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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Concours Fesic--Puissance 1 17 mai 2014}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Terminale S}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic--Puissance 11 -- 17 mai 2014 \decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Calculatrice interdite ; traiter $12$ exercices sur les $16$ en $2$ h $30$ ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. $+ 1$ si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, $0$ si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 : Bases en Analyse}}

\medskip
 
Les questions sont indépendantes.
 
\medskip
 
\textbf{a.} Soit $x \in \R$, la dérivée de $x \longmapsto \dfrac{x}{\text{e}^x}$ est $x \longmapsto \dfrac{x - 1}{\text{e}^x}$. 

\textbf{b.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} = \dfrac{x}{\text{e}^x} = + \infty$. 

Soit $f$ une fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ telle que, pour tout $x > 0 : \: \dfrac{1}{x} \leqslant  f(x) \leqslant \dfrac{x}{\text{e}^x}$. 
 
\textbf{c.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. 
 
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $u_{n} = \ln \left(\dfrac{1}{n}\right)$.

\textbf{d.}  La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $0$.

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice \no 2 : Bases en Géométrie}}

\medskip

Les questions sont indépendantes. 
Soit $(P)$ et $(Q)$ les plans d'équations respectives 

\[(P) :\: 2x + y + z = 2 \quad \text{et} \quad  (Q) :\: x + y - z = 0.\]
 
\textbf{a.} L'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ a pour équation $x + 2z = 2$. 

\medskip
 
Soit $(D)$ la droite dont une représentation paramétrique est 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t+3\\
y&=& - t - 1\\   
z&=&2 
\end{array}\right. \text{avec}\: t \in \R.$

\textbf{b.} $(D)$ est perpendiculaire au plan $(R)$ d'équation $x - y + 2z = 0$. 

\parbox{0.55\linewidth}{\textbf{c.} Sur le graphique ci-contre, nous avons tracé les courbes représentatives des fonctions $f$ :\: $x \longmapsto x$ et $g$ :\: $x \longmapsto (x - 2)^2$. 

L'aire $A$ du domaine hachuré est égale à $A = \dfrac{9}{2}$ unités d'aire. 
 
\textbf{d.}  La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $]1~;~+ \infty[$  par $f(x) = \ln \left(\dfrac{2x^2 - x + 3}{x - 1}\right)$  admet une asymptote horizontale d'équation $y = \ln 2$.} \hfill
\parbox{0.39\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.3)(5,5.3)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.3)(5,5)
\psline(0,0)(5,5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.2}{x  2  sub 2  exp}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4}{x  2  sub 2  exp}
\psline(4,4)(1,1)}
\end{pspicture}}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice \no 3 : Lecture graphique}} 

\medskip
 
$f$ est une fonction définie et dérivable sur $[-3~;~5]$ de courbe représentative $(C)$. On donne ci-dessous la courbe $(\Gamma)$ représentative de sa fonction dérivée $f'$. 

\medskip

\parbox{0.52\linewidth}{\textbf{a.} $(C)$ admet une tangente horizontale en $x = 0$.
 
\textbf{b.} $f$ admet un minimum relatif en $x = - 2$.
 
\textbf{c.} La fonction $f$ est strictement décroissante sur [0~;~5]. 

\textbf{d.} Les tangentes à $(C)$ aux points d'abscisses $- \dfrac{3}{2}$ et $2$ sont parallèles.} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}
{
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-4,-2.4)(5.2,2.5)
\psaxes[labelFontSize=\tiny,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-2.4)(5.2,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt](-4,-2.4)(5.2,2.5)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice \no 4 : Suite définie par un algorithme}} 

\medskip 
 
\parbox{0.36\linewidth}{Soit $n \in \N$, on considère la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ est le réel affiché par l'algorithme ci-contre lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$.
 
\textbf{a.} $u_{3} = 11$.
 
\textbf{b.} Pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = u_{n} + 2n + 1$.
 
\textbf{c.} La suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante.
 
