\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !}} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{lscape} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{24cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Concours Fesic--Puissance 1 17 mai 2014} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lfoot{\small{Terminale S}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic--Puissance 11 -- 17 mai 2014 \decofourright}}\end{center} \vspace{0,25cm} \emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h $30$ ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. $+ 1$ si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 : Bases en Analyse}} \medskip Les questions sont indépendantes. \medskip \textbf{a.} Soit $x \in \R$, la dérivée de $x \longmapsto \dfrac{x}{\text{e}^x}$ est $x \longmapsto \dfrac{x - 1}{\text{e}^x}$. \textbf{b.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} = \dfrac{x}{\text{e}^x} = + \infty$. Soit $f$ une fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ telle que, pour tout $x > 0 : \: \dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{x}{\text{e}^x}$. \textbf{c.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $u_{n} = \ln \left(\dfrac{1}{n}\right)$. \textbf{d.} La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $0$. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice \no 2 : Bases en Géométrie}} \medskip Les questions sont indépendantes. Soit $(P)$ et $(Q)$ les plans d'équations respectives \[(P) :\: 2x + y + z = 2 \quad \text{et} \quad (Q) :\: x + y - z = 0.\] \textbf{a.} L'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ a pour équation $x + 2z = 2$. \medskip Soit $(D)$ la droite dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&t+3\\ y&=& - t - 1\\ z&=&2 \end{array}\right. \text{avec}\: t \in \R.$ \textbf{b.} $(D)$ est perpendiculaire au plan $(R)$ d'équation $x - y + 2z = 0$. \parbox{0.55\linewidth}{\textbf{c.} Sur le graphique ci-contre, nous avons tracé les courbes représentatives des fonctions $f$ :\: $x \longmapsto x$ et $g$ :\: $x \longmapsto (x - 2)^2$. L'aire $A$ du domaine hachuré est égale à $A = \dfrac{9}{2}$ unités d'aire. \textbf{d.} La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $]1~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln \left(\dfrac{2x^2 - x + 3}{x - 1}\right)$ admet une asymptote horizontale d'équation $y = \ln 2$.} \hfill \parbox{0.39\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.2,-0.3)(5,5.3) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(5,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.3)(5,5) \psline(0,0)(5,5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.2}{x 2 sub 2 exp} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4}{x 2 sub 2 exp} \psline(4,4)(1,1)} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice \no 3 : Lecture graphique}} \medskip $f$ est une fonction définie et dérivable sur $[-3~;~5]$ de courbe représentative $(C)$. On donne ci-dessous la courbe $(\Gamma)$ représentative de sa fonction dérivée $f'$. \medskip \parbox{0.52\linewidth}{\textbf{a.} $(C)$ admet une tangente horizontale en $x = 0$. \textbf{b.} $f$ admet un minimum relatif en $x = - 2$. \textbf{c.} La fonction $f$ est strictement décroissante sur [0~;~5]. \textbf{d.} Les tangentes à $(C)$ aux points d'abscisses $- \dfrac{3}{2}$ et $2$ sont parallèles.} \hfill \parbox{0.45\linewidth} { \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture*}(-4,-2.4)(5.2,2.5) \psaxes[labelFontSize=\tiny,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-2.4)(5.2,2.5) \psgrid[gridlabels=0pt](-4,-2.4)(5.2,2.5) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2) \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} } \bigskip \textbf{\textsc{Exercice \no 4 : Suite définie par un algorithme}} \medskip \parbox{0.36\linewidth}{Soit $n \in \N$, on considère la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ est le réel affiché par l'algorithme ci-contre lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$. \textbf{a.} $u_{3} = 11$. \textbf{b.} Pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = u_{n} + 2n + 1$. \textbf{c.} La suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante. \textbf{d.} Pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = n^2 + 2.