\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox,graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{pifont}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{scratch}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {},
pdftitle = { 2013},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\thispagestyle{empty}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2013~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE COMMUNE OBLIGATOIRE}

\bigskip

\textbf{\large QUESTIONS LIÉES}


1 à 7

8 à 11

13 à 19

20 à 25

\bigskip

\textbf{\large PARTIE I}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle I $= [- 5~;~5]$ par $f(x) = x(x+1) \text{e}^{-2x}$, e désignant le  nombre de Neper.\\
Soient $\alpha$ un nombre réel strictement compris entre $0$ et $1/2$ et $\beta$ un nombre réel strictement compris entre $-2$ et $- 1$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Question 1 :} La fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout $x$ appartenant à
l'ensemble I par

\medskip

\textbf{A.~~} $f'(x) =-(x + 1) \text{e}^{-x}$

\textbf{B.~~} $f'(x) =- 2(2x+1) \text{e}^{-2x}$

\textbf{C.~~} $f'(x) = \left(-2x^2 + 1\right) \text{e}^{-x}$

\textbf{D.~~} $f'(x) = \left(x^2 + 3x + 1\right) \text{e}^{-2x}$

\bigskip

\textbf{Question 2 :} La fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ a pour valeur, au point $x = 0$

\medskip

\textbf{A.~~} $f'(0) = 0$
 
\textbf{B.~~} $f'(0) = 1$

\textbf{C.~~} $f'(0) = -2$

\textbf{D.~~} $f'(0) = - 1$

\bigskip

\textbf{Question 3 :} On note $C_f$ la courbe représentant la fonction $f$ dans un repère orthonormé. On a

\medskip

\textbf{A.~~} $C_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $\frac{-1}{\sqrt{2}}$

\textbf{B.~~} $C_f$ admet une tangente verticale au point d'abscisse $\frac{1}{\sqrt{2}}$

\textbf{C.~~} $C_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $\frac{1}{\sqrt{2}}$

\textbf{D.~~} $C_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $- 1$

\bigskip

\textbf{Question 4 :} La fonction $f$ est

\medskip

\textbf{A.~~} croissante sur [0~;~5]

\textbf{B.~~} décroissante sur [-5~;~0]

\textbf{C.~~} croissante sur l'intervalle $\left[\frac{-1}{\sqrt{2}}~;~\frac{1}{\sqrt{2}}\right]$ et décroissante sur les intervalles
$\left[-5~;~\frac{-1}{\sqrt{2}}\right]$ et $\left[\frac{1}{\sqrt{2}}~;~5\right]$

\textbf{D.~~} décroissante sur l'intervalle $\left[\frac{-1}{\sqrt{2}}~;~\frac{1}{\sqrt{2}}\right]$ et croissante sur les intervalles $\left[-5~;~\frac{-1}{\sqrt{2}}\right]$ et $\left[\frac{1}{\sqrt{2}}~;~5\right]$

\bigskip

\textbf{Question 5 :} On en déduit que

\medskip

\textbf{A.~~} $f(\alpha) > 0 > f(\beta)$ car la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle I

\textbf{B.~~} $f(-2) > f(\alpha) > 0$ car la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $\left[-5~;~\frac{-1}{\sqrt{2}}\right]$

\textbf{C.~~} $f(0) > f(\alpha) > 3\text{e}^{-1}$ car la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle 
$\left[0~;~\frac{1}{\sqrt{2}}\right]$

\textbf{D.~~} $f(0) < f(\alpha) < 3/4\text{e}$ car la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\frac{1}{\sqrt{2}}\right]$

\bigskip

\textbf{Question 6 :}

\medskip

On établit que l'équation  $f(x) = 0$

\medskip

\textbf{A.~~}n'admet pas de solution sur l'intervalle $[\alpha~;~5]$

\textbf{B.~~}n'admet pas de solution sur l'intervalle $[\beta~;~5]$

\textbf{C.~~}admet deux solutions sur l'intervalle $[\beta~;~\alpha]$

\textbf{D.~~}n'admet qu'une solution sur l'intervalle $[\beta~;~\alpha]$

\bigskip

\textbf{Question 7 :} On montre que la fonction $f$

\medskip

\textbf{A.~~} admet un maximum au point d'abscisse $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

