\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !}} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{lscape} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{24cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale S FESIC--Puissance 11}, pdftitle = { 16 mai 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Concours Fesic--Puissance 11 -- 16 mai 2015} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Terminale S}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic--Puissance 11 -- 16 mai 2015 \decofourright}}\end{center} \vspace{0,25cm} \emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h $30$ ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. $+ 1$ si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \textbf{Étude de fonction} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ de courbe représentative $(\Gamma)$ dont la fonction dérivée $f'$ a pour représentation graphique la courbe ci-contre. On admet que $f'(x) = \left\{\begin{array}{l c l} 2x &\text{si} &x \leqslant 1\\ \dfrac{1}{x} + 1& \text{si}&x > 1 \end{array}\right.$ \textbf{a.} La courbe $(\Gamma)$ admet une asymptote horizontale en $+ \infty$. \textbf{b.} Pour tout $x \in ]- \infty~;~1]$, $f(x) = x^2$. On suppose dans le c. et d. que $(\Gamma)$ passe par $\Omega(1~;~1)$. \textbf{c.} Pour tout $x \in \R$, $f(x) \geqslant 0$. \textbf{d.} $f( 2) = \ln 2 + 2$.}\hfill\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.3,-2.1)(4.5,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptsize]{->}(0,0)(-1.3,-2.1)(4.5,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptsize](0,0)(0,0)(4.5,3) \psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-1.1,-2.2)(1,2) \psline[linestyle=dashed](0,1)(4.5,1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4.5}{1 1 x div add} \rput{63.4}(-1,-1.5){$f'(x)$} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \textbf{Fonction définie par deux paramètres} \medskip Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs fixés et $f$ la fonction définie sur $I = [- a~;~a]$ par $f(x) = \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}$ de courbe représentative $(\Gamma)$. \medskip \textbf{a.} Pour tout $x \in I$, $f'(x) = \dfrac{b}{2 \times \sqrt{a^2 - x^2}}$. \textbf{b.} Si $a = 6$ et $b = 3$ alors pour tout $x \in I$, $f(x) \geqslant 3$. \textbf{c.} Si $a = b = 1$, alors l'équation $f(x) = \sqrt{2}$ admet deux solutions sur $I$. \textbf{d.} Si $a = b$ alors $(\Gamma)$ admet deux tangentes parallèles à la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x - 5$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip \textbf{Bases de la géométrie} \medskip Les questions suivantes sont indépendantes. \medskip \textbf{a.} Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oijk. Si la droite $(D)$ a pour équation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&t\\ y&=&1 + t\\ z&=&2 + t \end{array}\right.$ avec $t$ réel, alors le vecteur $\vect{\imath} + \vect{\jmath} + \vect{k}$ est un vecteur directeur de $(D)$. \textbf{b.} Soit $a > 0$. Si ABC est un triangle équilatéral direct de côté $a$, alors $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{CA}} = \dfrac{a^2}{2}$. Pour le \textbf{c.} et \textbf{d.}, on suppose que le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. \textbf{c.} Le nombre $(1 + \text{i})^4$ est un nombre réel négatif. \textbf{d.