$} \hfill \parbox{0.56\linewidth}{\begin{tabular}{|l l|}\hline 1 &VARIABLES\\ 2 &\hspace{0.2cm} $u$ EST DU TYPE NOMBRE \\ 3 &\hspace{0.2cm} $n$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 4 &\hspace{0.2cm} $k$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 5 &DÉBUT ALGORITHME \\ 6 &\hspace{0.2cm} LIRE $n$\\ 7 &\hspace{0.2cm} $u$ PREND LA VALEUR 2\\ 8 &\hspace{0.2cm} $k$ PREND LA VALEUR 0\\ 9 &TANT OUE $(k < n)$ FAIRE\\ 10 &\hspace{0.4cm} DEBUT TANT OUE\\ 11 &\hspace{0.4cm} $k$ PREND LA VALEUR $k+1$\\ 12 &\hspace{0.4cm} $u$ PREND LA VALEUR $u + 2 \star (k - 1) + 1$\\ 13 &\hspace{0.4cm} FIN TANT OUE\\ 14 &AFFICHER $u$\\ 15 &FIN ALGORITHME\\ \hline \end{tabular}} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice \no 5 : Bases sur les complexes}} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère les nombres complexes $z_{1} = \left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right) + \text{i}\left(\sqrt{6} - \sqrt{2}\right)$ et $z_{2} = \dfrac{1 + \text{i}}{\sqrt{3} + \text{i}}$. \medskip \textbf{a.} $z_{1}^2 = 8\sqrt{3} + 8\text{i}$. \textbf{b.} $\left|z_{2}\right| = \sqrt{2}$. \textbf{c.} $\text{arg}\left(z_{1}^2\right) = \dfrac{5\pi} {6} \quad [2\pi]$. \textbf{d.} $z_{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice \no 6 : Bases de logique}} \medskip Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct \Ouv. $x$ et $y$ sont deux nombres réels et $z$ est le nombre complexe $x + \text{i}y$. \medskip \textbf{a.} La négation de la proposition : \og $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$ \fg{} est la proposition \og $x < 0$ et $y < 0$ \fg. \textbf{b.} Si $x = y$ alors arg$(z) = \frac{\pi}{4}$ modulo $2\pi$. \textbf{c.} La réciproque de la proposition précédente est vraie. \textbf{d.} On suppose $z \neq 0$. Si $z = \dfrac{1}{z}$, alors $x = 0$ ou $y = 0$. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice \no 7 : Calculs de limites}} \medskip \textbf{a.} La fonction $x \longmapsto x \times \sin (x)$ n'a pas de limite lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. \textbf{b.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\cos (x) + 2}{\cos (x) + x}= 1$. \textbf{c.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{\text{e}^x + 3x}{x + 1} = 0$. \textbf{d.} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln (1 + x)}{x^2} = 1$. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice \no 8 : Calculs d'intégrales}} \medskip \textbf{a.} $\displaystyle\int_{2}^4 \dfrac{3}{x^2}\:\text{d}x = \dfrac{5}{4}$. Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + 2x}$. \textbf{b.} La fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $F(x) = 1 + \dfrac{\ln \left(x^2 + 2x\right)}{2}$ est une primitive de $f$. \textbf{c.} $\displaystyle\int_{2}^{\text{e}} \dfrac{1 + t}{t^2}\:\text{d}t = 2 - \dfrac{1}{\text{e}}$. \textbf{d.} $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\text{e}^x - x \text{e}^x}{\text{e}^{2x}} = \dfrac{1}{\text{e}}$. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice \no 9 : Transformation complexe}} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Soit $f$ la transformation du plan complexe qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe \[z' = (1 + \text{i})z + 1.\] \smallskip \textbf{a.} L'image, par $f$, du point B d'affixe 2 est le point C d'affixe $3 + 2\text{i}$. \textbf{b.} Le point A d'affixe i est le seul point invariant par $f$. \textbf{c.} L'image, par $f$, de l'axe des réels est la droite (BC). \textbf{d.} Soit D le point d'affixe 1. Pour tout point $M$ distinct de A et de D, le triangle D$MM'$ est isocèle en $M$. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice \no 10 : Loi normale}} \medskip Dans tout l'exercice, on suppose $T$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~\sigma^2\right)$ avec $\mu$ et $\sigma$ deux entiers naturels. La densité de probabilité de cette loi, notée $f$, est représentée ci-dessous par la courbe $(C)$. On suppose que $(C)$ admet la droite $x = 5$ comme axe de symétrie et que l'aire du domaine $\mathcal{A}_{1}$ (représenté en gris) est environ égale à $0,68$. \begin{center} \psset{xunit=0.9cm,yunit=8cm,runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true} \def\xmin {-2} \def\xmax {12} \def\ymin {-0.06} \def\ymax {0.25} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=gray](-2,0)(12,1) \multido{\n=0.00+0.01}{26}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](-2,\n)(12,\n)} \psaxes[labelFontSize=\small,ticksize=-0pt 0pt,Dx=1,Dy=0.1,labels=none]% {->}(0,0)(-2,-0.06)(12,0.25) \def\m{5}% moyenne \def\s{2}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f} \def\inf{3} \def\sup{7} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) \closepath % indispensable ! } \rput(5.5,0.1){$\mathcal{A}_{1}$} \uput[ur](8.,0.04){$(C)$}\uput[dl](0,0){$0$} %\uput[d](\m,0){$\mu$} %\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax) %\uput[d](\inf,0){$\mu - \sigma$} %\uput[d](\sup,0){$\mu + \sigma$} %\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1) %\uput[70](6,0.25){\red $68\,\%$} %\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03) %\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$} %\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03) %\uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$} \psaxes[labelFontSize=\small,ticksize=-0pt 0pt,Dx=1,Dy=0.1]% {->}(0,0)(-2,-0.06)(12,0.25) \psline(5,-0.06)(5,2.5) \end{pspicture*} \end{center} \medskip \textbf{a.