\textbf{B.~~} admet un minimum au point d'abscisse $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

\textbf{C.~~} admet un minimum au point d'abscisse $x = \frac{1}{\sqrt{2}}M$

\textbf{D.~~} admet un minimum au point d'abscisse $x = 0$

\bigskip


\begin{center}
\textbf{\Large PARTIE II}\end{center}

Un organisme de jeu va récompenser un heureux gagnant. Celui-ci doit faire le choix entre les
deux propositions suivantes pour lesquelles il s'agit à chaque fois d'une somme d'argent versée
annuellement, et ceci à partir de l'année 2012 et pendant 10 ans. Le bénéfice du jeu se
terminera par conséquent en 2021, et le gagnant touchera alors le dernier versement. S'il
choisit la proposition A, il touchera \np{30000}~euros en 2012, puis chaque année, la somme versée
augmentera de 5\,\% par rapport à l'année précédente.

En choisissant la proposition B, \np{30000}~euros lui seront versés en 2012, puis chaque année, la
somme versée sera augmentée de \np{1750}~euros par rapport à l'année précédente.

Pour l'aider à choisir la solution la plus avantageuse, on note $a_n$ la somme, en euros, versée
pendant l'année $2012 + n$ s'il choisit la proposition A et $b_n$ la somme, en euros, versée pendant
l'année $2012 + n$ s'il choisit la proposition B.

\bigskip

\textbf{Question 8 :} On a

\medskip

\textbf{A.~~} $a_0 = bo = \np{30000}$

\textbf{B.~~} $a_1 = b_1 = \np{30000}$

\textbf{C.~~} $a_9$ et $b_9$ correspondent aux sommes versées en 2020

\textbf{D.~~} $a_9$ et $b_9$ et correspondent aux sommes versées en 2021

\bigskip

\textbf{Question 9 :} On établit que

\medskip

\textbf{A.~~} $a_{n+1} = 0,95 a_n$ pour tout $n$ entier naturel

\textbf{B.~~} $a_{n+1} = a_n + 0,05$ pour tout $n$ entier naturel

\textbf{C.~~} $b_{n+1} = b_n + 0,05 b_n$ pour tout $n$ entier naturel

\textbf{D.~~} $b_{n+1} = \np{1750} b_n$ pour tout $n$ entier naturel

\bigskip

\textbf{Question 10 :} On en déduit que

\medskip

\textbf{A.~~} la suite $\left(a_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $1,05$ et de premier terme 80-30000

\textbf{B.~~} la suite $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,05$ et de premier terme 80-30000

\textbf{C.~~} la suite $\left(a_n\right)$ est une suite arithmétique de raison \np{1750} et de premier terme $a_0 = \np{30000}$

\textbf{D.~~} la suite $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1750}et de premier terme $b_0 = \np{30000}$

\bigskip

\textbf{Question 11 :} On a

\medskip

\textbf{A.~~} $a_n \leqslant b_n$ pour tout $n$ entier naturel

\textbf{B.~~} $b_n \leqslant a_n$ pour tout $n$ entier naturel

\textbf{C.~~} $an < b_n$, pour tout $n$ entier naturel non nul

\textbf{D.~~} $a_9 > b_9$

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\Large PARTIE III} \end{center}

\medskip

Le concombre est composé de masse solide et d'eau. Un concombre de $300$~grammes est
cueilli à 98\,\% d'eau. Après transport, à la livraison, il ne contient plus que 97\,\% d'eau.