\textbf{d.} Pour tout entier naturel $n$, 

$u_{n} = n^2 + 2.$} \hfill
\parbox{0.56\linewidth}{\begin{tabular}{|l l|}\hline 
1 &VARIABLES\\ 
2 &\hspace{0.2cm} $u$ EST DU TYPE NOMBRE \\
3 &\hspace{0.2cm} $n$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 
4 &\hspace{0.2cm} $k$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 
5 &DÉBUT ALGORITHME \\
6 &\hspace{0.2cm} LIRE $n$\\ 
7 &\hspace{0.2cm} $u$ PREND LA VALEUR 2\\ 
8 &\hspace{0.2cm} $k$ PREND LA VALEUR 0\\ 
9 &TANT OUE $(k < n)$ FAIRE\\ 
10 &\hspace{0.4cm} DEBUT TANT OUE\\ 
11 &\hspace{0.4cm} $k$ PREND LA VALEUR $k+1$\\ 
12 &\hspace{0.4cm} $u$ PREND LA VALEUR $u + 2 \star (k - 1) + 1$\\ 
13 &\hspace{0.4cm} FIN TANT OUE\\ 
14 &AFFICHER $u$\\ 
15 &FIN ALGORITHME\\ \hline
\end{tabular}} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice \no 5 : Bases sur les complexes}} 

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. 

On considère les nombres complexes $z_{1} = \left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right) + \text{i}\left(\sqrt{6} - \sqrt{2}\right)$ et $z_{2} =  \dfrac{1 + \text{i}}{\sqrt{3} + \text{i}}$.

\medskip

\textbf{a.}  $z_{1}^2 = 8\sqrt{3} + 8\text{i}$. 

\textbf{b.}  $\left|z_{2}\right| = \sqrt{2}$. 

\textbf{c.}  $\text{arg}\left(z_{1}^2\right) = \dfrac{5\pi} {6} \quad [2\pi]$. 

\textbf{d.}  $z_{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$.
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice \no 6 : Bases de logique}} 

\medskip
 
Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct \Ouv. $x$ et $y$ sont deux nombres réels et $z$ est le nombre complexe $x + \text{i}y$.

\medskip
 
\textbf{a.} La négation de la proposition : \og $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$ \fg{} est la proposition \og $x < 0$ et $y < 0$ \fg. 

\textbf{b.} Si $x = y$ alors arg$(z) = \frac{\pi}{4}$ modulo $2\pi$.

\textbf{c.} La réciproque de la proposition précédente est vraie. 
 
\textbf{d.} On suppose $z \neq 0$. Si $z = \dfrac{1}{z}$, alors $x = 0$ ou $y = 0$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice \no 7 : Calculs de limites}} 

\medskip
 
\textbf{a.} La fonction $x \longmapsto  x \times \sin (x)$ n'a pas de limite lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. 

\textbf{b.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\cos (x) + 2}{\cos (x) + x}= 1$. 

\textbf{c.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{\text{e}^x + 3x}{x + 1} = 0$. 

\textbf{d.} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln (1 + x)}{x^2} = 1$. 
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice \no 8 : Calculs d'intégrales}} 

\medskip  

\textbf{a.} $\displaystyle\int_{2}^4 \dfrac{3}{x^2}\:\text{d}x = \dfrac{5}{4}$. 
 
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + 2x}$.

\textbf{b.} La fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $F(x) = 1 + \dfrac{\ln \left(x^2 + 2x\right)}{2}$	est une primitive de $f$. 
 
\textbf{c.} $\displaystyle\int_{2}^{\text{e}} \dfrac{1 + t}{t^2}\:\text{d}t = 2 - \dfrac{1}{\text{e}}$.

\textbf{d.} $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\text{e}^x - x \text{e}^x}{\text{e}^{2x}} = \dfrac{1}{\text{e}}$. 
		
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice \no 9 : Transformation complexe}} 

\medskip
  
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Soit $f$ la transformation du plan complexe qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe 

\[z' = (1 + \text{i})z + 1.\]

\smallskip
 
\textbf{a.} L'image, par $f$, du point B d'affixe 2 est le point C d'affixe $3 + 2\text{i}$. 

