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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie}
\lfoot{\small{Informatique de gestion épreuve facultative}}
\rfoot{\small{mai  2013}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\Services informatiques aux organisations\\session mai 2013}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie, on arrondira les résultats au centième.}

\medskip
 
Le nombre d'internautes en France est donné (en millions) dans le tableau suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2001 &2003 &2005 &2007 &2009 &2011\\ \hline 
$x$ : rang de l'année& 1 &3 &5 &7 &9 &11\\ \hline 
$y$ : nombre d'internautes (en millions) &12,86 &20,67 &25,07 &29,55 &33,64 &39,36\\ \hline 
\multicolumn{7}{r}{\emph{Source: d'après Médiamétrie}}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner le coefficient de corrélation linéaire entre les séries $x$ et $y$. Arrondir le résultat au centième. 
\item On envisage un ajustement affine. Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. 
Arrondir les coefficients au centième. 
\item En utilisant l'équation précédente, estimer le nombre d'internautes en 2015, en arrondissant le résultat au demi-million.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie, on arrondira les probabilités au millième.}

\medskip
 
Dans un lycée, le foyer des lycéens a dénombré les élèves utilisant l'internet mobile. La répartition de ces élèves est donnée dans le tableau suivant. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&Filles &Garçons &Total\\ \hline 
Utilisent l'internet mobile &148 &171 &319\\ \hline 
N'utilisent pas l'internet mobile &81 &50 &131\\ \hline 
Total &229 &221 &450\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard une fiche dans le fichier des élèves du lycée. On admettra que toutes les fiches ont la même probabilité d'être prélevées. 
On note :
\begin{itemize}
\item $G$ l'évènement : \og la fiche prélevée est celle d'un garçon \fg{} ; 
\item $M$ l'évènement : \og la fiche prélevée est celle d'un élève utilisant l'internet mobile \fg.
\end{itemize}
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de prélever la fiche d'un garçon. 
		\item Montrer que la probabilité de prélever la fiche d'un garçon utilisant l'internet mobile est égale à $0,38$. 
		\item Calculer la probabilité de prélever la fiche d'une fille, sachant que l'élève correspondant n'utilise pas l'internet mobile. 
		\item Calculer la probabilité $P_{M}(G)$ et interpréter le résultat.
	\end{enumerate}  
\item On prélève au hasard et avec remise 40 fiches dans le fichier des élèves du lycée. On admettra que toutes les fiches ont la même probabilité d'être prélevées.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de garçons utilisant l'internet mobile parmi les fiches prélevées. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 40$ et $p = 0,38$. 
		\item Calculer la probabilité $P(8 \leqslant X \leqslant 10)$.
	\end{enumerate} 
\item On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par celle d'une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale. 
	\begin{enumerate}
		\item On choisit pour paramètres de la loi normale $m = 15,2$ et $\sigma = 3,1$. 
Justifier ce choix. 
		\item En utilisant cette approximation, calculer la probabilité que, parmi les 40 fiches prélevées, le nombre de garçons utilisant l'internet mobile soit supérieur ou égal à $8$ et inférieur ou égal à $10$, c'est-à-dire calculer 

$P(7,5 \leqslant Y \leqslant 10,5)$. 
		\item Calculer $P(Y \geqslant 10,5)$. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	 
\emph{On donne ci-après deux tables de valeurs.}

\medskip
 
Table de valeurs d'une variable aléatoire $U$ qui suit une loi binomiale de paramètres $n = 40$ et $p = 0,38$ : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$ &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13\\ \hline 
$P(U = k)$ &\np{0,0010} &\np{0,0030} &\np{0,0076} &\np{0,0166} &\np{0,0315} &\np{0,0526} &\np{0,0779} &\np{0,1028}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip
 
Table de valeurs d'une variable aléatoire $V$ qui suit la loi normale de paramètres $m = 15,2$ et $\sigma = 3,1$ :

\medskip

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$a$ &6,5 &7,5 &8,5 &9,5 &10,5 &11,5\\ \hline 
$P(V \leqslant a)$ &0,0025 &0,0065 &0,0153 &0,0330 &0,0647 &0,1163\\ \hline 
\end{tabularx} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise pharmaceutique fabrique un sirop contre la toux. Sa production journalière ne peut pas dépasser $160$~litres.
 
Le coût total de production est modélisé par la fonction $f$ définie pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~16] par : 

\[f(x) = 0,4x+ \text{e}^{- 0,4x + 2},\]

où $x$ est exprimé en dizaines de litre et $f(x)$ en centaines d'euro.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelques valeurs
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~16]. 

On arrondira les valeurs au centième.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0&1&3&5&7&9&11&13&15&16\\ \hline
$f(x)$&7,39&$\cdots$&$\cdots$&&&&&&$\cdots$&6,41\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item Quel est le coût pour une fabrication journalière de $90$~litres de sirop ?
	\end{enumerate} 
\item Étude des variations du coût total de production 
	\begin{enumerate}
		\item On a obtenu une expression de la dérivée de la fonction $f$ à l'aide d'un logiciel de calcul formel : $f'(x) = 0,4\left(1 - \text{e}^{-0,4x+2}\right)$. 

Justifier ce résultat. 
		\item Résoudre l'inéquation $1 - \text{e}^{-0,4x+2} > 0$ dans l'intervalle [0~;~16]. 

En déduire le signe de $f'(x)$ dans l'intervalle [0~;~16]. 
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~16].
		 
On arrondira les valeurs au centième. 
		\item Combien de litres faut-il produire pour que le coût total de production soit minimal ?
		 
Quel est alors le coût minimal de production ?
	\end{enumerate} 
\item Représentation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~16] 

En utilisant les résultats des questions 1 et 2, représenter graphiquement la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~16] dans un repère orthonormé. 

On prendra 1~cm pour unité sur chacun des deux axes. 
\item Étude graphique du bénéfice
 
Chaque litre de sirop est vendu $7,50$~\euro. On suppose que toute la production est vendue. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour la production et la vente de $x$ dizaines de litres, on note $g(x)$ le chiffre d'affaire réalisé, en centaines d'euro. Vérifier que $g(x) = 0,75 x$. 
		\item Tracer dans le même repère que précédemment la représentation graphique de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~16]. 
		\item Déterminer graphiquement à partir de quelle quantité de sirop produit et vendu, exprimée en litre, l'entreprise réalise un bénéfice journalier. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}