\bigskip

\textbf{Question 12 :} La masse de ce concombre à la livraison est

\medskip

\textbf{A.~~} $200$ grammes

\textbf{B.~~} $300$ grammes

\textbf{C.~~} $6$ grammes

\textbf{D.~~} $9$ grammes

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\Large PARTIE IV} \end{center}

\medskip

Une année scolaire donnée, on compte \np{300000} étudiants dans l'enseignement supérieur en
classe préparatoire aux grandes écoles (CPGE) ou en section de techniciens supérieurs (STS).

Parmi l'ensemble de ces étudiants, on compte \np{180000} garçons.

25\,\% des garçons sont en CPGE

80\,\% des filles sont en STS

On choisit un de ces étudiants au hasard et on suppose que chaque étudiant a la même
probabilité d'être choisi. On définit les évènements suivants:

$A$ : \og l'élève choisi est en CPGE \fg

$G$ : \og l'élève choisi est un garçon \fg

On note respectivement $\overline{A}$ et $F = \overline{G}$ les évènements contraires des évènements $A$ et $G$.

\bigskip

\textbf{Question 13 :} On en déduit que

\medskip

\textbf{A.~~} seuls \np{45000} élèves sont en CPGE

\textbf{B.~~} moins de \np{70000} élèves sont en CPGE

\textbf{C.~~} moins de \np{60000} élèves sont en CPGE

\textbf{D.~~} plus de \np{70000} élèves sont en CPGE

\bigskip

\textbf{Question 14 :} La probabilité de l'évènement

\medskip

\textbf{A.~~} $G$ vaut $P(G) = \dfrac{3}{5}$

\textbf{B.~~} $G$ vaut $P(G)= \dfrac{1}{6}$

\textbf{C.~~} $\overline{G}$ vaut $P\left(\overline{G}\right) = 1 - P(G) = \dfrac{5}{6}$

\textbf{D.~~} $\overline{G}$ vaut $P\left(\overline{G}\right) = \dfrac{2}{3}$

\bigskip

\textbf{Question 15 :} L'évènement

\medskip

\textbf{A.~~} $A \cap G$ représente l'évènement \og l'élève choisi est un garçon ou est en CPGE \fg

\textbf{B.~~} $A \cap G$ représente l'évènement \og l'élève choisi est un garçon et est en CPGE \fg

\textbf{C.~~} $A \cup G$ représente l'évènement \og l'élève choisi est un garçon et est en CPGE \fg

\textbf{D.~~} $A \cup G$ représente l'évènement \og l'élève choisi est un garçon ou est en CPGE \fg

\bigskip

\textbf{Question 16 :} La probabilité que l'élève choisi soit un garçon en CPGE est égale à

\medskip

\textbf{A.~~} $p(G \cap A) = P(G) P_G(A) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{20}$

\textbf{B.~~} $p(G \cap A) = P(G)/P_G(A) = \dfrac{3}{5} / \dfrac{1}{4} = \dfrac{12}{5}$

\textbf{C.~~} $P_G(A)= \dfrac{1}{4}$

\textbf{D.~~} $P_A(G) = \dfrac{1}{5}$

\bigskip

\textbf{Question 17 :} La probabilité que l'élève choisi soit une fille en CPGE est égale à

\medskip

\textbf{A.~~} $p(F \cap A) = 1- p(G \cap A) = 1 - P(G) P_G(A) = 1 - \dfrac{3}{20}  = \dfrac{17}{20}$

\textbf{B.~~} $P(F \cup  A) = 1 - p(G \cap A) = 1 - P(G) P_G (A) = 1 - \dfrac{3}{20}  = \dfrac{17}{20}$

\textbf{C.~~} $1- P_G(A) = \dfrac{3}{4}$

\textbf{D.~~} $P_F(A) = \dfrac{1}{5}$

\bigskip

\textbf{Question 18 :} La probabilité que l'élève choisi soit en CPGE est égale à

\medskip

\textbf{A.~~} $P(A) = P(G \cup  A) +P(F \cup A)$ d'après le théorème des probabilités totales

\textbf{B.~~} $P(A = P(G \cap A) + P(F \cap  A)$ d'après le théorème des probabilités totales

