%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Entrée à Sciences Po}
\lfoot{\small{3 mars 2013}}
%\rfoot{\small{mars 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} \Large \textbf{Entrée à Sciences Po}

\medskip

ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2013 

\textbf{MATHEMATIQUES}
 
durée de l'épreuve : 3h
\end{center}
 
Les calculatrices sont autorisées.

\medskip

{\large\textbf{Exercice Vrai-Faux}}

\begin{center}\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse}\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère la suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de premier terme $u_{0} = - 1$ et de raison $\dfrac45$, et on pose
$S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}$ pour tout entier naturel non nul $n$.

La suite $\left(S_{n}\right)$ converge vers $5$.
\item On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 1, u_{n+1} = 2u_{n} + 3$ et $v_{n} = u_{n} + 3$ pour tout entier naturel $n$.

La suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
\item On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 1, u_{n+1} = u_{n} + 1$ et 
$v_{n} = \text{e}^{- u_{n}}$ pour tout entier naturel $n$. 

La suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.
\item Une entreprise de sondage réalise une enquête par téléphone. On admet que la probabilité que la personne contactée accepte de répondre est égale à $0,2$.

Si un enquêteur contacte $50$ personnes, la probabilité qu'au moins six personnes acceptent de lui répondre est supérieure à $0,95$.
\item Toute suite non majorée diverge vers $+ \infty$.
\item L'équation $\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (2)$ admet le réel $1$ pour unique solution.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) =  (x + 1)^2\text{e}^{- x}$. 

La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$ est parallèle à la droite d'équation $y = 3x$.
\item L'équation $x^3 + 4x^2 + 4x = - 2$ a exactement trois solutions réelles.
\item Voici un algorithme :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|X|}\hline
Entrée& Saisir un entier naturel $a$\\ \hline
Traitement&Affecter à $n$ la valeur $1$ et à $c$ la valeur $1$\\
&Tant que $c < a$\\
&\qquad Affecter à $n$ la valeur $n + 1$.\\
&\qquad Affecter à $c$ la valeur $c + n^2$\\
&Fin du Tant que\\ \hline
Sortie& Afficher la valeur de $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Si on saisit pour $a$ la valeur $20$, alors la sortie vaut $4$.
\item On lance deux dés cubiques et non truqués. On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le plus grand des deux chiffres obtenus. 

L'espérance de la variable aléatoire $X$ est : E$(X) = \dfrac{161}{36}$. 
\end{enumerate}

\newpage

{\large\textbf{Problème}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) =  \ln \left[\dfrac{\text{e}}{2}\left(x + \dfrac{1}{x}\right)\right]\]

et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé (unité graphique 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]0~;~ +\infty[$ ainsi que les limites en $0$ et en $+ \infty$.
\item Montrer que l'axe des ordonnées du repère et la courbe $\Gamma$ d'équation $y = \ln \left(\dfrac{\text{e}}{2}x \right)$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$.
On rappelle que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ respectivement représentatives de deux fonctions $f$ et $g$ sont
asymptotes en $+ \infty$ si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) -  g(x)] =  0$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x) < 1$.
		\item Étudier le signe de $f (x) - x$ sur $]0~;~ +\infty[$ et en déduire la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la
droite $D$ d'équation $y = x$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $D$ ainsi que les courbes $\Gamma$ et $\mathcal{C}$ sur le même graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On se donne un réel $u_{0}$ supérieur ou égal à $1$. La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par la donnée de $u_{0}$ et de la relation
$u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est minorée par $1$.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est égale à 1.

On se propose dans cette partie d'étudier la rapidité de convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ vers sa limite.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire de la suite $\left(u_{n}\right)$ quand $u_{0}$ vaut 1 ?
\item Dans cette question on choisit la valeur $\dfrac{3}{2}$ pour $u_{0}$.

À l'aide de la calculatrice, donner les valeurs arrondies à $10^{- 6}$ près de $u_{1}, u_{2}, u_{3}$.

On suppose dans cette partie que le réel $u_{0}$ est strictement supérieur à $1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $t > - 1$ on a $\ln(1 + t) \leqslant t$. 
		\item Montrer que pour tout réel $h \geqslant 0$ on a
 
\[f(1 + h) - 1 = \ln \left(1 + \dfrac{h^2}{2(h + 1}\right).\]
  	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ par $v_{n} = u_{n} - 1$ pour tout entier naturel $n$.

Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1} \leqslant \dfrac{v_{n} ^2}{2}$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $0  \leqslant v_{n} \leqslant 2\left(\dfrac{v_{1}}{2} \right)^{2^{n - 1}}$.\item Dans cette question, on choisit à nouveau la valeur
$\dfrac{3}{2}$ pour $u_{0}$.

À partir de quel $p$ peut-on affirmer que $u_{p} - 1  \leqslant 10^{- 20}$ ?
\end{enumerate}
\end{document}