\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !}}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{lscape}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
%\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Terminale S FESIC--Puissance 11},
pdftitle = { 16 mai 2015},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}   
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Concours Fesic--Puissance 11 -- 16 mai 2015}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Terminale S}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic--Puissance 11 -- 16 mai 2015 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h $30$ ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. $+ 1$ si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\textbf{Étude de fonction}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ de courbe
représentative $(\Gamma)$ dont la fonction dérivée $f'$ a pour
représentation graphique la courbe ci-contre.


On admet que 

$f'(x) = \left\{\begin{array}{l c l}
2x 				&\text{si} &x \leqslant 1\\ 
\dfrac{1}{x} + 1& \text{si}&x > 1
\end{array}\right.$

\textbf{a.} La courbe $(\Gamma)$ admet une asymptote horizontale en $+ \infty$.

\textbf{b.} Pour tout $x \in ]- \infty~;~1]$, $f(x) = x^2$.

On suppose dans le c. et d. que $(\Gamma)$ passe par $\Omega(1~;~1)$.

\textbf{c.} Pour tout $x \in  \R$, $f(x) \geqslant 0$.

\textbf{d.} $f( 2) = \ln 2 + 2$.}\hfill\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.3,-2.1)(4.5,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptsize]{->}(0,0)(-1.3,-2.1)(4.5,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptsize](0,0)(0,0)(4.5,3)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-1.1,-2.2)(1,2)
\psline[linestyle=dashed](0,1)(4.5,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4.5}{1 1 x div add}
\rput{63.4}(-1,-1.5){$f'(x)$}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\textbf{Fonction définie par deux paramètres}

\medskip

Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs fixés et $f$ la fonction définie sur $I = [- a~;~a]$ par
$f(x) = \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}$ de courbe représentative $(\Gamma)$.

\medskip

\textbf{a.} Pour tout $x \in I$, $f'(x) = \dfrac{b}{2 \times \sqrt{a^2 - x^2}}$.

\textbf{b.} Si $a = 6$ et $b = 3$ alors pour tout $x \in I$, $f(x) \geqslant 3$.

\textbf{c.} Si $a = b = 1$, alors l'équation $f(x) = \sqrt{2}$ admet deux solutions sur $I$.

\textbf{d.} Si $a = b$ alors $(\Gamma)$ admet deux tangentes parallèles à la droite $(\Delta)$ d'équation 

$y = x - 5$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\textbf{Bases de la géométrie}

\medskip

Les questions suivantes sont indépendantes.

\medskip

\textbf{a.} Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

Si la droite $(D)$ a pour équation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&t\\
y&=&1 + t\\
z&=&2 + t
\end{array}\right.$ avec $t$ réel, alors le vecteur $\vect{\imath} + \vect{\jmath} + \vect{k}$ est
un vecteur directeur de $(D)$.

\textbf{b.} Soit $a > 0$. Si ABC est un triangle équilatéral direct de côté $a$, alors $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{CA}} = \dfrac{a^2}{2}$.

Pour le \textbf{c.} et \textbf{d.}, on suppose que le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.

\textbf{c.} Le nombre $(1 + \text{i})^4$ est un nombre réel négatif.

\textbf{d.} L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z + 4 - 3\text{i}| = 5$ est un cercle passant par l'origine du repère.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

\textbf{Questions de logique}

\medskip

Agnan, Clotaire, Eudes, Geoffroy et Rufus ne s'entendent pas tous très bien. Pour la fête d'anniversaire
qu'organisait le petit Nicolas, ils avaient prévenu :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Clotaire refuserait de venir si Rufus était présent.
\item[$\bullet~~$]Eudes ne viendrait que s'il était accompagné d'Agnan ou de Rufus.
\item[$\bullet~~$]Quant à Geoffroy et Agnan, ils n'iraient nulle part l'un sans l'autre.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{a.} Si Clotaire n'est pas venu à la fête, alors Rufus était présent.

\textbf{b.} Si Rufus était absent, alors Clotaire est venu à la fête.

\textbf{c.} Si Agnan est venu, alors Geoffroy et Eudes aussi.