\textbf{C.~~} $P(A = \dfrac{3}{20} + \dfrac{2}{25} = 0,23$

\textbf{D.~~} $P(A) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{9}{20} = 0,45$

\bigskip

\textbf{Question 19 :} On en déduit que

\medskip

\textbf{A.~~} $P_A(G) = p(G \cap  A)/P(A) = \dfrac{15}{23}$

\textbf{B.~~} $P_A(G) = p(G \cap  A)P(A) = \dfrac{69}{\np{2000}}$

\textbf{C.~~} $P_{\overline{A}}(F) = P\left(F \cap \overline{A}\right)/(1 -P(A)) = \dfrac{32}{77}$

\textbf{D.~~} $P_{\overline{A}}(F) = 1 - P_A(G) = 1 - (\dfrac{15}{23}) =\dfrac{8}{23}$

\medskip

\begin{center}\textbf{\Large PARTIE V} \end{center}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle J $= \left[\dfrac{1}{2}~;~8\right]$ par 

\[g(x) = 2x - 3 - 4\ln(x),\]

ln désignant la fonction logarithme. 

On note $C_g$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

\bigskip

\textbf{Question 20 :} La fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ est définie pour tout $x$ appartenant à
l'intervalle J par

\medskip

\textbf{A.~~} $g'(x) = 2 - 4\dfrac{\ln(x)}{x}$

\textbf{B.~~} $g'(x) = \dfrac{2(x - 2)}{x}$.

\textbf{C.~~} $g'(x) = 2(1 - 2x)$

\textbf{D.~~} $g'(x) = - \dfrac{(x+4)}{x}$

\bigskip

\textbf{Question 21 :} La fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$

\medskip

\textbf{A.~~} ne s'annule pas sur J

\textbf{B.~~} s'annule en 2 points de l'intervalle J

\textbf{C.~~} s'annule au point d'abscisse $x= \dfrac{1}{2}$

\textbf{D.~~} s'annule au point d'abscisse $x = 2$

\bigskip

\textbf{Question 22 :} La fonction $g$ est

\medskip

\textbf{A.~~} croissante sur J

\textbf{B.~~} décroissante sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~2\right]$ et croissante sur l'intervalle [2~;~8]

\textbf{C.~~} croissante sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~2\right]$ et décroissante sur l'intervalle [2~;~8]

\textbf{D.~~} décroissante sur J

\bigskip

\textbf{Question 23 :} Supposant que e $\approx 2,718$ on en déduit que

\medskip

\textbf{A.~~} $g(1) > g(2) > 0$ car la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $\left[(1/2)~;~2\right]$

\textbf{B.~~} $g(1) < g(2) < 0$ car la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $\left[(1/2)~;~2\right]$

\textbf{C.~~} $g\left(\text{e}^2\right) > 0 > g(1) > g(2)$ car la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $\left[(1/2)~;~2\right]$ et croissante sur l'intervalle [2~;~8]

\textbf{D.~~} $g(\text{e}) > 0 > g(1) > g(2)$ car la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $\left[(1/2)~;~2\right]$ et croissante sur l'intervalle [2~;~8]

\bigskip

\textbf{Question 24 :} On établit que l'équation $g(x) = 0$

\medskip

\textbf{A.~~} n'admet qu'une solution sur l'intervalle [2~;~8]

\textbf{B.~~} n'admet pas de solution sur l'intervalle J

\textbf{C.~~} admet une solution sur l'intervalle [1~;~2]

\textbf{D.~~} admet deux solutions sur l'intervalle J

\bigskip

\textbf{Question 25 :} On montre que la courbe $C_g$

\medskip

\textbf{A.~~} admet une tangente horizontale au point d'abscisse $x = 2$ d'équation $y = 1 - 4 \ln (2)$

\textbf{B.~~} admet une tangente horizontale au point d'abscisse $x = 1$

\textbf{C.~~} admet une tangente verticale au point d'abscisse $x = 1$

\textbf{D.~~} admet une tangente au point d'abscisse x=l définie par la droite d'équation $y= - 2x + 1$