} $\mu = 5$ et $\sigma = 4$. \textbf{b.} L'aire du domaine $\mathcal{A}_{2}$, représenté ci-dessous, est environ égale à $0,8$. \begin{center} \psset{xunit=0.9cm,yunit=8cm,runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true} \def\xmin {-2} \def\xmax {12} \def\ymin {-0.06} \def\ymax {0.25} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=gray](-2,0)(12,1) \multido{\n=0.00+0.01}{26}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](-2,\n)(12,\n)} \psaxes[labelFontSize=\small,ticksize=-0pt 0pt,Dx=1,Dy=0.1,labels=none]% {->}(0,0)(-2,-0.06)(12,0.25) \def\m{5}% moyenne \def\s{2}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f} \def\inf{1} \def\sup{9} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) \closepath % indispensable ! } \rput(5.5,0.1){$\mathcal{A}_{2}$} \uput[ur](8.,0.04){$(C)$}\uput[dl](0,0){$0$} %\uput[d](\m,0){$\mu$} %\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax) %\uput[d](\inf,0){$\mu - \sigma$} %\uput[d](\sup,0){$\mu + \sigma$} %\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1) %\uput[70](6,0.25){\red $68\,\%$} %\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03) %\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$} %\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03) %\uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$} \psaxes[labelFontSize=\small,ticksize=-0pt 0pt,Dx=1,Dy=0.1]% {->}(0,0)(-2,-0.06)(12,0.25) \psline(5,-0.06)(5,2.5) \end{pspicture*} \end{center} \textbf{c.} L'aire du domaine $\mathcal{A}_{3}$ représenté ci-dessous, est environ égale à $0,135$. \begin{center} \psset{xunit=0.9cm,yunit=8cm,runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true} \def\xmin {-2} \def\xmax {12} \def\ymin {-0.06} \def\ymax {0.25} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=gray](-2,0)(12,1) \multido{\n=0.00+0.01}{26}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](-2,\n)(12,\n)} \psaxes[labelFontSize=\small,ticksize=-0pt 0pt,Dx=1,Dy=0.1,labels=none]% {->}(0,0)(-2,-0.06)(12,0.25) \def\m{5}% moyenne \def\s{2}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f} \def\inf{7} \def\sup{9} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) \closepath % indispensable ! } \rput(8,0.03){$\mathcal{A}_{3}$} \uput[ur](8.,0.04){$(C)$}\uput[dl](0,0){$0$} %\uput[d](\m,0){$\mu$} %\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax) %\uput[d](\inf,0){$\mu - \sigma$} %\uput[d](\sup,0){$\mu + \sigma$} %\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1) %\uput[70](6,0.25){\red $68\,\%$} %\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03) %\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$} %\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03) %\uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$} \psaxes[labelFontSize=\small,ticksize=-0pt 0pt,Dx=1,Dy=0.1]% {->}(0,0)(-2,-0.06)(12,0.25) \psline(5,-0.06)(5,2.5) \end{pspicture*} \end{center} \textbf{d.} On admet, dans cette question, que $P(T \in [\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma]) \approx 0,95$. \medskip $P(T \leqslant 9) \approx 0,975$. \newpage \textbf{\textsc{Exercice \no 11 : Nombres complexes et géométrie}} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. À chaque point $M$ d'affixe $z \neq 0$, on associe l'unique point $M'$ d'affixe $z'$ tel que, \[z' = \left(\dfrac{\overline{z}}{|z|}\right)^2.\] \medskip \textbf{a.} En posant $z = x + \text{i}y$,avec $x \neq 0$ ou $ y \neq 0$, et $z'= x'+ \text{i}y'$, on a : $x'= \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ et $y' = \dfrac{2xy}{x^2 + y^2}$. \textbf{b.} $M'$ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si $M$ appartient à la droite d'équation $y = x$ privée de O. \textbf{c.} $M'$ est un point du cercle trigonométrique. \textbf{d.} $M'$ a pour affixe $- 1$ si et seulement si $z = \text{i}$ ou $z = - \text{i}$. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice \no 12 : Étude d'une fonction logarithme}} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + x + 1\right)\] de courbe représentative $(\mathcal{C})$. \textbf{a.} $f$ est croissante sur $\R$. \textbf{b.} $(\mathcal{C})$ admet une unique asymptote verticale. \textbf{c.} Pour tout $x \in \R,\: f(x) \geqslant \ln \left(\dfrac{3}{4}\right)$. \textbf{d.