\textbf{d.} Si Eudes et Clotaire sont venus, alors Geoffroy était lui aussi présent.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\medskip

\textbf{Petite démonstration}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $D_f = \R \backslash \left\{\frac{1}{2}\right\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2}{2x - 1}$ de courbe représentative $(\Gamma)$ et $I = \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$.

\medskip

\textbf{a.} Pour tout réel $x \in  D_f,$  $f'(x) = \dfrac{2x(1 - x)}{(1 - 2x)^2}$.

\textbf{b.} $(\Gamma)$ admet deux tangentes parallèles à la droite $(\Delta)$ d'équation $y = - x + 5$.

\textbf{c.} Si $x \in I$, la fonction $k \::\: x \longmapsto \ln (f(x))$ admet comme dérivée la fonction 

$k': \:x \longmapsto  \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{2x - 1}$.

\textbf{d.} Pour tout $n \in  \N$, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par
$\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&=&3\\
u_{n+1}&=&\dfrac{u_n^2}{2u_n - 1}
\end{array}\right.$.

Afin d'étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ on effectue le raisonnement suivant :

\og Pour tout $n \in \N$, on souhaite démontrer la relation \og $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$ \fg.

Si $x \in I$,  alors $f'(x) > 0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Supposons que la relation soit vraie à un certain rang $k \in  \N$, c'est-à-dire 

$u_{k+1} - u_k > 0$.

Par définition de la suite $\left(u_n\right)$ nous avons $u_{k+2} = f\left(u_{k+1}\right)$ et $u_{k+1} = f\left(u_k\right)$ avec $f$ strictement croissante sur $I$ ; donc si $u_{k+1} > u_k$ alors nous pouvons en déduire que $u_{k+2} = f\left(u_{k+1}\right) > u_{k+1} = f\left(u_k\right)$ soit
$u_{k+2} > u_{k+1}$ ce qui nous permet de conclure que la relation est vraie au rang $k+ 1$.

Conclusion : la relation est héréditaire et, comme la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$, nous
pouvons en déduire que la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 0}$ est strictement croissante \fg.

Ce raisonnement est correct.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6}}

\medskip

\textbf{Calculs de limites}

\medskip

\textbf{a.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{\frac{1}{x}} = 0$.

\textbf{b.} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \text{e}^{- x}}{x} = 1$.

\textbf{c.} Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x)  = \dfrac{\text{e}^{x} + 1}{\text{e}^{x} - x  - 1}$. La courbe $(\Gamma)$ représentative de la fonction
$f$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.


\textbf{d.} Pour tout $n \in \N$, la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n =  \dfrac{\sin (n) - 2n}{n+1}$ converge vers $0$.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 7}}

\medskip

\textbf{Calcul intégral}

\medskip

\textbf{a.} $J = \displaystyle\int_1^{\text{e}} \dfrac{2x + 1}{x^2}\:\text{d}x = 3 + \dfrac{1}{\text{e}}$.

\textbf{b.} $K = \displaystyle\int_1^{2} \dfrac{x}{\left(x^2 +  1\right)^2}\: \text{d}x = \dfrac{3}{20}$.

\textbf{c.} Soit $\alpha$ un réel strictement positif, $\displaystyle\int_0^{\alpha} \dfrac{x}{1 + x}\:\text{d}x =  \alpha  - \ln (1 + \alpha)$.

\textbf{d.} Soit $L = \displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} - x \ln (x)\:\text{d}x$. On a :
$\text{e}^2\left(1 - \text{e}^2\right) \leqslant L \leqslant  \dfrac{\text{e}^2}{2}\left(1 - \text{e}^2\right)$.
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 8}}

\medskip

\textbf{Fonction exponentielle}

\medskip

Soit $F_1$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ respectivement par 

\[F_1(x) = \text{e}^{- x} - 2x \quad  \text{et}\quad  g(x) = \dfrac{\text{e}^{- x}( x + 1)}{\text{e}^{- x} + 2}.\]

On désigne par $(C)$ la courbe représentative de la fonction $F_1$ et
par $\left(x_n\right)$ la suite définie, pour tout $n \in  \N$, par $x_0 = 1$ et $x_{n+1} = g\left(x_n\right)$.