\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{\Large MATHÉMATIQUES \& PHYSIQUE}

\medskip

\textbf{\Large(ÉPREUVE OBLIGATOIRE OPTIONNELLE)}

\medskip

\textbf{Durée: 3 heures}

\textbf{PARTIE MATHEMATIQUES}

\textbf{QUESTIONS LIÉES}

1 et 2

3 à 5

6 à 13

14 et 15

\bigskip

\textbf{\Large PARTIE I} \end{center}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}\right)$. On note (D) la droite passant par les points
A$(1~;~-2~;~-1)$ et B$(3~;~-5~;~-2)$ et (D$'$) la droite ayant pour représentation paramétrique
$\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 2 - k\\
y &=& 1 + 2k\\
z &=&k
\end{array}\right.$ avec $k$ réel

On considère le plan (P) d'équation $4x + y + 5z + 3 = 0$

\bigskip

\textbf{Question 1 :} On montre que

\medskip

\textbf{A.~~} la droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 +2t\\
y &=& -2 + 3t\\
z &=& -1 + t 
\end{array}\right.$ avec $t$ réel

\textbf{B.~~} la droite (D) est dirigée par le vecteur de coordonnées $(-1~;~2~;~1)$

\textbf{C.~~} les droites (D) et (D$'$) sont parallèles car elles ne sont pas sécantes

\textbf{D.~~} les droites (D) et (D$'$) ne sont pas coplanaires car elles ne sont pas parallèles et
n'ont aucun point commun puisque le système $\left\{\begin{array}{l c r}
 1 +2t &= &2 - k\\ 
- 2 - 3t&=& 1 + 2k\\
- 1 - t&= &k
\end{array}\right.$ n'a pas de solution
\bigskip

\textbf{Question 2 :} On montre que

\medskip

\textbf{A.~~} le plan (P) contient la droite (D)

\textbf{B.~~} le plan (P) contient la droite (D$'$)

\textbf{C.~~} le plan (P) et la droite (D$'$) se coupent en un seul point dont les coordonnées
sont $(6~;~- 7~;~-4)$

\textbf{D.~~} le plan (P) et la droite (D) se coupent en un seul point dont les coordonnées
sont $(- 7~;~10~;~3)$

\medskip

\begin{center} \textbf{\Large PARTIE II} \end{center}

\medskip

Dans le plan complexe muni du repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A
et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 2 + \sqrt{3} + \text{i}$.

\bigskip

\textbf{Question 3 :} Le complexe $z_{\text{A}}$ a

\medskip

\textbf{A.~~} pour module $\left|z_{\text{A}}\right| = 2$

\textbf{B.~~} pour module $\left|z_{\text{A}}\right| = \sqrt{1 +(\text{i}^2} = 0$

\textbf{C.~~} pour argument arg$\left(z_{\text{A}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$

\textbf{D.~~} pour argument arg$\left(z_{\text{A}}\right) = \dfrac{7\pi}{4}$

\bigskip

\textbf{Question 4 :} La forme algébrique du complexe $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ s'écrit

\medskip

\textbf{A.~~} $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \dfrac{1 - \sqrt{3} +\text{i}\left(3 -\sqrt{3}\right)}{2}$

\textbf{B.~~} $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \dfrac{-\left(1 - \sqrt{3} +\text{i}\left(3 -\sqrt{3}\right)\right)}{2}$

\textbf{C.~~} $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \dfrac{1 + \sqrt{3} -\text{i}\left(3 +\sqrt{3}\right)}{2}$

\textbf{D.~~} $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \dfrac{1 + \sqrt{3} +\text{i}\left(3 + \sqrt{3}\right)}{2}$

\bigskip

\textbf{Question 5 :} On en déduit que le complexe $z_{\text{B}}$ a

\medskip

\textbf{A.~~} pour module $\left|z_{\text{B}}\right| = 1 + \sqrt{3}$

\textbf{B.~~} pour module $\left|z_{\text{B}}\right| = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

\textbf{C.~~} pour argument arg$\left(z_{\text{B}}\right) = - \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{12}$

\textbf{D.~~} pour argument arg$\left(z_{\text{B}}\right) = \dfrac{7\pi}{12}$

\bigskip

\begin{center}\textbf{\Large PARTIE III} \end{center}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel. On note $f_n$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels
par

\[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{- nx}}{\left(1 + \text{e}^{- x}\right)}.\]

e désigne le nombre de Neper et ln désigne la fonction logarithme népérien.

