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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Corrigé du concours à l'entrée de l'école de santé\\ Lyon--Bordeaux}}
\rfoot{\small{1\up{er} avril 2022}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large {\textbf{\decofourleft~Entrée École de santé des armées 1\up{er} avril 2022~\decofourright}}}

\medskip

Durée: 1 heure 30 minutes \qquad  Coefficient: 2
\end{center}
\vspace{0,25cm}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{IMPORTANT}}\\
\begin{itemize}
\item L'utilisation de téléphone portable, de calculatrice, de règle à calculs, de formulaires, de papier millimétré est interdite.
\item Il est interdit de signer sa copie ou d'y mettre un signe distinctif quelconque.
\item Écrivez au stylo-bille, encre bleue ou noire, non effaçable. Attention, utilisation restreinte de blanc correcteur (de préférence, rayer l'erreur).
\item Vérifiez que ce fascicule comporte 7 pages dont une page de garde comprise.
\item Toutes les réponses aux QCM doivent être faites sur la grille de réponses jointe. Si le candidat répond aux QCM sur le fascicule ou la copie et non sur la grille, ses réponses ne seront pas prises en compte par le correcteur.
\item Pour chacun des QCM, les candidats doivent cocher les lettres des propositions qu'ils considèrent comme correctes. Il est demandé aux candidats de faire très attention au numéro de QCM quand ils « cochent» la grille de réponses jointe.
\item Il sera tenu compte de la qualité de la présentation de la copie et de l'orthographe. Aucun brouillon ne sera pris en compte.
\end{itemize}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}\textbf{EXERCICE 1 (6 points)}
\end{center}

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.

On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.

Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.

\bigskip

\textbf{QCM 1}

\medskip

Une suite $\left(u_n\right)$ est telle que pour tout entier naturel $n$, on a $1 \leqslant  u_{n+1} \leqslant u_n$, alors:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$&\textbf{B.~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$\\
\textbf{C.~} la suite $\left(u_n\right)$ converge&\textbf{D.~}la suite $\left(u_n\right)$ diverge\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 2}

\medskip

La suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 5 - \dfrac{1}{n^2 + 1}$ est : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~}décroissante sur $\N$&\textbf{B.~} croissante sur $\N$\\
\textbf{C.~}non monotone sur $\N$ &\textbf{D.~} minorée par 5 sur $\N$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 3}

\medskip

La suite $\left(S_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $S_n = 1 + \dfrac14 + \ldots + \dfrac{1}{4^n}$.

Alors la suite $\left(S_n\right)$ : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~} a pour limite 2 &\textbf{B.~} a pour limite $\dfrac43$.\\
\textbf{C.~} n'a pas de limite&\textbf{D.~} a pour limite $+\infty$
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{QCM 4}

\medskip
Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = \ln \left(\dfrac{x + 1}{x}\right)  - \dfrac{1}{x + 1}$.

La dérivée de la fonction $f$ a pour expression :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~} $\dfrac{x}{x + 1} - \dfrac{1}{(x + 1)^2}$&\textbf{B.~} $-\dfrac{1}{x(x + 1)}$\\
\textbf{C.~} $-\dfrac{1}{x(x + 1)} + \dfrac{1}{(x + 1)^2}$&\textbf{D.~}$- \dfrac{1}{x(x + 1)^2}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 5}

\medskip

Soit $E= \dfrac{\text{e}^{1 + \ln 2}}{3\text{e}^{1 + \ln 3}}$. Alors $E$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~} $\dfrac14$&\textbf{B.~}$\dfrac{\text{e} + 2}{\text{e} + 9}$&
\textbf{C.~} $\dfrac29$&\textbf{D.~} $\dfrac13$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 6}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \cos^2 (x) - 2\cos(x)$. 

La dérivée de la fonction $g$ a pour expression :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~} $\sin^2 (x) + 2\sin(x)$&\textbf{B.~} $-2 \cos (x) \sin (x) + 2\sin (x)$\\
\textbf{C.~} $2\sin (x)[\cos (x) - 1]$&\textbf{D.~} $2\sin^2 (x) - 2\sin (x)$
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{EXERCICE 2 (6 points)}
\end{center}

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.

On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case sur la grille prévue à cet effet.
 
Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point.

Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.

\medskip

\textbf{QCM 7}

\medskip

La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = x\text{e}^{2x}$.