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{\textbf{a.} L'équation $F_1(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ avec
$0 < a < 1$.

Dans les questions \textbf{b.}, \textbf{c.} et \textbf{d.}, on admet la convergence de la
suite $\left(x_n\right)$.

\textbf{b.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x_n = \alpha$.

\textbf{c.} Si $a \in  \R$, alors la tangente à $(C)$ en $x = a$ coupe l'axe des
abscisses en un point d'abscisse $g(a)$.

On donne le programme Prog ci-contre :

\textbf{d.} Pour $n = 5$, Prog affiche \np{0,3125} et $0,375$, nous pouvons en
déduire que $\np{0,3125} < \alpha < 0,375$.
} \hfill
\parbox{0.53\linewidth}{\footnotesize\begin{tabular}{l l}
1&VARIABLES\\
2&\hspace{0.3cm}$A$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
3&\hspace{0.3cm}$B$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
4&\hspace{0.3cm}$I$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
5&\hspace{0.3cm}$F_A$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
6&\hspace{0.3cm}$F_B$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
7&\hspace{0.3cm}$F_I$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
8&DÉBUT\_ALGORITHME\\
9&\hspace{0.3cm}$A$ PREND\_LA\_VALEUR 0\\
10&\hspace{0.3cm}$B$ PREND\_LA\_VALEUR 1\\
11&\hspace{0.3cm}$I$ PREND\_LA\_VALEUR (A+B)/2\\
12&\hspace{0.3cm}$F_A$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1$(A)\\
13&\hspace{0.3cm}$F_B$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1$(B)\\
14&\hspace{0.3cm}$F_I$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1$(I)\\
15&\hspace{0.3cm}TANT QUE (abs$(A-B) > 0,1$) FAIRE\\
16&\hspace{0.5cm}DÉBUT TANT QUE\\
17&\hspace{0.5cm}SI $(F_A*F_I > 0)$ ALORS\\
18&\hspace{0.5cm}DEBUT\_SI\\
19&\hspace{0.5cm}$A$ PREND\_LA\_VALEUR $I$\\
20&\hspace{0.5cm}$F_A$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1(A)$\\
21&\hspace{0.5cm}$I$ PREND\_LA\_VALEUR $(A+B)/2$\\
22&\hspace{0.5cm}$F_I$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1(I)$\\
23&\hspace{0.5cm}FIN\_SI\\
24&\hspace{0.5cm}SINON\\
25&\hspace{0.8cm}DÉBUT\_SINON\\
26&\hspace{0.8cm}$B$ PREND\_LA\_VALEUR $I$\\
27&\hspace{0.8cm}$F_B$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1(B)$\\
28&\hspace{0.8cm}$I$ PREND\_LA\_VALEUR $(A+B)/2$\\
29&\hspace{0.8cm}$F_I$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1(I)$\\
30&\hspace{0.8cm}FIN\_SINON\\
31&\hspace{0.5cm}FIN\_TANT\_QUE\\
32&\hspace{0.3cm}AFFICHER $A$\\
33&\hspace{0.3cm}AFFICHER $B$\\
34&FIN\_ALGORITHME\\
\end{tabular}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 9}}

\medskip

\textbf{Fonction exponentielle et logarithme}

\medskip


Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln \left(\text{e}^{2x} - 1 \right)}{\text{e}^x}$, $g$ la fonction définie sur $]1~;~+\infty[$ par
$g(x) = 2x - (x - 1) \times  \ln (x - 1)$ et $\varphi$ la fonction définie sur $]1~;~+\infty[$ par $\varphi(x) = \dfrac{\ln \left(x^2 - 1\right)}{x}$.

\medskip

\textbf{a.} $g'(x) = 1 + \ln \left(\dfrac{1}{x - 1}\right).$

\textbf{b.} $\varphi'(x) =  \dfrac{g\left(x^2\right)}{x^2}$.

\textbf{c.} $g$ admet un minimum en $x = \text{e} + 1$.

On admet qu'il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation $g(x) = 0$ sur $]\text{e} + 1~;~+ \infty[$.