\textbf{b.} Le point A d'affixe i est le seul point invariant par $f$. 

\textbf{c.} L'image, par $f$, de l'axe des réels est la droite (BC).
 
\textbf{d.} Soit D le point d'affixe 1. Pour tout point $M$ distinct de A et de D, le triangle D$MM'$ est isocèle en $M$.
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice \no 10 : Loi normale}} 

\medskip
  
Dans tout l'exercice, on suppose $T$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~\sigma^2\right)$ avec $\mu$ et $\sigma$ deux entiers naturels.
 
La densité de probabilité de cette loi, notée $f$, est représentée ci-dessous par la courbe $(C)$.
 
On suppose que $(C)$ admet la droite $x = 5$ comme axe de symétrie et que l'aire du domaine $\mathcal{A}_{1}$ (représenté en gris) est environ égale à $0,68$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=8cm,runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true}
\def\xmin {-2}   \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.06} \def\ymax {0.25}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=gray](-2,0)(12,1)
\multido{\n=0.00+0.01}{26}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](-2,\n)(12,\n)}
\psaxes[labelFontSize=\small,ticksize=-0pt 0pt,Dx=1,Dy=0.1,labels=none]%
{->}(0,0)(-2,-0.06)(12,0.25)

\def\m{5}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}
\def\inf{3} \def\sup{7}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}
\rput(5.5,0.1){$\mathcal{A}_{1}$}
\uput[ur](8.,0.04){$(C)$}\uput[dl](0,0){$0$}
%\uput[d](\m,0){$\mu$} 
%\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
%\uput[d](\inf,0){$\mu - \sigma$}
%\uput[d](\sup,0){$\mu + \sigma$}

%\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1)
%\uput[70](6,0.25){\red $68\,\%$}

%\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03)
%\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$}

%\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03)
%\uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$}
\psaxes[labelFontSize=\small,ticksize=-0pt 0pt,Dx=1,Dy=0.1]%
{->}(0,0)(-2,-0.06)(12,0.25)
\psline(5,-0.06)(5,2.5)
\end{pspicture*}
\end{center}
\medskip
 
\textbf{a.} $\mu = 5$ et $\sigma = 4$.

\textbf{b.} L'aire du domaine $\mathcal{A}_{2}$, représenté ci-dessous, est environ égale à $0,8$. 

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=8cm,runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true}
\def\xmin {-2}   \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.06} \def\ymax {0.25}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=gray](-2,0)(12,1)
\multido{\n=0.00+0.01}{26}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](-2,\n)(12,\n)}
\psaxes[labelFontSize=\small,ticksize=-0pt 0pt,Dx=1,Dy=0.1,labels=none]%
{->}(0,0)(-2,-0.06)(12,0.25)

\def\m{5}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}
\def\inf{1} \def\sup{9}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}
\rput(5.5,0.1){$\mathcal{A}_{2}$}
\uput[ur](8.,0.04){$(C)$}\uput[dl](0,0){$0$}
%\uput[d](\m,0){$\mu$} 
%\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
%\uput[d](\inf,0){$\mu - \sigma$}
%\uput[d](\sup,0){$\mu + \sigma$}

%\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1)
%\uput[70](6,0.25){\red $68\,\%$}

%\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03)
%\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$}

%\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03)
%\uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$}
\psaxes[labelFontSize=\small,ticksize=-0pt 0pt,Dx=1,Dy=0.1]%
{->}(0,0)(-2,-0.06)(12,0.25)
\psline(5,-0.06)(5,2.5)
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\textbf{c.} L'aire du domaine $\mathcal{A}_{3}$ représenté ci-dessous, est environ égale à $0,135$. 