Une primitive sur $\R$ de $h$ a pour expression : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~} $H(x) = \dfrac{x^2\text{e}^{2x}}{4}$&\textbf{B.~} $H(x) = (2x +1)\text{e}^{2x}$\\
\textbf{C.~} $H(x) = \dfrac{x}{2}\text{e}^{2x}$&\textbf{D.~} $H(x) = \left(\dfrac12 x - \dfrac14\right)\text{e}^{2x}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 8}

\medskip

L'intégrale $\displaystyle\int_0^3 \left(\text{e}^x + 2x - 5\right)\:\text{d}x$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~}  $\text{e}^3 + 1$ &\textbf{B.~}  $\text{e}^3 + 4$ &\textbf{C.~} $\text{e}^3 - 7$ &\textbf{D.~} $\text{e}^3 - 1$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 9}

\medskip

Le plan ayant pour vecteur normal $\vect{n}(-1~;~3~;~2)$ et passant par le point A$(- 1~;~0~;~0)$ a pour équation cartésienne :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~} $-x - 3y + 2z - 5 = 0$	&\textbf{B.~} $-x +3y+2z+2=0$\\
\textbf{C.~} $x - 3y - 2z + 1 = 0$ 			&\textbf{D.~} $x + 3y - 2z + 1 = 0$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 10}

\medskip

La couverture vaccinale contre la diphtérie-tétanos est de 90\,\% chez les jeunes de 15 ans.

Lors d'un sondage de la population des jeunes de 15 ans, on interroge au hasard $50$ jeunes en une journée sur la vaccination contre la diphtérie-tétanos.

La population des jeunes de 15 ans est suffisamment importante pour assimiler ce sondage à un tirage avec remise.

Soit $X$ la variable aléatoire dénombrant les jeunes de $15$ ans vaccinés contre la diphtérie- tétanos parmi les $50$ jeunes interrogés.

\medskip

\textbf{A.~} La probabilité qu'aucun des jeunes de 15 ans ne soit vacciné est égale à $50 \times  10^{-49}$

\textbf{B.~} En moyenne, 45 jeunes parmi les 50 jeunes sont vaccinés

\textbf{C.~} La probabilité que tous les jeunes de $15$~ans soient vaccinés parmi les $50$ jeunes interrogés a une valeur voisine de 1

\textbf{D.~} $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n = 15$ et $p = 0,9$

\medskip

\textbf{QCM 11}

\medskip

Soit la fonction $f$définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln (x)}{\ln (10)}$, alors: 

\medskip

\textbf{A.~} pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[$, $f(x) = \dfrac{x}{10}$

\textbf{B.~} pour tout entier naturel $n$ non nul, $f\left(3^n\right) = 3f(n)$ 

\textbf{C.~} $f\left(\dfrac13 \right) = 1 - f(3)$

\textbf{D.~} pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[$,\: $f(3x) = f(3) + f(x)$

\medskip

\textbf{QCM 12}

\medskip

Pour se préparer aux partiels, les étudiants de première année passent deux examens blancs. 

40\,\% d'entre eux réussissent le premier examen blanc.

La probabilité d'échouer au deuxième examen blanc est $0,9$ si l'étudiant a échoué au premier et $0,2$ si le premier a été réussi.

\medskip

\textbf{A.~} La probabilité qu'un étudiant réussisse les deux examens blancs est strictement supérieure à $0,4$

\textbf{B.~} La probabilité qu'un étudiant réussisse le deuxième examen blanc est strictement supérieure à $0,74$

\textbf{C.~} Si un étudiant réussit le deuxième examen blanc, la probabilité qu'il ait également réussi le premier examen blanc est strictement supérieure à $0,4$

\textbf{D.~} Si un étudiant échoue au deuxième examen blanc, la probabilité qu'il ait également échoué au premier examen blanc est strictement inférieure à $0,75$.


\begin{center}\textbf{EXERCICE 3 \hfill 8 points}
\end{center}

Pour cet exercice, on donne $\ln (2) \approx 0,7 \:;\quad \ln (\np{0,0005}) \approx -7,6\:;\quad  \sqrt{\np{0,0736}} \approx 0,27$. 

\medskip

Un patient consulte un oncologue pour un problème de cellules cancéreuses.

\bigskip

\textbf{Partie A : test}

\medskip

L'oncologue commence par faire un test pour savoir si la tumeur est opérable ou non. Pour cela, il mesure le temps $t_0$ (en heures) mis pour que la quantité $q$ d'une certaine substance $S_0$ injectée dans l'organe malade atteigne son maximum.