} Il existe deux points de $(\mathcal{C})$ ayant une tangente à $(\mathcal{C})$ parallèle à la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x - \ln 7$. \newpage \textbf{\textsc{Exercice \no 13 : Étude d'une fonction exponentielle}} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} - 2x$. On désigne par $\left(C_f\right)$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan. \medskip \textbf{a.} Pour tout réel $x$, on a : $f'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(\text{e}^{x} + 2\right)$. \textbf{b.} Pour tout réel $x$, on a : $f( x) > \dfrac{3}{2}$. \textbf{c.} $\left(C_f\right)$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $+ \infty$. \textbf{d.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice \no 14 : Probabilités conditionnelles}} \medskip Un joueur effectue des parties successives d'un jeu vidéo. \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] La probabilité qu'il gagne la première partie est de $0,2$. \item[$\bullet~~$] S'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,7$. \item[$\bullet~~$] S'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,5$. \end{itemize} Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $G_{n}$ l'évènement : \og le joueur gagne la $n$-ième partie \fg ; \item[$\bullet~~$] $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $G_{n}$. \end{itemize} \medskip \textbf{a.} $p_{2} = 0,54$. \textbf{b.} Le joueur gagne la deuxième partie. La probabilité qu'il ait perdu la première est $0,6$. \textbf{c.} Pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{2}$. Pour le \textbf{d.}, on donne l'algorithme ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|X|}\hline 1&Variables \\ 2&\hspace{0,5cm}$n$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 3&\hspace{0,5cm}$p$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 4&\hspace{0,5cm}$i$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 5&DÉBUT ALGORITHME\\ 6&\hspace{0,5cm}LIRE $n$\\ 7&\hspace{0,5cm}$p$ PREND LA VALEUR 0,2\\ 8&\hspace{0,5cm}POUR $i$ ALLANT DE $2$ À $n$\\ 9&\hspace{1cm}DÉBUT POUR\\ 10&\hspace{1cm}$p$ PREND LA VALEUR $0,2 \star p + 0,5$\\ 11&\hspace{1cm}FIN POUR\\ 12&\hspace{0,5cm}AFFICHER $p$\\ 13&FIN ALGORITHME\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{d.} Si on teste le programme pour $n = 5$ alors cet algorithme restitue la probabilité que le joueur gagne la cinquième partie. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice \no 15 : Différentes lois de probabilités}} \medskip Les quatre questions sont indépendantes. \medskip \textbf{a.} Soit $t > 0$. Si $X$ suit une loi uniforme sur $[0~;~t]$ telle que $p(X < 5) = 0,4$ alors $t = 20$. \textbf{b.} Soit $n \in \N*$. Si $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n~;~0,3)$ d'espérance $12$, alors $n = 40$. \textbf{c.} Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2 \times 10^{-3}$, alors $\text{E}(X) = \np{5000}$. \textbf{d.} On considère $A$ et $B$ deux évènements d'une même expérience aléatoire tels que $p(A) \neq 0$ et $p(B) \neq 0$. Si $P_{B}(A) = P_{A}(B)$, alors $p(A)= p(B)$. \newpage \textbf{\textsc{Exercice \no 16 : Repérage dans un cube}} \medskip Dans le cube ABCDEFGH, d'arête de longueur 1, on considère le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$. \medskip \parbox{0.55\linewidth}{On rappelle que : $\bullet~~$Le plan médiateur d'un segment est le plan passant par le milieu de ce segment tout en lui étant perpendiculaire. $\bullet~~$Si $M$ est un point de l'espace et (P) un plan de l'espace, on appelle distance du point $M$ au plan (P) la plus petite distance $d$ entre le point $M$ et un point $H$ du plan (P). \medskip \textbf{a.} (GDF) est le plan médiateur du segment [EB]. \textbf{b.} Le plan (BEG) a pour équation : $x - y + z = 1$. \textbf{c.} I$\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{2}{3}\right)$ est le point d'intersection de la droite (DF) avec le plan (BEG). \textbf{d.} La distance du point D au plan (BEG) est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.}\hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(6,6) \pspolygon(0.4,0.4)(4.3,0.3)(3.9,4.05)(0,4.15)%ABFE \psline(4.3,0.3)(5.3,1.7)(4.9,5.45)(3.9,4.05)%BCGF \psline(4.9,5.45)(1.2,5.6)(0,4.15)%GHE \pspolygon(0,4.15)(4.9,5.45)(4.3,0.3)%EGB \psline[linestyle=dotted](0.4,0.4)(1.4,1.8)(5.3,1.7)%ADC \psline[linestyle=dotted](1.2,5.6)(1.4,1.8)(3.9,4.05)%HDF %\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.05,3.3) \uput[dl](0.4,0.4){A} \uput[d](4.3,0.3){B} \uput[r](5.3,1.7){C} \uput[ul](1.4,1.8){D} \uput[ul](0,4.15){E} \uput[ul](3.9,4.05){F} \uput[ur](4.9,5.45){G} \uput[u](1.2,5.6){H} %\uput[ul](3.05,3.3){I} \end{pspicture} } \end{document}