On note $C_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthonormé

\bigskip

\textbf{Question 6 :} La fonction $f_0$

\medskip

\textbf{A.~~} a pour dérivée $f'_0(x) = \dfrac{- 1}{\text{e}^{-x}}$ pour tout $x$ réel

\textbf{B.~~} a pour dérivée $f'_0(x) = - \dfrac{\text{e}^{-x}}{\left(1 + \text{e}^{-x}\right)^2}$ pour tout $x$ réel

\textbf{C.~~} est décroissante sur $\R$ 

\textbf{D.~~} est décroissante sur l'intervalle $]- \infty~;~0[$ et croissante sur l'intervalle $]O~;~+\infty[$

\bigskip

\textbf{Question 7 :} On établit que

\medskip

\textbf{A.~~} la fonction $f_0$ a pour limite 0 lorsque $x$ tend vers $-\infty$ et 1 lorsque $x$ tend vers $+ \infty$

\textbf{B.~~} la fonction $f_0$ a pour limite 1 lorsque $x$ tend vers $- \infty$ et $0$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$

\textbf{C.~~} la courbe $C_0$ admet pour asymptotes les droites d'équation $y = 0$ et $y = 1$

\textbf{D.~~} la courbe $C_0$ admet pour asymptotes horizontales les droites d'équation $x = 0$ et
$x = 1$

\bigskip

\textbf{Question 8 :} On montre que

\medskip

\textbf{A.~~} $f_0(x) = - f_1(- x)$ pour tout $x$ réel

\textbf{B.~~} $f_(x) = f_1(- x)$ pour tout $x$ réel

\textbf{C.~~} la fonction $f_1$ est strictement croissante sur $\R$ car $f'_1(x) = f'_0(- x) > 0$ pour tout $x$ réel

\textbf{D.~~} la fonction $f_1$ est strictement décroissante sur $\R$ car $f'_1(x) = - f_0'(x) < 0$ pour
tout $x$ réel

\bigskip

\textbf{Question 9 :} On établit que

\medskip

\textbf{A.~~} les courbes $C_0$ et $C_1$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées car
$f_0(x) = f_1(- x)$ pour tout $x$ réel

\textbf{B.~~} les courbes $C_0$ et $C_1$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées car
$f_0(x) = - f_1(- x)$ pour tout $x$ réel

\textbf{C.~~} les courbes $C_0$ et $C_1$ sont des droites parallèles

\textbf{D.~~} les courbes $C_0$ et $C_1$ ont un point commun de coordonnées $\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$

\bigskip

\textbf{Question 10 :} Pour tout $n$ entier supérieur ou égal 2, la fonction $f_n$

\medskip

\textbf{A.~~} n'admet pas de limite en $- \infty$

\textbf{B.~~} a pour limite 1 lorsque $x$ tend vers $- \infty$

\textbf{C.~~} a pour limite  $+ \infty$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ et $0$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$

\textbf{D.~~} a pour limite  $+ \infty$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$ et $0$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$

\bigskip

\textbf{Question 11 :} Pour tout $n$ entier supérieur ou égal 2, la fonction $f_n$

\medskip

\textbf{A.~~} a pour dérivée $f'_n(x) = n \dfrac{\text{e}^{-nx}}{\text{e}^{-x}}$ pour tout $x$ réel

\textbf{B.~~} a pour dérivée $f'_n(x) = \dfrac{-\left(n \text{e}^{-nx} +(n - 1)\text{e}^{(n - 1)x}\right)}{\left(\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n-1)x}\right)^2}$ pour tout $x$ réel

