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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\Épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{mai 2022}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole mai 2022~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}}

\medskip

\textbf{Épreuve obligatoire}

\vspace{0,25cm}

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Aucune justification n'est demandée.\\
Pour chaque question, une seule affirmation est exacte.\\
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondante à l'affirmation exacte.\\
Une réponse exacte vaut $1$ point. Une réponse fausse ou une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Soit $a$ et $b$ des entiers naturels tels que $a \equiv 2\: [7]$ et $b \equiv 4\:[7]$.

À quelle valeur $(a + b)^{2022}$ est-il congru modulo $7$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~}1 &\textbf{B :~~} : 6&\textbf{C :~~}4&\textbf{D :~~}$-4$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Soit $E = \{a~;~ b~;~c~;~d\}$ et $F = \{1~;~2~;~3\}$ deux ensembles.

Soit $f$ l'application de $E$ dans $F$ définie par le diagramme suivant:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,3.5)
\psellipse(0.6,1.7)(0.6,1.7)\psellipse(3.9,1.7)(0.6,1.7)
\psline{->}(0.8,2.7)(3.6,2.05)\uput[l](0.8,2.7){a}\uput[r](3.7,2){2}
\psline{->}(0.8,1.9)(3.7,2.7)\uput[l](0.8,1.9){b}\uput[r](3.7,2.7){1}
\psline{->}(0.8,1.2)(3.7,1)\uput[l](0.8,1.2){c}\uput[r](3.7,1){3}
\psline{->}(0.8,0.4)(3.6,1.95)\uput[l](0.8,0.4){d}\uput[r](3.7,2){2}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~}$f$ est injective et non surjective. &\textbf{B :~~} $f$ est surjective et non injective.&\textbf{C :~~}f est bijective.&\textbf{D :~~}f est non injective et non surjective.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Soit le nombre $343$ écrit en base dix. Son écriture en base seize est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~}217&\textbf{B :~~}A3C&\textbf{C :~~}F7&\textbf{D :~~}157
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Soit $n$ un entier relatif.

On considère l'égalité matricielle: $\begin{pmatrix}3&4&5\\-2&1&2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&4\\- 1&n\\3&- 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14&-22\\3&- 18\end{pmatrix}$.

Elle est vérifiée pour :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~}$n = - 3$&\textbf{B :~~}$n = 4$&\textbf{C :~~}$n = - 6$&\textbf{D :~~}$n = 5$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

Soit $P$ la proposition : \og \emph{Si la télévision est allumée alors quelqu'un la regarde}. \fg

Parmi les expressions suivantes laquelle est équivalente à $P$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~}Si la télévision n'est pas allumée
alors personne ne la regarde.&\textbf{B :~~}Si la télévision est allumée alors
personne ne la regarde&\textbf{C :~~}Si personne ne regarde la télévision alors la télévision n'est pas allumée.&\textbf{D :~~}Si personne ne regarde la télévision
alors la télévision est allumée.
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner tous les nombres premiers inférieurs à 25.
\item Le nombre $623$ est-il un nombre premier ? Justifier.
\item Donner tous les diviseurs de 105.
\item On considère l'algorithme ci-dessous écrit en langage naturel où Div désigne une
fonction de paramètre Nbre, Nbre étant un nombre entier supérieur ou égal à 2.

\smallskip

Algorithme en langage naturel:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Fonction} Div(Nbre)\\
\qquad Test $\gets  0$\\
\qquad \textbf{Pour} i allant de 1 à Nbre \textbf{Faire}\\
\qquad \quad \textbf{Si} le reste de la division de Nbre par i est égal à 0 \textbf{Faire}\\
\qquad \qquad Test $\gets$ Test + 1\\
\qquad \quad \textbf{Fin de Si}\\
\qquad \textbf{Fin de Pour}\\
\qquad Retourner Test\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Que renvoie Div(6) ? Justifier en expliquant le rôle de cette fonction.
		\item Écrire une fonction Prem de paramètre Nbre, où Nbre est un nombre entier supérieur ou égal à 2, qui renvoie Vrai (ou True) si Nbre est premier, Faux (ou
False) si Nbre n'est pas premier. 

On pourra utiliser la fonction Div.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un professeur de lycée souhaite aménager une salle de cours en salle vidéo pour l'option cinéma. Le professeur, responsable du projet, définit les tâches à réaliser avec leur durée.

Le tableau suivant regroupe l'ensemble de ces données.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Tâche à réaliser&Repère&Durée en semaines&Tâches précédentes\\ \hline
Acceptation du projet par l'administration.&A&2&\\ \hline
Acceptation du projet par la région.&B&3&\\ \hline
Préparation de la salle.&C&6&A\\ \hline
Câblage électrique de la salle.&D&7&C, E\\ \hline
Choix du matériel vidéo.&E&4&A, B\\ \hline
Commande du matériel vidéo.&F&6&E\\ \hline
Installation du matériel vidéo.&G&2&D, F \\ \hline
Test et réglage du matériel vidéo.&H&1&G\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le but de cet exercice est d'ordonner la réalisation de ces tâches de façon à ce que la salle soit disponible le plus rapidement possible. 

On considère le graphe orienté correspondant
aux conditions d'antériorité données par le tableau précédent. 

Les sommets A, B, C, D, E, F{}, G et H représentent les repères des tâches à réaliser.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le niveau de chacun des sommets du graphe.
\item Donner le tableau des successeurs de chacun des sommets du graphe.
\item Construire le graphe d'ordonnancement du projet (Méthode P{}. E. R. T. ou M. P{}. M.).
\item Déterminer, pour chaque tâche, les dates au plus tôt et au plus tard.
\item En déduire le chemin critique et la durée minimale de réalisation du projet.
\item La tâche E prend une semaine de retard.

Quelle est l'incidence de ce retard sur la durée totale de ce projet ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le gestionnaire du lycée considère que le projet est envisageable lorsqu'il satisfait à l'une
au moins des conditions suivantes :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Le matériel vidéo est acheté dans un magasin local et est de fabrication française.
\item[$\bullet~~$]Le matériel vidéo n'est pas de fabrication française et il coûte moins de 500 euros;
\item[$\bullet~~$]Le matériel vidéo  n'a pas été acheté dans un magasin local, est de fabrication
française et a coûté moins de 500 euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On définit les variables $a,\;b,\:c$ de la façon suivante:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$a$ le matériel vidéo coûte moins de 500 euros et $\overline{a}$ le matériel vidéo
coute 500 euros ou plus ;
\item[$\bullet~~$]$b$ le matériel vidéo est acheté dans un magasin local et $\overline{b}$  le matériel vidéo  n'est pas acheté dans un magasin local.
\item[$\bullet~~$]$c$  le matériel vidéo est de fabrication française et $\overline{c}$ le matériel vidéo n'est pas de fabrication française.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire une expression booléenne $E$ traduisant que le projet est envisageable, à l'aide des variables booléennes $a,\: b,\: c$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'un tableau de Karnaugh, déterminer une écriture simplifiée de $E$ à deux
termes.
		\item En déduire une interprétation simplifiée des conditions pour que le projet soit
envisageable.
	\end{enumerate}
\item Dans le projet présenté, le matériel vidéo coûte plus de $500$ euros, n'est pas de fabrication française mais sera acheté localement.

Ce projet est-il envisageable ?
\end{enumerate}
\end{document}