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=8cm,runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true}
\def\xmin {-2}   \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.06} \def\ymax {0.25}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=gray](-2,0)(12,1)
\multido{\n=0.00+0.01}{26}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](-2,\n)(12,\n)}
\psaxes[labelFontSize=\small,ticksize=-0pt 0pt,Dx=1,Dy=0.1,labels=none]%
{->}(0,0)(-2,-0.06)(12,0.25)

\def\m{5}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}
\def\inf{7} \def\sup{9}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}
\rput(8,0.03){$\mathcal{A}_{3}$}
\uput[ur](8.,0.04){$(C)$}\uput[dl](0,0){$0$}
%\uput[d](\m,0){$\mu$} 
%\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
%\uput[d](\inf,0){$\mu - \sigma$}
%\uput[d](\sup,0){$\mu + \sigma$}

%\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1)
%\uput[70](6,0.25){\red $68\,\%$}

%\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03)
%\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$}

%\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03)
%\uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$}
\psaxes[labelFontSize=\small,ticksize=-0pt 0pt,Dx=1,Dy=0.1]%
{->}(0,0)(-2,-0.06)(12,0.25)
\psline(5,-0.06)(5,2.5)
\end{pspicture*}
\end{center}
\textbf{d.} On admet, dans cette question, que $P(T \in  [\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma]) \approx 0,95$.

\medskip
		
$P(T \leqslant 9) \approx 0,975$. 
	
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice \no 11 : Nombres complexes et géométrie}} 

\medskip
  
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.
 
À chaque point $M$ d'affixe $z \neq 0$, on associe l'unique point $M'$ d'affixe $z'$ tel que, 

\[z' = \left(\dfrac{\overline{z}}{|z|}\right)^2.\]

\medskip

\textbf{a.}  En posant $z = x + \text{i}y$,avec $x \neq 0$ ou $ y \neq 0$, et $z'= x'+ \text{i}y'$, on a : $x'= \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ et $y' = \dfrac{2xy}{x^2 + y^2}$.
  
\textbf{b.} $M'$ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si $M$ appartient à la droite d'équation $y = x$ privée de O.

\textbf{c.} $M'$ est un point du cercle trigonométrique.

\textbf{d.} $M'$ a pour affixe $- 1$ si et seulement si $z = \text{i}$ ou $z = - \text{i}$.
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice \no 12 : Étude d'une fonction logarithme}} 

\medskip
  
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \ln \left(x^2 + x + 1\right)\]

de courbe représentative $(\mathcal{C})$. 

\textbf{a.} $f$ est croissante sur $\R$. 

\textbf{b.} $(\mathcal{C})$ admet une unique asymptote verticale. 

\textbf{c.} Pour tout $x \in  \R,\: f(x) \geqslant \ln \left(\dfrac{3}{4}\right)$.
 
\textbf{d.} Il existe deux points de $(\mathcal{C})$ ayant une tangente à $(\mathcal{C})$ parallèle à la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x - \ln 7$. 

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice \no 13 : Étude d'une fonction exponentielle}} 

\medskip
  
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} - 2x$. 

On désigne par $\left(C_f\right)$ sa représentation graphique  
dans un repère orthonormé du plan.

\medskip
 
\textbf{a.}  Pour tout réel $x$, on a : $f'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(\text{e}^{x} + 2\right)$. 

\textbf{b.}  Pour tout réel $x$, on a : $f( x) > \dfrac{3}{2}$. 

\textbf{c.} $\left(C_f\right)$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $+ \infty$.
 
\textbf{d.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$. 
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice \no 14 : Probabilités conditionnelles}} 

\medskip
  
Un joueur effectue des parties successives d'un jeu vidéo. 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] La probabilité qu'il gagne la première partie est de $0,2$. 
\item[$\bullet~~$] S'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,7$. 
\item[$\bullet~~$] S'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,5$. 
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $G_{n}$ l'évènement : \og le joueur gagne la $n$-ième partie \fg ; 
\item[$\bullet~~$] $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $G_{n}$.
\end{itemize}

\medskip
 
\textbf{a.}  $p_{2} = 0,54$. 

\textbf{b.} Le joueur gagne la deuxième partie. La probabilité qu'il ait perdu la première est $0,6$. 