} L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z + 4 - 3\text{i}| = 5$ est un cercle passant par l'origine du repère. \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4}} \medskip \textbf{Questions de logique} \medskip Agnan, Clotaire, Eudes, Geoffroy et Rufus ne s'entendent pas tous très bien. Pour la fête d'anniversaire qu'organisait le petit Nicolas, ils avaient prévenu : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]Clotaire refuserait de venir si Rufus était présent. \item[$\bullet~~$]Eudes ne viendrait que s'il était accompagné d'Agnan ou de Rufus. \item[$\bullet~~$]Quant à Geoffroy et Agnan, ils n'iraient nulle part l'un sans l'autre. \end{itemize} \medskip \textbf{a.} Si Clotaire n'est pas venu à la fête, alors Rufus était présent. \textbf{b.} Si Rufus était absent, alors Clotaire est venu à la fête. \textbf{c.} Si Agnan est venu, alors Geoffroy et Eudes aussi. \textbf{d.} Si Eudes et Clotaire sont venus, alors Geoffroy était lui aussi présent. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5}} \medskip \textbf{Petite démonstration} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $D_f = \R \backslash \left\{\frac{1}{2}\right\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2}{2x - 1}$ de courbe représentative $(\Gamma)$ et $I = \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$. \medskip \textbf{a.} Pour tout réel $x \in D_f,$ $f'(x) = \dfrac{2x(1 - x)}{(1 - 2x)^2}$. \textbf{b.} $(\Gamma)$ admet deux tangentes parallèles à la droite $(\Delta)$ d'équation $y = - x + 5$. \textbf{c.} Si $x \in I$, la fonction $k \::\: x \longmapsto \ln (f(x))$ admet comme dérivée la fonction $k': \:x \longmapsto \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{2x - 1}$. \textbf{d.} Pour tout $n \in \N$, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $\left\{\begin{array}{l c l} u_0&=&3\\ u_{n+1}&=&\dfrac{u_n^2}{2u_n - 1} \end{array}\right.$. Afin d'étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ on effectue le raisonnement suivant : \og Pour tout $n \in \N$, on souhaite démontrer la relation \og $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$ \fg. Si $x \in I$, alors $f'(x) > 0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$. Supposons que la relation soit vraie à un certain rang $k \in \N$, c'est-à-dire $u_{k+1} - u_k > 0$. Par définition de la suite $\left(u_n\right)$ nous avons $u_{k+2} = f\left(u_{k+1}\right)$ et $u_{k+1} = f\left(u_k\right)$ avec $f$ strictement croissante sur $I$ ; donc si $u_{k+1} > u_k$ alors nous pouvons en déduire que $u_{k+2} = f\left(u_{k+1}\right) > u_{k+1} = f\left(u_k\right)$ soit $u_{k+2} > u_{k+1}$ ce qui nous permet de conclure que la relation est vraie au rang $k+ 1$. Conclusion : la relation est héréditaire et, comme la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$, nous pouvons en déduire que la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 0}$ est strictement croissante \fg. Ce raisonnement est correct. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 6}} \medskip \textbf{Calculs de limites} \medskip \textbf{a.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{\frac{1}{x}} = 0$. \textbf{b.} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \text{e}^{- x}}{x} = 1$. \textbf{c.} Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{\text{e}^{x} + 1}{\text{e}^{x} - x - 1}$. La courbe $(\Gamma)$ représentative de la fonction $f$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale. \textbf{d.} Pour tout $n \in \N$, la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n = \dfrac{\sin (n) - 2n}{n+1}$ converge vers $0$. \newpage \textbf{\textsc{Exercice 7}} \medskip \textbf{Calcul intégral} \medskip \textbf{a.} $J = \displaystyle\int_1^{\text{e}} \dfrac{2x + 1}{x^2}\:\text{d}x = 3 + \dfrac{1}{\text{e}}$. \textbf{b.} $K = \displaystyle\int_1^{2} \dfrac{x}{\left(x^2 + 1\right)^2}\: \text{d}x = \dfrac{3}{20}$. \textbf{c.} Soit $\alpha$ un réel strictement positif, $\displaystyle\int_0^{\alpha} \dfrac{x}{1 + x}\:\text{d}x = \alpha - \ln (1 + \alpha)$. \textbf{d.