$I_0 = \np{5000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $I_1,\:I_2$ et $I_3$.
\item Montrer que pour tout entier $n,\: I_{n+1} = 1,02 I_n + 500$.
\item On note $\left(K_n\right)$ la suite définie pour tout $n$ par $K_n = I_n + \np{25000}$. Montrer que la suite $\left(K_n\right)$ est géométrique.
\item En déduire l'expression de $K_n$ puis celle de $I_n$ en fonction de $n$.
\item Justifier que la suite $\left(I_n\right)$ tend vers $+ \infty$. 

Écrire un algorithme permettant de déterminer l'année au bout de laquelle le solde de l'assurance serait supérieur à \np{20000} euros. Déterminer cette année.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour $x \geqslant 1$ par

\[f(x) = \dfrac{30x -16}{15x - 2}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(1)$. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire quant à la courbe représentative de $f$ ?
\item Montrer que pour tout  $x \geqslant 1$,

\[f'(x) = \dfrac{180}{(15x - 2)^2}.\]

\item Dresser le tableau de variation de $f$ pour  $x \geqslant 1$.
\item Représenter la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Un cadre de la banque envisage la commercialisation d'un produit financier dont la valeur, en centaines
d'euros à la fin de l'année $(2016 + n)$, serait modélisée par la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

\[u_0 = 1 \quad  \text{et pour tout entier }\:n,\: u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier $n,\: 1 \leqslant u_n \leqslant 2$.
\item On introduit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n$ par

\[v_n = \dfrac{15u_n - 20}{15u_n - 12}\]

	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi la suite $\left(v_n\right)$ est bien définie.
		\item Calculer $v_0,\: v_1$ et $v_2$.
		
Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de premier terme $- \dfrac{5}{3}$ et de raison $\dfrac{5}{9}$.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Après avoir donné l'expression de $u_n$ en fonction de $v_n$, démontrer que

\[u_n = \dfrac{4 \times  5^n + 4 \times 9^n}{5 \times 5^n + 3 \times 9^n}.\]

		\item Établir un algorithme permettant de déterminer la première année pour laquelle le taux de
variation de ce produit financier sera inférieur à 2\,\%.
Déterminer cette année.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\Large \textbf{Exercice : Vrai ou Faux}
\end{center}

\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item On dispose d'un dé à quatre faces bien équilibré, dont les faces sont numérotées de 1 à 4. Un
joueur qui lance le dé gagne 3 euros s'il tombe sur 4, 1 euro s'il tombe sur 1 et perd 2 euros sinon.

On note $G$ la variable aléatoire égale au gain du joueur.

\textbf{Proposition :} l'espérance de $G$ est nulle.
\item Une urne contient 15 chaussettes vertes et 5 chaussettes bleues. Une personne tire successivement
et sans remise deux chaussettes.

\textbf{Proposition :} la probabilité qu'il obtienne deux chaussettes de la même couleur, arrondie à
$10^{-3}$, est égale à $0,605$.
\item Une usine fabrique des assiettes en grande quantité. On admet que 4\,\% des assiettes fabriquées
sont cassées. On prélève au hasard $100$ assiettes, et on considère que le stock d'assiettes disponibles
est très important.

\textbf{Proposition :} la probabilité qu'au moins $99$ assiettes ne soient pas cassées est supérieure à $0,1$.
\item Soient $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère et (D) la tangente à cette courbe au point d'abscisse $0$.

\textbf{Proposition :} la courbe $(\mathcal{C})$ est au-dessus de la droite (D).
\item Dans un repère orthonormé, on note $(d)$ la droite, passant par A(2~;~1) et parallèle à la droite $(d')$ d'équation $x - 2y + 3 = 0$.

\textbf{Proposition :} $(d)$ a pour équation $y = \dfrac{x}{2}$.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \left(x^2 - 1\right) \ln (x)$.

\textbf{Proposition :} dans un repère orthonormé, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point
d'abscisse $1$ est horizontale.
\item Dans un repère orthonormé, on désigne par A, B et C les points de coordonnées A(1~;~3),B(6~;~4) et
C$(7~;~-1)$.

\textbf{Proposition :} le triangle ABC est rectangle isocèle.
\item \textbf{Proposition :} Pour tout réel $x,\: \sin(\pi - x) = \sin(x)$.
\item Soit $\left(u_n\right)$ une suite croissante minorée.

\textbf{Proposition :} la suite $\left(u_n\right)$ converge.
\item $f$ est une fonction définie sur $\R$, positive et croissante.

\textbf{Proposition :} La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est $+ \infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\floweroneright\hspace{1cm} \textbf{FIN} \hspace{1cm}\floweroneleft \end{center}
\end{document}