\textbf{d.} $f\left(\ln \sqrt{\alpha}\right) = \dfrac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha - 1}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 10}}

\medskip

\textbf{Suite et trigonométrie}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout $n \in N$, par $u_n = (- 1)^n + 2 \times \sin \left(\dfrac{\pi}{4}n\right)$.

\textbf{a.} Pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n + 8} > u_n$.

\textbf{b.} Pour tout entier naturel $n$, on a : $- 3 \leqslant  u_n \leqslant  3$.

\textbf{c.} La suite $\left(u_n\right)$ est monotone.

\textbf{d.} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{n} = 0$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 11}}

\medskip

\textbf{Suite de nombres complexes}

\medskip

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} et on considère la suite


$\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie, pour tout $n \in \N$, par : $\left\{\begin{array}{l c l}
z_0& =& 2\\
z_{n+1}&=&\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_n 
\end{array}\right.$
 
On pose $A_n$ le point d'affixe $z_n$ et on définit, pour tout $n \in \N$, la suite $\left(u_n\right)$ par

$u_n = \left|z_n\right|$.

\textbf{a.} La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique.

\textbf{b.} Pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{z_{n+1} - z_n}{z_{n+1}} = \text{i}$.

\textbf{c.} À partir du rang $n = 4$, le point $A_n$ appartient au disque de centre O et de rayon $R = \dfrac{1}{2}$.

\textbf{d.} Pour tout entier naturel $n$, le triangle O$A_nA_{n+1}$ est isocèle et rectangle.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 12}}

\medskip

\textbf{Géométrie et complexes}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.

On définit A et B deux points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}$ et $T$ la transformation complexe du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{z - 2\text{i}}{z}$.

\medskip

\textbf{a.} L'image du point d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ par la transformation $T$ est le point d'affixe $1 + 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$.

\textbf{b.} L'ensemble des points $M$ du plan complexe tels que O$M' = 1$ représente la médiatrice du segment [OB].

\textbf{c.} $M'$ appartient au cercle de centre A et de rayon 1 si et seulement si le point $M$ appartient au cercle de centre O et de rayon $R = 2$.

\textbf{d.} $z'$ est un nombre complexe imaginaire pur si et seulement si le point $M$ appartient au cercle de diamètre [OB].

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 13}}

\medskip

\textbf{Variables aléatoires réelles : Cours - Calculs}

\medskip

$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 1$.

\textbf{a.} Pour tout entier naturel $n$, on a : $P(X > n) = \dfrac{1}{\text{e}^n}$.

\textbf{b.} Pour tout entier naturel $n$, on a : $P_{X>n}(X > n + 1) = P(X < 1)$.

Soit $\sigma > 0$,  $Y$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(9~;~\sigma^2\right)$ et $Z$ la variable aléatoire définie
par $Z = \dfrac{Y - 9}{\sigma}$

\textbf{c.} $Z$ suit la loi normale $\mathcal{N}(0~;~1)$.

\textbf{d.} $P(7 \leqslant Y \leqslant 11) = 2P\left(0 \leqslant Z \leqslant \dfrac{2}{\sigma}\right)$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 14}}

\medskip

\textbf{Probabilités conditionnelles}

\medskip

Un acteur est sujet à des trous de mémoire.

S'il relit son texte avant d'entrer en scène, la probabilité qu'il ait un trou de mémoire pendant la
représentation vaut $\dfrac{1}{9}$, tandis que s'il ne relit pas son texte, cette probabilité vaut $\dfrac{1}{3}$.

S'il a eu un trou de mémoire au cours d'une représentation, il relit forcément son texte avant la
représentation suivante ; mais s'il n'a pas eu de trou de mémoire, il ne relit son texte qu'avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$.

On suppose que l'acteur a relu son texte le soir de la première représentation.

\medskip

\textbf{a.} La probabilité qu'il ait eu un trou de mémoire lors de la première et de la deuxième représentation est de $\dfrac{1}{9}$.

\textbf{b.} La probabilité qu'il ait eu un trou de mémoire à la deuxième représentation est de $\dfrac{25}{81}$.