} Soit $L = \displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} - x \ln (x)\:\text{d}x$. On a : $\text{e}^2\left(1 - \text{e}^2\right) \leqslant L \leqslant \dfrac{\text{e}^2}{2}\left(1 - \text{e}^2\right)$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 8}} \medskip \textbf{Fonction exponentielle} \medskip Soit $F_1$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ respectivement par \[F_1(x) = \text{e}^{- x} - 2x \quad \text{et}\quad g(x) = \dfrac{\text{e}^{- x}( x + 1)}{\text{e}^{- x} + 2}.\] On désigne par $(C)$ la courbe représentative de la fonction $F_1$ et par $\left(x_n\right)$ la suite définie, pour tout $n \in \N$, par $x_0 = 1$ et $x_{n+1} = g\left(x_n\right)$. \medskip \parbox{0.45\linewidth}{\textbf{a.} L'équation $F_1(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ avec $0 < a < 1$. Dans les questions \textbf{b.}, \textbf{c.} et \textbf{d.}, on admet la convergence de la suite $\left(x_n\right)$. \textbf{b.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x_n = \alpha$. \textbf{c.} Si $a \in \R$, alors la tangente à $(C)$ en $x = a$ coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse $g(a)$. On donne le programme Prog ci-contre : \textbf{d.} Pour $n = 5$, Prog affiche \np{0,3125} et $0,375$, nous pouvons en déduire que $\np{0,3125} < \alpha < 0,375$. } \hfill \parbox{0.53\linewidth}{\footnotesize\begin{tabular}{l l} 1&VARIABLES\\ 2&\hspace{0.3cm}$A$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\ 3&\hspace{0.3cm}$B$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\ 4&\hspace{0.3cm}$I$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\ 5&\hspace{0.3cm}$F_A$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\ 6&\hspace{0.3cm}$F_B$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\ 7&\hspace{0.3cm}$F_I$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\ 8&DÉBUT\_ALGORITHME\\ 9&\hspace{0.3cm}$A$ PREND\_LA\_VALEUR 0\\ 10&\hspace{0.3cm}$B$ PREND\_LA\_VALEUR 1\\ 11&\hspace{0.3cm}$I$ PREND\_LA\_VALEUR (A+B)/2\\ 12&\hspace{0.3cm}$F_A$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1$(A)\\ 13&\hspace{0.3cm}$F_B$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1$(B)\\ 14&\hspace{0.3cm}$F_I$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1$(I)\\ 15&\hspace{0.3cm}TANT QUE (abs$(A-B) > 0,1$) FAIRE\\ 16&\hspace{0.5cm}DÉBUT TANT QUE\\ 17&\hspace{0.5cm}SI $(F_A*F_I > 0)$ ALORS\\ 18&\hspace{0.5cm}DEBUT\_SI\\ 19&\hspace{0.5cm}$A$ PREND\_LA\_VALEUR $I$\\ 20&\hspace{0.5cm}$F_A$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1(A)$\\ 21&\hspace{0.5cm}$I$ PREND\_LA\_VALEUR $(A+B)/2$\\ 22&\hspace{0.5cm}$F_I$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1(I)$\\ 23&\hspace{0.5cm}FIN\_SI\\ 24&\hspace{0.5cm}SINON\\ 25&\hspace{0.8cm}DÉBUT\_SINON\\ 26&\hspace{0.8cm}$B$ PREND\_LA\_VALEUR $I$\\ 27&\hspace{0.8cm}$F_B$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1(B)$\\ 28&\hspace{0.8cm}$I$ PREND\_LA\_VALEUR $(A+B)/2$\\ 29&\hspace{0.8cm}$F_I$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1(I)$\\ 30&\hspace{0.8cm}FIN\_SINON\\ 31&\hspace{0.5cm}FIN\_TANT\_QUE\\ 32&\hspace{0.3cm}AFFICHER $A$\\ 33&\hspace{0.3cm}AFFICHER $B$\\ 34&FIN\_ALGORITHME\\ \end{tabular}} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 9}} \medskip \textbf{Fonction exponentielle et logarithme} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln \left(\text{e}^{2x} - 1 \right)}{\text{e}^x}$, $g$ la fonction définie sur $]1~;~+\infty[$ par $g(x) = 2x - (x - 1) \times \ln (x - 1)$ et $\varphi$ la fonction définie sur $]1~;~+\infty[$ par $\varphi(x) = \dfrac{\ln \left(x^2 - 1\right)}{x}$. \medskip \textbf{a.} $g'(x) = 1 + \ln \left(\dfrac{1}{x - 1}\right).$ \textbf{b.} $\varphi'(x) = \dfrac{g\left(x^2\right)}{x^2}$. \textbf{c.