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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Concours pour l'admission en formation initiale pour l'obtention\\[6pt] des diplômes d'officier chef de quart machine et de chef mécanicien 8000 kW 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\rfoot{\small }

\vspace{0,5cm}

\begin{center} 
{\large \textbf{CONCOURS POUR L'ADMISSION EN FORMATION INITIALE POUR L'OBTENTION DES DIPLÔMES D'OFFICIER CHEF DE QUART MACHINE ET DE CHEF MECANICIEN 8000 kW \\[5pt]
ANNÉE 2016 \quad (Durée: 2 heures)}} 

\vspace{1cm}

L'usage d'un formulaire est interdit; l'usage d'une calculatrice électronique à fonctionnement autonome, non
programmable, non programmée, non imprimante, avec entrée unique par clavier est seul autorisé.
\end{center}

\textbf{1\up{re} QUESTION \hfill(valeur = 3)}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Développer $(2x +1)(x-1)$.
\item  Résoudre dans $\R$ les deux équations suivantes : 
	\begin{enumerate}
		\item $2(\ln x)^2 - \ln x - 1 = 0$
		\item $2\text{e}^{-2x} - \text{e}^{-x} - 1 = 0$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{2\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 3,5)}

\medskip

Soit $X$ une variable aléatoire de loi uniforme sur l'intervalle $[-5 ~;~5]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la fonction densité de probabilité de $X$.
\item Calculer l'espérance et la variance de $X$.
\item Quelle est la probabilité que $X$ appartienne à l'intervalle [2~;~4] ?
\item Sachant que $X$ est supérieur à 1, quelle est la probabilité que $X$ appartienne à [2~;~4] ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{3\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 5)}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 1 cm.

On considère le nombre complexe suivant : $z = \dfrac{1 - 2\text{i}}{\sqrt{5}}$.

On appelle $M, A, B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z$,\: $\overline{z}$,\: $-\dfrac{1}{z}$ et $\dfrac{- \text{i}}{2z}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire les complexes $\overline{z}$,\: $-\dfrac{1}{z}$ et $\dfrac{- \text{i}}{2z}$ sous forme algébrique.
\item  Montrer que les points $A, C$ et $M$ appartiennent à une même droite. Donner l'équation cartésienne de cette droite.
\item  Déterminer $AC$ et $BC$. En déduire que le triangle $ABC$ est isocèle en $C$.
\item  Ecrire $\overline{z}$,\:, $-\dfrac{1}{z}$ et $\dfrac{- \text{i}}{2z}$ sous forme exponentielle et en déduire la nature du triangle $ABM$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{4\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 5)}

\medskip

Soit la fonction définie par 

\[f(x) = 1 -2x + \text{e}^{2x}\]

 On appelle $C$ la courbe représentative de la fonction
$f$ dans un plan rapporté à un repère orthonormé d'unité graphique 1 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
\item Montrer que la droite $D$ d'équation $y = 1- 2x$ est asymptote à la courbe $C$ en $- \infty$.

Donner la position de $C$ par rapport à cette asymptote.
\item Montrer que pour tout $x \ne 0$, on a $f(x) = x\left(\dfrac{1}{x} -2 + \dfrac{\text{e}^{2x}}{x}\right)$.

En déduire la limite de $f$ et $+ \infty$.
\item Calculer la dérivée de $f$ et donner le tableau de variation de $f$.
\item Tracer $D$ et $C$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{5\up{e} QUESTION \hfill(valeur = 3,5)}

\medskip

On considère $\left(u_n\right)_{n \geqslant 0}$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q \ne 0$ vérifiant

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_3 \times u_4 \times u_5&=&27\\
u_3^2 + 2u_3 + u_4^2&=&8
\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_3 \times u_4 \times u_5$ en fonction de $u_4$.
\item Déterminer les termes $u_4$ puis $u_3$.

 En déduire que $q =-3$ et calculer le terme $u_0$.
\item On pose $v_n = u_{n+3}^2$ pour tout $n \geqslant 0$.

Montrer que la  suite $\left(v_n\right)_{n \geqslant 0}$ est une suite géométrique. Donner son premier terme et sa raison.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{Nota:\\ 
\begin{enumerate}
\item Aucun document n'est autorisé. 
\item Délits de fraude: \og Tout candidat pris en flagrant délit de fraude ou convaincu de tentative de fraude se verra attribuer la note zéro, éliminatoire, sans préjudice de l'application des sanctions prévues par les lois et règlements en vigueur réprimant les fraudes dans les examens et concours publics \fg. 
\end{enumerate}}
\end{document}