\textbf{c.} Pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{2}$.
 
Pour le \textbf{d.}, on donne l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|X|}\hline 
1&Variables	\\
2&\hspace{0,5cm}$n$ EST DU TYPE NOMBRE\\
3&\hspace{0,5cm}$p$ EST DU TYPE NOMBRE\\
4&\hspace{0,5cm}$i$ EST DU TYPE NOMBRE\\			
5&DÉBUT ALGORITHME\\			
6&\hspace{0,5cm}LIRE $n$\\
7&\hspace{0,5cm}$p$ PREND LA VALEUR 0,2\\ 
8&\hspace{0,5cm}POUR $i$ ALLANT DE $2$ À $n$\\
9&\hspace{1cm}DÉBUT POUR\\
10&\hspace{1cm}$p$ PREND LA VALEUR $0,2 \star p + 0,5$\\
11&\hspace{1cm}FIN POUR\\
12&\hspace{0,5cm}AFFICHER $p$\\
13&FIN ALGORITHME\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\textbf{d.} Si on teste le programme pour $n = 5$ alors cet algorithme restitue la probabilité que le joueur gagne la cinquième partie.
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice \no 15 : Différentes lois de probabilités}} 

\medskip
  
Les quatre questions sont indépendantes.

\medskip
 
\textbf{a.} Soit $t > 0$. Si $X$ suit une loi uniforme sur $[0~;~t]$ telle que $p(X < 5) = 0,4$ alors $t = 20$. 

\textbf{b.} Soit $n \in \N*$. Si $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n~;~0,3)$ d'espérance $12$, alors $n = 40$. 

\textbf{c.} Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2 \times 10^{-3}$, alors $\text{E}(X) = \np{5000}$. 

\textbf{d.} On considère $A$ et $B$ deux évènements d'une même expérience aléatoire tels que $p(A) \neq 0$ et $p(B) \neq 0$. Si $P_{B}(A) = P_{A}(B)$, alors $p(A)= p(B)$.
 
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice \no 16 : Repérage dans un cube}} 

\medskip  
 
Dans le cube ABCDEFGH, d'arête de longueur 1, on considère le repère orthonormé 
$\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$. 

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{On rappelle que :

$\bullet~~$Le plan médiateur d'un segment est le plan passant par le milieu de ce segment tout en lui étant perpendiculaire. 

$\bullet~~$Si $M$ est un point de l'espace et (P) un plan de l'espace, on appelle distance du point $M$ au plan (P) la plus petite distance $d$ entre le point $M$ et un point $H$ du plan (P).

\medskip
 
\textbf{a.} (GDF) est le plan médiateur du segment [EB].
 
\textbf{b.} Le plan (BEG) a pour équation : $x - y + z = 1$. 

\textbf{c.} I$\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{2}{3}\right)$ est le point d'intersection de la droite (DF) avec le plan (BEG). 

\textbf{d.}  La distance du point D au plan (BEG) est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(6,6)
\pspolygon(0.4,0.4)(4.3,0.3)(3.9,4.05)(0,4.15)%ABFE
\psline(4.3,0.3)(5.3,1.7)(4.9,5.45)(3.9,4.05)%BCGF
\psline(4.9,5.45)(1.2,5.6)(0,4.15)%GHE
\pspolygon(0,4.15)(4.9,5.45)(4.3,0.3)%EGB
\psline[linestyle=dotted](0.4,0.4)(1.4,1.8)(5.3,1.7)%ADC
\psline[linestyle=dotted](1.2,5.6)(1.4,1.8)(3.9,4.05)%HDF
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.05,3.3)
\uput[dl](0.4,0.4){A} \uput[d](4.3,0.3){B} \uput[r](5.3,1.7){C} 
\uput[ul](1.4,1.8){D} \uput[ul](0,4.15){E} \uput[ul](3.9,4.05){F} 
\uput[ur](4.9,5.45){G} \uput[u](1.2,5.6){H} %\uput[ul](3.05,3.3){I} 
\end{pspicture}
}
\end{document}