} $g$ admet un minimum en $x = \text{e} + 1$. On admet qu'il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation $g(x) = 0$ sur $]\text{e} + 1~;~+ \infty[$. \textbf{d.} $f\left(\ln \sqrt{\alpha}\right) = \dfrac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha - 1}$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 10}} \medskip \textbf{Suite et trigonométrie} \medskip Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout $n \in N$, par $u_n = (- 1)^n + 2 \times \sin \left(\dfrac{\pi}{4}n\right)$. \textbf{a.} Pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n + 8} > u_n$. \textbf{b.} Pour tout entier naturel $n$, on a : $- 3 \leqslant u_n \leqslant 3$. \textbf{c.} La suite $\left(u_n\right)$ est monotone. \textbf{d.} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{n} = 0$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 11}} \medskip \textbf{Suite de nombres complexes} \medskip On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} et on considère la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie, pour tout $n \in \N$, par : $\left\{\begin{array}{l c l} z_0& =& 2\\ z_{n+1}&=&\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_n \end{array}\right.$ On pose $A_n$ le point d'affixe $z_n$ et on définit, pour tout $n \in \N$, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = \left|z_n\right|$. \textbf{a.} La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. \textbf{b.} Pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{z_{n+1} - z_n}{z_{n+1}} = \text{i}$. \textbf{c.} À partir du rang $n = 4$, le point $A_n$ appartient au disque de centre O et de rayon $R = \dfrac{1}{2}$. \textbf{d.} Pour tout entier naturel $n$, le triangle O$A_nA_{n+1}$ est isocèle et rectangle. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 12}} \medskip \textbf{Géométrie et complexes} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On définit A et B deux points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}$ et $T$ la transformation complexe du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{z - 2\text{i}}{z}$. \medskip \textbf{a.} L'image du point d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ par la transformation $T$ est le point d'affixe $1 + 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$. \textbf{b.} L'ensemble des points $M$ du plan complexe tels que O$M' = 1$ représente la médiatrice du segment [OB]. \textbf{c.} $M'$ appartient au cercle de centre A et de rayon 1 si et seulement si le point $M$ appartient au cercle de centre O et de rayon $R = 2$. \textbf{d.} $z'$ est un nombre complexe imaginaire pur si et seulement si le point $M$ appartient au cercle de diamètre [OB]. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 13}} \medskip \textbf{Variables aléatoires réelles : Cours - Calculs} \medskip $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 1$. \textbf{a.} Pour tout entier naturel $n$, on a : $P(X > n) = \dfrac{1}{\text{e}^n}$. \textbf{b.} Pour tout entier naturel $n$, on a : $P_{X>n}(X > n + 1) = P(X < 1)$. Soit $\sigma > 0$, $Y$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(9~;~\sigma^2\right)$ et $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y - 9}{\sigma}$ \textbf{c.} $Z$ suit la loi normale $\mathcal{N}(0~;~1)$. \textbf{d.} $P(7 \leqslant Y \leqslant 11) = 2P\left(0 \leqslant Z \leqslant \dfrac{2}{\sigma}\right)$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 14}} \medskip \textbf{Probabilités conditionnelles} \medskip Un acteur est sujet à des trous de mémoire. S'il relit son texte avant d'entrer en scène, la probabilité qu'il ait un trou de mémoire pendant la représentation vaut $\dfrac{1}{9}$, tandis que s'il ne relit pas son texte, cette probabilité vaut $\dfrac{1}{3}$. S'il a eu un trou de mémoire au cours d'une représentation, il relit forcément son texte avant la représentation suivante ; mais s'il n'a pas eu de trou de mémoire, il ne relit son texte qu'avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$. On suppose que l'acteur a relu son texte le soir de la première représentation. \medskip \textbf{a.