\textbf{c.} Sachant qu'il n'a pas eu de trou de mémoire le soir de la première, la probabilité qu'il n'en ait pas eu non plus à la deuxième représentation est de $\dfrac{7}{9}$.

\medskip

On note $p_n$ ($n$ étant un entier naturel non nul) la probabilité de l'évènement \og l'acteur a eu un trou de mémoire lors de la $n$-ième représentation \fg.

\textbf{d.} Pour tout entier $n \geqslant 1$, \: $p_{n+1} = \dfrac{2 - p_n}{9}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 15}}

\medskip

\textbf{Logique et géométrie dans l'espace}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk{} et $m$ et $p$ sont deux réels.

On définit le plan $(P)$ ayant pour équation cartésienne $x - y + 2z - 3 = 0$ et $(\Delta)$ la droite passant par le point A de coordonnées $(2~;~p~;~1)$ et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}- 1\\m\\1\end{pmatrix}$.

\medskip

\textbf{a.} Il existe au moins un réel $m$ tel que $(\Delta)$ soit parallèle à (P).

\textbf{b.} Si $m = 1$, alors il existe au moins un réel $p$ tel que $(\Delta) \cap (P) = \emptyset$.

\textbf{c.} Si $m \ne 1$, alors pour tout réel $p$, $(\Delta) \cap (P) \ne \emptyset$.

\textbf{d.} Si $p = 1$, alors pour tout réel $m$,\: $(\Delta) \cap (P) = \{\text{A}\}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 16}}

\medskip

\textbf{Orthogonalité dans l'espace}

\medskip

SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD.

Le point O est le centre du carré ABCD, J est le milieu du segment [SO], F est le milieu du segment [BC]
et K est le point défini par $\vect{\text{SK}} = \dfrac{1}{3} \vect{\text{SD}}$.

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{
\textbf{a.} $\vect{\text{BK}} = - \vect{\text{SB}} + \dfrac{1}{3}\vect{\text{SD}}$ et 

$\vect{\text{BJ}} = \dfrac{3}{4}\vect{\text{SB}} + \dfrac{1}{4}\vect{\text{SD}}$.

\textbf{b.} B, K et J sont alignés.

\textbf{c.} Les plans (BJC) et (SAD) sont sécants suivant une droite
$(\Delta)$ orthogonale à la droite (SF).

Pour le \textbf{d.}, on suppose que BD = SO et on se place dans le
repère orthonormé direct $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OJ}}\right)$.

\textbf{d.} La droite (KJ) coupe le plan (P) d'équation cartésienne

$2x + 3y - z + 4 = 0$ au point $\Omega$ de coordonnées $(- 1~;~0~;~2)$.
}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.5)(3,6.5)
%\psgrid
\psdots(0,6.3)(-3.5,-0.4)(1.4,-0.8)(3.5,0.4)(-1.4,0.8)(0,0)(2.45,-0.2)(0,3.1)(-0.5,4.4)%SABCDOFJK
\uput[u](0,6.3){S} \uput[l](-3.5,-0.4){A} \uput[dr](1.4,-0.8){B} 
\uput[r](3.5,0.4){C} \uput[ur](-1.4,0.8){D} \uput[ur](0,0){O} 
\uput[dr](2.45,-0.2){F} \uput[ur](0,3.1){J} \uput[r](-0.45,4.4){K}  
\psline(0,6.3)(-3.5,-0.4)(1.4,-0.8)(3.5,0.4)(0,6.3)(1.4,-0.8)(2.45,-0.2)(0,6.3)%SABCSBFS
\psline[linestyle=dashed](3.5,0.4)(0,3.1)%BJ
\psline[linestyle=dashed](0,3.1)(1.4,-0.8)%JC
\psline[linestyle=dashed](-3.5,-0.4)(3.5,0.4)(0,3.1)(0,0)%ACJO
\psline[linestyle=dashed](1.4,-0.8)(-1.4,0.8)(0,6.3)%BDS
\psline[linestyle=dashed](-3.5,-0.4)(-1.4,0.8)(3.5,0.4)%ADC
\psline[linestyle=dashed](0,3.1)(0,6.3)%JS
\end{pspicture}}
\end{document}