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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Concours pour l'admission en formation initiale pour l'obtention\\[6pt] des diplômes d'officier chef de quart machine et de chef mécanicien 8000 kW 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\rfoot{\small }

\vspace{0,5cm}


\begin{center} 
{\large \textbf{CONCOURS POUR L'ADMISSION EN FORMATION INITIALE POUR L'OBTENTION DES DIPLÔMES D'OFFICIER CHEF DE QUART MACHINE ET DE CHEF MECANICIEN 8000 kW \\[5pt]
ANNÉE 2017 \quad (Durée: 2 heures)}} 

\vspace{1cm}

L'usage d'un formulaire est interdit; l'usage d'une calculatrice électronique à fonctionnement autonome, non
programmable, non programmée, non imprimante, avec entrée unique par clavier est seul autorisé.
\end{center}

\textbf{1\up{re} QUESTION \hfill(valeur = 3)}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle: $(E)\quad y'+ y = 0$. 
\item Trouvez la fonction $y = f(x)$ telle que $f(0) = 1$ 
\item Déterminer le réel $a$ tel que $\displaystyle\int_0^a f(x)\:\text{d}x = - 2$ 
\item Soit $f$la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{\text{e}^x}$.

Montrer que $f$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{2\up{e} QUESTION \hfill (valeur = 4) }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $u = \dfrac{1 - \text{i}}{1 + \text{i}}\text{e}^{\frac{- \text{i}\pi}{5}}$.
\item Soit $z$ le nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire le nombre complexe $z$ sous forme algébrique. 
		\item Écrire le nombre complexe $Z = \dfrac{2 + z}{2 - z}$ sous forme algébrique.
		\item Montrer que les points A, B, C d'affixes respectives $1,\:\dfrac{z}{2}$ et $Z$ sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{3\up{e} QUESTION \hfill (valeur = 3,5) }

\medskip

Les cinq termes $u_1,\: u_2,\:u_3, u_4,\: u_5$ d'une suite géométrique croissante sont strictement positifs. Soit $x$ la raison de cette suite. On pose $u_3 = a$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Exprimer à l'aide de $a$ et de $x$ les sommes 

$S= u_1 + u_5$ et $s = u_2 + u_4$ 
\item Montrez que $s^2 = aS + 2a^2$ 
\item Calculez $a$ sachant que $s = 34$ et $S= \dfrac{257}{2}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{4\up{e} QUESTION \hfill (valeur = 5) }

On considère la fonction $f(x) = \ln \left(\dfrac{x}{\text{e}}\right) + \ln x$. 

$\left(\mathcal{C}_f\right)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij.

\medskip
 

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de $f$. 
\item Établir que $f(x) = -1 + 2\ln x$ sur $\mathcal{D}_f$. 
\item Soient deux réels $a$ et $b$ strictement positifs, vérifiant $ab= \text{e}$ 

Déterminer $f(a)$ en fonction de $a$, puis $f(b)$ en fonction de $a$. 

En déduire que $f(a) + f(b) = 0$. 
\item  Déterminer $f'(x)$, et en déduire le tableau de variations de $f(x)$. 
\item  Déterminer l'équation de la tangente à $\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse e. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{5\up{e} QUESTION \hfill (valeur = 4,5) }

\medskip

La durée de vie d'un appareil est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. Ainsi, pour tout réel $t$ positif, la probabilité qu'un appareil ait une durée  de vie inférieure à $t$ années, notée $P(X \leqslant t)$ est donnée par: $p[ X \leqslant t] = \displaystyle\int_0^t \lambda\text{e}^{ - \lambda x}\:\text{d}x$. 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $p[X \leqslant t] = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$. 
\item Déterminer $\lambda$ sachant que $P(X >5)= 0,4$. 
\item Dans cette question on prendra $\lambda = 0,18$. 

Sachant que la durée de vie de l'appareil dépasse $10$ heures, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse $20$ heures ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{Nota:\\ 
\begin{enumerate}
\item Aucun document n'est autorisé. 
\item Délits de fraude: \og Tout candidat pris en flagrant délit de fraude ou convaincu de tentative de fraude se verra attribuer la note zéro, éliminatoire, sans préjudice de l'application des sanctions prévues par les lois et règlements en vigueur réprimant les fraudes dans les examens et concours publics \fg. 
\end{enumerate}}
\end{document}