} La probabilité qu'il ait eu un trou de mémoire lors de la première et de la deuxième représentation est de $\dfrac{1}{9}$. \textbf{b.} La probabilité qu'il ait eu un trou de mémoire à la deuxième représentation est de $\dfrac{25}{81}$. \textbf{c.} Sachant qu'il n'a pas eu de trou de mémoire le soir de la première, la probabilité qu'il n'en ait pas eu non plus à la deuxième représentation est de $\dfrac{7}{9}$. \medskip On note $p_n$ ($n$ étant un entier naturel non nul) la probabilité de l'évènement \og l'acteur a eu un trou de mémoire lors de la $n$-ième représentation \fg. \textbf{d.} Pour tout entier $n \geqslant 1$, \: $p_{n+1} = \dfrac{2 - p_n}{9}$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 15}} \medskip \textbf{Logique et géométrie dans l'espace} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk{} et $m$ et $p$ sont deux réels. On définit le plan $(P)$ ayant pour équation cartésienne $x - y + 2z - 3 = 0$ et $(\Delta)$ la droite passant par le point A de coordonnées $(2~;~p~;~1)$ et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}- 1\\m\\1\end{pmatrix}$. \medskip \textbf{a.} Il existe au moins un réel $m$ tel que $(\Delta)$ soit parallèle à (P). \textbf{b.} Si $m = 1$, alors il existe au moins un réel $p$ tel que $(\Delta) \cap (P) = \emptyset$. \textbf{c.} Si $m \ne 1$, alors pour tout réel $p$, $(\Delta) \cap (P) \ne \emptyset$. \textbf{d.} Si $p = 1$, alors pour tout réel $m$,\: $(\Delta) \cap (P) = \{\text{A}\}$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 16}} \medskip \textbf{Orthogonalité dans l'espace} \medskip SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD. Le point O est le centre du carré ABCD, J est le milieu du segment [SO], F est le milieu du segment [BC] et K est le point défini par $\vect{\text{SK}} = \dfrac{1}{3} \vect{\text{SD}}$. \medskip \parbox{0.4\linewidth}{ \textbf{a.} $\vect{\text{BK}} = - \vect{\text{SB}} + \dfrac{1}{3}\vect{\text{SD}}$ et $\vect{\text{BJ}} = \dfrac{3}{4}\vect{\text{SB}} + \dfrac{1}{4}\vect{\text{SD}}$. \textbf{b.} B, K et J sont alignés. \textbf{c.} Les plans (BJC) et (SAD) sont sécants suivant une droite $(\Delta)$ orthogonale à la droite (SF). Pour le \textbf{d.}, on suppose que BD = SO et on se place dans le repère orthonormé direct $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OJ}}\right)$. \textbf{d.} La droite (KJ) coupe le plan (P) d'équation cartésienne $2x + 3y - z + 4 = 0$ au point $\Omega$ de coordonnées $(- 1~;~0~;~2)$. }\hfill \parbox{0.48\linewidth}{ \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(-3,-1.5)(3,6.5) %\psgrid \psdots(0,6.3)(-3.5,-0.4)(1.4,-0.8)(3.5,0.4)(-1.4,0.8)(0,0)(2.45,-0.2)(0,3.1)(-0.5,4.4)%SABCDOFJK \uput[u](0,6.3){S} \uput[l](-3.5,-0.4){A} \uput[dr](1.4,-0.8){B} \uput[r](3.5,0.4){C} \uput[ur](-1.4,0.8){D} \uput[ur](0,0){O} \uput[dr](2.45,-0.2){F} \uput[ur](0,3.1){J} \uput[r](-0.45,4.4){K} \psline(0,6.3)(-3.5,-0.4)(1.4,-0.8)(3.5,0.4)(0,6.3)(1.4,-0.8)(2.45,-0.2)(0,6.3)%SABCSBFS \psline[linestyle=dashed](3.5,0.4)(0,3.1)%BJ \psline[linestyle=dashed](0,3.1)(1.4,-0.8)%JC \psline[linestyle=dashed](-3.5,-0.4)(3.5,0.4)(0,3.1)(0,0)%ACJO \psline[linestyle=dashed](1.4,-0.8)(-1.4,0.8)(0,6.3)%BDS \psline[linestyle=dashed](-3.5,-0.4)(-1.4,0.8)(3.5,0.4)%ADC \psline[linestyle=dashed](0,3.1)(0,6.3)%JS \end{pspicture}} \end{document}