\textbf{C.~~} est décroissante et minorée par $0$ sur $\R$

\textbf{D.~~} est croissante et minorée par 0 sur $\R$

\bigskip

Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente l'aire, en unités d'aire, du domaine plan
délimité par la courbe $C_n$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$

\bigskip

\textbf{Question 12 :} La suite $\left(u_n\right)$ vérifie

\medskip

\textbf{A.~~} $u_1 = -\dfrac{\text{e}^{-1}}{\left(1 + \text{e}^{-1}\right)}$  et $u_0 = 1- u_1$

\textbf{B.~~} $u_1 = \ln (2) - \ln \left(1 + \text{e}^{-1}\right)$ et $u_0 = 1 - \ln (2) + \ln \left(1 + \text{e}^{-1}\right)$

\textbf{C.~~} $0 \leqslant  u_n \leqslant  \dfrac{1}{2}$ pour tout $n$ entier naturel

\textbf{D.~~} $0 \leqslant u_n \leqslant \displaystyle\int_0^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$ pour tout $n$ entier naturel

\bigskip

\textbf{Question 13 :} La suite $\left(u_n\right)$

\medskip

\textbf{A.~~} n'est pas convergente car elle est croissante non majorée

\textbf{B.~~} est convergente car elle est croissante et majorée

\textbf{C.~~} est convergente car elle est décroissante et minorée

\textbf{D.~~} a pour limite $0$ car, pour tout $n$ entier naturel non nul, $0 \leqslant u \leqslant \dfrac{\left(1 - \text{e}^{-n}\right)}{n}$ terme général d'une suite qui converge vers 0

\begin{center}

\textbf{\Large PARTIE IV} \end{center}

\medskip

La durée de vie d'un téléphone portable (c'est-à-dire la durée de fonctionnement
avant la première panne), mesurée en années, est une variable aléatoire $X$ qui suit
une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda$ réel strictement positif.

Pour tout réel $t$ positif, on note $p(X \leqslant t)$ la probabilité qu'un téléphone portable ait une
durée de vie inférieure à $t$ années.

e désigne le nombre de Neper et ln la fonction logarithme népérien.

\bigskip

\textbf{Question 14 :} On suppose, dans cette question, que la probabilité qu'un téléphone
portable ait une durée de vie strictement supérieure à 2 années est égale à $\text{e}^{-2}$, on a

\medskip

\textbf{A.~~} $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_0^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$ pour tout $t$ réel positif

\textbf{B.~~} $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_0^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x = \left(1 - \text{e}^{-\lambda t}\right)\lambda$ pour tout $t$ réel positif

\textbf{C.~~} $\lambda = \ln \left(\text{e}^2\right)/2 = 1$

\textbf{D.~~} $\lambda = \ln\left(\frac{\text{e}^2}{\left(\text{e}^2 - 1\right)}\right)/2$

\bigskip

\textbf{Question 15 :} Reprenant la valeur du paramètre $\lambda$ de la question précédente, on note
$p_{X > 1}(X > 4)$ la probabilité qu'un téléphone portable ait une durée de vie supérieure à 4
années sachant qu'il n'a pas eu de panne au cours de la première année. On a

\medskip

\textbf{A.~~} l'espérance de $X$ vaut $E(X) = \lambda = 1$

\textbf{B.~~} l'espérance de $X$ vaut $E(X) = \displaystyle\int_0^t = \lambda . x \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x = 1/\lambda = 1$

\textbf{C.~~} $p_{X>1}(X > 4) = p(X > 4) = 1 - p(X \leqslant 4) = \text{e}^{-4}$

\textbf{D.~~} $p_{X>1}(X > 4) = p(X > 4)/p(X > 1) = (1- p(X \leqslant 4))/(1 - p(X \leqslant 1)) = \text{e}^{-4}/\text{e}^{-1} = \text{e}^{-3}$.
\end{document}