Puis il applique la règle de décision suivante :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Si $t_0 < 20$, la tumeur est opérable
\item[$\bullet~~$]Si $t_0 \geqslant 20$, la tumeur n'est pas opérable
\end{itemize}

\medskip

On note $q(t)$ la quantité, exprimée en milligrammes, de la substance $S_0$ dans l'organe malade, à l'instant $t$, en heures. On sait que la fonction $q$ est solution de l'équation différentielle :

\[(E) : \qquad 2y' + y = -0,001t + 3,998\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$ définie, dérivable sur l'intervalle $[0~;~100]$ et $y'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $\left(E_0\right) \::\: 2y' + y = 0$ sur l'intervalle [0~;~100].
				\item Déterminer les deux réels $a$ et $b$ de l'intervalle [0~;~100] tels que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~100] par $g(t) = at + b$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
		\item En déduire les solutions $q$ de $(E)$ sur l'intervalle [0~;~100].
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la solution $q$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $q(0) = 0$ est la fonction définie sur l'intervalle [0~;~100] par 
		
\[q(t) = 4 - 0,001t - 4\text{e}^{- \frac t2}.\]
		\item Étudier les variations de $q$ sur l'intervalle [0~;~100].
		\item Donner une valeur $t_0$, approchée au dixième, pour laquelle $q$ est maximale.
		
Quelle est la décision de l'oncologue ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : récidive}

\medskip

Après l'opération, l'oncologue effectue un prélèvement sur les tissus voisins de la tumeur enlevée, qu'il envoie à un laboratoire d'analyses. 

Ce laboratoire injecte dans le prélèvement une substance $_1$ composée de \np{1000} cellules de type A.

On note $N(t)$ le nombre de cellules de type A à l'instant $t$,\: $t$ étant exprimé en jours. 

On sait que $N(t) = \np{1000}\text{e}^{rt}$ où $r$ est un nombre réel donné ne dépendant que du prélèvement du patient à la date $0$.

Puis il applique la règle de décision suivante :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si le temps mis, pour avoir \np{2000} cellules de type A dans le prélèvement, excède 10 jours, on dira que le risque de récidive est élevé.
\item[$\bullet~~$] dans le cas contraire, on dira que ce risque est modéré.
\end{itemize}

Le laboratoire analyse le prélèvement du patient et annonce que le nombre de cellules de type A a quadruplé au bout de $28$ jours.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur exacte de $r$.
\item Quel est le risque de récidive pour ce patient ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : chimiothérapie}

\medskip

L'oncologue propose de compléter l'opération par une chimiothérapie. Lors d'un traitement par chimiothérapie en intraveineuse, la concentration du médicament dans l'organisme, exprimée en $\mu$mol.L$^{-1}$ (en micromole par litre), peut être modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $c$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
\[c(t) = \dfrac DK\left(1 - \text{e}^{- \frac{Kt}{80}} \right)\]
où

\begin{itemize}
\item[$*~~$]$D$ est un réel positif représentant le débit d'écoulement du médicament dans la perfusion, exprimé en micromole par heure,
\item[$*~~$]$K$ est un réel positif qui représente la clairance du patient, exprimée en litre par heure.
\end{itemize}

La clairance est la capacité d'un patient à éliminer plus ou moins vite le médicament de son organisme. Elle est propre à chaque individu et est inconnue au début du traitement. Il est nécessaire de la déterminer afin que le médecin puisse adapter le traitement au patient en ajustant le débit $D$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Détermination de la clairance} :

Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes :  on règle le débit de la perfusion sur $120~\mu$mol. h$^{-1}$ ; au bout de $6$ heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament qui est égale à $4,5~\mu$mol. L$^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la clairance $K$ du patient est solution de l'équation:
		
\[120\left(1 - \text{e}^{- \frac{3x}{40}}\right)  - 4,5x = 0.\]

		\item Démontrer que cette équation admet une solution unique sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
On prendra $K = 21$ pour la suite du problème.
\item \emph{Réglage du débit} :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite $\ell$ de la fonction $c$ en $+ \infty$ en fonction du débit $D$.
		\item La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite $\ell$.
		
Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être égale à $10~\mu$mol.L$^{-1}$.

En déduire la valeur du débit $D$, à régler par le médecin.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}